Lorentz styrke - Lorentz force

I fysikk (spesielt i elektromagnetisme ) er Lorentz-kraften (eller den elektromagnetiske kraften ) kombinasjonen av elektrisk og magnetisk kraft på en punktladning på grunn av elektromagnetiske felt . En ladningspartikkel q som beveger seg med en hastighet v i et elektrisk felt E og et magnetfelt B opplever en kraft på

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \, \ mathbf {E} + q \, \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}$

(i SI-enheter ). Den sier at den elektromagnetiske kraften på en ladning q er en kombinasjon av en kraft i retning av det elektriske feltet E proporsjonalt med størrelsen på feltet og ladningsmengden, og en kraft i rett vinkel mot magnetfeltet B og hastighet v av ladningen, proporsjonal med størrelsen på feltet, ladningen og hastigheten. Variasjoner på denne grunnleggende formelen beskriver magnetkraften på en strømførende ledning (noen ganger kalt Laplace-kraft ), den elektromotoriske kraften i en trådsløyfe som beveger seg gjennom et magnetfelt (et aspekt av Faradays induksjonslov ), og kraften på en bevegelse ladet partikkel.

Historikere antyder at loven er implisitt i en artikkel av James Clerk Maxwell , utgitt i 1865. Hendrik Lorentz ankom en fullstendig avledning i 1895, og identifiserte bidraget til den elektriske kraften få år etter at Oliver Heaviside korrekt identifiserte bidraget til magnetkraften. .

Lorentz tvinger lov som definisjonen av E og B

I mange lærebok behandlinger av klassisk elektromagnetisme, er Lorentz kraft lov brukt som definisjon av de elektriske og magnetiske felt E og B . For å være spesifikk forstås Lorentz-styrken som følgende empiriske uttalelse:

Den elektromagnetiske kraften F på en testladning ved et gitt punkt og tidspunkt er en viss funksjon av ladningen q og hastighet v , som kan parametreres av nøyaktig to vektorer E og B , i funksjonell form :

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}$

Dette er gyldig, selv for partikler som nærmer seg lysets hastighet (det vil si størrelsen på v , | v | ≈ c ). Så de to vektorfeltene E og B defineres derved gjennom rom og tid, og disse kalles "elektrisk felt" og "magnetfelt". Feltene er definert overalt i rom og tid med hensyn til hvilken kraft en testladning vil motta, uavhengig av om en ladning er tilstede for å oppleve styrken.

Som en definisjon av E og B er Lorentz-kraften bare en definisjon i prinsippet fordi en reell partikkel (i motsetning til den hypotetiske "testladningen" av uendelig liten masse og ladning) ville generere sine egne endelige E- og B- felt, som ville endre den elektromagnetiske kraften den opplever. I tillegg, hvis ladningen opplever akselerasjon, som om den blir tvunget inn i en buet bane, avgir den stråling som får den til å miste kinetisk energi. Se for eksempel Bremsstrahlung og synchrotron light . Disse effektene oppstår både gjennom en direkte effekt (kalt strålingsreaksjonskraften ) og indirekte (ved å påvirke bevegelsen til nærliggende ladninger og strømmer).

Ligning

Ladet partikkel

Kraften F som virker på en partikkel med elektrisk ladning q med øyeblikkelig hastighet v , på grunn av et eksternt elektrisk felt E og magnetfelt B , er gitt av (i SI-enheter ):

hvor × er vektorkorsproduktet (alle fet skriftmengder er vektorer). Når det gjelder kartesiske komponenter, har vi:

${\ displaystyle F_ {x} = q \ left (E_ {x} + v_ {y} B_ {z} -v_ {z} B_ {y} \ right),}$

${\ displaystyle F_ {y} = q \ left (E_ {y} + v_ {z} B_ {x} -v_ {x} B_ {z} \ right),}$

${\ displaystyle F_ {z} = q \ left (E_ {z} + v_ {x} B_ {y} -v_ {y} B_ {x} \ right).}$

Generelt er elektriske og magnetiske felt funksjoner av posisjon og tid. Derfor kan Lorentz-styrken eksplisitt skrives som:

${\ displaystyle \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {r}, {\ dot {\ mathbf {r}}}, t, q \ right) = q \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {r }, t) + {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) \ right]}$

hvor r er posisjonsvektoren til den ladede partikkelen, t er tid, og overdot er et tidsderivat.

En positivt ladet partikkel vil bli akselerert i samme lineære orientering som E- feltet, men vil kurve vinkelrett på både den øyeblikkelige hastighetsvektoren v og B- feltet i henhold til høyre regel (i detalj, hvis fingrene på høyre hånd er utvidet til å peke i retning v og blir deretter krøllet til å peke i retning B , så vil den utvidede tommelen peke i retning av F ).

Begrepet q E kalles den elektriske kraften , mens begrepet q ( v × B ) kalles den magnetiske kraften . I følge noen definisjoner refererer begrepet "Lorentz-kraft" spesielt til formelen for magnetkraften, med den totale elektromagnetiske kraften (inkludert den elektriske kraften) gitt et annet (ikke-standard) navn. Denne artikkelen vil ikke følge denne nomenklaturen: I det følgende vil begrepet "Lorentz-styrke" referere til uttrykket for den totale styrken.

