Lions – Lax – Milgram-teorem - Lions–Lax–Milgram theorem

I matematikk er Lions – Lax – Milgram-setningen (eller rett og slett Lions teorem ) et resultat i funksjonell analyse med anvendelser i studiet av delvise differensialligninger . Det er en generalisering av det berømte Lax – Milgram-setningen , som gir forhold der en bilinær funksjon kan "inverteres" for å vise eksistensen og unikheten til en svak løsning på et gitt grenseverdiproblem . Resultatet er oppkalt etter matematikerne Jacques-Louis Lions , Peter Lax og Arthur Milgram .

Setning av setningen

La H være et Hilbert-rom og V et normert rom . La B  :  H  ×  V  →  R være en kontinuerlig , bilineær funksjon. Da er følgende ekvivalente:

• ( tvangsevne ) for noen konstant c  > 0,

${\ displaystyle \ inf _ {\ | v \ | _ {V} = 1} \ sup _ {\ | h \ | _ {H} \ leq 1} | B (h, v) | \ geq c;}$

• (eksistensen av en "svak invers") for hver kontinuerlig lineær funksjonell f  ∈  V ^∗ , er det et element h  ∈  H slik at

${\ displaystyle B (h, v) = \ langle f, v \ rangle {\ mbox {for all}} v \ in V.}$

Relaterte resultater

The Lions – Lax – Milgram-setningen kan brukes ved å bruke følgende resultat, hvis hypoteser er ganske vanlige og enkle å verifisere i praktiske anvendelser:

Anta at V er kontinuerlig innleiret i H , og at B er V -elliptic, dvs

• for noen c  > 0 og alle v  ∈  V ,

${\ displaystyle \ | v \ | _ {H} \ leq c \ | v \ | _ {V};}$

• for noen α  > 0 og alle v  ∈  V ,

${\ displaystyle B (v, v) \ geq \ alpha \ | v \ | _ {V} ^ {2}.}$

Så holder ovennevnte tvangsmessige tilstand (og dermed eksistensresultatet).

Viktighet og applikasjoner

Lions generalisering er viktig siden den gjør det mulig å takle grenseverdiproblemer utover Hilbert-rominnstillingen til den opprinnelige Lax – Milgram-teorien. For å illustrere kraften til Lions teorem, vurder varmelikningen i n romlige dimensjoner ( x ) og engangsdimensjon ( t ):

${\ displaystyle \ partial _ {t} u (t, x) = \ Delta u (t, x),}$

hvor Δ betegner Laplace-operatøren . To spørsmål oppstår umiddelbart: på hvilket domene i romtiden skal varmeligningen løses, og hvilke grensevilkår skal pålegges? Det første spørsmålet - formen på domenet - er det hvor kraften til Lions – Lax – Milgram-setningen kan sees. I enkle innstillinger er det tilstrekkelig å ta hensyn til sylindriske domener : dvs. man fikser et romlig område av interesse, Ω, og en maksimal tid, T  ∈ (0, + ∞], og fortsetter med å løse varme ligningen på "sylinderen"

${\ displaystyle [0, T) \ times \ Omega \ subseteq [0, + \ infty) \ times \ mathbf {R} ^ {n}.}$

Man kan deretter gå videre med å løse varme ligningen ved å bruke klassisk Lax – Milgram teori (og / eller Galerkin tilnærminger ) på hver "tidssnitt" { t } × Ω. Dette er veldig bra hvis man bare ønsker å løse varmeligningen på et domene som ikke endrer formen som en funksjon av tiden. Imidlertid er det mange bruksområder som dette ikke stemmer: Hvis man for eksempel ønsker å løse varmeligningen på polarisen , må man ta hensyn til den endrede formen på isvolumet når det fordamper og / eller isfjell. løsrive. Med andre ord, man må i det minste kunne håndtere domener G i romtid som ikke ser like ut langs hver "tidsdel". (Det er også den ekstra komplikasjonen av domener hvis form endres i henhold til løsningen u av selve problemet.) Slike domener og grenseforhold er utenfor rekkevidden av klassisk Lax – Milgram-teori, men kan angripes ved hjelp av Lions teorem.

Se også

• Babuška – Lax – Milgram-setning

Referanser

• Showalter, Ralph E. (1997). Monotoneoperatører i Banach-rom og ikke-lineære delvise differensialligninger . Matematiske undersøkelser og monografier 49. Providence, RI: American Mathematical Society. s. xiv + 278. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252 (kapittel III)