Landau demping - Landau damping

I fysikk er Landau-demping , oppkalt etter oppdageren, den sovjetiske fysikeren Lev Davidovich Landau (1908–68), effekten av demping ( eksponentiell reduksjon som en funksjon av tid) av langsgående romladningsbølger i plasma eller et lignende miljø. Dette fenomenet forhindrer at ustabilitet utvikler seg, og skaper et område med stabilitet i parameterområdet . Det ble senere hevdet av Donald Lynden-Bell at et lignende fenomen oppstod i galaktisk dynamikk, der gassen fra elektroner som samhandler med elektrostatiske krefter erstattes av en "gass av stjerner" som samhandler med gravitasjonskrefter. Landau demping kan manipuleres nøyaktig i numeriske simuleringer som partikkel-i-celle simulering. Det ble bevist at det eksisterte eksperimentelt av Malmberg og Wharton i 1964, nesten to tiår etter prediksjonen av Landau i 1946.

Interaksjoner med bølge og partikkel

Landau-demping oppstår på grunn av energiutvekslingen mellom en elektromagnetisk bølge med fasehastighet og partikler i plasma med hastighet omtrent lik , som kan samhandle sterkt med bølgen. De partiklene som har hastigheter litt mindre enn vil bli akselerert av det elektriske feltet i bølgen for å bevege seg med bølgefasehastigheten, mens de partiklene med hastigheter litt større enn vil bli redusert og miste energi til bølgen: partikler har en tendens til å synkronisere med bølgen. Dette er bevist eksperimentelt med et vandrende bølgerør . ${\ displaystyle v _ {\ text {ph}}}$${\ displaystyle v _ {\ text {ph}}}$${\ displaystyle v _ {\ text {ph}}}$${\ displaystyle v _ {\ text {ph}}}$

I et ideelt magnetohydrodynamisk (MHD) plasma blir partikkelhastighetene ofte antatt å være omtrent en Maxwellian-fordelingsfunksjon . Hvis hellingen til funksjonen er negativ, er antall partikler med hastigheter litt mindre enn bølgefasehastigheten større enn antall partikler med hastigheter litt større. Derfor er det flere partikler som får energi fra bølgen enn å miste for bølgen, noe som fører til bølgedemping. Hvis imidlertid hellingen til funksjonen er positiv, er antall partikler med hastigheter litt mindre enn bølgefasehastigheten mindre enn antall partikler med hastigheter litt større. Derfor er det flere partikler som mister energi til bølgen enn å få fra bølgen, noe som fører til en resulterende økning i bølgeenergien.

Fysisk tolkning

Den matematiske teorien om Landau-demping er noe involvert - se avsnittet nedenfor. Imidlertid er det en enkel fysisk tolkning [introdusert i avsnitt 7.5 med en advarsel], som, selv om det ikke er strengt korrekt, bidrar til å visualisere dette fenomenet.

Det er mulig å forestille seg Langmuir-bølgene som bølger i havet, og partiklene som surfere som prøver å fange bølgen, og alle beveger seg i samme retning. Hvis surferen beveger seg på vannoverflaten med en hastighet litt mindre enn bølgene, vil han til slutt bli fanget og dyttet langs bølgen (får energi), mens en surfer som beveger seg litt raskere enn en bølge, vil presse på bølgen mens han beveger seg oppoverbakke (mister energi til bølgen).

Det er verdt å merke seg at bare surfere spiller en viktig rolle i denne energiinteraksjonen med bølgene; en strandball som flyter på vannet (null hastighet) vil gå opp og ned når bølgen går, og ikke få energi i det hele tatt. Dessuten bytter ikke en båt som beveger seg veldig fort (raskere enn bølgene) mye energi med bølgen.

En enkel mekanisk beskrivelse av partikkeldynamikk gir et kvantitativt estimat av synkroniseringen av partikler med bølgen [Ligning (1) av]. En strengere tilnærming viser at den sterkeste synkroniseringen skjer for partikler med en hastighet i bølgerammen proporsjonal med dempningshastigheten og uavhengig av bølgemplituden [avsnitt 4.1.3 av]. Siden Landau-demping oppstår for bølger med vilkårlig små amplituder, viser dette at de mest aktive partiklene i denne dempingen langt fra er fanget. Dette er naturlig, siden fangst innebærer divergerende tidsskalaer for slike bølger (spesielt for en bølgemplitude ). ${\ displaystyle T _ {\ text {trap}} \ sim A ^ {- 1/2}}$${\ displaystyle A}$

Teoretisk fysikk: forstyrrelsesteori i en Vlasovisk ramme

Teoretisk behandling starter med Vlasov-ligningen i den ikke-relativistiske nullmagnetfeltgrensen, Vlasov – Poisson-settet med ligninger. Eksplisitte løsninger oppnås i grensen for et lite felt. Fordelingsfunksjonen og felt blir ekspandert i en serie: , og når det gjelder like orden oppsamles. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f = f_ {0} (v) + f_ {1} (x, v, t) + \ cdots}$${\ displaystyle E = E_ {1} (x, t) + E_ {2} (x, t) + \ cdots}$

Til første orden de Vlasov-Poisson-ligninger lese

${\ displaystyle (\ partial _ {t} + v \ partial _ {x}) f_ {1} + {e \ over m} E_ {1} f '_ {0} = 0, \ quad \ partial _ {x } E_ {1} = {e \ over \ epsilon _ {0}} \ int f_ {1} \ mathrm {d} v}$.

