Størrelse (matematikk) - Magnitude (mathematics)

I matematikk er størrelsen eller størrelsen på et matematisk objekt en egenskap som avgjør om objektet er større eller mindre enn andre objekter av samme slag. Mer formelt er størrelsen på et objekt det viste resultatet av en bestilling (eller rangering) - av klassen av objektene det tilhører.

I fysikk kan størrelsen defineres som mengde eller avstand.

Historie

Grekerne skilte mellom flere typer størrelser, inkludert:

• Positive brøk
• Linjesegmenter (sortert etter lengde )
• Flyfigurer (sortert etter område )
• Tørrstoff (sortert etter volum )
• Vinkler (ordnet etter vinkelstørrelse)

De beviste at de to første ikke kunne være de samme, eller til og med isomorfe størrelsessystemer. De anså ikke negative størrelser som meningsfulle, og størrelsen brukes fremdeles hovedsakelig i sammenhenger der null enten er den minste størrelsen eller mindre enn alle mulige størrelser.

Tall

Størrelsen på et hvilket som helst tall kalles vanligvis dets absolutte verdi eller modul , angitt med . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle | x |}$

Ekte tall

Den absolutte verdien av et reelt tall r er definert av:

${\ displaystyle \ left | r \ right | = r, {\ text {if}} r {\ text {≥}} 0}$

${\ displaystyle \ left | r \ right | = -r, {\ text {if}} r <0.}$

Absolutt verdi kan også tenkes som tallets avstand fra null på den reelle tallinjen . For eksempel er den absolutte verdien av både 70 og −70 70.

Komplekse tall

Et komplekst tall z kan sees på som posisjonen til et punkt P i et todimensjonalt rom , kalt det komplekse planet . Den absolutte verdien (eller modulen) av z kan betraktes som avstanden til P fra opprinnelsen til det rommet. Formelen for den absolutte verdien av z = a + bi er lik den for den euklidiske normen for en vektor i et todimensjonalt euklidisk rom :

${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

hvor de reelle tallene a og b er henholdsvis den reelle delen og den imaginære delen av z . For eksempel, modulusen -3 +4 i er . Alternativt kan størrelsen av et komplekst tall z kan være definert som kvadratroten av produktet av seg selv og dets komplekse konjugat , der for ethvert komplekst tall , er dets komplekse konjugat . ${\ displaystyle {\ sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}} = 5}$${\ displaystyle {\ bar {z}}}$${\ displaystyle z = a+bi}$${\ displaystyle {\ bar {z}} = a-bi}$

${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {(a+bi) (a-bi)}} = {\ sqrt {a^{ 2} -abi+abi-b^{2} i^{2}}} = {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(hvor ). ${\ displaystyle i^{2} =-1}$

Vector mellomrom

Euklidisk vektorrom

En euklidisk vektor representerer posisjonen til et punkt P i et euklidisk rom . Geometrisk kan den beskrives som en pil fra romets opprinnelse (vektorhale) til det punktet (vektortips). Matematisk kan en vektor x i et n -dimensjonalt euklidisk rom defineres som en ordnet liste over n reelle tall (de kartesiske koordinatene til P ): x = [ x ₁ , x ₂ , ..., x _n ]. Dens størrelse eller lengde , betegnet med , er oftest definert som dens euklidiske norm (eller euklidiske lengde): ${\ displaystyle \ | x \ |}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots+x_ {n}^{2}}}.}$

For eksempel, i et tredimensjonalt rom, er størrelsen på [3, 4, 12] 13 fordi Dette tilsvarer kvadratroten til prikkproduktet til vektoren med seg selv: ${\ displaystyle {\ sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}} = {\ sqrt {169}} = 13.}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}.}$

Den euklidiske normen for en vektor er bare et spesielt tilfelle av euklidisk avstand : avstanden mellom halen og spissen. To lignende notasjoner brukes for den euklidiske normen for en vektor x :

1. ${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ |,}$
2. ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {x} \ right |.}$

En ulempe med den andre notasjonen er at den også kan brukes til å angi den absolutte verdien av skalarer og determinanter for matriser , noe som introduserer et element av tvetydighet.

Normerte vektorrom

Per definisjon har alle euklidiske vektorer en størrelse (se ovenfor). Imidlertid har en vektor i et abstrakt vektorrom ikke en størrelse.

Et vektorrom utstyrt med en norm , for eksempel det euklidiske rommet, kalles et normert vektorrom . Normen for en vektor v i et normert vektorrom kan anses å være størrelsen på v .

Pseudo-euklidisk rom

I et pseudo-euklidisk rom er størrelsen på en vektor verdien av den kvadratiske formen for den vektoren.

Logaritmiske størrelser

Når man sammenligner størrelser, brukes ofte en logaritmisk skala. Eksempler inkluderer lydstyrken til en lyd (målt i desibel ), lysstyrken til en stjerne og Richter -skalaen for jordskjelvintensitet. Logaritmiske størrelser kan være negative og kan ikke legges til eller trekkes fra meningsfullt (siden forholdet er ikke-lineært).

Størrelsesorden

Størrelsesordre angir forskjeller i numeriske størrelser, vanligvis målinger, med en faktor 10 - det vil si en forskjell på ett siffer i plasseringen av desimalpunktet.

Se også

• Tallfornemmelse
• Vektor notasjon
• Angi størrelse

Referanser