Michael Atiyah - Michael Atiyah


Michael Atiyah

Michael Francis Atiyah.jpg
Michael Atiyah i 2007
Født
Michael Francis Atiyah

( 1929-04-22 )22. april 1929
Hampstead , London , England
Døde 11. januar 2019 (2019-01-11)(89 år)
Edinburgh , Skottland
Nasjonalitet Britisk
utdanning
Kjent for Atiyah algebroid
Atiyah formodning
Atiyah formodning om konfigurasjoner
Atiyah flyt
Atiyah – Bott formel
Atiyah – Bott fastpunktssetning
Atiyah – Floer_conjecture
Atiyah – Hirzebruch spektral sekvens
Atiyah – Jones formodning
Atiyah – Hitchin – Singer setning
Atiyah – Singer indeks
teorem
Atorah konstruksjon
Fredholm modul
Eta invariant
K-teori
KR-teori
Pin-gruppe
Torisk manifold
Utmerkelser
Vitenskapelig karriere
Enger Matematikk
Institusjoner
Avhandling Noen anvendelser av topologiske metoder i algebraisk geometri  (1955)
Doktorgradsrådgiver WVD Hodge
Doktorgradsstudenter
Andre bemerkelsesverdige studenter Edward Witten

Sir Michael Francis Atiyah OM FRS FRSE FMedSci FAA FREng ( / ə t ï ə / ; 22 april 1929 - 11 januar 2019) var en britisk-libanesiske matematiker som spesialiserer seg på geometri .

Atiyah vokste opp i Sudan og Egypt, men tilbrakte mesteparten av sitt akademiske liv i Storbritannia ved University of Oxford og University of Cambridge og i USA ved Institute for Advanced Study . Han var president i Royal Society (1990–1995), grunnlegger av Isaac Newton Institute (1990–1996), mester ved Trinity College, Cambridge (1990–1997), kansler ved University of Leicester (1995–2005) , og presidenten for Royal Society of Edinburgh (2005–2008). Fra 1997 til hans død var han æresprofessor ved University of Edinburgh .

Atiyahs matematiske samarbeidspartnere inkluderte Raoul Bott , Friedrich Hirzebruch og Isadore Singer , og studentene hans inkluderte Graeme Segal , Nigel Hitchin , Simon Donaldson og Edward Witten . Sammen med Hirzebruch la han grunnlaget for topologisk K-teori , et viktig verktøy i algebraisk topologi , som uformelt beskriver måter rom kan vrides på. Hans mest kjente resultat, Atiyah - Singer -indekssetningen , ble påvist med Singer i 1963 og brukes til å telle antall uavhengige løsninger på differensialligninger . Noen av hans nyere arbeider ble inspirert av teoretisk fysikk, spesielt instantons og monopoler , som er ansvarlige for noen subtile korreksjoner i kvantefeltteorien . Han ble tildelt Fields -medaljen i 1966 og Abel -prisen i 2004.

tidlig liv og utdanning

Great Court of Trinity College, Cambridge , hvor Atiyah var student og senere mester

Atiyah ble født 22. april 1929 i Hampstead , London , England, sønn av Jean (née Levens) og Edward Atiyah . Moren hans var skotsk og faren var en libanesisk ortodoks kristen . Han hadde to brødre, Patrick (død) og Joe, og en søster, Selma (død). Atiyah gikk på barneskolen ved bispedømmeskolen i Khartoum , Sudan (1934–1941), og på ungdomsskolen ved Victoria College i Kairo og Alexandria (1941–1945); skolen ble også deltatt av europeisk adel som ble fordrevet av andre verdenskrig og noen fremtidige ledere for arabiske nasjoner. Han kom tilbake til England og Manchester Grammar School for sine HSC -studier (1945–1947) og gjorde sin nasjonale tjeneste med Royal Electrical and Mechanical Engineers (1947–1949). Hans bachelor- og forskerstudier fant sted ved Trinity College, Cambridge (1949–1955). Han var doktorgradsstudent ved William VD Hodge og ble tildelt en doktorgrad i 1955 for en avhandling med tittelen Some Applications of Topological Methods in Algebraic Geometry .

Atiyah var medlem av British Humanist Association .

I løpet av sin tid i Cambridge var han president for The Archimedeans .

Karriere og forskning

The Institute for Advanced Study i Princeton, hvor Atiyah var professor 1969-1972

Atiyah tilbrakte studieåret 1955-1956 ved Institute for Advanced Study i Princeton , deretter tilbake til Cambridge University , hvor han var en stipendiat og assistent foreleser (1957-1958), og deretter et universitet foreleser og opplæringen stipendiat ved Pembroke College, Cambridge (1958–1961). I 1961 flyttet han til University of Oxford , hvor han var leser og professor ved St Catherine's College (1961–1963). Han ble savilsk professor i geometri og professor ved New College, Oxford , fra 1963 til 1969. Han tok et treårig professorat ved Institute for Advanced Study i Princeton, hvoretter han returnerte til Oxford som Royal Society Research Professor og professor ved St Catherine's College. Han var president i London Mathematical Society fra 1974 til 1976.

Jeg begynte med å bytte lokal valuta til utenlandsk valuta overalt hvor jeg reiste som barn og endte med å tjene penger. Det var da min far innså at jeg en dag skulle bli matematiker.

Michael Atiyah

Atiyah var president for Pugwash -konferansene om vitenskap og verdenssaker fra 1997 til 2002. Han bidro også til grunnleggelsen av InterAcademy Panel on International Issues , Association of European Academies (ALLEA) og European Mathematical Society (EMS).