Den magnetiske kraftkomponenten i Lorentz-kraften manifesterer seg som kraften som virker på en strømførende ledning i et magnetfelt. I den sammenheng kalles det også Laplace-kraften .

Lorentz-kraften er en kraft som utøves av det elektromagnetiske feltet på den ladede partikkelen, det vil si den er hastigheten hvormed lineært momentum overføres fra det elektromagnetiske feltet til partikkelen. Assosiert med det er kraften som er hastigheten som energi overføres fra det elektromagnetiske feltet til partikkelen. Den makten er det

${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {F} = q \, \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {E}.}$

Legg merke til at magnetfeltet ikke bidrar til kraften fordi magnetkraften alltid er vinkelrett på partikkelens hastighet.

Kontinuerlig ladningsfordeling

For en kontinuerlig ladningsfordeling i bevegelse blir Lorentz kraftligningen:

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {F} = \ mathrm {d} q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}$

hvor er kraften på en liten del av ladningsfordelingen med ladning . Hvis begge sider av denne ligningen er delt på volumet av denne lille delen av ladningsfordelingen , er resultatet: ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} q}$${\ displaystyle \ mathrm {d} V}$

${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}$

hvor er styrketettheten (kraft per volumsenhet) og er ladetettheten (ladning per volumsenhet). Deretter er strømtettheten som tilsvarer bevegelsen til ladekontinuumet ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v} \, \!}$

så den kontinuerlige analogen til ligningen er

Den totale kraften er volumet integrert over ladningsfordelingen:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ iiint \! (\ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}) \, \ mathrm {d} V. \, \!}$

Ved å eliminere og bruke Maxwells ligninger og manipulere ved bruk av teoremene til vektorberegning , kan denne formen av ligningen brukes til å utlede Maxwell-spenningstensoren , i sin tur kan denne kombineres med Poynting-vektoren for å oppnå den elektromagnetiske spenningen-energitensoren T brukt i generell relativitet . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$

Når det gjelder og , er en annen måte å skrive Lorentz-kraften (per volumsenhet) på ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ mathbf {S}}$

${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {S}} {\ delvis t}} \, \!}$

hvor er lysets hastighet og ∇ · betegner divergensen til et tensorfelt . I stedet for mengden av ladning og hastigheten i elektriske og magnetiske felt, relaterer denne ligningen energiflyten (strømmen av energi per tidsenhet per avstandsenhet) i feltene til kraften som utøves på en ladningsfordeling. Se Covariant formulering av klassisk elektromagnetisme for flere detaljer. ${\ displaystyle c}$

Tettheten av kraft assosiert med Lorentz-kraften i et materialmedium er

${\ displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}.}$

Hvis vi skiller den totale ladningen og den totale strømmen inn i deres frie og bundne deler, får vi ut at tettheten til Lorentz-styrken er

${\ displaystyle \ mathbf {f} = (\ rho _ {f} - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}) \ mathbf {E} + (\ mathbf {J} _ {f} + \ nabla \ times \ mathbf {M} + {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}}) \ times \ mathbf {B}.}$

hvor: er tettheten av gratis kostnad; er polarisasjonstettheten ; er tettheten av fri strøm; og er magnetiseringstettheten . På denne måten kan Lorentz-kraften forklare dreiemomentet som påføres en permanent magnet av magnetfeltet. Tettheten til den tilhørende kraften er ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$${\ displaystyle \ mathbf {P}}$${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f}}$${\ displaystyle \ mathbf {M}}$

${\ displaystyle \ left (\ mathbf {J} _ {f} + \ nabla \ times \ mathbf {M} + {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}} \ right) \ cdot \ mathbf {E}.}$

Ligning i cgs-enheter

Ovennevnte formler bruker SI-enheter som er de vanligste. I eldre cgs-gaussiske enheter , som er noe vanligere blant noen teoretiske fysikere så vel som eksperimenter med kondensert materie, har man i stedet

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q _ {\ mathrm {cgs}} \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {cgs}} + {\ frac {\ mathbf {v}} {c}} \ times \ mathbf {B} _ {\ mathrm {cgs}} \ høyre).}$

hvor c er lysets hastighet . Selv om denne ligningen ser litt annerledes ut, er den helt ekvivalent, siden man har følgende forhold:

${\ displaystyle q _ {\ mathrm {cgs}} = {\ frac {q _ {\ mathrm {SI}}} {\ sqrt {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}, \ quad \ mathbf {E} _ {\ mathrm {cgs}} = {\ sqrt {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \, \ mathbf {E} _ {\ mathrm {SI}}, \ quad \ mathbf {B} _ {\ mathrm {cgs}} = {\ sqrt {4 \ pi / \ mu _ {0}}} \, {\ mathbf {B} _ {\ mathrm {SI}}}, \ quad c = {\ frac {1} { \ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}.}$

hvor ε ₀ er den vakuum permittivitet og μ ₀ i vakuum permeabilitet . I praksis er alltid abonnementene "cgs" og "SI" utelatt, og enhetssystemet må vurderes ut fra sammenheng.

