Magnetisk Reynolds-nummer - Magnetic Reynolds number

Det magnetiske Reynolds-tallet ( R _m ) er den magnetiske analogen til Reynolds-tallet , en grunnleggende dimensjonsløs gruppe som forekommer i magnetohydrodynamikk . Det gir et estimat av de relative effektene av fremføring eller induksjon av et magnetfelt ved bevegelse av et ledende medium, ofte et fluid, til magnetisk diffusjon . Det er vanligvis definert av:

${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} ~~ \ sim {\ frac {\ mathrm {induction}} {\ mathrm {diffusion}}} }$

hvor

• ${\ displaystyle U}$ er en typisk hastighetsskala for strømningen
• ${\ displaystyle L}$ er en typisk lengdeskala for strømmen
• ${\ displaystyle \ eta}$ er den magnetiske diffusiviteten

Mekanismen der bevegelsen til et ledende fluid genererer et magnetfelt er gjenstand for dynamoteori . Når det magnetiske Reynolds-tallet er veldig stort, er diffusjon og dynamo imidlertid mindre bekymringsfullt, og i dette tilfellet hviler fokus i stedet ofte på magnetfeltets innflytelse på strømmen.

Derivasjon

${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ er mye brukt i plasmafysikk, der to typer enheter ( Gaussian CGS og SI MKS ) er vanlige, fordi de Gaussiske cgs-enhetene ofte tillater renere avledninger som den fysiske resonnementet er tydeligere fra, så det er verdt å skrive ned avledningen i begge enhetene. I teorien om magnetohydrodynamikk er transportligningen for magnetfelt , ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e }} {\ mu _ {o}}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}$

i SI mks-enheter og

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e } c ^ {2}} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}$

i Gaussiske cgs-enheter, for permeabilitet av ledig plass , lyshastighet , væskehastighet og motstand . Enhetene er Ohm-m i SI mks og sekunder i Gaussiske cgs. Den siste termen i hver av disse ligningene er et diffusjonsuttrykk, med den kinematiske diffusjonskoeffisienten, som har enheter avstand i kvadrat per tidsenhet, som er faktoren som multipliserer . Dermed er den enhetsuavhengige formen for disse to ligningene ${\ displaystyle \ mu _ {o}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ rho _ {e}}$${\ displaystyle \ rho _ {e}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + \ eta \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}.}$

${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ er forholdet mellom de to begrepene på høyre side, forutsatt at de deler skalalengden slik at i begge termer, og at skalaen er . Dermed finner man ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ nabla \ sim 1 / L}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} = {\ frac {UL \ mu _ {o}} {\ rho _ {e}}} }$

i SI mks-enheter og

${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} = {\ frac {4 \ pi UL} {\ rho _ {e} c ^ {2} }}}$

i Gaussiske cgs-enheter.

Noe forvirring oppstår ofte fordi det ofte brukes både for magnetisk diffusivitet og for resistiviteten til et plasma, med forholdet i SI mks-enheter er det . ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ eta = \ rho _ {e} / \ mu _ {o}}$

Generelle egenskaper for store og små R _m

For adveksjon er relativt uviktig, og derfor vil magnetfeltet ha en tendens til å slappe av mot en ren diffus tilstand, bestemt av grenseforholdene i stedet for strømmen. ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} \ ll 1}$

For , er diffusjon relativt uviktig på lengdeskalaen L . Flukselinjer i magnetfeltet føres deretter sammen med væskestrømmen, inntil gradienter konsentreres i områder med kort nok lengdeskala for at diffusjon kan balansere fremføring. ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} \ gg 1}$

Verdiområde

Solen er enorm og har en stor , av ordre 10 ⁶ . Dissipative påvirkninger er generelt små, og det er ingen problemer med å opprettholde et magnetfelt mot diffusjon. ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

For jorden, anslås å være i orden 10 ³ . Dissipasjon er mer signifikant, men et magnetfelt understøttes av bevegelse i den flytende jernets ytre kjerne. Det er andre legemer i solsystemet som har arbeidsdynamoer, for eksempel Jupiter, Saturn og Merkur, og andre som ikke har det, for eksempel Mars, Venus og Månen. ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