Landau beregnet bølgen forårsaket av en innledende forstyrrelse og fant ved hjelp av Laplace-transformasjon og konturintegrasjon en dempet vandringsbølge av formen med bølgenummer og dempningsreduksjon ${\ displaystyle f_ {1} (x, v, 0) = g (v) \ exp (ikx)}$${\ displaystyle \ exp [ik (x-v _ {\ text {ph}} t) - \ gamma t]}$ ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ gamma \ approx - {\ pi \ omega _ {p} ^ {3} \ over 2k ^ {2} N} f '_ {0} (v _ {\ text {ph}}), \ quad N = \ int f_ {0} \ mathrm {d} v}$.

Her er plasmasvingningsfrekvensen og er elektrondensiteten. Senere Nico van Kampen beviste at det samme resultatet kan oppnås med Fourier transform . Han viste at de lineæriserte Vlasov – Poisson-ligningene har et kontinuerlig spekter av vanlige normalmodi, nå kjent som van Kampen-modus${\ displaystyle \ omega _ {p}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {kN}} f '_ {0} {\ frac {\ mathcal {P}} {kv- \ omega}} + \ epsilon \ delta \ left (v - {\ frac {\ omega} {k}} \ høyre)}$

der betyr hovedverdi, er delta-funksjonen (se generalisert funksjon ) og ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ epsilon = 1 + {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {kN}} \ int f '_ {0} {\ frac {\ mathcal {P}} {\ omega -kv }} \ mathrm {d} v}$

er plasmapermitiviteten. Ved å dekomponere den opprinnelige forstyrrelsen i disse modusene oppnådde han Fourier-spekteret av den resulterende bølgen. Demping forklares ved faseblanding av disse Fourier-modusene med litt forskjellige frekvenser i nærheten . ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$

Det var ikke klart hvordan demping kunne oppstå i et kollisjonsfritt plasma: hvor går bølgeenergien? I fluidteori, hvor plasma er modellert som et dispersivt dielektrisk medium, er energien til Langmuir-bølger kjent: feltenergi multiplisert med Brillouin-faktoren . Men demping kan ikke utledes i denne modellen. For å beregne energiutveksling av bølgen med resonanselektroner, må Vlasov-plasma-teorien utvides til andre orden, og det oppstår problemer med passende startbetingelser og sekulære vilkår. ${\ displaystyle \ partial _ {\ omega} (\ omega \ epsilon)}$

I Ref. disse problemene studeres. Fordi beregninger for en uendelig bølge er mangelfull i andre rekkefølge, blir en bølgepakke analysert. Andreordens startbetingelser er funnet som undertrykker sekulær oppførsel og opphisser en bølgepakke som energien stemmer med væsketeorien. Figuren viser energitettheten til en bølgepakke som beveger seg med gruppehastigheten , og energien blir ført bort av elektroner som beveger seg med fasehastigheten. Total energi, området under kurvene, er bevart.

Matematisk teori: Cauchy-problemet for forstyrrende løsninger

Den strenge matematiske teorien er basert på å løse Cauchy-problemet for evolusjonsligningen (her den delvise differensial Vlasov – Poisson-ligningen) og bevise estimater for løsningen.

Først har en ganske komplett lineær matematisk teori blitt utviklet siden Landau.

Å gå utover den lineære ligningen og håndtere ulineariteten har vært et langvarig problem i den matematiske teorien om Landau-demping. Tidligere var et matematisk resultat på ikke-lineært nivå eksistensen av en klasse eksponensielt dempede løsninger av Vlasov – Poisson-ligningen i en sirkel som hadde blitt bevist i ved hjelp av en spredningsteknikk (dette resultatet er nylig utvidet i). Imidlertid sier ikke disse eksistensresultatene noe om hvilke innledende data som kan føre til slike dempede løsninger.

I et nylig papir er det første dataproblemet løst, og Landau-demping er matematisk etablert for første gang for den ikke-lineære Vlasov-ligningen. Det er bevist at løsninger som starter i et eller annet nabolag (for den analytiske eller Gevrey-topologien) av en lineært stabil homogen stasjonær løsning er (orbitalt) stabile for alle tider og dempes globalt i tid. Dempingsfenomenet tolkes på nytt når det gjelder overføring av regelmessighet som henholdsvis en funksjon av og , i stedet for utveksling av energi. Storskalavariasjoner går over i variasjoner av mindre og mindre skala i hastighetsrom, tilsvarende et skifte av Fourier-spekteret av som en funksjon av . Dette skiftet, kjent i lineær teori, viser seg å holde seg i det ikke-lineære tilfellet. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v}$

Teoretisk fysikk: forstyrrelsesteori i en N-kroppsramme

Et uttrykk for plasmapermittivitet analogt med ovennevnte, men som tilsvarer Laplace-transformasjonen som brukes av Landau, kan oppnås ganske enkelt i en N-kroppsramme. Man vurderer et (en-komponent) plasma der bare elektroner er tilstede som partikler, og ioner bare gir en jevn nøytraliserende bakgrunn. Prinsippet for beregningen er gitt ved å vurdere den fiktive lineariserte bevegelsen til en enkelt partikkel i en enkelt Fourier-komponent i sitt eget elektriske felt. Hele beregningen koker ned til en summering av det tilsvarende resultatet over alle partikler og alle Fourier-komponenter. Det Vlasoviske uttrykket for plasmapermitiviteten utvinnes endelig ved å erstatte en integral over en jevn fordelingsfunksjon for den diskrete summen over partiklene i plasmapermitiviteten til N-kroppen. Sammen med Landau-demping gir denne mekaniske tilnærmingen også beregning av Debye-skjerming, eller elektrisk felt-screening , i plasma. ${\ displaystyle N}$

Se også

• Liste over plasma (fysikk) artikler

Merknader og referanser