Historie

Tidlige forsøk på å kvantitativt beskrive den elektromagnetiske kraften ble gjort i midten av 1700-tallet. Det ble foreslått at kraften på magnetiske poler, av Johann Tobias Mayer og andre i 1760, og elektrisk ladede gjenstander, av Henry Cavendish i 1762, fulgte en omvendt kvadratisk lov . I begge tilfeller var det eksperimentelle beviset verken fullstendig eller avgjørende. Først i 1784 kunne Charles-Augustin de Coulomb , ved hjelp av en torsjonsbalanse , definitivt vise gjennom eksperiment at dette var sant. Rett etter oppdagelsen i 1820 av Hans Christian Ørsted at en magnetisk nål påvirkes av en voltaisk strøm, kunne André-Marie Ampère det samme året gjennom eksperimentering tenke ut formelen for vinkelavhengigheten av kraften mellom to strømelementer. I alle disse beskrivelsene ble kraften alltid beskrevet i forhold til egenskapene til den aktuelle saken og avstandene mellom to masser eller ladninger i stedet for når det gjelder elektriske og magnetiske felt.

Det moderne begrepet elektriske og magnetiske felt oppstod først i teoriene til Michael Faraday , spesielt hans idé om kraftlinjer , som senere ble gitt en full matematisk beskrivelse av Lord Kelvin og James Clerk Maxwell . Fra et moderne perspektiv er det mulig å identifisere i Maxwells 1865-formulering av feltligningene hans en form for Lorentz-kraftligningen i forhold til elektriske strømmer, selv om det i Maxwells tid ikke var tydelig hvordan ligningene hans relaterte seg til kreftene ved å bevege seg ladet gjenstander. JJ Thomson var den første som forsøkte å utlede fra Maxwells feltligninger de elektromagnetiske kreftene på et bevegelig ladet objekt når det gjelder objektets egenskaper og eksterne felt. Interessert i å bestemme den elektromagnetiske oppførselen til de ladede partiklene i katodestråler , publiserte Thomson et papir i 1881 hvor han ga kraften på partiklene på grunn av et eksternt magnetfelt som

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {q} {2}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}.}$

Thomson avledet den riktige grunnformen av formelen, men på grunn av noen feilberegninger og en ufullstendig beskrivelse av forskyvningsstrømmen , inkluderte en feil skaleringsfaktor på halvparten foran formelen. Oliver Heaviside oppfant den moderne vektornotasjonen og brukte den på Maxwells feltligninger; han hadde også (i 1885 og 1889) løst feilene ved Thomsons avledning og kommet til riktig form av magnetkraften på et ladet objekt i bevegelse. Til slutt, i 1895, hentet Hendrik Lorentz den moderne formen av formelen for den elektromagnetiske kraften som inkluderer bidragene til den totale kraften fra både det elektriske og magnetiske felt. Lorentz begynte med å forlate Maxwellianske beskrivelser av eter og ledning. I stedet gjorde Lorentz et skille mellom materie og den lysende eteren og forsøkte å anvende Maxwell-ligningene i mikroskopisk skala. Ved å bruke Heavisides versjon av Maxwell-ligningene for en stasjonær eter og anvende Lagrangian-mekanikk (se nedenfor), kom Lorentz til den riktige og komplette formen for styrkeloven som nå bærer navnet hans.

Baner av partikler på grunn av Lorentz-styrken

I mange tilfeller av praktisk interesse kan bevegelsen i et magnetisk felt av en elektrisk ladet partikkel (for eksempel et elektron eller ion i et plasma ) behandles som superposisjon av en relativt rask sirkelbevegelse rundt et punkt kalt styresenteret og et relativt sakte drift av dette punktet. Drifthastighetene kan variere for forskjellige arter, avhengig av ladetilstandene, massene eller temperaturene, muligens resulterende i elektriske strømmer eller kjemisk separasjon.

Betydningen av Lorentz-styrken

Mens de moderne Maxwells ligningene beskriver hvordan elektrisk ladede partikler og strømmer eller bevegelige ladede partikler gir opphav til elektriske og magnetiske felt, fullfører Lorentz-kraftloven det bildet ved å beskrive kraften som virker på en ladepunkt i bevegelse q i nærvær av elektromagnetiske felt. Lorentz-kraftloven beskriver effekten av E og B på en punktladning, men slike elektromagnetiske krefter er ikke hele bildet. Ladede partikler er muligens koblet til andre krefter, særlig tyngdekraften og atomkreftene. Dermed står ikke Maxwells ligninger atskilt fra andre fysiske lover, men er koblet til dem via ladningen og strømtettheten. Svaret fra en poenglading til Lorentz-loven er ett aspekt; genereringen av E og B ved strøm og ladning er en annen.

