Lee – Yang teorem - Lee–Yang theorem

I statistisk mekanikk , den Lee-Yang teorem angir at hvis fordelingsfunksjoner av visse modeller i statistisk feltteori med ferromagnetiske interaksjoner synes som funksjoner av et ytre felt, da alle nuller er rent imaginære (eller på enhetssirkelen etter en endring av variabel ). Den første versjonen ble bevist for Ising -modellen av TD Lee og CN Yang  ( 1952 ) ( Lee & Yang 1952 ). Resultatet deres ble senere utvidet til mer generelle modeller av flere personer. Asano i 1970 utvidet Lee - Yang -teoremet til Heisenberg -modellen og ga et enklere bevis ved å bruke Asano -sammentrekninger . Simon & Griffiths (1973) utvidet teoremet Lee - Yang til visse kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger ved å tilnærme dem ved en superposisjon av Ising -modeller. Newman (1974) ga en generell teorem som i grove trekk angav at Lee - Yang -setningen holder for en ferromagnetisk interaksjon, forutsatt at den holder for null interaksjon. Lieb & Sokal (1981) generaliserte Newmans resultat fra målinger på R til mål på høyere dimensjonalt euklidisk rom.

Det har vært noen spekulasjoner om et forhold mellom Lee - Yang -teoremet og Riemann -hypotesen om Riemann zeta -funksjonen ; se ( Knauf 1999 ).

Uttalelse

Preliminaries

Langs formaliseringen i Newman (1974) er Hamiltonian gitt av

${\ displaystyle H =-\ sum J_ {jk} S_ {j} S_ {k}-\ sum z_ {j} S_ {j}}$

hvor S _j er spinnvariabler, z _j eksternt felt. Det sies at systemet er ferromagnetisk hvis alle koeffisientene i interaksjonsbegrepet J _jk er ikke-negative realer.

Den partisjonsfunksjonen er gitt ved

${\ displaystyle Z = \ int e^{-H} d \ mu _ {1} (S_ {1}) \ cdots d \ mu _ {N} (S_ {N})}$

hvor hver dμ _j er et jevnt mål på realen R synker ved uendelig så raskt at alle gaussiske funksjoner er integrerbare, dvs.

${\ displaystyle \ int e^{bS^{2}} d | \ mu _ {j} (S) | <\ infty, \, \ forall b \ in \ mathbb {R}.}$

Et raskt avtagende mål på reals sies å ha Lee-Yang-egenskapen hvis alle nuller i Fourier-transformasjonen er virkelige som følgende.

${\ displaystyle \ int e^{hS} d \ mu _ {j} (S) \ neq 0, \, \ forall h \ in \ mathbb {H} _ {+}: = \ {z \ in \ mathbb { C} \ mid \ Re (z)> 0 \}}$

Teorem

Den Lee-Yang teorem angir at dersom Hamilton er ferromagnetisk og alle tiltak dμ _j har den Lee-Yang egenskap, og alle tallene z _j ha positiv reell del, da skilleveggen funksjonen er ikke-null.

${\ displaystyle Z (\ {z_ {j} \}) \ neq 0, \, \ forall z_ {j} \ in \ mathbb {H} _ {+}}$

Spesielt hvis alle tallene z _j er lik et tall z , er alle nuller i partisjonsfunksjonen (betraktet som en funksjon av z ) imaginære.

I det originale Ising -modelltilfellet som ble vurdert av Lee og Yang, har alle tiltakene støtte på 2 -punktssettet −1, 1, så partisjonsfunksjonen kan betraktes som en funksjon av variabelen ρ = e ^{π z} . Med denne endringen av variabel sier Lee - Yang teoremet at alle nuller ρ ligger på enhetssirkelen.

Eksempler

Noen eksempler på tiltak med Lee - Yang -eiendommen er:

• Målingen til Ising -modellen, som har støtte bestående av to punkter (vanligvis 1 og −1) hver med vekt 1/2. Dette er den opprinnelige saken som ble vurdert av Lee og Yang.
• Fordelingen av spinn n /2, hvis støtte har n +1 punkter med jevnt mellomrom, hver med vekt 1 /( n  + 1). Dette er en generalisering av Ising -modellhuset.
• Måltettheten er jevnt fordelt mellom -1 og 1.
• Tettheten ${\ displaystyle \ exp (-\ lambda \ cosh (S)) \, dS}$
• Tettheten for positiv λ og ekte b . Dette tilsvarer ( φ ⁴ ) ₂ euklidisk kvantefeltteori.${\ displaystyle \ exp (-\ lambda S^{4} -bS^{2}) \, dS}$
• Tettheten for positiv λ har ikke alltid egenskapen Lee-Yang.${\ displaystyle \ exp (-\ lambda S^{6} -aS^{4} -bS^{2}) \, dS}$
• Hvis dμ har Lee-Yang-egenskapen, så gjør exp ( bS ² )  dμ for alle positive b .
• Hvis dμ har Lee-Yang-egenskapen, gjør Q ( S )  dμ for et jevnt polynom Q alle nuller som er imaginære.
• Konvolusjonen av to tiltak med Lee-Yang-eiendommen har også Lee-Yang-eiendommen.

Se også

• Lee – Yang -teorien

Referanser

• Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statistical field theory. Vol. 1 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8, MR  1175176
• Knauf, Andreas (1999), "Tallteori, dynamiske systemer og statistisk mekanikk", Anmeldelser i matematisk fysikk , 11 (8): 1027–1060, CiteSeerX  10.1.1.184.8685 , doi : 10.1142/S0129055X99000325 , ISSN  0129-055X , MR  1714352
• Lee, TD; Yang, CN (1952), "Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model", Physical Review , 87 (3): 410–419, doi : 10.1103/PhysRev.87.410 , ISSN  0031- 9007
• Lieb, Elliott H .; Sokal, Alan D. (1981), "En generell Lee-Yang teorem for enkomponent og multikomponent ferromagneter" , Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153–179, doi : 10.1007/BF01213009 , ISSN  0010-3616 , MR  0623156
• Newman, Charles M. (1974), "Zeros of the partition function for generalized Ising systems", Communications on Pure and Applied Mathematics , 27 (2): 143–159, doi : 10.1002/cpa.3160270203 , ISSN  0010-3640 , MR  0484184
• Simon, Barry ; Griffiths, Robert B. (1973), "The (φ ⁴ ) ₂ field theory as a classic Ising model" , Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145–164, CiteSeerX  10.1.1.210.9639 , doi : 10.1007/ BF01645626 , ISSN  0010-3616 , MR  0428998
• Yang, CN; Lee, TD (1952), "Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. I. Theory of Condensation", Physical Review , 87 (3): 404–409, doi : 10.1103/PhysRev.87.404 , ISSN  0031-9007