Matematikk i bookmaking - Mathematics of bookmaking

I pengespillspråk er det å lage en bok praksis for å legge innsatser på de forskjellige mulige utfallene av en enkelt hendelse. Uttrykket stammer fra praksisen med å registrere slike innsatser i en hardbundet hovedbok ('boken') og gir det engelske språket begrepet bookmaker for personen som legger innsatsen og dermed 'gjør boken'.

Lag en "bok" (og forestillingen om omringning)

En bookmaker prøver å godta spill på utfallet av en hendelse i riktige proporsjoner for å tjene penger uansett hvilket utfall som råder. Se nederlandsk bok og sammenheng (filosofisk spillstrategi) . Dette oppnås først og fremst ved å justere det som er bestemt for å være de sanne oddsene for de forskjellige utfallene av en hendelse på en nedadgående måte (dvs. bookmakeren vil betale ut ved å bruke sine faktiske odds, et beløp som er mindre enn det sanne oddset ville ha betalt, og dermed sikre et overskudd).

Oddsene som er oppgitt for en bestemt hendelse kan være faste, men det er mer sannsynlig at de svinger for å ta hensyn til størrelsen på innsatsene som spillerne plasserte i forkant av den faktiske hendelsen (f.eks. Et hesteveddeløp). Denne artikkelen forklarer matematikken for å lage en bok i (enklere) tilfelle av den tidligere hendelsen. For den andre metoden, se Parimutuel -tipping .

Det er viktig å forstå forholdet mellom brøk- og desimalodds. Brøkodds er de som er skrevet ab (a/b eller a til b) betyr at en vinnende tippespiller vil motta pengene sine tilbake pluss en enheter for hver b -enhet de satser. Å multiplisere både a og b med samme tall gir odds tilsvarende ab. Desimalodds er en enkelt verdi, større enn 1, som representerer beløpet som skal utbetales for hvert enhetsinnsats. For eksempel vil en innsats på £ 40 på 6-4 (brøkodds) utbetale £ 40 + £ 60 = £ 100. Tilsvarende desimalodds er 2,5; £ 40 x 2,5 = £ 100. Vi kan konvertere brøk til desimal odds med formelen D = b+a / b . Derfor kan brøkodds på a-1 (dvs. b = 1) oppnås fra desimalodds med a = D-1.

Det er også viktig å forstå forholdet mellom odds og underforståtte sannsynligheter: Brøkodds på ab (med tilsvarende desimalodds D) representerer en underforstått sannsynlighet for ba+b = 1D , f.eks. 6-4 tilsvarer 46+ 4 = 410 = 0,4 (40%). En underforstått sannsynlighet for x er representert ved brøkodds på (1-x)/x, f.eks. 0,2 er (1-0,2)/0,2 = 0,8/0,2 = 4/1 (4-1, 4 til 1) (ekvivalent 1x - 1 til 1), og desimalodds på D = 1x .

Eksempel

Når du vurderer en fotballkamp (hendelsen) som enten kan være en "hjemmeseier", "uavgjort" eller "borteseier" (resultatene), kan følgende odds oppstå for å representere den sanne sjansen for hvert av de tre utfallene:

Hjem: Evens
Uavgjort: 2-1
Borte: 5-1

Disse oddsene kan representeres som underforståtte sannsynligheter (eller prosenter ved å multiplisere med 100) som følger:

Jevnt (eller 1-1) tilsvarer en underforstått sannsynlighet for 12 (50%)
2-1 tilsvarer en underforstått sannsynlighet på 13 (33 13 %)
5-1 tilsvarer en underforstått sannsynlighet for 16 (16 23 %)

Ved å legge prosentene sammen oppnås en total "bok" på 100% (som representerer en rettferdig bok). Bookmakeren vil i sitt ønske om å benytte seg av en fortjeneste alltid redusere disse oddsene. Vurder den enkleste modellen for å redusere, som bruker en proporsjonal reduksjon av odds. For eksemplet ovenfor er følgende odds i samme andel med hensyn til deres underforståtte sannsynligheter (3: 2: 1):

Hjem: 4-6
Uavgjort: 6-4
Borte: 4-1
4-6 tilsvarer en underforstått sannsynlighet for 35 (60%)
6-4 tilsvarer en underforstått sannsynlighet på 25 (40%)
4-1 tilsvarer en underforstått sannsynlighet på 15 (20%)

Ved å legge disse prosentene til en "bok" på 120% oppnås.