I Storbritannia var han involvert i etableringen av Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences i Cambridge og var den første direktøren (1990–1996). Han var president for Royal Society (1990–1995), Master of Trinity College, Cambridge (1990–1997), kansler ved University of Leicester (1995–2005), og president for Royal Society of Edinburgh (2005–2008) . Fra 1997 til sin død i 2019 var han æresprofessor ved University of Edinburgh . Han var tillitsmann for James Clerk Maxwell Foundation .

Samarbeid

Det gamle matematiske instituttet (nå Institutt for statistikk) i Oxford , hvor Atiyah veiledet mange av studentene sine

Atiyah samarbeidet med mange matematikere. Hans tre viktigste samarbeid var med Raoul Bott om Atiyah-Bott-punktpunktssetningen og mange andre emner, med Isadore M. Singer om Atiyah-Singer-indekssetningen , og med Friedrich Hirzebruch om topologisk K-teori, som han alle møtte ved Institute for Advanced Study i Princeton i 1955. Hans andre samarbeidspartnere inkluderte; J. Frank Adams ( Hopf invariant problem), Jürgen Berndt (projektive fly), Roger Bielawski (Berry – Robbins problem), Howard Donnelly ( L-funksjoner ), Vladimir G. Drinfeld (instantons), Johan L. Dupont (singulariteter av vektor felter ), Lars Gårding ( hyperboliske differensialligninger ), Nigel J. Hitchin (monopoler), William VD Hodge (integraler av den andre typen), Michael Hopkins (K-teori), Lisa Jeffrey (topologiske Lagrangians), John DS Jones (Yang –Mills teori), Juan Maldacena (M-teori), Yuri I. Manin (instantons), Nick S. Manton (Skyrmions), Vijay K. Patodi (spektral asymmetri), AN Pressley (konveksitet), Elmer Rees (vektorgrupper) , Wilfried Schmid (diskrete serierepresentasjoner), Graeme Segal (ekvivalent K-teori), Alexander Shapiro (Clifford algebras), L. Smith (homotopigrupper av sfærer), Paul Sutcliffe (polyhedra), David O. Tall (lambda-ringer), John A. Todd ( Stiefel-manifolder ), Cumrun Vafa (M-teori), Richard S. Ward (instantons) og Edward Witten (M-teori, topologisk kvantefeltteorier).

Hans senere forskning på feltfeltteorier , spesielt Yang - Mills -teorien, stimulerte viktige interaksjoner mellom geometri og fysikk , særlig i arbeidet til Edward Witten.

Hvis du angriper et matematisk problem direkte, kommer du ofte til en blindvei, ingenting du gjør ser ut til å fungere, og du føler at hvis du bare kunne se rundt hjørnet, kan det være en enkel løsning. Det er ingenting som å ha noen andre ved siden av deg, fordi han vanligvis kan se rundt hjørnet.

Michael Atiyah

Atiyahs studenter inkluderte Peter Braam 1987, Simon Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, George Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, John Roe 1985, Brian Sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, David Tall 1966 og Graham White 1982.

Andre samtidige matematikere som påvirket Atiyah inkluderer Roger Penrose , Lars Hörmander , Alain Connes og Jean-Michel Bismut . Atiyah sa at matematikeren han mest beundret var Hermann Weyl , og at hans favorittmatematikere fra før 1900 -tallet var Bernhard Riemann og William Rowan Hamilton .

De syv bindene av Atiyahs samlede papirer inkluderer det meste av arbeidet hans, bortsett fra hans kommutative algebra -lærebok; de fem første bindene er delt tematisk og det sjette og syvende ordnet etter dato.

Algebraisk geometri (1952–1958)

En vridd kubikkurve , gjenstand for Atiyahs første papir

Atiyahs tidlige artikler om algebraisk geometri (og noen generelle artikler) blir trykt på nytt i det første bindet av hans samlede verk.

Som lavere student var Atiyah interessert i klassisk projektiv geometri, og skrev sin første artikkel: et kort notat om vridde kubikk . Han startet forskning under WVD Hodge og vant Smiths pris for 1954 for en teoretisk tilnærming til styrte overflater , som oppmuntret Atiyah til å fortsette i matematikk, i stedet for å bytte til hans andre interesser-arkitektur og arkeologi. Hans doktoravhandling med Hodge gikk på en teoretisk tilnærming til Solomon Lefschetz 'teori om integraler av den andre typen om algebraiske varianter, og resulterte i en invitasjon til å besøke Institute for Advanced Study i Princeton i et år. Mens han var i Princeton, klassifiserte han vektorknipper på en elliptisk kurve (utvider Alexander Grothendiecks klassifisering av vektorgrupper på en slekt 0 -kurve), ved å vise at en hvilken som helst vektorgruppe er en sum av (i hovedsak unike) ukomponerbare vektorgrupper, og deretter vise det plassen til ukomponerbare vektorgrupper med gitt grad og positiv dimensjon kan identifiseres med elliptisk kurve. Han studerte også doble punkter på overflater, og ga det første eksempelet på en flopp , en spesiell birasjonell transformasjon av 3-fold som senere ble mye brukt i Shigefumi Moris arbeid med minimale modeller for 3-fold. Atiyahs flopp kan også brukes til å vise at den universelle merkede familien av K3-overflater er ikke-Hausdorff .

K -teori (1959–1974)

Et Möbius-bånd er det enkleste ikke-trivielle eksempelet på en vektorgruppe .

