Kurt Gödel - Kurt Gödel

"Gödel" omdirigerer her. For programmeringsspråk, se Gödel (programmeringsspråk) . For annen bruk, se Godel (disambiguation) .

Kurt Gödel
Kurt gödel.jpg
Født
Kurt Friedrich Gödel

( 1906-04-28 )28. april 1906
Brünn, Østerrike-Ungarn
(nå Brno , Tsjekkia )
Døde 14. januar 1978 (1978-01-14)(71 år)
Princeton , New Jersey, USA
Statsborgerskap
Alma mater Universitetet i Wien
Kjent for
Liste
Ektefelle (r)
Adele Nimbursky
​
( M.  1938)
Utmerkelser
Vitenskapelig karriere
Enger Matematikk , matematisk logikk , analytisk filosofi , fysikk
Institusjoner Institute for Advanced Study
Avhandling Über die Vollständigkeit des Logikkalküls (On the Complete of the Calculus of Logic)  (1929)
Doktorgradsrådgiver Hans Hahn
Signatur
Kurt Gödel signatur.svg

Kurt Friedrich Gödel ( / ɡ ɜːr d əl / ; tysk: [kʊɐ̯t ɡøːdl̩] ( lytt )Om denne lyden , 28 april 1906 - 14 januar 1978) var en logician , matematiker og filosof . Gödel ble betraktet sammen med Aristoteles og Gottlob Frege som en av historiens mest betydningsfulle logikere, og hadde en enorm effekt på vitenskapelig og filosofisk tenkning på 1900 -tallet, en tid da andre som Bertrand Russell , Alfred North Whitehead og David Hilbert var ved hjelp av logikk og settteori for å undersøke grunnlaget for matematikk , bygge på tidligere arbeid av slike som Richard Dedekind , Georg Cantor og Frege.

Gödel publiserte sin første ufullstendighetsteorem i 1931 da han var 25 år gammel, ett år etter at han avsluttet doktorgraden ved Universitetet i Wien . Den første ufullstendighetssetningen sier at for ethvert ω-konsistent rekursivt aksiomatisk system som er kraftig nok til å beskrive aritmetikken til de naturlige tallene (for eksempel Peano-aritmetikk ), er det sanne proposisjoner om de naturlige tallene som verken kan bevises eller motbevises fra aksiomene. For å bevise dette utviklet Gödel en teknikk som nå er kjent som Gödel -nummerering , som koder formelle uttrykk som naturlige tall. Den andre ufullstendighetssatsen, som følger av den første, sier at systemet ikke kan bevise sin egen konsistens.

Gödel viste også at verken valgaksiomet eller kontinuumhypotesen kan motbevises fra den aksepterte Zermelo-Fraenkel-teorien , forutsatt at aksiomene er konsistente. Det tidligere resultatet åpnet døren for matematikere til å anta aksiomet til valg i sine bevis. Han ga også viktige bidrag til bevissteori ved å klargjøre sammenhengen mellom klassisk logikk , intuisjonistisk logikk og modal logikk .

tidlig liv og utdanning

Barndom

Gödel ble født 28. april 1906 i Brünn, Østerrike-Ungarn (nå Brno , Tsjekkia ) i den tysktalende familien til Rudolf Gödel (1874–1929), administrerende direktør og deleier i et større tekstilfirma, og Marianne Gödel ( née Handschuh, 1879–1966). Gjennom hele livet ville Gödel forbli nær moren sin; korrespondansen deres var hyppig og omfattende. På tidspunktet for hans fødsel hadde byen et tysktalende flertall som inkluderte foreldrene hans. Faren hans var katolikk og moren var protestantisk og barna ble oppvokst som protestanter. Forfedrene til Kurt Gödel var ofte aktive i Brüns kulturliv. For eksempel var bestefaren Joseph Gödel en berømt sanger i sin tid og i noen år medlem av Brünner Männergesangverein (Men's Choral Union of Brünn).