Mengden den faktiske 'boken' overstiger 100% er kjent som 'overround', 'bookmaker margin' eller ' vigorish ' eller 'vig': den representerer bookmakerens forventede fortjeneste. Således, i en "ideell" situasjon, hvis bookmakeren godtar £ 120 i spill på sine egne noterte odds i riktig andel, vil han bare betale ut £ 100 (inkludert returnerte innsatser) uansett hva det faktiske utfallet av fotballkampen er. Undersøk hvordan han potensielt oppnår dette:

En innsats på £ 60,00 @ 4-6 returnerer £ 100,00 (nøyaktig) for en hjemmeseier.
En innsats på £ 40,00 @ 6-4 returnerer £ 100,00 (nøyaktig) for en uavgjort kamp
En innsats på £ 20,00 @ 4-1 gir £ 100,00 (nøyaktig) for en borteseier

Totalt antall innsatser mottatt - £ 120,00 og en maksimal utbetaling på £ 100,00 uavhengig av resultatet. Denne fortjenesten på 20,00 pund representerer en 16 23  % fortjeneste på omsetning (20,00/120,00).

I virkeligheten bruker bookmakere modeller for reduksjon som er mer kompliserte enn modellen for den "ideelle" situasjonen.

Bookmaker -margin i engelske fotballligaer

Bookmaker -marginen i engelske fotballligaer har gått ned de siste årene. Studien av seks store bookmakere mellom 2005/06 sesongen og 2017/2018 sesongen viste at gjennomsnittlig margin i Premier League gikk ned fra 9% til 4%, i English Football League Championship , English Football League One og English Football League Two fra 11% til 6%, og i National League fra 11%til 8%.

Overround på flere spill

Når en spiller ( bettor ) kombinerer mer enn ett utvalg i for eksempel en dobbel , diskant eller akkumulator , blir effekten av omkretsen i boken for hvert utvalg forsterket til skade for spilleren når det gjelder økonomisk avkastning sammenlignet med den sanne oddsen for at alle valgene vinner og dermed resulterer i et vellykket spill.

For å forklare konseptet i de mest grunnleggende situasjonene, vil et eksempel bestående av en dobbel bestående av å velge vinneren fra hver av to tenniskamper bli sett på:

I kamp 1 mellom spiller A og B vurderes begge spillerne å ha like stor sjanse til å vinne. Situasjonen er den samme i Kamp 2 mellom spillere C og D . I en rettferdig bok i hver av kampene sine, dvs. at hver har en bok på 100%, vil alle spillerne bli tilbudt til odds Evens (1-1). Imidlertid vil en bookmaker sannsynligvis tilby odds 5-6 (for eksempel) på hvert av de to mulige utfallene i hvert arrangement (hver tenniskamp). Dette resulterer i en bok for hver av tenniskampene på 109,09 ...%, beregnet med 100 × ( 611 + 611 ) dvs. 9,09% overround.

Det er fire mulige utfall ved å kombinere resultatene fra begge kampene: Det vinnende paret kan være AC , AD , BC eller BD . Ettersom hver av resultatene for dette eksempelet er bevisst valgt for å sikre at de er like sannsynlig at det kan utledes at sannsynligheten for hvert utfall som forekommer er Anmeldelse for 1. / 4 eller 0,25, og at den fraksjonelle mot hver og en forekommende er 3-1. En innsats på 100 enheter (for enkelhet) på en av de fire kombinasjonene vil gi en avkastning på 100 × (3/1 + 1) = 400 enheter hvis den lykkes, noe som gjenspeiler desimalodds på 4,0.

Desimaloddsene for et flerspill blir ofte beregnet ved å multiplisere desimaloddsene for de enkelte innsatsene, ideen er at hvis hendelsene er uavhengige, så bør den underforståtte sannsynligheten være produktet av de impliserte sannsynlighetene for de enkelte innsatsene. I det ovennevnte tilfelle med fraksjonelle på 5-6, desimaloddsen er 11 / til 6 . Så desimaloddsene for dobbeltspillet er 116 × 116 = 1.833 ... × 1.833 ... = 3.3611 ..., eller brøkodds på 2.3611-1. Dette representerer en underforstått sannsynlighet på 29,752% (1/3,3611) og multiplisering med 4 (for hver av de fire like sannsynlige kombinasjonene av utfall) gir en total bok på 119,01%. Dermed har overspillet litt mer enn doblet seg ved å kombinere to enkeltspill til en dobbel.

