Materiell poengmetode - Material point method

Den vesentlig punkt-metoden ( MPM ) er en numerisk teknikk som brukes for å simulere oppførselen av faste stoffer , væsker , gasser , og et hvilket som helst annet sammenhengende materiale. Spesielt er det en robust romlig diskretiseringsmetode for å simulere flerfase (fast-væske-gass) interaksjoner. I MPM blir et kontinuumlegeme beskrevet av en rekke små lagrangiske elementer referert til som 'materielle punkter'. Disse materialpunktene er omgitt av et bakgrunnsnett / gitter som bare brukes til å beregne gradienttermer som deformasjonsgradienten. I motsetning til andre nettbaserte metoder som endelig elementmetode , endelig volummetode eller endelig forskjellsmetode , er MPM ikke en nettbasert metode og blir i stedet kategorisert som en maskefri / maskefri eller kontinuumbasert partikkelmetode, eksempler på hvilke glatte partikler hydrodynamikk og peridynamikk . Til tross for tilstedeværelsen av et bakgrunnsnett, støter ikke MPM på ulempene med maskebaserte metoder (høy deformasjon sammenfletting, adveksjonsfeil osv.), Noe som gjør det til et lovende og kraftig verktøy innen beregningsmekanikk .

MPM ble opprinnelig foreslått, som en utvidelse av en lignende metode kjent som FLIP (en ytterligere utvidelse av en metode kalt PIC ) til beregningsmessig solid dynamikk, tidlig på 1990 av professorene Deborah L. Sulsky , Zhen Chen og Howard L. Schreyer kl. University of New Mexico. Etter denne første utviklingen har MPM blitt videreutviklet både i de nasjonale laboratoriene, så vel som University of New Mexico , Oregon State University , University of Utah og mer over hele USA og verden. Nylig har antall institusjoner som forsker på MPM vokst med økt popularitet og bevissthet fra forskjellige kilder, som MPMs bruk i Disney-filmen Frozen .

Algoritmen

En MPM-simulering består av følgende trinn:

(Før tidsintegrasjonsfasen)

  1. Initialisering av rutenett- og materialpunkter.
    1. En geometri diskretiseres i en samling av materialpunkter, hver med sine egne materialegenskaper og innledende forhold (hastighet, spenning, temperatur osv.)
    2. Rutenettet, som bare brukes til å gi et sted for gradientberegninger, er normalt laget for å dekke et område som er stort nok til å fylle det forventede omfanget av beregningsdomenet som trengs for simuleringen.

(I løpet av tidsintegrasjonsfasen - eksplisitt formulering )

  1. Materielle punktmengder ekstrapoleres til nettnoder.
    1. Materiell punktmasse ( ), momenta ( ), spenninger ( ) og ytre krefter ( ) ekstrapoleres til nodene i hjørnene av cellene der materialet peker. Dette gjøres oftest ved hjelp av standard lineære formfunksjoner ( ), de samme som i FEM.
    2. Rutenettet bruker de materielle punktverdiene til å lage massene ( ), hastighetene ( ), interne og eksterne kraftvektorer ( , ) for nodene:
  2. Bevegelsesligninger løses på rutenettet.
    1. Newtons 2. lov er løst for å oppnå nodal akselerasjon ( )
    2. Nye nodhastigheter er funnet ( ).
  3. Derivative termer ekstrapoleres tilbake til vesentlige punkter
    1. Materiell punktakselerasjon ( ), deformasjonsgradient ( ) (eller tøyningshastighet ( ) avhengig av strekkteori som brukes) ekstrapoleres fra de omkringliggende nodene ved å bruke lignende formfunksjoner som før ( ).
    2. Variabler på materialpunktene: posisjoner, hastigheter, belastninger, spenninger etc. oppdateres deretter med disse hastighetene, avhengig av integrasjonsskjema som er valgt og en passende konstituerende modell .
  4. Tilbakestilling av rutenett.
    Nå som materialpoengene er fullstendig oppdatert ved neste tidstrinn, tilbakestilles rutenettet slik at neste tidstrinn kan begynne.