Gödel ble automatisk statsborger i Tsjekkoslovakia i en alder av 12 år da det østerriksk-ungarske riket kollapset etter nederlaget i første verdenskrig . (I følge klassekameraten Klepetař , i likhet med mange innbyggere i de overveiende tyske Sudetenländer , betraktet "Gödel seg alltid som østerriksk og eksil i Tsjekkoslovakia." statsborgerskap. Da Tyskland annekterte Østerrike i 1938, ble Gödel automatisk tysk statsborger i en alder av 32 år. I 1948, etter andre verdenskrig , i en alder av 42 år, ble han amerikansk statsborger.

I familien fikk den unge Gödel tilnavnet Herr Warum ("Mr. Why") på grunn av hans umettelige nysgjerrighet. Ifølge broren Rudolf, i en alder av seks eller syv, led Kurt av revmatisk feber ; han ble fullstendig frisk, men resten av livet forble han overbevist om at hjertet hans hadde fått permanent skade. Fra og med fire år led Gödel av "hyppige episoder med dårlig helse", som ville fortsette hele livet.

Gödel gikk på Evangelische Volksschule , en luthersk skole i Brünn fra 1912 til 1916, og ble registrert i Deutsches Staats-Realgymnasium fra 1916 til 1924, og utmerket seg med æresbevisninger i alle fagene, spesielt innen matematikk, språk og religion. Selv om Gödel først hadde utmerket seg i språk, ble han senere mer interessert i historie og matematikk. Interessen for matematikk økte da hans eldre bror Rudolf (født 1902) i 1920 dro til Wien , hvor han gikk på medisinsk skole ved Universitetet i Wien . I løpet av tenårene, Gödel studert Gabels stenografi , Goethe 's Goethes farvelære og kritikk av Isaac Newton , og skriftene til Immanuel Kant .

Studier i Wien

I en alder av 18 begynte Gödel med sin bror ved universitetet i Wien . På den tiden hadde han allerede mestret matematikk på universitetsnivå. Selv om han opprinnelig hadde til hensikt å studere teoretisk fysikk , deltok han også på kurs om matematikk og filosofi. I løpet av denne tiden adopterte han ideer om matematisk realisme . Han leste Kant 's Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft , og deltok i Wienerkretsen med Moritz Schlick , Hans Hahn , og Rudolf Carnap . Gödel studerte deretter tallteori , men da han deltok på et seminar drevet av Moritz Schlick som studerte Bertrand Russells bok Introduction to Mathematical Philosophy , ble han interessert i matematisk logikk . I følge Gödel var matematisk logikk "en vitenskap før alle andre, som inneholder ideene og prinsippene som ligger til grunn for alle vitenskaper."

Å delta på et foredrag av David Hilbert i Bologna om fullstendighet og konsistens i matematiske systemer kan ha satt Gødels livsløp. I 1928 publiserte Hilbert og Wilhelm Ackermann Grundzüge der theoretischen Logik ( Principles of Mathematical Logic ), en introduksjon til førsteordens logikk der fullstendighetsproblemet ble stilt: "Er aksiomene til et formelt system tilstrekkelig til å utlede hver uttalelse som er sant i alle modellene av systemet? "

Dette problemet ble temaet som Gödel valgte for sitt doktorgradsarbeid. I 1929, i en alder av 23, fullførte han sin doktoravhandling i henhold til Hans Hahn tilsyn. I den etablerte han sin eponymiske fullstendighetsteorem angående første ordens predikatregning . Han ble tildelt sin doktorgrad i 1930, og avhandlingen hans (ledsaget av noe tilleggsarbeid) ble utgitt av Wien -vitenskapsakademiet .

Karriere

Ufullstendighetssetning

Kurt Godels prestasjon i moderne logikk er unik og monumental - det er faktisk mer enn et monument, det er et landemerke som vil forbli synlig langt i rom og tid. ... Emnet logikk har absolutt endret sin natur og muligheter med Gødels prestasjon.