Generelt beregnes den kombinerte omkretsen på en dobbel (O D ), uttrykt som en prosentandel, fra de enkelte bøkene B 1 og B 2 , uttrykt som desimaler, med O D = B 1 × B 2 × 100 - 100. I eksemplet vi har O D = 1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01%.

Denne massive økningen i potensiell fortjeneste for bookmakeren (19% i stedet for 9% på et arrangement, i dette tilfellet det dobbelte) er hovedårsaken til at bookmakere betaler bonuser for vellykket kåring av vinnere i flere spill: sammenlign tilbud på 25% bonus på riktig valg av fire vinnere fra fire valg i en Yankee , for eksempel når potensialet overround på et enkelt firdoblet løp med individuelle bøker på 120% er over 107% (en bok på 207%). Det er derfor bookmakere tilbyr spill som Lucky 15 , Lucky 31 og Lucky 63 ; tilbyr dobbelt odds for en vinner og økende prosentvise bonuser for to, tre og flere vinnere.

Generelt, for ethvert akkumulator -spill fra to til i -valg, beregnes den samlede prosentandelen som er omgitt av bøker med B 1 , B 2 , ..., B i gitt i desimaler, med B 1 × B 2 × ... × B i × 100 - 100. F.eks. Den tidligere nevnte fireren bestående av individuelle bøker på 120% (1,20) gir en omkrets på 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 - 100 = 107,36%.

Avgjøre vinnende innsatser

Ved avgjørelse av vinnende innsatser brukes enten desimalodds eller en legges til brøkoddsen: dette er for å inkludere innsatsen i avkastningen. Stedet del av hver-veis spill beregnes separat fra seier del; fremgangsmåten er identiske, men de odds reduseres ved uansett stedet faktoren er for den spesielle hendelse (se Akkumulator nedenfor detaljert eksempel). Alle spill blir tatt som "vinn" -spill, med mindre "hverveis" er spesifikt angitt. Alle viser bruk av brøkodds: erstatt (brøkodds + 1) med desimalodds hvis desimalodds er kjent. Ikke-løpere blir behandlet som vinnere med brøkodds på null (desimalodds på 1). Fraksjoner av pence i totale gevinster blir alltid rundet ned av bookmakerne til nærmeste krone under. Beregninger nedenfor for innsatser med flere innsatser resulterer i at totaler vises for de separate kategoriene (f.eks. Dobler, tribler osv.), Og derfor kan det være at totalavkastningen ikke er nøyaktig den samme som beløpet som er mottatt ved bruk av dataprogramvaren som er tilgjengelig for bookmakere for å beregne totalen gevinster.

Singler

Vinn singel

F.eks £ 100 singel på 9-2; totalt innsats = £ 100

Retur = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5,5 = £ 550

Singel hver vei

F.eks. 100 pund enkeltveis på 11–4 ( 15 odds en plass); totalt innsats = £ 200

Retur (seier) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3,75 = £ 375
Retur (sted) = £ 100 × (11/20 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155
Total avkastning hvis valget vinner = £ 530; hvis bare plassert = £ 155

Flere spill

Hver-veis innsatser avgjøres vanligvis ved hjelp av en standard " vinn for å vinne, sted til sted " -metode, noe som betyr at innsatsen består av en vinneakkumulator og en egen plassakkumulator (Merk: en dobbel eller diskant er en akkumulator med 2 eller 3 valg henholdsvis). En mer uvanlig måte å avgjøre denne typen spill er imidlertid " Every-Way all Each-Way " (kjent som " Equivided ", som normalt må forespørres som sådan på tippeseddelen) der avkastningen fra ett utvalg i akkumulatoren deles for å danne en like innsats hver vei ved neste utvalg og så videre til alle valgene har blitt brukt. Det første eksemplet nedenfor viser de to forskjellige tilnærmingene til å avgjøre denne typen innsatser.