Atiyahs verk om K-teori, inkludert boken hans om K-teori, blir trykt på nytt i bind 2 av hans samlede verk.

Det enkleste utrivelige eksemplet på en vektorknippe er Möbius -båndet (bildet til høyre): en papirstrimmel med en vri i den, som representerer en vektorknippe på rang 1 over en sirkel (den aktuelle sirkelen er senterlinjen til Möbius bånd). K-teori er et verktøy for å arbeide med høyere-dimensjonale analoger av dette eksemplet, eller med andre ord for å beskrive høyere-dimensjonale vridninger: elementer i K-gruppen i et rom er representert av vektorgrupper over det, så Möbius-båndet representerer et element i K-gruppen i en sirkel.

Topologisk K-teori ble oppdaget av Atiyah og Friedrich Hirzebruch som var inspirert av Grothendiecks bevis på Grothendieck-Riemann-Roch-setningen og Botts arbeid med periodisitetsteoremet . Denne artikkelen diskuterte bare null-K-gruppen; de utvidet det kort tid etter til K-grupper i alle grader, og ga det første (ikke-trivielle) eksemplet på en generalisert kohomologi-teori .

Flere resultater viste at den nylig introduserte K-teorien på noen måter var kraftigere enn vanlig kohomologi-teori. Atiyah og Todd brukte K-teori for å forbedre de nedre grensene som ble funnet ved bruk av vanlig kohomologi av Borel og Serre for James-tallet , og beskrev når et kart fra et komplekst Stiefel-manifold til en sfære har et tverrsnitt. ( Adams og Grant-Walker viste senere at grensen funnet av Atiyah og Todd var best mulig.) Atiyah og Hirzebruch brukte K-teori for å forklare noen relasjoner mellom Steenrod-operasjoner og Todd-klasser som Hirzebruch hadde lagt merke til noen år før. Den opprinnelige løsningen på Hopf invariant one problem -operasjoner av JF Adams var veldig lang og komplisert, ved bruk av sekundære kohomologi -operasjoner. Atiyah viste hvordan primære operasjoner i K-teori kunne brukes til å gi en kort løsning som bare tar noen få linjer, og i fellesarbeid med Adams viste det seg også analoger av resultatet ved oddetall.

Michael Atiyah og Friedrich Hirzebruch (til høyre), skaperne av K-teorien

Den Atiyah-Hirzebruch spektral sekvens angår den ordinære cohomology fra en plass til dens generalisert kohomologiteorier. (Atiyah og Hirzebruch brukte saken om K-teori, men deres metode fungerer for alle kohomologi-teorier).

Atiyah viste at for en endelig gruppe G er K-teorien om dens klassifiseringsrom , BG , isomorf for fullførelsen av karakterringen :

Samme år beviste de resultatet for G enhver kompakt tilkoblet Lie -gruppe . Selv om resultatet snart kunne utvides til alle kompakte Lie -grupper ved å inkludere resultater fra Graeme Segals avhandling, var utvidelsen komplisert. Men en enklere og mer generell bevis ble fremstilt ved å innføre equivariant K-teori , dvs. ekvivalens klasser av G -vector bunter over et kompakt G -plass X . Det ble vist at under egnede betingelser fullføringen av equivariant K-teorien for X er isomorf til den vanlige K-teori om en plass, som i løpet av fibre og BG med fiber X :

Det opprinnelige resultatet fulgte deretter som en følge av å ta X som et poeng: venstre side redusert til fullføring av R (G) og høyre til K (BG) . Se ferdigstillelse av Atiyah - Segal for flere detaljer.

Han definerte nye generaliserte homologi- og kohomologi -teorier kalt bordisme og kobordisme , og påpekte at mange av de dype resultatene om kobordisme av mangfoldigheter funnet av René Thom , CTC Wall og andre naturlig kunne tolkes på nytt som utsagn om disse kohomologiteoriene. Noen av disse kohomologiteoriene, spesielt kompleks kobordisme, viste seg å være noen av de mest kraftfulle kohomologiteorier som er kjent.

"Algebra er tilbudet fra djevelen til matematikeren. Djevelen sier:" Jeg vil gi deg denne kraftige maskinen, den vil svare på ethvert spørsmål du liker. Alt du trenger å gjøre er å gi meg sjelen din: gi opp geometri og du vil ha denne fantastiske maskinen. "

Michael Atiyah

Han introduserte J-gruppen J ( X ) av et begrenset kompleks X , definert som gruppen av stabile fiberhomotopekvivalensklasser av kulebunter ; dette ble senere studert i detalj av JF Adams i en serie artikler, som førte til Adams formodning .

Med Hirzebruch utvidet han Grothendieck - Riemann - Roch -setningen til komplekse analytiske innebygninger, og i et beslektet papir viste de at Hodge -antagelsen for integrert kohomologi er falsk. Hodge -antagelsen for rasjonell kohomologi er fra 2008 et stort uløst problem.

Den Bott periodisitet teoremet var et sentralt tema i Atiyah arbeid med K-teori, og han gjentatte ganger tilbake til det, bearbeide bevis flere ganger for å forstå det bedre. Med Bott utarbeidet han et elementært bevis, og ga en annen versjon av det i boken sin. Med Bott og Shapiro analyserte han forholdet mellom Bott -periodisitet og periodisiteten til Clifford -algebraer ; Selv om denne artikkelen ikke hadde et bevis på periodisitetsteoremet, ble et bevis på lignende linje kort tid senere funnet av R. Wood. Han fant et bevis på flere generaliseringer ved bruk av elliptiske operatorer ; dette nye beviset brukte en idé som han brukte til å gi et spesielt kort og enkelt bevis på Botts opprinnelige periodisitetsteorem.

