Laue ligninger - Laue equations

Laue ligning

I krystallografi og fysikk i fast tilstand , relaterer Laue -ligningene innkommende bølger til utgående bølger i prosessen med elastisk spredning , hvor fotonenergien eller lysets tidsfrekvens ikke endres ved spredning, av et krystallgitter . De er oppkalt etter fysiker Max von Laue (1879–1960).

Laue -ligningene kan skrives som tilstanden for elastisk bølgespredning av et krystallgitter, hvor , og er en innkommende (til krystall) bølvektor , en utgående (fra krystallet ved spredning) bølvektor og en gjensidig gittervektor for henholdsvis krystallet. På grunn av elastisk spredning , tre vektorer. , Og danner en rombe hvis ligningen er oppfylt. Hvis spredningen tilfredsstiller denne ligningen, spreder alle krystallgitterpunktene den innkommende bølgen mot spredningsretningen (retningen langs ). Hvis ligningen ikke er tilfredsstilt, spreder bare noen gitterpunkter for enhver spredningsretning den innkommende bølgen. (Denne fysiske tolkningen av ligningen er basert på antagelsen om at spredning ved et gitterpunkt gjøres på en måte at spredningsbølgen og den innkommende bølgen har samme fase på punktet.) Det kan også ses på som bevaring av momentum som siden er bølgevektoren for en plan bølge assosiert med parallelle krystallgitterplan. (Bølgefrontene til flybølgen er sammenfallende med disse gitterplanene.) ${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} |^{2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} |^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle -\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ hbar \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} = \ hbar \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}+\ hbar \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

Ligningene tilsvarer Braggs lov ; Laue -ligningene er vektorligninger mens Braggs lov er i en form som er lettere å løse, men disse forteller det samme innholdet.

Laue -ligningene

La være primitive oversettings vektorer (kort kalt primitive vektorer) av et krystallgitter , hvor atomene er plassert ved gitterpunkter som er beskrevet av med , og som alle heltall . (Så å indikere hvert gitterpunkt er en heltall lineær kombinasjon av de primitive vektorene.) ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ ,, \ mathbf {b} \ ,, \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} +q \, \ mathbf {b} +r \, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

La være bølgevektoren til en innkommende (innfallende) stråle eller bølge mot krystallgitteret , og la være bølgevektoren til en utgående (diffraktert) stråle eller bølge fra . Deretter måler vektoren , kalt spredningsvektoren eller den overførte bølvektoren , forskjellen mellom de innkommende og utgående bølvektorene. ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {\ Delta k}}$

De tre betingelsene som spredningsvektoren må oppfylle, kalt Laue -ligningene , er følgende: ${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a} = 2 \ pi h}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b} = 2 \ pi k}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {c} = 2 \ pi l}$

hvor tall er heltall . Hvert valg av heltall , kalt Miller -indekser , bestemmer en spredningsvektor . Derfor er det uendelig mange spredningsvektorer som tilfredsstiller Laue -ligningene, da det er uendelig mange valg av Miller -indekser . Tillatte spredningsvektorer danner et gitter , kalt det gjensidige gitteret til krystallgitteret , som hver indikerer et punkt på . (Dette er meningen med Laue -ligningene som vist nedenfor.) Denne tilstanden gjør at en enkelt innfallende stråle kan diffrakteres i uendelig mange retninger. Imidlertid er bjelkene som tilsvarer høye Miller -indekser svært svake og kan ikke observeres. Disse ligningene er nok til å finne et grunnlag for det gjensidige gitteret (siden hvert observert indikerer et punkt for det gjensidige gitteret til krystallet under målingen), hvorfra krystallgitteret kan bestemmes. Dette er prinsippet for røntgenkrystallografi . ${\ displaystyle h, k, l}$${\ displaystyle (h, k, l)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ displaystyle (h, k, l)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ displaystyle L^{*}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$${\ displaystyle L^{*}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k}}$

Matematisk avledning

For en hendende planbølge med en enkelt frekvens (og vinkelfrekvensen ) på en krystall, kan de diffrakterte bølgene fra krystallet tenkes som summen av utgående planbølger fra krystallet. (Faktisk kan enhver bølge representeres som summen av plane bølger, se Fourier Optics .) Hendelsesbølgen og en av planbølgene til den diffrakterte bølgen er representert som ${\ displaystyle \ displaystyle f}$${\ displaystyle \ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

${\ displaystyle \ displaystyle f _ {\ mathrm {in}} (t, \ mathbf {x}) = A _ {\ mathrm {in}} \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm { in}} \ cdot \ mathbf {x} +\ varphi _ {\ mathrm {in}}),}$