Dobbelt

F.eks £ 100 hver veis dobbelt med vinnere ved 2-1 ( 1 / 5 sjanser et sted) og 5-4 ( 1 / 4 sjanser et sted); totalt innsats = £ 200

" Vinn for å vinne, sted til sted "
Retur (vinn dobbel) = £ 100 × (2/1 + 1) × (5/4 + 1) = £ 675
Retur (dobbel plass) = £ 100 × (2/5 + 1) × (5/16 + 1) = £ 183,75
Total avkastning = £ 858,75
" Hver vei alle hver vei "
Retur (første valg) = £ 100 × (2/1 + 1) + £ 100 × (2/5 + 1) = £ 440 som deles likt for å gi en £ 220 hverveis innsats på det andre valget)
Retur (andre valg) = £ 220 × (5/4 + 1) + £ 220 × (5/16 + 1) = £ 783,75
Total avkastning = £ 783,85

Merk: " Vinn for å vinne, sted til sted " vil alltid gi større avkastning hvis alle valg vinner, mens " Hver vei alle hver veier " gir større kompensasjon hvis ett valg er en taper ettersom hver av de andre vinnerne gir en større mengde stedspenger for påfølgende valg.

Diskant

F.eks £ 100 diskant med vinnere på 3-1, 4-6 og 11-4; totalt innsats = £ 100

Retur = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2500

Akkumulator

F.eks. £ 100 hver vei femdobbel akkumulator med vinnere på Evens ( 14 odds en plass), 11-8 ( 15 odds), 5-4 ( 14 odds), 1-2 (alt for å vinne) og 3-1 ( 15 odds); totalt innsats = £ 200

Merk: "Alt for å vinne" betyr at det ikke er nok deltakere i arrangementet til å gi plassodds (f.eks. 4 eller færre løpere i et hesteveddeløp). Det eneste 'stedet' er derfor førsteplassen, som gevinstoddsene gis for.

Retur (vinn femdoblet) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412,50
Retur (plass fem ganger) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502,03
Total avkastning = £ 6914,53

Spill med full dekning

Trixie

F.eks £ 10 Trixie med vinnere på 4-7, 2-1 og 11-10; totalt innsats = £ 40
Retur (3 dobler) = £ 10 × [(4/7 + 1) × (2/1 + 1) + (4/7 + 1) × (11/10 + 1) + (2/1 + 1) × (11/10 + 1)] = £ 143,14
Retur (1 diskant) = £ 10 × (4/7 + 1) × (2/1 + 1) × (11/10 + 1) = £ 99,00
Total avkastning = £ 242,14

Yankee

F.eks £ 10 Yankee med vinnere på 1-3, 5-2, 6-4 og Evens; totalt innsats = £ 110
Retur (6 dobler) = £ 10 × [(1/3 + 1) × (5/2 + 1) + (1/3 + 1) × (6/4 + 1) + (1/3 + 1) × (1/1 + 1) + (5/2 + 1) × (6/4 + 1) + (5/2 + 1) × (1/1 + 1) + (6/4 + 1) × (1 /1 + 1)] = £ 314,16
Retur (4 diskant) = £ 10 × [(1/3 + 1) × (5/2 + 1) × (6/4 + 1) + (1/3 + 1) × (5/2 + 1) × (1/1 + 1) + (1/3 + 1) × (6/4 + 1) × (1/1 + 1) + (5/2 + 1) × (6/4 + 1) × (1 /1 + 1)] = £ 451,66
Retur (1 firdoblet) = £ 10 × (1/3 + 1) × (5/2 + 1) × (6/4 + 1) × (1/1 + 1) = £ 233,33
Total avkastning = £ 999,15

Trixie , Yankee , Canadian , Heinz , Super Heinz og Goliath danner en familie med spill kjent som full cover -spill som har alle mulige multipler tilstede. Eksempler på vinnende Trixie- og Yankee -spill har blitt vist ovenfor. De andre navngitte spillene beregnes på en lignende måte ved å se på alle mulige kombinasjoner av valg i multipler. Merk: En dobbel kan betraktes som en full cover -innsats med bare to valg.

Skulle et utvalg i et av disse spillene ikke vinne, blir de gjenværende vinnerne behandlet som et helt vellykket spill på det neste 'familiemedlemmet' ned. For eksempel betyr bare to vinnere av tre i en Trixie at innsatsen avgjøres som en dobbel; bare fire vinnere av fem i en kanadisk betyr at den er avgjort som en Yankee ; bare fem vinnere av åtte i en Goliat betyr at den er avgjort som en kanadier . Plassdelen av hverveisinnsatsene beregnes separat ved bruk av reduserte plassodds. Dermed avgjøres en hverveis Super Heinz på syv hester med tre vinnere og ytterligere to plasserte hester som en seier Trixie og et sted kanadisk . Nesten alle bookmakere bruker dataprogramvare for enkelhet, hastighet og nøyaktighet i beregningen for avregning av flerspill.