Indeksteori (1963–1984)

Isadore Singer (i 1977), som jobbet med Atiyah om indeksteori

Atiyahs arbeid med indeksteori er trykt på nytt i bind 3 og 4 av hans samlede verk.

Indeksen til en differensialoperatør er nært knyttet til antall uavhengige løsninger (mer presist er det forskjellene i antall uavhengige løsninger til differensialoperatøren og tilhørende). Det er mange harde og grunnleggende problemer i matematikk som lett kan reduseres til problemet med å finne antall uavhengige løsninger for en differensialoperatør, så hvis man har noen midler for å finne indeksen til en differensialoperatør, kan disse problemene ofte løses. Dette er hva Atiyah - Singer -indekssetningen gjør: den gir en formel for indeksen til visse differensialoperatorer, når det gjelder topologiske invarianter som ser ganske kompliserte ut, men som i praksis vanligvis er enkle å beregne.

Flere dype teoremer, som Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen , er spesielle tilfeller av Atiyah - Singer -indekssetningen. Faktisk ga indekssetningen et kraftigere resultat, fordi beviset gjaldt for alle kompakte komplekse manifolder, mens Hirzebruchs bevis bare fungerte for projektive manifolder. Det var også mange nye applikasjoner: en typisk er å beregne dimensjonene til modulrommene til instantons. Indekssetningen kan også kjøres "omvendt": indeksen er åpenbart et heltall, så formelen for det må også gi et heltall, som noen ganger gir subtile integritetsbetingelser for invarianter av mangfold. Et typisk eksempel på dette er Rochlins teorem , som følger av indekssetningen.

Det mest nyttige rådet jeg vil gi en matematikkstudent, er alltid å mistenke en imponerende teorem hvis den ikke har et spesielt tilfelle som er både enkelt og ikke-trivielt.

Michael Atiyah

Indeksproblemet for elliptiske differensialoperatører ble stilt i 1959 av Gel'fand . Han la merke til homotopi -invariansen til indeksen, og ba om en formel for den ved hjelp av topologiske invarianter . Noen av de motiverende eksemplene inkluderte teoremet Riemann - Roch og generaliseringen av Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen , og Hirzebruch -signatursetningen . Hirzebruch og Borel hadde bevist integriteten til  slekten til en spinnmanifold, og Atiyah foreslo at denne integriteten kunne forklares hvis det var indeksen til Dirac -operatøren (som ble gjenoppdaget av Atiyah og Singer i 1961).

Den første kunngjøringen av Atiyah - Singer -teoremet var papiret deres fra 1963. Beviset skissert i denne kunngjøringen ble inspirert av Hirzebruchs bevis på Hirzebruch - Riemann - Roch -setningen og ble aldri utgitt av dem, selv om det er beskrevet i boken av Palais. Deres første publiserte bevis lignet mer på Grothendiecks bevis på Grothendieck-Riemann-Roch-setningen , og erstattet cobordism- teorien om det første beviset med K-teori , og de brukte denne tilnærmingen til å gi bevis på forskjellige generaliseringer i en serie papirer fra 1968 til 1971.

I stedet for bare en elliptisk operatør, kan man vurdere en familie på elliptiske operatører parametriseres av litt plass Y . I dette tilfellet er indeksen et element i K-teorien om Y , snarere enn et heltall. Hvis operatørene i familien er ekte, vil indeks ligger i den virkelige K-teori om Y . Dette gir litt ekstra informasjon, ettersom kartet fra den virkelige K -teorien om Y til den komplekse K -teorien ikke alltid er injektiv.

Atiyahs tidligere student Graeme Segal (i 1982), som jobbet med Atiyah om ekvivalente K-teorier

Med Bott fant Atiyah en analog av Lefschetz-fastpunktsformelen for elliptiske operatorer, og ga Lefschetz-tallet til en endomorfisme av et elliptisk kompleks i form av en sum over endomorfismens faste punkter. Som spesielle tilfeller inkluderte formelen Weyl -formelen , og flere nye resultater om elliptiske kurver med kompleks multiplikasjon, hvorav noen opprinnelig ikke ble trodd av eksperter. Atiyah og Segal kombinerte dette fastpunktsetningen med indekssetningen som følger. Hvis det er en kompakt gruppehandling av en gruppe G på den kompakte manifolden X , som pendler med den elliptiske operatoren, kan man erstatte vanlig K-teori i indekssetningen med ekvivalent K-teori . For trivielle grupper G gir dette indekssetningen, og for en endelig gruppe G som handler med isolerte faste punkter gir den Atiyah - Bott fastpunktssetning. Generelt gir den indeksen som en sum over fikspunkt submanifolds av gruppen G .

Atiyah løste et problem som ble spurt uavhengig av Hörmander og Gel'fand, om komplekse krefter til analytiske funksjoner definerer distribusjoner . Atiyah brukte Hironakas oppløsning av singulariteter for å svare bekreftende på dette. En genial og elementær løsning ble funnet på omtrent samme tid av J. Bernstein , og diskutert av Atiyah.

Som en anvendelse av ekvivalente indekssetningen viste Atiyah og Hirzebruch at mangfoldige sider med effektive sirkelhandlinger har forsvunnet Â-slekten . (Lichnerowicz viste at hvis en manifold har en måling av positiv skalarkurvatur, forsvinner Â-slekten.)