-  John von Neumann

I 1930 deltok Gödel på den andre konferansen om Epistemology of the Exact Sciences , som ble holdt i Königsberg , 5. - 7. september. Her leverte han sine ufullstendighetsteoremer .

Gödel publiserte sine ufullstendighetsteoremer i Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (på engelsk kalt " On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems "). I denne artikkelen beviste han for ethvert beregningsbart aksiomatisk system som er kraftig nok til å beskrive aritmetikken til de naturlige tallene (f.eks. Peano -aksiomene eller Zermelo - Fraenkel -teorien med aksiomet til valg ):

  1. Hvis et (logisk eller aksiomatisk formelt) system er omega-konsistent , kan det ikke være syntaktisk komplett .
  2. Konsistensen av aksiomer kan ikke bevises innenfor sitt eget system .

Disse teoremene avsluttet et halvt århundre med forsøk, som begynte med arbeidet til Gottlob Frege og som kulminerte med Principia Mathematica og Hilberts formalisme , for å finne et sett med aksiomer som var tilstrekkelig for all matematikk.

I ettertid er den grunnleggende ideen i kjernen av ufullstendighetssetningen ganske enkel. Gödel konstruerte i hovedsak en formel som hevder at den ikke kan bevises i et gitt formelt system. Hvis det kunne bevises, ville det være falskt. Dermed vil det alltid være minst en sann, men ikke beviselig påstand. Det vil si at for ethvert beregningsbart antall aksiomer for aritmetikk (det vil si et sett som i prinsippet kan skrives ut med en idealisert datamaskin med ubegrensede ressurser), er det en formel som gjelder for aritmetikk, men som ikke kan bevises i det systemet. For å gjøre dette presist, måtte Gödel imidlertid produsere en metode for å kode (som naturlige tall) utsagn, bevis og bevisbarhet; han gjorde dette ved å bruke en prosess kjent som Gödel -nummerering .

I sitt to sider lange papir Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) tilbakeviste Gödel den begrensede verdien av den intuisjonistiske logikken . I beviset brukte han implisitt det som senere har blitt kjent som Gödel - Dummett intermediate logic (eller Gödel fuzzy logic ).

Midt på 1930-tallet: videre arbeid og amerikanske besøk

Gödel tjente på habiliteringen i Wien i 1932, og i 1933 ble han Privatdozent (ulønnet foreleser) der. I 1933 kom Adolf Hitler til makten i Tyskland, og i løpet av de påfølgende årene fikk nazistene innflytelse i Østerrike og blant Wiens matematikere. I juni 1936 ble Moritz Schlick , hvis seminar hadde vekket Godels interesse for logikk, myrdet av en av hans tidligere studenter, Johann Nelböck . Dette utløste "en alvorlig nervøs krise" i Gödel. Han utviklet paranoide symptomer, inkludert frykt for å bli forgiftet, og tilbrakte flere måneder på et sanitarium for nervøse sykdommer.

I 1933 reiste Gödel først til USA, hvor han møtte Albert Einstein , som ble en god venn. Han holdt en tale til det årlige møtet i American Mathematical Society . I løpet av dette året utviklet Gödel også ideene om beregbarhet og rekursive funksjoner til det punktet hvor han var i stand til å presentere et foredrag om generelle rekursive funksjoner og sannhetsbegrepet. Dette arbeidet ble utviklet i tallteori, ved bruk av Gödel -nummerering .

I 1934 holdt Gödel en rekke forelesninger ved Institute for Advanced Study (IAS) i Princeton , New Jersey, med tittelen On undecidable propositioner of formal mathematical systems . Stephen Kleene , som nettopp hadde fullført sin doktorgrad ved Princeton, tok notater av disse forelesningene som senere har blitt publisert.