Spill med full cover med singler

Patentere

F.eks £ 2 Patent med vinnere på 4-6, 2-1 og 11-4; totalt innsats = £ 14
Retur (3 singler) = £ 2 × [(4/6 + 1) + (2/1 + 1) + (11/4 + 1)] = £ 16,83
Retur (3 dobler) = £ 2 × [(4/6 + 1) × (2/1 + 1) + (4/6 + 1) × (11/4 + 1) + (2/1 + 1) × (11/4 + 1)] = £ 45,00
Retur (1 diskant) = £ 2 × (4/6 + 1) × (2/1 + 1) × (11/4 + 1) = £ 37,50
Total avkastning = £ 99,33

Patent , Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 og høyere Lucky -innsatser danner en familie av spill kjent som full cover -spill med singler som har alle mulige multipler tilstede sammen med enkeltspill på alle valg. Et eksempel på et vinnende patentsats har blitt vist ovenfor. De andre navngitte spillene beregnes på lignende måte ved å se på alle mulige kombinasjoner av valg i multipler og singler.

Skulle et utvalg i et av disse spillene ikke vinne, blir de gjenværende vinnerne behandlet som et helt vellykket spill på det neste 'familiemedlemmet' ned. For eksempel betyr bare to vinnere av tre i et patent at innsatsen avgjøres som en dobbeltseng og to singler; bare tre vinnere av fire i en Lucky 15 betyr at den er avgjort som et patent ; bare fire vinnere av seks i en Lucky 63 betyr at den blir avgjort som en Lucky 15 . Plassdelen av hverveisinnsatsene beregnes separat ved bruk av reduserte plassodds. Dermed blir en hverveis Lucky 63 på seks hester med tre vinnere og ytterligere to plasserte hester avgjort som et gevinstpatent og et sted Lucky 31 .

Algebraisk tolkning

Avkastning på ethvert spill kan anses å være beregnet som 'innsatsenhet' × 'oddsmultiplikator'. Den generelle 'oddsmultiplikatoren' er en kombinert desimaloddsverdi og er resultatet av alle de individuelle spillene som utgjør et full cover -spill, inkludert singler om nødvendig. For eksempel hvis en vellykket £ 10 Yankee returnerte £ 461,35, så er den totale oddsmultiplikatoren ( OM ) 46,135.

Hvis a , b , c , d ... representerer desimaloddsene , dvs. (brøkodds + 1), kan en OM beregnes algebraisk ved å multiplisere uttrykkene ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1) ... etc. sammen på den nødvendige måten og trekke fra 1. Om nødvendig kan (desimalodds + 1) erstattes av (brøkodds + 2).

Eksempler

3 valg med desimal odds a , b og c . Å utvide ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) gir algebraisk abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Dette tilsvarer OM for et patent (diskant: abc ; dobler: ab , ac og bc ; singler: a , b og c ) pluss 1 . Derfor, for å beregne avkastningen for et vinnende patent er det bare et tilfelle av å multiplisere ( a + 1), ( b + 1) og ( c + 1) sammen og trekke fra 1 for å få OM for vinnerspillet, dvs. OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) - 1 . Multipliser nå med andelsinnsatsen for å få total avkastning på innsatsen.

F.eks. Vinnerpatentet beskrevet tidligere kan evalueres raskere og enklere av følgende:

Total avkastning = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £ 99,33

Ignorerer du noen bonuser, en 50 pence hver vei Lucky 63 (totalt innsats £ 63) med 4 vinnere [2-1, 5-2, 7-2 (alle 15 odds en plass) og 6-4 ( 14 odds en plass)] og en ytterligere plassert hest [9-2 ( 15 odds en plass)] kan relativt enkelt beregnes slik:

Retur (vinn del) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £ 172,75
eller ganske enkelt som 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 - 1)
Retur (plassdel) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1 ] = £ 11.79
eller ganske enkelt som 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 - 1)
Total avkastning = £ 184,54

For familien med full cover -spill som ikke inkluderer singler, foretas en justering av beregningen for å la bare doblene, trippelene og akkumulatorene stå igjen. Dermed har en tidligere beskrevet vinnende £ 10 Yankee med vinnere på 1-3, 5-2, 6-4 og Evens avkastning beregnet med:

£ 10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) - 1 - [(1/3 + 1) + (5/ 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £ 999,16

Faktisk har innsatsen blitt beregnet som en Lucky 15 minus singlene. Vær oppmerksom på at den totale returverdien på £ 999,16 er en krone høyere enn den tidligere beregnede verdien, da denne raskere metoden bare innebærer avrunding av det endelige svaret, og ikke avrunding ved hvert enkelt trinn.