Med Elmer Rees studerte Atiyah problemet med forholdet mellom topologiske og holomorfe vektorknipper på prosjektivt rom. De løste det enkleste ukjente tilfellet, ved å vise at alle rang 2 vektorgrupper over projektivt 3-rom har en holomorf struktur. Horrocks hadde tidligere funnet noen ikke-trivielle eksempler på slike vektorgrupper, som senere ble brukt av Atiyah i hans studie av instantons på 4-sfæren.

Raoul Bott , som jobbet med Atiyah med formler for fast punkt og flere andre emner

Atiyah, Bott og Vijay K. Patodi ga et nytt bevis på indekssetningen ved hjelp av varmelegningen .

Hvis manifolden har lov til å ha grense, må noen begrensninger settes på domenet til elliptisk operatør for å sikre en endelig indeks. Disse forholdene kan være lokale (som å kreve at seksjonene i domenet forsvinner ved grensen) eller mer kompliserte globale forhold (som å kreve at seksjonene i domenet løser en differensialligning). Den lokale saken ble utarbeidet av Atiyah og Bott, men de viste at mange interessante operatører (f.eks. Signaturoperatøren ) ikke innrømmer lokale grensebetingelser. For å håndtere disse operatørene introduserte Atiyah, Patodi og Singer globale grensebetingelser som tilsvarer å feste en sylinder til manifolden langs grensen og deretter begrense domenet til de seksjonene som er firkantet integrerbare langs sylinderen, og introduserte også Atiyah - Patodi - Singer eta invariant . Dette resulterte i en serie artikler om spektral asymmetri, som senere uventet ble brukt i teoretisk fysikk, spesielt i Wittens arbeid med anomalier.

Lakunene som diskuteres av Petrovsky, Atiyah, Bott og Gårding ligner mellomrommene mellom sjokkbølger til et supersonisk objekt.

De grunnleggende løsningene for lineære hyperboliske partielle differensialligninger har ofte Petrovsky lacunas : regioner der de forsvinner identisk. Disse ble studert i 1945 av IG Petrovsky , som fant topologiske forhold som beskriver hvilke regioner som var lakuner. I samarbeid med Bott og Lars Gårding skrev Atiyah tre artikler som oppdaterte og generaliserte Petrovskys arbeid.

Atiyah viste hvordan man utvider indekssetningen til noen ikke-kompakte manifolder, handlet av en diskret gruppe med kompakt kvotient. Kjernen til den elliptiske operatøren er generelt uendelig-dimensjonal i dette tilfellet, men det er mulig å få en endelig indeks ved å bruke dimensjonen til en modul over en von Neumann-algebra ; Denne indeksen er generelt reell i stedet for heltall. Denne versjonen kalles L 2- indekssetningen, og ble brukt av Atiyah og Schmid for å gi en geometrisk konstruksjon, ved hjelp av firkantede integrerbare harmoniske spinorer, av Harish-Chandras diskrete serierepresentasjoner av semisimple Lie-grupper . I løpet av dette arbeidet fant de et mer elementært bevis på Harish-Chandras grunnleggende teorem om den lokale integriteten til karakterer i Lie-grupper.

Med H. Donnelly og I. Singer utvidet han Hirzebruchs formel (relatert til signaturdefekten ved modulene av Hilbert-moduloverflater til verdier av L-funksjoner) fra virkelige kvadratiske felt til alle helt virkelige felt.

Målerteori (1977–1985)

Til venstre frastøter to nærliggende monopoler med samme polaritet hverandre, og til høyre danner to nærliggende monopoler med motsatt polaritet en dipol . Dette er abelske monopoler; de ikke-abelske som studert av Atiyah er mer kompliserte.

Mange av hans artikler om målteori og relaterte emner blir trykt på nytt i bind 5 av hans samlede verk. Et vanlig tema for disse oppgavene er studiet av moduler av løsninger for visse ikke-lineære partielle differensialligninger , spesielt ligningene for instantons og monopoler. Dette innebærer ofte å finne en subtil samsvar mellom løsninger av to tilsynelatende ganske forskjellige ligninger. Et tidlig eksempel på dette som Atiyah brukte gjentatte ganger er Penrose-transformasjonen , som noen ganger kan konvertere løsninger av en ikke-lineær ligning over noen reell manifold til løsninger av noen lineære holomorfe ligninger over en annen kompleks manifold.

I en serie artikler med flere forfattere klassifiserte Atiyah alle instantoner på 4-dimensjonalt euklidisk rom. Det er mer praktisk å klassifisere instantons på en sfære ettersom dette er kompakt, og dette er i hovedsak ekvivalent med å klassifisere instantons på euklidisk rom, ettersom dette er tilsvarende ekvivalent med en sfære og ligningene for instantons er conformally invariant. Med Hitchin og Singer beregnet han dimensjonen til modulrommet for ureduserbare selvdoble forbindelser (instantons) for enhver hovedbunt over en kompakt 4-dimensjonal Riemannian manifold ( Atiyah-Hitchin-Singer-setningen ). For eksempel er dimensjonen av rommet til SU 2 instantons av rang k > 0 8 k −3. For å gjøre dette brukte de Atiyah - Singer -indekssetningen for å beregne dimensjonen til tangensrommet til modulirommet på et punkt; tangensrommet er i hovedsak løsningsrommet til en elliptisk differensialoperator, gitt ved linearisering av de ikke-lineære Yang-Mills-ligningene. Disse modulrommene ble senere brukt av Donaldson til å konstruere sine invarianter av 4-manifolder . Atiyah og Ward brukte Penrose-korrespondansen for å redusere klassifiseringen av alle instantoner på 4-sfæren til et problem i algebraisk geometri. Med Hitchin brukte han ideer om Horrocks for å løse dette problemet, og ga ADHM -konstruksjonen av alle instantons på en kule; Manin og Drinfeld fant den samme konstruksjonen samtidig, noe som førte til et felles papir av alle fire forfatterne. Atiyah omformulerte denne konstruksjonen ved hjelp av kvartiner og skrev en rolig beretning om denne klassifiseringen av instantons på det euklidiske rommet som en bok.