PIC / MPM historie

PIC ble opprinnelig utviklet for å løse problemer i væskedynamikk, og utviklet av Harlow ved Los Alamos National Laboratory i 1957. En av de første PIC-kodene var Fluid-Implicit Particle (FLIP) -programmet, som ble opprettet av Brackbill i 1986 og har vært hele tiden i utvikling siden. Fram til 1990-tallet ble PIC-metoden hovedsakelig brukt i væskedynamikk.

Motivert av behovet for bedre simulering av penetrasjonsproblemer i solid dynamikk, begynte Sulsky, Chen og Schreyer i 1993 med å reformulere PIC og utvikle MPM, med finansiering fra Sandia National Laboratories. Den opprinnelige MPM ble deretter ytterligere utvidet av Bardenhagen et al. . å inkludere friksjonskontakt, som muliggjorde simulering av granulær flyt, og av Nairn å inkludere eksplisitte sprekker og sprekkutbredelse (kjent som CRAMP).

Nylig har en MPM-implementering basert på et mikropolært Cosserat-kontinuum blitt brukt for å simulere granulær strømning med høy skjæring, for eksempel siloutslipp. MPMs bruk ble videre utvidet til geoteknisk konstruksjon med den nylige utviklingen av en kvastatisk, implisitt MPM-løser som gir numerisk stabile analyser av store deformasjonsproblemer i jordmekanikken .

Årlige workshops om bruk av MPM holdes på forskjellige steder i USA. Den femte MPM-workshopen ble holdt ved Oregon State University , i Corvallis, OR , 2. og 3. april 2009.

Anvendelser av PIC / MPM

Bruken av PIC- eller MPM-metoden kan deles inn i to brede kategorier: for det første er det mange applikasjoner som involverer væskedynamikk, plasmafysikk, magnetohydrodynamikk og flerfaseapplikasjoner. Den andre applikasjonskategorien omfatter problemer innen solid mekanikk.

Væskedynamikk og flerfasesimuleringer

PIC-metoden har blitt brukt til å simulere et bredt spekter av væske-faste interaksjoner, inkludert havisdynamikk, penetrasjon av biologisk bløtvev, fragmentering av gassfylte beholder, spredning av atmosfæriske forurensninger, multiskala simuleringer som kobler molekylær dynamikk med MPM, og væske -membraninteraksjoner. I tillegg har den PIC-baserte FLIP-koden blitt brukt i magnetohydrodynamikk og plasma-prosesseringsverktøy, og simuleringer i astrofysikk og fri overflatestrøm.

Som et resultat av en felles innsats mellom UCLAs matematikkavdeling og Walt Disney Animation Studios , ble MPM vellykket brukt til å simulere snø i 2013-dataanimerte filmen Frozen .

Solid mekanikk

MPM har også blitt brukt mye i solid mekanikk, for å simulere støt, penetrasjon, kollisjon og rebound, samt sprekkutbredelse. MPM har også blitt en mye brukt metode innen jordmekanikk: den har blitt brukt til å simulere granulatstrømning, hurtighetstest av sensitive leire, ras, siloutslipp, påeldrift, fallkegletest, bøttefylling og materialfeil; og å modellere jordspenningsfordeling, komprimering og herding. Det blir nå brukt i tremekaniske problemer som simuleringer av tverrkompresjon på mobilnivå inkludert celleveggkontakt. Arbeidet mottok også George Marra-prisen for årets papir fra Society of Wood Science and Technology.

Klassifisering av PIC / MPM-koder

MPM i sammenheng med numeriske metoder

Én delmengde av numeriske metoder er Meshfree-metoder , som er definert som metoder som "et forhåndsdefinert maske ikke er nødvendig, i det minste i feltvariabel interpolasjon". Ideelt sett bruker ikke en maskefri metode et maske "gjennom hele prosessen for å løse problemet styrt av partielle differensiallikninger, på et gitt vilkårlig domene, underlagt alle slags grensebetingelser," selv om eksisterende metoder ikke er ideelle og mislykkes i minst en av disse forholdene. Meshless-metoder, som også noen ganger kalles partikkelmetoder, deler et "felles trekk at historien til tilstandsvariabler blir sporet på punkter (partikler) som ikke er forbundet med noe elementnett, hvis forvrengning er en kilde til numeriske vanskeligheter." Som det kan sees av disse varierende tolkningene, anser noen forskere MPM som en nettfri metode, mens andre ikke gjør det. Alle er imidlertid enige om at MPM er en partikkelmetode.