I algebraiske termer er OM for Yankee -innsatsen gitt av:

OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) - 1 - ( a + b + c + d )

I dagene før programvaren ble tilgjengelig for bruk av bookmakere og de som avgjorde innsatser i Licensed Betting Offices (LBOs), var denne metoden praktisk talt de rigueur for å spare tid og unngå de mange gjentagende beregningene som var nødvendige for å avgjøre spill av hele coveret.

Avgjøre andre typer vinnende innsatser

Opp og ned

F.eks £ 20 opp og ned med vinnere på 7-2 og 15-8; totalt innsats = £ 40
Retur (£ 20 singel på 7-2 ATC £ 20 singel ved 15-8) = £ 20 × 7/2 + £ 20 × (15/8 + 1) = £ 127,50
Retur (£ 20 singel ved 15-8 ATC £ 20 singel på 7-2) = £ 20 × 15/8 + £ 20 × (7/2 + 1) = £ 127,50
Total avkastning = £ 255,00
Merk: Dette er det samme som to £ 20 enkeltinnsatser med dobbelt odds; dvs. £ 20 singler på 7-1 og 15-4 og er den foretrukne manuelle måten å beregne innsatsen på.
F.eks. £ 10 opp og ned med en vinner på 5-1 og en taper; totalt innsats = £ 20
Retur (£ 10 singel på 5-1 ATC £ 10 singel på 'loser') = £ 10 × 5/1 = £ 50
Merk: Denne beregningen av et spill hvor innsatsen ikke returneres kalles "å motta oddsen for innsatsen" på vinneren; i dette tilfellet mottar du oddsen til £ 10 (på 5-1-vinneren).

Round Robin

En Round Robin med 3 vinnere beregnes som en Trixie pluss tre innsatser opp og ned med 2 vinnere i hver.

En Round Robin med 2 vinnere beregnes som en dobbel pluss en opp og ned innsats med 2 vinnere pluss to opp og ned spill med 1 vinner i hver.

En Round Robin med 1 vinner beregnes som to opp- og ned -spill med en vinner i hver.

Flagg og Super flagg spill kan beregnes på samme måte som ovenfor med riktig full dekning bet (dersom tilstrekkelig vinnere) sammen med det nødvendige antall 2 winner- og en vinner Opp og Ned spill.

Merk: Ekspertspilloppgjørere før introduksjonen av innsatsoppgjørsprogramvare ville alltid ha brukt en metode av algebraisk type sammen med en enkel kalkulator for å bestemme avkastningen på et spill (se nedenfor).

Algebraisk tolkning

Hvis a , b , c , d ... representerer desimaloddsene , dvs. (brøkodds + 1), kan en 'oddsmultiplikator' OM beregnes algebraisk ved å multiplisere uttrykkene ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1) ... etc. sammen på den nødvendige måten og legge til eller trekke fra flere komponenter. Om nødvendig kan (desimalodds + 1) erstattes av (brøkodds + 2).