De matematiske problemene som er løst eller teknikkene som har oppstått fra fysikk tidligere har vært matematikkens livsnerve.

Michael Atiyah

Atiyahs arbeid med instanton moduli -rom ble brukt i Donaldsons arbeid med Donaldson -teorien . Donaldson viste at modulrommet til (grad 1) instantoner over en kompakt enkelt koblet 4-manifold med positiv bestemt skjæringsform kan komprimeres for å gi et kobordisme mellom manifolden og en sum av kopier av komplekst projektivt rom. Han utledet av dette at skjæringsformen må være en sum av endimensjonale, noe som førte til flere spektakulære applikasjoner for å glatte 4-manifolder, for eksempel eksistensen av ikke-ekvivalente glatte strukturer på 4-dimensjonalt euklidisk rom. Donaldson fortsatte med å bruke de andre modulrommene studert av Atiyah for å definere Donaldson invarianter , noe som revolusjonerte studiet av glatte 4-manifolder, og viste at de var mer subtile enn glatte manifolder i noen annen dimensjon, og også ganske forskjellige fra topologiske 4- fordeler. Atiyah beskrev noen av disse resultatene i en undersøkelse.

Greens funksjoner for lineære partielle differensialligninger kan ofte bli funnet ved å bruke Fourier -transformasjonen for å konvertere dette til et algebraisk problem. Atiyah brukte en ikke-lineær versjon av denne ideen. Han brukte Penrose -transformasjonen til å konvertere den grønne funksjonen for den konformalt invariante Laplacian til et komplekst analytisk objekt, som i hovedsak viste seg å være den diagonale innstøpningen av Penrose -twistorrommet i torget. Dette tillot ham å finne en eksplisitt formel for den konformalt uforanderlige Greens funksjon på en 4-manifold.

I sitt papir med Jones studerte han topologien til modulrommet til SU (2) instantons over en 4-sfære. De viste at det naturlige kartet fra dette modulrommet til rommet til alle forbindelser induserer epimorfismer av homologigrupper i et visst område av dimensjoner, og antydet at det kan indusere isomorfismer av homologigrupper i samme dimensjonsområde. Dette ble kjent som Atiyah - Jones formodning , og ble senere bevist av flere matematikere.

Harder og MS Narasimhan beskrev kohomologien til modulrommene til stabile vektorbunter over Riemann -overflater ved å telle antall punkter på moduli -rommene over begrensede felt, og deretter bruke Weil -formodningene for å gjenopprette kohomologien over de komplekse tallene. Atiyah og R. Bott brukte Morse -teorien og Yang - Mills -ligningene over en Riemann -overflate for å gjengi og utvide resultatene av Harder og Narasimhan.

Et gammelt resultat på grunn av Schur og Horn sier at settet med mulige diagonale vektorer i en hermitisk matrise med gitte egenverdier er det konvekse skroget til alle permutasjonene til egenverdiene. Atiyah beviste en generalisering av dette som gjelder for alle kompakte symplektiske manifolder som ble påvirket av en torus, som viser at bildet av manifolden under øyeblikkskartet er et konveks polyeder, og med Pressley ga en relatert generalisering til uendelige dimensjonale sløyfegrupper.

Duistermaat og Heckman fant en slående formel og sa at fremdriften av Liouville-målet på et øyeblikkskart for en torus-handling er gitt nøyaktig ved tilnærming av stasjonær fase (som generelt bare er en asymptotisk ekspansjon snarere enn nøyaktig). Atiyah og Bott viste at dette kunne utledes av en mer generell formel i ekvivalent kohomologi , som var en konsekvens av velkjente lokaliseringsteoremer . Atiyah viste at øyeblikkskartet var nært knyttet til geometrisk invariant teori , og denne ideen ble senere utviklet mye videre av studenten F. Kirwan . Witten kort tid etter at du brukte Duistermaat - Heckman -formelen for å sløyfe mellomrom og viste at dette formelt ga Atiyah - Singer -indekssetningen for Dirac -operatøren; denne ideen ble forelest av Atiyah.

Med Hitchin jobbet han med magnetiske monopoler og studerte spredningen av dem ved å bruke en idé om Nick Manton . Boken hans med Hitchin gir en detaljert beskrivelse av arbeidet med magnetiske monopoler. Hovedtemaet i boken er en studie av et modulrom av magnetiske monopoler; dette har en naturlig Riemannian -metrikk, og et sentralt poeng er at denne metrikken er fullstendig og hyperkähler . Metrikken brukes deretter til å studere spredning av to monopoler, ved hjelp av et forslag fra N. Manton om at den geodesiske flyten på moduli -rommet er den lave energien tilnærming til spredningen. For eksempel viser de at en frontalkollisjon mellom to monopoler resulterer i 90-graders spredning, med spredningsretningen avhengig av de relative fasene til de to monopolene. Han studerte også monopoler på hyperbolsk plass.