${\ displaystyle \ displaystyle f _ {\ mathrm {out}} (t, \ mathbf {x}) = A _ {\ mathrm {out}} \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm { ut}} \ cdot \ mathbf {x} +\ varphi _ {\ mathrm {out}}),}$

hvor og er bølge vektorer for den innkommende og utgående plane bølger, er den posisjonsvektor , og er en skalar som representerer tid, og og er innledende faser for bølgene. For enkelhets skyld tar vi bølger som skalarer her, selv om hovedtilfellet er et elektromagnetisk felt, som er en vektor . Vi kan tenke disse skalarbølgene som komponenter i vektorbølger langs en bestemt akse ( x , y eller z -akse) i det kartesiske koordinatsystemet . ${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {out}}}$

Hendelsen og diffrakterte bølger forplanter seg gjennom rommet uavhengig, bortsett fra på punkter på krystallets gitter , der de resonerer med oscillatorene, så fasene i disse bølgene må sammenfalle. På hvert punkt i gitteret har vi ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} +q \, \ mathbf {b} +r \, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} +\ varphi _ {\ mathrm {in}}) = \ cos (\ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} +\ varphi _ {\ mathrm {out}}),}$

eller tilsvarende må vi ha

${\ displaystyle \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} +\ varphi _ {\ mathrm {in}} = \ omega \, t- \ mathbf { k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} +\ varphi _ {\ mathrm {out}} +2 \ pi n,}$

for et helt tall , avhenger det av poenget . Siden denne ligningen holder på , på et helt tall . Så ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = 0}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}} = \ varphi _ {\ mathrm {out}} +2 \ pi n '}$${\ displaystyle n '}$

${\ displaystyle \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} \ cdot \ mathbf {x} = \ omega \, t- \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {x} +2 \ pi n.}$

(Vi bruker fremdeles i stedet for siden begge notasjonene i hovedsak indikerer noe heltall.) Ved å omorganisere termer får vi ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n-n ')}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {x} = (\ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}) \ cdot \ mathbf {x} = 2 \ pi n.}$

Nå er det nok å sjekke at denne tilstanden er oppfylt ved de primitive vektorene (det er akkurat det Laue -ligningene sier), fordi vi på ethvert gitterpunkt har ${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} +q \, \ mathbf {b} +r \, \ mathbf {c}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {\ Delta k} \ cdot (p \, \ mathbf {a} +q \, \ mathbf {b} +r \, \ mathbf {c}) = p (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a})+q (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b})+r (\ mathbf {\ Delta k } \ cdot \ mathbf {c}) = p \, (2 \ pi h)+q \, (2 \ pi k)+r \, (2 \ pi l) = 2 \ pi (ph+qk+rl) = 2 \ pi n,}$

hvor er heltallet . Påstanden om at hver parentes, f.eks . Skal være et multiplum av (det vil si hver Laue -ligning) er begrunnet siden det ellers ikke gjelder for vilkårlige heltall . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle ph+qk+rl}$${\ displaystyle (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a})}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle p (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {a})+q (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {b})+r (\ mathbf {\ Delta k} \ cdot \ mathbf {c}) = 2 \ pi n}$${\ displaystyle p, q, r}$

Dette sikrer at hvis Laue -ligningene er oppfylt, har den innkommende og utgående (diffrakterte) bølgen samme fase på hvert punkt i krystallgitteret, slik at svingningene av atomene til krystallet, som følger den innkommende bølgen, kan på samme tid tid generere den utgående bølgen i samme fase av den innkommende bølgen.

Forholdet til gjensidige gitter og Braggs lov

Hvis med , , som heltall representerer den resiproke gitteret for et krystallgitter (definert ) i det virkelige rommet, vet vi at med et heltall grunn av den kjente ortogonalitet mellom primitive svektorer for den resiproke gitteret og de for krystallgitteret. (Vi bruker den fysiske, ikke krystallografiske, definisjonen for gjensidige gittervektorer som gir faktoren til .) Men legg merke til at dette ikke er annet enn Laue -ligningene. Derfor identifiserer vi at tillatte spredningsvektorer er de som er lik gjensidige gittervektorer for en krystall i diffraksjon, og dette er meningen med Laue -ligningene. Dette faktum kalles noen ganger Laue -tilstanden . I denne forstand er diffraksjonsmønstre en måte å eksperimentelt måle det gjensidige gitteret for et krystallgitter.${\ displaystyle \ mathbf {G} = h \ mathbf {A} +k \ mathbf {B} +l \ mathbf {C}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = p \, \ mathbf {a} +q \, \ mathbf {b} +r \, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {G} \ cdot (p \ mathbf {a} +q \ mathbf {b} +r \ mathbf {c}) = 2 \ pi ( hp+kq+lr) = 2 \ pi n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