I virkelige materialer er Lorentz-kraften utilstrekkelig til å beskrive den kollektive oppførselen til ladede partikler, både i prinsippet og som et spørsmål om beregning. De ladede partiklene i et materialmedium reagerer ikke bare på E- og B- feltene, men genererer også disse feltene. Komplekse transportligninger må løses for å bestemme tid og romlig respons på ladninger, for eksempel Boltzmann-ligningen eller Fokker – Planck-ligningen eller Navier – Stokes-ligningene . Se for eksempel magnetohydrodynamikk , væskedynamikk , elektrohydrodynamikk , superledningsevne , stjernevolusjon . Et helt fysisk apparat for å håndtere disse sakene har utviklet seg. Se for eksempel relasjoner mellom Green og Kubo og Green's funksjon (mangekroppsteori) .

Tving på en strømførende ledning

Når en ledning som bærer en elektrisk strøm plasseres i et magnetfelt, opplever hver av de bevegelige ladningene, som omfatter strømmen, Lorentz-kraften, og sammen kan de skape en makroskopisk kraft på ledningen (noen ganger kalt Laplace-kraften ). Ved å kombinere Lorentz-kraftloven ovenfor med definisjonen av elektrisk strøm, resulterer følgende ligning i tilfelle av en rett, stasjonær ledning:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = I {\ boldsymbol {\ ell}} \ times \ mathbf {B}}$

hvor ℓ er en vektor hvis størrelse er lengden på ledningen, og hvis retning er langs ledningen, på linje med retningen av konvensjonell strøm sirkulasjon I .

Hvis ledningen ikke er rett, men buet, kan kraften på den beregnes ved å bruke denne formelen på hvert uendelige dimensjon av ledningen d ℓ , og deretter legge opp alle disse kreftene ved integrering . Formelt nettokraft på en stasjonær, stiv ledning som bærer en jevn strøm I er

${\ displaystyle \ mathbf {F} = I \ int \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ times \ mathbf {B}}$

Dette er nettokraften. I tillegg vil det vanligvis være dreiemoment , pluss andre effekter hvis ledningen ikke er helt stiv.

En anvendelse av dette er Amperes kraftlov , som beskriver hvordan to strømførende ledninger kan tiltrekke eller frastøte hverandre, siden hver opplever en Lorentz-kraft fra den andres magnetfelt. For mer informasjon, se artikkelen: Ampères styrkerett .

EMF

Den magnetiske kraften ( q v × B ) i Lorentz-kraften er ansvarlig for bevegelig elektromotorisk kraft (eller bevegelig EMF ), fenomenet som ligger til grunn for mange elektriske generatorer. Når en leder beveges gjennom et magnetfelt, utøver magnetfeltet motsatte krefter på elektroner og kjerner i ledningen, og dette skaper EMF. Begrepet "bevegelig EMF" brukes på dette fenomenet, siden EMF skyldes ledningens bevegelse .

I andre elektriske generatorer beveger magneten seg, mens lederne ikke gjør det. I dette tilfellet skyldes EMF den elektriske kraften ( q E ) i Lorentz Force-ligningen. Det aktuelle elektriske feltet er skapt av det skiftende magnetfeltet, noe som resulterer i en indusert EMF, som beskrevet av Maxwell – Faraday-ligningen (en av de fire moderne Maxwells ligningene ).

Begge disse EMFene, til tross for deres tilsynelatende forskjellige opprinnelse, er beskrevet med den samme ligningen, nemlig at EMF er hastigheten på endring av magnetisk strømning gjennom ledningen. (Dette er Faradays induksjonslov, se nedenfor .) Einsteins spesielle relativitetsteori ble delvis motivert av ønsket om å bedre forstå denne sammenhengen mellom de to effektene. Faktisk er de elektriske og magnetiske feltene forskjellige fasetter av det samme elektromagnetiske feltet, og når den beveger seg fra en treghetsramme til en annen, kan den magnetiske vektorfeltdelen av E- feltet endre seg helt eller delvis til et B- felt eller omvendt .

Lorentz-styrken og Faradays induksjonslov

Gitt en trådsløyfe i et magnetfelt , sier Faradays induksjonslov at den induserte elektromotoriske kraften (EMF) i ledningen er:

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi _ {B}} {\ mathrm {d} t}}}$

hvor

${\ displaystyle \ Phi _ {B} = \ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t)}$

er magnetisk strømning gjennom sløyfen, B er magnetfeltet, Σ ( t ) er en overflate avgrenset av den lukkede konturen ∂Σ ( t ), på tidspunktet t , d A er et uendelig minimalt vektorarealelement av Σ ( t ) ( størrelsesorden er arealet til en uendelig liten overflate, retningen er vinkelrett på den overflaten.

Den tegnet av EMF bestemmes av Lenz lov . Merk at dette gjelder ikke bare en stasjonær ledning - men også for en ledning som beveger seg .

Fra Faradays induksjonslov (som er gyldig for en ledning i bevegelse, for eksempel i en motor) og Maxwell-ligningene , kan Lorentz Force utledes. Det motsatte er også sant, Lorentz-styrken og Maxwell-ligningene kan brukes til å utlede Faraday-loven .

La Σ ( t ) være den bevegelige ledningen, bevege seg sammen uten rotasjon og med konstant hastighet v og Σ ( t ) være ledningens indre overflate. EMF rundt den lukkede banen ∂Σ ( t ) er gitt av:

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {F} / q}$

hvor

${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {F} / q}$

er det elektriske feltet og d ℓ er et uendelig minimalt vektorelement i konturen ∂Σ ( t ).