Atiyah viste at instantons i 4 dimensjoner kan identifiseres med instantons i 2 dimensjoner, som er mye lettere å håndtere. Det er selvsagt en fangst: ved å gå fra 4 til 2 dimensjoner endrer strukturgruppen i måle teorien seg fra en endelig-dimensjonal gruppe til en uendelig-dimensjonal sløyfegruppe. Dette gir et annet eksempel der moduli -rom for løsninger av to tilsynelatende ikke -relaterte ikke -lineære partielle differensialligninger viser seg å være i det vesentlige de samme.

Atiyah og Singer fant at avvik i kvantefeltteori kunne tolkes i form av indeksteori for Dirac -operatøren; denne ideen ble senere mye brukt av fysikere.

Senere arbeid (1986–2019)

Edward Witten , hvis arbeid med invarianter av mangfold og topologiske kvantefeltteorier ble påvirket av Atiyah

Mange av avisene i sjette bind av hans samlede verk er undersøkelser, nekrologer og generelle samtaler. Atiyah fortsatte å publisere senere, inkludert flere undersøkelser, en populær bok og en annen artikkel med Segal om vridd K-teori.

En artikkel er en detaljert studie av Dedekind eta -funksjonen sett fra topologi og indekssetningen.

Flere av hans artikler fra rundt denne tiden studerer sammenhengen mellom kvantefeltteori, knuter og Donaldson -teori. Han introduserte begrepet en topologisk kvantefeltteori , inspirert av Wittens arbeid og Segals definisjon av en konform feltteori. Boken hans beskriver de nye knuteinvariantene som ble funnet av Vaughan Jones og Edward Witten når det gjelder topologiske kvantefeltteorier , og hans papir med L. Jeffrey forklarer Wittens Lagrangian som gir Donaldson invarianter .

Han studerte skyrmions med Nick Manton, fant et forhold til magnetiske monopoler og instantons , og ga en formodning om strukturen i modulrommet til to skyrmions som en viss underkvotient av komplekse projektive 3-rom.

Flere artikler ble inspirert av et spørsmål om Jonathan Robbins (kalt Berry-Robbins-problemet ), som spurte om det er et kart fra konfigurasjonsrommet til n- punkter i 3-mellomrom til flaggmanifolden til enhetsgruppen. Atiyah ga et bekreftende svar på dette spørsmålet, men følte at løsningen hans var for beregningsdyktig og studerte en formodning som ville gi en mer naturlig løsning. Han relaterte også spørsmålet til Nahms ligning , og introduserte Atiyah -formodningen om konfigurasjoner .

Men for de fleste praktiske formål bruker du bare de klassiske gruppene. De eksepsjonelle Lie -gruppene er bare der for å vise deg at teorien er litt større; det er ganske sjelden de noen gang dukker opp.

Michael Atiyah

Med Juan Maldacena og Cumrun Vafa og E. Witten beskrev han dynamikken i M-teorienmanifolder med G 2- holonomi . Disse papirene ser ut til å være første gang Atiyah har jobbet med eksepsjonelle løgngrupper.

I sine artikler med M. Hopkins og G. Segal vendte han tilbake til sin tidligere interesse for K-teori, og beskrev noen vridde former for K-teori med anvendelser i teoretisk fysikk.

I oktober 2016 hevdet han et kort bevis på at det ikke eksisterer komplekse strukturer på 6-sfæren. Beviset hans, i likhet med mange forgjenger, regnes som mangelfullt av det matematiske samfunnet, selv etter at beviset ble skrevet om i en revidert form.

I september 2018, på Heidelberg Laureate Forum , hevdet han et enkelt bevis på Riemann -hypotesen , Hilberts åttende problem og et av de gjenværende uløste Millennium Prize -problemene i matematikk, fra 2021.

Bibliografi

Bøker

Denne underdelen viser alle bøkene skrevet av Atiyah; den utelater noen få bøker han redigerte.

  • Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR  0242802. En klassisk lærebok som dekker standard kommutativ algebra.
  • Atiyah, Michael F. (1970), Vector fields on manifolds , Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 200, Cologne: Westdeutscher Verlag, MR  0263102. Gjengitt som ( Atiyah 1988b , artikkel 50).
  • Atiyah, Michael F. (1974), Elliptiske operatører og kompakte grupper , Forelesningsnotater i matematikk, bind. 401, Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0482866. Gjengitt som ( Atiyah 1988c , artikkel 78).
  • Atiyah, Michael F. (1979), Geometry of Yang - Mills fields , Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, MR  0554924. Gjengitt som ( Atiyah 1988e , artikkel 99).
  • Atiyah, Michael F .; Hitchin, Nigel (1988), Geometrien og dynamikken i magnetiske monopoler , MB Porter Lectures, Princeton University Press , doi : 10.1515/9781400859306 , ISBN 978-0-691-08480-0, MR  0934202. Gjengitt som ( Atiyah 2004 , artikkel 126).
  • Atiyah, Michael F. (1988a), Samlede verk. Vol. 1 Tidlige artikler: generelle artikler , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853275-0, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988b), Samlede verk. Vol. 2 K-teori , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853276-7, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988c), Samlede verk. Vol. 3 Indeksteori: 1 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853277-4, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988d), Samlede verk. Vol. 4 Indeksteori: 2 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853278-1, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988e), Samlede verk. Vol. 5 Gauge teorier , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853279-8, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1989), K-theory , Advanced Book Classics (2. utg.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, MR  1043170. Første utgave (1967) trykt på nytt som ( Atiyah 1988b , artikkel 45).
  • Atiyah, Michael F. (1990), The geometry and physics of knots , Lezioni Lincee. [Lincei forelesninger], Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623868 , ISBN 978-0-521-39521-2, MR  1078014. Gjengitt som ( Atiyah 2004 , artikkel 136).
  • Atiyah, Michael F. (2004), Samlede verk. Vol. 6 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853099-2, MR  2160826.
  • Atiyah, Michael F. (2007), Siamo tutti matematici (italiensk: Vi er alle matematikere) , Roma: Di Renzo Editore, s. 96, ISBN 978-88-8323-157-5
  • Atiyah, Michael (2014), Samlede verk. Vol. 7. 2002-2013 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-968926-2, MR  3223085.
  • Atiyah, Michael F .; Iagolnitzer, Daniel; Chong, Chitat (2015), Fields Medalists 'Lectures (3rd Edition) , World Scientific, doi : 10.1142/9652 , ISBN 978-981-4696-18-0.