Laue -tilstanden kan skrives om til følgende.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

Ved å bruke den elastiske spredningstilstanden (Med andre ord er de innkommende og diffrakterte bølgene med samme (tidsmessige) frekvens. Vi kan også si at energien per foton ikke endres.) Til ligningen ovenfor, vi får ${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} |^{2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} |^{2}}$

${\ displaystyle 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} |^{2},}$

${\ displaystyle 2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}} \ cdot (-\ mathbf {G}) = | \ mathbf {G} {{|}^{2}}.}$

Den andre ligningen er hentet fra den første ligningen ved å bruke . ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} = \ mathbf {G}}$

Resultatet (også ) er en ligning for et plan (geometri) (som settet av alle punktene angitt ved å tilfredsstille denne ligningen) ettersom den tilsvarende ligningen er en planligning i geometri. En annen tilsvarende ligning, som kan være lettere å forstå, er (også ). Dette indikerer planet som er vinkelrett på den rette linjen mellom det gjensidige gitterets opprinnelse og og som ligger midt på linjen. Et slikt fly kalles Bragg -fly. Dette planet kan forstås siden for spredning for å oppstå (det er den Laue tilstand, tilsvarende til de Laue ligninger.) Og den elastisk spredning har vært antatt så , og danner en rombe . Hver er per definisjon bølgevektoren til en plan bølge i Fourier -serien av en romlig funksjon som periodisitet følger krystallgitteret (f.eks. Funksjonen som representerer krystallens elektroniske tetthet), bølgefrontene til hver planbølge i Fourier -serien er vinkelrett på planbølgens bølvektor , og disse bølgefrontene er sammenfallende med parallelle krystallgitterplan. Dette betyr at røntgenstråler tilsynelatende er "reflektert" fra parallelle krystallgitterplan vinkelrett i samme vinkel som deres tilnærmingsvinkel til krystallet i forhold til gitterplanene; i det elastiske lys ( vanligvis røntgen ) -krystallspredning, parallelle krystallgitterplan vinkelrett på en gjensidig gittervektor for krystallgitteret som parallelle speil for lys som sammen med innkommende (til krystallet) og utgående (fra krystall ved spredning) bølvektorer danner en rombe.${\ displaystyle 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} |^{2}}$${\ displaystyle 2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}} \ cdot (-\ mathbf {G}) = | \ mathbf {G} {{|}^{2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} \ cdot (2 {{\ mathbf {k}} _ {\ text {out}}}-\ mathbf {G}) = 0}$${\ displaystyle {{\ mathbf {k}} _ {\ text {out}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {G}}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ mathbf { G} \ høyre |}$${\ displaystyle (-{{\ mathbf {k}} _ {\ text {in}}}) \ cdot {\ widehat {\ mathbf {G}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre | \ mathbf {G} \ right |}$${\ displaystyle \ mathbf {G} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}-\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} |^{2} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}} |^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle -\ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

Siden vinkelen mellom og er , (På grunn av den speillignende spredningen er vinkelen mellom og også .) . Recall, med som lys (vanligvis røntgen) bølgelengde, og med som avstanden mellom tilstøtende parallelle krystallgitterplan og som et heltall. Med disse får vi nå Braggs lov som tilsvarer Laue -ligningene (også kalt Laue -tilstanden): ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ pi /2- \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {in}}}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ pi /2- \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} || \ mathbf {G} | \ sin \ theta }$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} | = 2 \ pi /\ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle | \ mathbf {G} | = {\ frac {2 \ pi} {d}} n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ mathbf {k} _ {\ mathrm {out}} \ cdot \ mathbf {G} = | \ mathbf {G} |^{2} \\ 2 | \ mathbf {k } _ {\ mathrm {out}} || \ mathbf {G} | \ sin \ theta = | \ mathbf {G} |^{2} \\ 2 (2 \ pi /\ lambda) (2 \ pi n / d) \ sin \ theta = (2 \ pi n/d)^{2} \\ 2d \ sin \ theta = n \ lambda. \ end {align}}}$

Referanser

• Kittel, C. (1976). Introduksjon til Solid State Physics , New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Merknader