De vilkårlige Lagrangian Eulerian (ALE) metodene danner en annen delmengde av numeriske metoder som inkluderer MPM. Rent lagrangiske metoder benytter seg av et rammeverk der et rom blir diskretisert til innledende delvolumer, hvis strømningsstier deretter blir kartlagt over tid. Rent euleriske metoder bruker derimot et rammeverk der materialets bevegelse er beskrevet i forhold til et maske som forblir fast i rommet gjennom hele beregningen. Som navnet antyder, kombinerer ALE-metoder Lagrangian og Eulerian referanserammer.

Underklassifisering av MPM / PIC

PIC-metoder kan baseres på enten sterk formkollokasjon eller en svak diskretisering av den underliggende partielle differensialligningen (PDE). De som er basert på den sterke formen blir riktig referert til som PIC-metoder med begrenset volum. De som er basert på diskretisering av svak form av PDE kan kalles enten PIC eller MPM.

MPM-løsere kan modellere problemer i en, to eller tre romlige dimensjoner, og kan også modellere aksesymmetriske problemer. MPM kan implementeres for å løse enten kvastatiske eller dynamiske bevegelsesligninger , avhengig av hvilken type problem som skal modelleres. Flere versjoner av MPM inkluderer generalisert interpolasjonsmateriellpunktsmetode; konvekterte partikkeldomene interpolasjonsmetode; Konvekterte interpolasjonsmetode for minste partier.

Tidsintegrasjonen som brukes for MPM kan være enten eksplisitt eller implisitt . Fordelen med implisitt integrasjon er garantert stabilitet, selv for store tidsfrister. På den annen side går eksplisitt integrering mye raskere og er lettere å implementere.

Fordeler

Sammenlignet med FEM

I motsetning til FEM krever MPM ikke periodiske omskiftingstrinn og kartlegging av tilstandsvariabler, og er derfor bedre egnet for modellering av store materialdeformasjoner. I MPM lagrer partikler og ikke maskepunktene all informasjon om beregningens tilstand. Derfor er det ikke noen numeriske feil som skyldes at masken går tilbake til sin opprinnelige posisjon etter hver beregningssyklus, og det kreves ingen omgjøringsalgoritme.

Partikkelgrunnlaget til MPM gjør det mulig å behandle sprekkutbredelse og andre diskontinuiteter bedre enn FEM, som er kjent for å pålegge maskeorientering mot sprekkutbredelse i et materiale. Partikkelmetoder er også bedre til å håndtere historiaavhengige konstituerende modeller.

Sammenlignet med rene partikkelmetoder

Fordi i MPM-noder forblir faste på et vanlig rutenett, er beregningen av gradienter triviell.

I simuleringer med to eller flere faser er det ganske enkelt å oppdage kontakt mellom enheter, da partikler kan samhandle via rutenettet med andre partikler i samme kropp, med andre faste legemer og med væsker.

Ulemper ved MPM

MPM er dyrere når det gjelder lagring enn andre metoder, ettersom MPM bruker både nett og partikkeldata. MPM er dyrere enn computeren, da nettet må tilbakestilles på slutten av hvert MPM-beregningstrinn og initialiseres på nytt i begynnelsen av neste trinn. Urolig oscillasjon kan oppstå når partikler krysser grensene for masken i MPM, selv om denne effekten kan minimeres ved å bruke generaliserte interpolasjonsmetoder (GIMP). I MPM som i FEM, kan størrelsen og orienteringen av masken påvirke resultatene av en beregning: for eksempel i MPM er det kjent at belastningslokalisering er spesielt følsom for maskering. Et stabilitetsproblem i MPM som ikke forekommer i FEM, er cellekryssingsfeil og nullromfeil fordi antallet integrasjonspunkter (materialpoeng) ikke forblir konstant i en celle.

Merknader

Eksterne linker