Gödel besøkte IAS igjen høsten 1935. Reisen og det harde arbeidet hadde utmattet ham, og året etter tok han en pause for å komme seg etter en depressiv episode. Han kom tilbake til undervisningen i 1937. I løpet av denne tiden jobbet han med beviset på konsistensen av aksiomet til valget og kontinuumhypotesen ; han viste videre at disse hypotesene ikke kan motbevises fra det vanlige systemet med aksiomer for settteori.

Han giftet seg med Adele Nimbursky  [ es ; ast ] (née Porkert, 1899–1981), som han hadde kjent i over 10 år, 20. september 1938. Godels foreldre hadde motarbeidet forholdet deres fordi hun var en fraskilt danser, seks år eldre enn han var.

Deretter dro han til et nytt besøk i USA, tilbrakte høsten 1938 ved IAS og publiserte Consistence of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory, a classic of modern mathematics. I det arbeidet introduserte han det konstruerbare universet , en modell av settteori der de eneste settene som eksisterer er de som kan konstrueres fra enklere sett. Gödel viste at både aksjonsvalget for valg (AC) og den generaliserte kontinuumhypotesen (GCH) er sanne i det konstruerbare universet, og derfor må være i samsvar med Zermelo - Fraenkel aksiomer for settteori (ZF). Dette resultatet har hatt betydelige konsekvenser for arbeidsmatematikere, ettersom det betyr at de kan anta aksiomet for valget når de beviser Hahn - Banach -setningen . Paul Cohen konstruerte senere en modell av ZF der AC og GCH er falske; sammen betyr disse bevisene at AC og GCH er uavhengige av ZF -aksiomene for settteori.

Gödel tilbrakte våren 1939 ved University of Notre Dame .

Princeton, Einstein, amerikansk statsborgerskap

Etter Anschluss 12. mars 1938 hadde Østerrike blitt en del av Nazi -Tyskland . Tyskland avskaffet tittelen Privatdozent , så Gödel måtte søke om en annen stilling under den nye ordren. Hans tidligere tilknytning til jødiske medlemmer av Wienerkretsen, spesielt med Hahn, veide ham imot. Universitetet i Wien avslått søknaden.

Hans vanskeligheter forsterket seg da den tyske hæren fant ham egnet til verneplikt. Andre verdenskrig startet i september 1939. Før året var omme, dro Gödel og kona fra Wien til Princeton . For å unngå vanskeligheten med en atlantisk kryssing, tok Gödels den transsibirske jernbanen til Stillehavet, seilte fra Japan til San Francisco (som de nådde 4. mars 1940), og krysset deretter USA med tog til Princeton. Der godtok Gödel en stilling ved Institute for Advanced Study (IAS), som han tidligere hadde besøkt i løpet av 1933–34.

Albert Einstein bodde også på Princeton i løpet av denne tiden. Gödel og Einstein utviklet et sterkt vennskap, og var kjent for å gå lange turer sammen til og fra Institute for Advanced Study. Arten av samtalene deres var et mysterium for de andre instituttmedlemmene. Økonom Oskar Morgenstern forteller at Einstein mot slutten av livet bekjente at hans "eget arbeid ikke lenger betydde mye, at han kom til instituttet bare ... for å ha privilegiet å gå hjem med Gödel".

Gödel og kona, Adele, tilbrakte sommeren 1942 i Blue Hill, Maine , på Blue Hill Inn på toppen av bukten. Gödel var ikke bare på ferie, men hadde en veldig produktiv sommer med arbeid. Ved å bruke Heft 15 [bind 15] av Gödels fremdeles upubliserte Arbeitshefte [arbeidsbøker], antar John W. Dawson Jr. at Gödel oppdaget et bevis for uavhengigheten av valgaksjonen fra endelig teori, en svekket form for settteori, mens han var i Blue Hill i 1942. Godels nære venn Hao Wang støtter denne formodningen, og bemerker at Godels Blue Hill -notatbøker inneholder hans mest omfattende behandling av problemet.