NB: Både d ℓ og d A har en tvetydighet; for å få riktig tegn brukes høyre regel , som forklart i artikkelen Kelvin – Stokes teorem .

Ovennevnte resultat kan sammenlignes med den versjonen av Faradays induksjonslov som vises i de moderne Maxwells ligninger, kalt her ligningen Maxwell – Faraday :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \.}$

Maxwell – Faraday-ligningen kan også skrives i en integrert form ved bruk av Kelvin – Stokes-teoremet .

Så vi har Maxwell Faraday-ligningen:

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ t) = - \ \ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ cdot {{\ mathrm {d} \, \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t)} \ over \ mathrm { d} t}}$

og Faraday-loven,

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {F} / q (\ mathbf {r}, \ t) = - { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r }, \ t).}$

De to er likeverdige hvis ledningen ikke beveger seg. Ved å bruke Leibniz integralregel og at div B = 0, resulterer i,

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {F} / q (\ mathbf {r}, t) = - \ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) + \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \! \! \! \! \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \, \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}}}$

og bruke Maxwell Faraday-ligningen,

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {F} / q (\ mathbf {r}, \ t) = \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ t) + \ oint _ {\ partial \ Sigma ( t)} \! \! \! \! \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t) \, \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}}}$

siden dette er gyldig for alle ledningsposisjoner, innebærer det at,

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \, \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ t) + q \, \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t).}$

Faradays induksjonslov holder om ledningsløyfen er stiv og stasjonær, eller i bevegelse eller i ferd med deformasjon, og den holder om magnetfeltet er konstant i tid eller endrer seg. Imidlertid er det tilfeller der Faradays lov enten er utilstrekkelig eller vanskelig å bruke, og anvendelse av den underliggende Lorentz-styrkeretten er nødvendig. Se utilgjengeligheten av Faradays lov .

Hvis magnetfeltet er fast i tid og den ledende sløyfen beveger seg gjennom feltet, kan magnetstrømmen Φ _{B som} forbinder sløyfen endres på flere måter. For eksempel, hvis B- feltet varierer med posisjon, og løkken beveger seg til et sted med forskjellige B- felt, vil _B endre seg. Alternativt, hvis sløyfen endrer orientering med hensyn til den b ningsanordningene på spillefeltet, den B ⋅ d En differensialelement vil endre seg på grunn av forskjellig vinkel mellom B og D A , også endrer Φ _B . Som et tredje eksempel, hvis en del av kretsen blir feid gjennom et jevnt, tidsuavhengig B- felt, og en annen del av kretsen holdes stille, kan strømmen som forbinder hele den lukkede kretsen endres på grunn av skiftet i relativ posisjon av kretsens komponentdeler med tiden (overflate ∂Σ ( t ) tidsavhengig). I alle tre tilfellene faradays lov spår deretter EMF generert av endring i Φ _B .

Merk at ligningen til Maxwell Faraday innebærer at det elektriske feltet E ikke er konservativt når magnetfeltet B varierer i tid, og ikke kan uttrykkes som gradienten til et skalarfelt , og ikke er underlagt gradientteoremet siden rotasjonen ikke er null.

Lorentz styrke når det gjelder potensialer

De E og B- feltene kan erstattes av den magnetiske vektorpotensialet A og ( skalar ) elektrostatisk potensial φ etter

${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}$

hvor ∇ er gradienten, ∇⋅ er divergensen, ∇ × er krøllen .

Kraften blir

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left [- \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}) \ høyre].}$

Ved å bruke en identitet for det tredobbelte produktet kan dette skrives om som,

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left [- \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + \ nabla \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A} \ right) - \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {A} \ right],}$

(Legg merke til at koordinatene og hastighetskomponentene skal behandles som uavhengige variabler, slik at deloperatøren bare virker på , ikke på ; det er derfor ikke behov for å bruke Feynmans abonnementsnotasjon i ligningen ovenfor). Ved hjelp av kjederegelen er den totale derivatet av : ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {A}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A}}$

slik at uttrykket ovenfor blir:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left [- \ nabla (\ phi - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A}) - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {A}} { \ mathrm {d} t}} \ right]}$.

Med v = ẋ kan vi sette ligningen i den praktiske formen Euler – Lagrange

hvor

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {x}} = {\ hat {x}} {\ dfrac {\ partial} {\ partial x}} + {\ hat {y}} {\ dfrac {\ partial} { \ partial y}} + {\ hat {z}} {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}}}$

og

${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ mathbf {x}}} = {\ hat {x}} {\ dfrac {\ partial} {\ partial {\ dot {x}}}} + {\ hat {y }} {\ dfrac {\ partial} {\ partial {\ dot {y}}}} + {\ hat {z}} {\ dfrac {\ partial} {\ partial {\ dot {z}}}}}$.