Den menneskelige lengdeskalaen er veldig liten, slik at det vanligvis . Generering av magnetfelt ved bevegelse av en ledende væske har blitt oppnådd i bare en håndfull store eksperimenter som bruker kvikksølv eller flytende natrium. ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} \ ll 1}$

Grenser

I situasjoner der permanent magnetisering ikke er mulig, for eksempel over Curie-temperaturen , må det opprettholdes et magnetfelt slik at induksjon oppveier diffusjon. Det er ikke den absolutte hastighetsstørrelsen som er viktig for induksjon, men heller de relative forskjellene og skjæringen i strømmen, som strekker seg og bretter magnetiske feltlinjer. En mer passende form for det magnetiske Reynolds-nummeret i dette tilfellet er derfor ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {L ^ {2} S} {\ eta}}}$

hvor S er et mål på belastning. En av de mest kjente resultatene skyldes Backus som sier at minimum for generering av et magnetfelt ved strømning i en sfære er slik at ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} \ geq \ pi ^ {2}}$

hvor er sfærens radius og er den maksimale belastningshastigheten. Denne bindingen har siden blitt forbedret med omtrent 25% av Proctor. ${\ displaystyle L = a}$${\ displaystyle S = e_ {max}}$

Mange studier av generering av magnetfelt ved en strøm vurderer den beregningsvennlige periodiske kuben. I dette tilfellet er minimum funnet å være

${\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} = 2,48}$

hvor er rot-middel-kvadratstammen over et skalert domene med sider av lengden . Hvis skjæring over små lengdeskalaer i kuben er utelukket, er minimum, hvor er rotverdi-kvadratverdien. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = 1,73}$${\ displaystyle U}$

Forhold til Reynolds nummer og Péclet nummer

Det magnetiske Reynolds-tallet har en lignende form til både Péclet-nummeret og Reynolds-nummeret . Alle tre kan betraktes som å gi forholdet mellom advektive og diffusive effekter for et bestemt fysisk felt, og har en lignende form av en hastighet ganger en lengde delt på en diffusivitet. Det magnetiske Reynolds-tallet er relatert til magnetfeltet i en MHD-strøm, mens Reynolds-tallet er relatert til selve væskehastigheten, og Péclet-tallet er relatert til varme. De dimensjonsløse gruppene oppstår ved ikke-dimensjonalisering av de respektive styrende ligningene, induksjonsligningen , momentumligningen og varmeligningen .

Forhold til virvelstrømbremsing

Det dimensjonsløse magnetiske Reynolds-nummeret,, brukes også i tilfeller der det ikke er noen fysisk væske involvert. ${\ displaystyle R_ {m}}$

${\ displaystyle R_ {m} = \ mu \ sigma}$ × (karakteristisk lengde) × (karakteristisk hastighet)

hvor

${\ displaystyle \ mu}$ er magnetisk permeabilitet

${\ displaystyle \ sigma}$ er den elektriske ledningsevnen.

For at skinneffekten er neglisjerbar og den virvelstrømbremsemoment følger den teoretiske kurve for en induksjonsmotor. ${\ displaystyle R_ {m} <1}$

For hudeffekten dominerer og bremsemomentet avtar mye langsommere med økende hastighet enn forutsagt av induksjonsmotormodellen. ${\ displaystyle R_ {m}> 30}$

Se også

• Lundquist-nummer
• Magnetohydrodynamikk
• Reynolds nummer
• Péclet-nummer

Referanser

Videre lesning

• Moffatt, H. Keith, 2000, " Reflections on Magnetohydrodynamics ". I: Perspectives in Fluid Dynamics ( ISBN   0-521-53169-1 ) (Red. GK Batchelor, HK Moffatt & MG Worster) Cambridge University Press , s 347–391.
• PA Davidson, 2001, En introduksjon til magnetohydrodynamikk ( ISBN   0-521-79487-0 ), Cambridge University Press .