Eksempler

2 valg med desimal odds a og b i en opp og ned innsats.
  • OM (2 vinnere) = (2 a - 1) + (2 b - 1) = 2 ( a + b - 1)
  • OM (1 vinner) = a - 1
3 valg med desimal odds a , b og c i en Round Robin.
  • OM (3 vinnere) = ( a + 1) × ( b + 1) × ( c + 1) - 1 - ( a + b + c ) + 2 × [( a + b - 1) + ( a + c - 1) + ( b + c - 1)] = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) + 3 ( a + b + c ) - 7
  • OM (2 vinnere) = ( a + 1) × ( b + 1) - 1 - ( a + b ) + 2 × ( a + b - 1) + ( a - 1) + ( b - 1) = ( a + 1) ( b + 1) + 2 ( a + b ) - 5
    eller mer ganske enkelt som OM = ab + 3 ( a + b ) - 4
  • OM (1 vinner) = 2 × ( a - 1) = 2 ( a - 1)
4 valg med desimal odds a , b , c og d i et flagg.
  • OM (4 vinnere) = ( a + 1) × ( b + 1) × ( c + 1) × ( d + 1) - 1 - ( a + b + c + d ) + 2 × [( a + b - 1) + ( a + c - 1) + ( a + d - 1) + ( b + c - 1) + ( b + d - 1) + ( c + d - 1)]
    = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) + 5 ( a + b + c + d ) - 13
  • OM (3 vinnere) = ( a + 1) × ( b + 1) × ( c + 1) - 1 - ( a + b + c ) + 2 × [( a + b - 1) + ( a + c - 1) + ( b + c - 1)] + ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) + 4 ( a + b + c ) - 10
  • OM (2 vinnere) = ( a + 1) × ( b + 1) - 1 - ( a + b ) + 2 × ( a + b - 1) + 2 × [( a - 1) + ( b - 1) ] = ( a + 1) ( b + 1) + 3 ( a + b ) - 7
    eller mer ganske enkelt som OM = ab + 4 ( a + b ) - 6
  • OM (1 vinner) = 3 × ( a - 1) = 3 ( a - 1)

Se også

Merknader

Referanser

  • Cortis, D. (2015). "Forventede verdier og varians i bookmakerutbetalinger: En teoretisk tilnærming til å sette grenser for odds". Journal of Prediction Markets. 1. 9.
  • Sidney, C (1976). The Art of Legging , Maxline International.
  • Sidney, C (2003). The Art of Legging: The History, Theory, and Practice of Bookmaking on the English Turf , 3. utgave, Rotex Publishing 2003, 224 s. ISBN  978-1-872254-06-7 . Definitiv og grundig revidert og oppdatert 3. utgave om historikk, teori, praksis og matematikk innen bookmaking, pluss matematikken til off-betting, spill og beregning og ansvarskontroll .

Videre lesning

  • " Finding an Edge ", Ron Loftus , US-SC-North Charleston: Create Space., 2011, 144pp.
  • " Hvordan lage en bok ", Phil Bull , London: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160 s.
  • " Boken om bookmaking ", Ferde Rombola, California: Romford Press, 1984, 147 sider. ISBN  978-0-935536-37-9 .
  • The Art of Bookmaking , Malcolm Boyle, High Stakes Publishing 2006.
  • Secrets of Successful Betting , Michael Adams, Raceform, 2002.
  • The Mathematics of Games and Gambling , Edward W. Packel, Mathematical Association of America , 2006.
  • The Mathematics of Gambling , Edward O. Thorp, L. Stuart, 1984.
  • "Maximin Hedges", Jean-Claude Derderian, Mathematics Magazine , bind 51, nummer 3. (mai 1978), side 188–192.
  • "Carnap and de Finetti on Bets and the Probability of Singular Events: The Dutch Book Argument Reconsidered" Klaus Heilig, The British Journal for Philosophy of Science , bind 29, nummer 4. (desember 1978), side 325–346.
  • "Tests of the efficiency of Racetrack Betting Using Bookmaker Odds", Ron Bird, Michael McCrae, Management Science , bind 33, nummer 12 (desember 1987), side 152–156.
  • "Why is There a Favorite-Longshot Bias in British Racetrack Betting Markets", Leighton Vaughan Williams, David Paton. The Economic Journal , bind 107, nummer 440 (januar 1997), side 150–158.
  • Optimal bestemmelse av bookmakers innsatsodds: teori og tester , av John Fingleton og Patrick Waldron, Trinity Economic Paper Series, Technical Paper No. 96/9, Trinity College, University of Dublin , 1999.
  • "Odds That Don't Add Up!", Mike Fletcher, Teaching Mathematics and its Applications , 1994, bind 13, nummer 4, side 145–147.
  • "Informasjon, priser og effektivitet i et tippemarked med faste odds", Peter F. Pope, David A. Peel, Economica, New Series , bind 56, nummer 223, (august 1989), side 323–341.
  • "A Mathematical Perspective on Gambling", Molly Maxwell, MIT Undergraduate Journal of Mathematics , bind 1, (1999), side 123–132.
  • " Sannsynlighetsguide for pengespill: The Mathematics of terninger, spilleautomater, roulette, baccarat, blackjack, poker, lotteri og sportsspill ", Catalin Barboianu, Infarom, 2006, 316pp. ISBN  973-87520-3-5 .