Lorentz styrke og analytisk mekanikk

Den Lagrangsk for en ladet partikkel av masse m og ladning q i et elektromagnetisk felt ekvivalent beskriver dynamikken av partikkelen i form av dens energi , i stedet for den kraft som utøves på den. Det klassiske uttrykket er gitt av:

${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + q \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ dot { r}} -q \ phi}$

hvor A og ϕ er potensielle felt som ovenfor. Mengden kan tenkes som en hastighetsavhengig potensiell funksjon. Ved å bruke Lagranges ligninger kan ligningen for Lorentz-styrken gitt ovenfor oppnås igjen. ${\ displaystyle V = q (\ phi - \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}})}$

Derivasjon av Lorentz-styrken fra klassiske Lagrangian (SI-enheter)

For en A felt, en partikkel beveger seg med hastighet v = R har potensial fart , slik at den potensielle energi er . For et ϕ felt er partikkelens potensielle energi . ${\ displaystyle q \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle q \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {\ dot {r}}}$${\ displaystyle q \ phi (\ mathbf {r}, t)}$ Den totale potensielle energien er da: ${\ displaystyle V = q \ phi -q \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}}}$ og den kinetiske energien er: ${\ displaystyle T = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}}}$ derav Lagrangian: ${\ displaystyle L = TV = {\ frac {m} {2}} \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + q \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ punkt {r}} -q \ phi}$ ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2 }) + q ({\ dot {x}} A_ {x} + {\ dot {y}} A_ {y} + {\ dot {z}} A_ {z}) - q \ phi}$ Lagranges ligninger er ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} = {\ frac {\ partial L } {\ partial x}}}$ (samme for y og z ). Så beregne delderivatene: ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} & = m {\ ddot {x}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {x}} {\ mathrm {d} t}} \\ & = m {\ ddot {x}} + {\ frac { q} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial t}} dt + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} dz \ right) \\ & = m {\ ddot {x} } + q \ left ({\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + { \ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right ) \\\ slutt {justert}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x}} = - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} + q \ left ({\ frac {\ partial A_ {x} } {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial A_ {z} } {\ partial x}} {\ dot {z}} \ høyre)}$ likestille og forenkle: ${\ displaystyle m {\ ddot {x}} + q \ left ({\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x} } {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z} } {\ dot {z}} \ right) = - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} + q \ left ({\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x} } {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x} } {\ dot {z}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {x} & = - q \ left ({\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial t}} \ høyre) + q \ venstre [{\ punkt {y}} \ venstre ({\ frac {\ delvis A_ {y}} {\ delvis x}} - {\ frac {\ delvis A_ {x}} {\ partial y}} \ right) + {\ dot {z}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial A_ {x}} { \ partial z}} \ right) \ right] \\ & = qE_ {x} + q [{\ dot {y}} (\ nabla \ times \ mathbf {A}) _ {z} - {\ dot {z }} (\ nabla \ times \ mathbf {A}) _ {y}] \\ & = qE_ {x} + q [\ mathbf {\ dot {r}} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A} )] _ {x} \\ & = qE_ {x} + q (\ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {B}) _ {x} \ end {align}}}$ og tilsvarende for retningene y og z . Derfor er kraftligningen: ${\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {B})}$

Den potensielle energien avhenger av partikkelens hastighet, så kraften er hastighetsavhengig, så den er ikke konservativ.

Den relativistiske Lagrangian er

${\ displaystyle L = -mc ^ {2} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ dot {\ mathbf {r}}} {c}} \ right) ^ {2}}} + q \ mathbf {A} (\ mathbf {r}) \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} - q \ phi (\ mathbf {r}) \, \!}$

Handlingen er den relativistiske bølgelengden til partikkelens bane i romtiden , minus det potensielle energibidraget, pluss et ekstra bidrag som kvantemekanisk er en ekstra fase en ladet partikkel får når den beveger seg langs et vektorpotensial.

Derivasjon av Lorentz-kraft fra relativistisk Lagrangian (SI-enheter)

Ligningene av bevegelse avledet ved å ekstremisere handlingen (se matriksberegning for notasjonen): ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {P}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {r}}} = q {\ delvis \ mathbf {A} \ over \ partial \ mathbf {r}} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} - q {\ partial \ phi \ over \ partial \ mathbf {r}} \, \! }$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} -q \ mathbf {A} = {\ frac {m {\ dot {\ mathbf {r}}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ dot {\ mathbf {r}}} {c}} \ right) ^ {2}}}} \,}$ er de samme som Hamiltons bevegelsesligninger : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p}}} \ left ({\ sqrt {(\ mathbf {P} -q \ mathbf {A}) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}} + q \ phi \ right) \, \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ partial \ over \ partial \ mathbf {r}} \ left ({\ sqrt {( \ mathbf {P} -q \ mathbf {A}) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}} + q \ phi \ right) \, \!}$ begge tilsvarer den ikke-kanoniske formen: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({m {\ dot {\ mathbf {r}}} \ over {\ sqrt {1- \ left ({ \ frac {\ dot {\ mathbf {r}}} {c}} \ right) ^ {2}}}} \ right) = q \ left (\ mathbf {E} + {\ dot {\ mathbf {r} }} \ times \ mathbf {B} \ right). \, \!}$ Denne formelen er Lorentz-kraften, som representerer hastigheten som EM-feltet tilfører relativistisk momentum til partikkelen.