5. desember 1947 fulgte Einstein og Morgenstern Gödel til sin amerikanske statsborgerskapseksamen , hvor de opptrådte som vitner. Gödel hadde betrodd dem at han hadde oppdaget en inkonsekvens i den amerikanske grunnloven som kunne tillate USA å bli et diktatur; dette har siden blitt kalt Gödels smutthull . Einstein og Morgenstern var bekymret for at vennens uforutsigbare oppførsel kan sette søknaden hans i fare. Dommeren viste seg å være Phillip Forman , som kjente Einstein og hadde avlagt ed ved Einsteins eget statsborgerskap. Alt gikk greit til Forman tilfeldigvis spurte Gödel om han trodde et diktatur som naziregimet kunne skje i det amerikanske Gödel og deretter begynte å forklare sin oppdagelse for Forman. Forman forsto hva som foregikk, kuttet Gödel av og flyttet høringen til andre spørsmål og en rutinemessig konklusjon.

Gödel ble fast medlem av Institute for Advanced Study i Princeton i 1946. Rundt denne tiden sluttet han å publisere, selv om han fortsatte å jobbe. Han ble professor ved instituttet i 1953 og professor i emeritus i 1976.

I løpet av sin tid ved instituttet vendte Godels interesser seg til filosofi og fysikk. I 1949 demonstrerte han eksistensen av løsninger som involverte lukkede tidlignende kurver , til Einsteins feltligninger i generell relativitet . Det sies at han har gitt Einstein denne utdypningen i gave til hans 70 -årsdag. Hans "roterende universer" ville tillate tidsreiser til fortiden og fikk Einstein til å tvile på sin egen teori. Løsningene hans er kjent som Gödel metric (en eksakt løsning av Einstein -feltligningen ).

Han studerte og beundret verkene til Gottfried Leibniz , men kom til å tro at en fiendtlig konspirasjon hadde forårsaket at noen av Leibnizs verk ble undertrykt. I mindre grad studerte han Immanuel Kant og Edmund Husserl . På begynnelsen av 1970-tallet, sirkulert Gödel blant hans venner en utdyping av Leibniz versjon av Anselm av Canterbury sin ontologiske bevis for Guds eksistens. Dette er nå kjent som Gödels ontologiske bevis .

Utmerkelser og æresbevisninger

Gödel ble tildelt (med Julian Schwinger ) den første Albert Einstein -prisen i 1951, og ble også tildelt National Medal of Science , i 1974. Gödel ble valgt til bosatt medlem av American Philosophical Society i 1961 og utenlandsk medlem av Royal Society (ForMemRS) i 1968 . Han var plenumspeaker for ICM i 1950 i Cambridge, Massachusetts. Den Gödel Prize , en årlig pris for fremragende papirer i området teoretisk informatikk, er oppkalt etter ham.

Gravstein for Kurt og Adele Gödel på Princeton, NJ, kirkegård

Senere liv og død

Senere i livet led Gödel perioder med mental ustabilitet og sykdom. Etter attentatet mot sin nære venn Moritz Schlick , hadde Gödel en obsessiv frykt for å bli forgiftet ; han ville bare spise mat som kona, Adele, tilberedte for ham. Sent i 1977 ble hun innlagt på sykehus i seks måneder og kunne ikke lenger tilberede ektemannens mat. I hennes fravær nektet han å spise, og til slutt sultet han i hjel. Han veide 29 kilo da han døde. Dødsattesten hans rapporterte at han døde av "underernæring og sult forårsaket av personlighetsforstyrrelser" på Princeton Hospital 14. januar 1978. Han ble gravlagt på Princeton Cemetery . Adeles død fulgte i 1981.