Utvalgte papirer

Utmerkelser og æresbevisninger

Lokalene til Royal Society , hvor Atiyah var president fra 1990 til 1995

I 1966, da han var trettisju år gammel, ble han tildelt Fields-medaljen for sitt arbeid med å utvikle K-teori, en generalisert Lefschetz fastpunktssetning og Atiyah-Singer-setningen, som han også vant Abel-prisen for. sammen med Isadore Singer i 2004. Blant andre premier han har mottatt er Royal Medal of the Royal Society i 1968, De Morgan -medaljen fra London Mathematical Society i 1980, Antonio Feltrinelli -prisen fra Accademia Nazionale dei Lincei i 1981, the King Faisal International Prize for Science i 1987, Copley Medal of the Royal Society i 1988, Benjamin Franklin Medal for Distinguished Achievement in the Sciences of the American Philosophical Society i 1993, Jawaharlal Nehru Birth Centenary Medal fra Indian National Science Academy i 1993, presidentmedaljen fra Institute of Physics i 2008, Grande Médaille fra det franske vitenskapsakademiet i 2010 og stormannen i det franske Légion d'honneur i 2011.

Så jeg tror ikke det gjør så stor forskjell for matematikk å vite at det er forskjellige typer enkle grupper eller ikke. Det er et fint intellektuelt endepunkt, men jeg tror ikke det har noen grunnleggende betydning.

Michael Atiyah, og kommenterte klassifiseringen av begrensede enkle grupper

Han ble valgt til et utenlandsk medlem av National Academy of Sciences , American Academy of Arts and Sciences (1969), Académie des Sciences , Akademie Leopoldina , Royal Swedish Academy , Royal Irish Academy , Royal Society of Edinburgh , the American Philosophical Society , Indian National Science Academy , Chinese Academy of Science , Australian Academy of Science , Russian Academy of Science , Ukrainian Academy of Science , Georgian Academy of Science , Venezuela Academy of Science , Norwegian Academy of Science Science and Letters , Royal Spanish Academy of Science , Accademia dei Lincei og Moscow Mathematical Society . I 2012 ble han stipendiat i American Mathematical Society . Han ble også utnevnt til æresstipendiat ved Royal Academy of Engineering i 1993.

Atiyah ble tildelt æresgrader av universitetene i Birmingham, Bonn, Chicago, Cambridge, Dublin, Durham, Edinburgh, Essex, Ghent, Helsinki, Libanon, Leicester, London, Mexico, Montreal, Oxford, Reading, Salamanca, St. Andrews, Sussex , Wales, Warwick, American University of Beirut, Brown University, Charles University i Praha, Harvard University, Heriot - Watt University, Hong Kong (Chinese University), Keele University, Queen's University (Canada), The Open University, University of Waterloo , Wilfrid Laurier University, Technical University of Catalonia og UMIST.

Jeg måtte bruke en slags skuddsikker vest etter det!

Michael Atiyah, og kommenterte reaksjonen på det forrige sitatet

Atiyah ble utnevnt til Knight Bachelor i 1983 og ble medlem av Order of Merit i 1992.

Michael Atiyah -bygningen ved University of Leicester og Michael Atiyah -stolen i matematiske vitenskaper ved American University of Beirut ble oppkalt etter ham.

Personlige liv

Atiyah giftet seg med Lily Brown 30. juli 1955, som han hadde tre sønner med, John, David og Robin. Atiyahs eldste sønn John døde 24. juni 2002 mens han var på vandreferie i Pyreneene sammen med kona Maj-Lis. Lily Atiyah døde 13. mars 2018 i en alder av 90 år.

Sir Michael Atiyah døde 11. januar 2019, 89 år gammel.

Referanser

Kilder

Eksterne linker

Faglige og akademiske foreninger
Foregitt av
57. president i Royal Society
1990–1995
etterfulgt av
Foregitt av
42. president i Royal Society of Edinburgh
2005–2008
etterfulgt av
Akademiske kontorer
Foregitt av
35. Master of Trinity College, Cambridge
1990–1997
etterfulgt av
Foregitt av
4. kansler ved University of Leicester
1995–2005
etterfulgt av
Utmerkelser og prestasjoner
Foregitt av
Copley -medalje
1988
etterfulgt av