Relativistisk form for Lorentz-styrken

Kovariant form av Lorentz-styrken

Feltensor

Ved å bruke den metriske signaturen (1, −1, −1, −1) kan Lorentz-kraften for en ladning q skrives i kovariant form :

hvor p ^α er firemomentet , definert som

${\ displaystyle p ^ {\ alpha} = \ left (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2}, p_ {3} \ right) = \ left (\ gamma mc, p_ {x}, p_ { y}, p_ {z} \ right) \ ,,}$

τ den riktige tiden for partikkelen, F ^αβ den kontravariant elektromagnetiske tensoren

${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}$

og U er den partielle 4-hastigheten til partikkelen, definert som:

${\ displaystyle U _ {\ beta} = \ left (U_ {0}, U_ {1}, U_ {2}, U_ {3} \ right) = \ gamma \ left (c, -v_ {x}, - v_ {y}, - v_ {z} \ right) \ ,,}$

der

${\ displaystyle \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = {\ frac {1} { \ sqrt {1 - {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

er Lorentz-faktoren .

Feltene transformeres til en ramme som beveger seg med konstant relativ hastighet av:

${\ displaystyle F '^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ alpha} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ ,,}$

hvor Λ ^μ _α er Lorentz-transformasjonstensoren .

Oversettelse til vektornotasjon

Den α = en komponent ( x -komponent) av den kraft som er

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p ^ {1}} {\ mathrm {d} \ tau}} = qU _ {\ beta} F ^ {1 \ beta} = q \ left (U_ {0} F ^ {10} + U_ {1} F ^ {11} + U_ {2} F ^ {12} + U_ {3} F ^ {13} \ høyre).}$

Å erstatte komponentene i den kovariante elektromagnetiske tensoren F gir

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p ^ {1}} {\ mathrm {d} \ tau}} = q \ left [U_ {0} \ left ({\ frac {E_ {x}} { c}} \ høyre) + U_ {2} (- B_ {z}) + U_ {3} (B_ {y}) \ høyre].}$

Ved å bruke komponentene i kovariante utbytter med fire hastigheter

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} p ^ {1}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = q \ gamma \ left [c \ left ({\ frac { E_ {x}} {c}} \ right) + (- v_ {y}) (- B_ {z}) + (- v_ {z}) (B_ {y}) \ right] \\ & = q \ gamma \ left (E_ {x} + v_ {y} B_ {z} -v_ {z} B_ {y} \ right) \\ & = q \ gamma \ left [E_ {x} + \ left (\ mathbf { v} \ times \ mathbf {B} \ høyre) _ {x} \ høyre] \,. \ slutt {justert}}}$

Beregningen for α = 2 , 3 (kraftkomponenter i y- og z- retningen) gir lignende resultater, så å samle de 3 ligningene i en:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} \ tau}} = q \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ høyre) \ ,,}$

og siden differensialer i koordinatid dt og riktig tid dτ er relatert av Lorentz-faktoren,

${\ displaystyle dt = \ gamma (v) d \ tau \ ,,}$

så vi ankommer kl

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \Ikke sant)\,.}$

Dette er nettopp Lorentz-kraftloven, men det er viktig å merke seg at p er det relativistiske uttrykket,

${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma (v) m_ {0} \ mathbf {v} \ ,.}$

Lorentz styrke i romtid algebra (STA)

De elektriske og magnetiske felt er avhengig av hastigheten av en observatør , så den relativistiske form av Lorentz-kraften lov kan best bli utstilt ved å starte fra en koordinat-uavhengig ekspresjon for de elektromagnetiske og magnetiske felt , og en vilkårlig tid-retning, . Dette kan avgjøres gjennom Space-Time Algebra (eller den geometriske algebraen for space-time), en type Clifford-algebra definert på et pseudo-euklidisk rom , som ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} = ({\ mathcal {F}} \ cdot \ gamma _ {0}) \ gamma _ {0}}$

og

${\ displaystyle i \ mathbf {B} = ({\ mathcal {F}} \ wedge \ gamma _ {0}) \ gamma _ {0}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$er en romtidsbivektor (et orientert plansegment, akkurat som en vektor er et orientert linjesegment), som har seks frihetsgrader som tilsvarer boosts (rotasjoner i romtidsplan) og rotasjoner (rotasjoner i rom-romplan) . Punktproduktet med vektoren trekker en vektor (i romalgebraen) fra den translasjonelle delen, mens kileproduktet lager en trivektor (i romalgebraen) som er dobbel til en vektor som er den vanlige magnetfeltvektoren. Den relativistiske hastigheten er gitt av (tidslignende) endringer i en tidsposisjonsvektor , hvor ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle v = {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle v ^ {2} = 1,}$

(som viser vårt valg for beregningen) og hastigheten er

${\ displaystyle \ mathbf {v} = cv \ wedge \ gamma _ {0} / (v \ cdot \ gamma _ {0}).}$

Den riktige (invarianten er et utilstrekkelig begrep fordi ingen transformasjon er definert) formen av Lorentz-styrkloven er ganske enkelt

Merk at rekkefølgen er viktig fordi punktproduktet mellom en bivektor og en vektor er antisymmetrisk. Ved en romtidsdeling som man kan oppnå hastigheten, og felt som ovenfor gir det vanlige uttrykket.