Religiøse synspunkter

Gödel var teist i den kristne tradisjonen. Han trodde at Gud var personlig, og kalte filosofien hans "rasjonalistisk, idealistisk, optimistisk og teologisk".

Gödel trodde bestemt på et liv etter døden og sa: "Selvfølgelig antar dette at det er mange forhold som dagens vitenskap og mottatt visdom ikke har noen formening om. Men jeg er overbevist om dette [etterlivet], uavhengig av teologi." Det er "mulig i dag å oppfatte, ved ren begrunnelse" at det "er helt i samsvar med kjente fakta." "Hvis verden er rasjonelt konstruert og har mening, må det være noe slikt [som et liv etter døden]."

I et usendt svar på et spørreskjema beskrev Gödel sin religion som "døpt luthersk (men ikke medlem av noen religiøs menighet). Min tro er teistisk , ikke panteistisk , etter Leibniz i stedet for Spinoza ." Om religion (er) generelt sa han: "Religioner er for det meste dårlige - men religion er ikke det". Ifølge kona Adele, "Gödel, selv om han ikke gikk i kirken, var religiøs og leste Bibelen i sengen hver søndag morgen", mens han sa om islam , "jeg liker islam: det er en konsekvent [eller konsekvens] ide om religion og åpensinnet. "

Legacy

Den Kurt Gödel Society , som ble grunnlagt i 1987, ble oppkalt etter ham. Det er en internasjonal organisasjon for å fremme forskning innen logikk, filosofi og matematikkens historie . Den University of Vienna er vert for Kurt Gödel Research Center for Mathematical Logic. The Association for Symbolic Logic har invitert en årlig Kurt Gödel foreleser hvert år siden 1990. Gödel filosofiske notatbøker er redigert på Kurt Gödel Research Center som ligger i Berlin-Brandenburg Academy of Sciences and Humanities i Tyskland.

Fem bind av Gödels samlede verk er utgitt. De to første inkluderer publikasjonene hans; den tredje inkluderer upubliserte manuskripter fra hans Nachlass , og de to siste inkluderer korrespondanse.

i 2005 publiserte John Dawson en biografi om Gödel, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel ( AK Peters , Wellesley, MA, ISBN  1-56881-256-6 ). Gödel var også en av fire matematikere som ble undersøkt i David Malones BBC -dokumentar fra 2008 Dangerous Knowledge fra 2008 .

Douglas Hofstadter skrev boken Gödel, Escher, Bach fra 1979 for å feire arbeidet og ideene til Gödel, MC Escher og Johann Sebastian Bach . Den undersøker delvis konsekvensene av det faktum at Gödels ufullstendighetssetem kan brukes på ethvert Turing-komplett beregningssystem, som kan inkludere den menneskelige hjernen .

Lou Jacobi spiller Gödel i filmen IQ fra 1994

Bibliografi

Viktige publikasjoner

På tysk:

  • 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls." Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349–60.
  • 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173–98.
  • 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.

På engelsk:

  • 1940. Konsistensen av aksiomet til valg og den generaliserte kontinuumhypotesen med aksiomene for settteori. Princeton University Press.
  • 1947. "Hva er Cantors kontinuerlige problem?" The American Mathematical Monthly 54 : 515–25. Revidert versjon i Paul Benacerraf og Hilary Putnam , red., 1984 (1964). Matematikkfilosofi: Utvalgte lesninger . Cambridge Univ. Trykk: 470–85.
  • 1950, "Roterende univers i generell relativitetsteori." Proceedings of the International Congress of Mathematicians in Cambridge, Vol. 1, s. 175–81.

I engelsk oversettelse:

Se også

Merknader

Referanser

  • Dawson, John W (1997), Logiske dilemmaer: Livet og arbeidet til Kurt Gödel , Wellesley, MA: AK Peters.
  • Goldstein, Rebecca (2005), Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel , New York: WW Norton & Co, ISBN 978-0-393-32760-1.

Videre lesning

Eksterne linker