Lorentz styrke i generell relativitet

I den generelle relativitetsteorien er bevegelsesligningen for en partikkel med masse og ladning , som beveger seg i et rom med metrisk tensor og elektromagnetisk felt , gitt som ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle F_ {ab}}$

${\ displaystyle m {\ frac {du_ {c}} {ds}} - m {\ frac {1} {2}} g_ {ab, c} u ^ {a} u ^ {b} = eF_ {cb} u ^ {b} \ ;,}$

hvor ( er tatt langs banen),, og . ${\ displaystyle u ^ {a} = dx ^ {a} / ds}$${\ displaystyle dx ^ {a}}$${\ displaystyle g_ {ab, c} = \ partial g_ {ab} / \ partial x ^ {c}}$${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ab} dx ^ {a} dx ^ {b}}$

Ligningen kan også skrives som

${\ displaystyle m {\ frac {du_ {c}} {ds}} - m \ Gamma _ {abc} u ^ {a} u ^ {b} = eF_ {cb} u ^ {b} \ ;,}$

hvor er Christoffelsymbolet (av den torsjonsfrie metriske forbindelsen i generell relativitet), eller som ${\ displaystyle \ Gamma _ {abc}}$

${\ displaystyle m {\ frac {Du_ {c}} {ds}} = eF_ {cb} u ^ {b} \ ;,}$

hvor er den kovariante differensialen i generell relativitet (metrisk, torsjonsfri). ${\ displaystyle D}$

applikasjoner

Lorentz-styrken forekommer i mange enheter, inkludert:

• Syklotroner og andre partikkelakseleratorer med sirkulær bane
• Massespektrometre
• Velocity Filters
• Magnetrons
• Lorentz kraft Velocimetry

I sin manifestasjon som Laplace-kraften på en elektrisk strøm i en leder, forekommer denne kraften i mange enheter, inkludert:

Se også

Artikler om
Elektromagnetisme
Elektrisitet Magnetisme Historie Lærebøker
Elektrostatikk Elektrisk ladning Coulombs lov Dirigent Ladetetthet Permittivitet Elektrisk dipolmoment Elektrisk felt Elektrisk potensial Elektrisk strøm  / potensiell energi Støt fra statisk elektrisitet Gauss lov Induksjon Isolering Polarisasjonstetthet Statisk elektrisitet Triboelektrisitet
Magnetostatika Ampères lov Biot – Savart lov Gauss lov for magnetisme Magnetfelt Magnetisk strømning Magnetisk dipolmoment Magnetisk permeabilitet Magnetisk skalarpotensial Magnetisering Magnetmotorkraft Magnetisk vektorpotensial Høyrehåndsregel
Elektrodynamikk Lorentz tvangslov Elektromagnetisk induksjon Faradays lov Lenzs lov Forskyvningsstrøm Maxwells ligninger Elektromagnetisk felt Elektromagnetisk puls Elektromagnetisk stråling Maxwell tensor Poynting vektor Liénard – Wiechert potensial Jefimenkos ligninger virvelstrøm London-ligninger Matematiske beskrivelser av det elektromagnetiske feltet
Elektrisk nettverk Vekselstrøm Kapasitans Likestrøm Elektrisk strøm Elektrolyse Nåværende tetthet Joule oppvarming Elektromotorisk kraft Impedans Induktans Ohms lov Parallell krets Motstand Resonanshulrom Seriekrets Spenning Bølgeledere
Kovariant formulering Elektromagnetisk tensor ( stress – energi tensor ) Firestrøm Elektromagnetisk firepotensial
Forskere Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sanger Tesla Volta Weber Poisson
v t e

Fotnoter

Referanser

De nummererte referansene refererer delvis til listen rett nedenfor.

• Feynman, Richard Phillips ; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew L. (2006). Feynman foreleser om fysikk (3 bind) . Pearson / Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9047-2.: volum 2.
• Griffiths, David J. (1999). Introduksjon til elektrodynamikk (3. utgave). Upper Saddle River, [NJ.]: Prentice-Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Jackson, John David (1999). Klassisk elektrodynamikk (3. utgave). New York, [NY.]: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

• Serway, Raymond A .; Jewett, John W., Jr. (2004). Fysikk for forskere og ingeniører, med moderne fysikk . Belmont, [CA.]: Thomson Brooks / Cole. ISBN 0-534-40846-X.
• Srednicki, Mark A. (2007). Kvantefeltsteori . Cambridge, [England]; New York [NY.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7.

Eksterne linker

• Lorentz-styrken (demonstrasjon)
• Faradays lov: Tankersley og Mosca
• Notater fra Physics and Astronomy HyperPhysics ved Georgia State University ; se også hjemmesiden
• Interaktiv Java-applet om magnetisk avbøyning av en partikkelstråle i et homogent magnetfelt av Wolfgang Bauer
• Lorentz styrkeformel på en vegg rett overfor Lorentz hjem i sentrum av Leiden