Minkowski plass - Minkowski space

Hermann Minkowski (1864–1909) fant ut at teorien om spesiell relativitetsteori, introdusert av hans tidligere student Albert Einstein , best kunne forstås som et fire-dimensjonalt rom, siden kjent som Minkowski-romtiden.

I matematisk fysikk , Minkowski plass (eller Minkowski rom og tid ) ( / m ɪ ŋ k ɔː f s k i , - k ɒ f - / ) er en kombinasjon av tre-dimensjonale euklidsk rom og tid til en firedimensjonal manifold der i rom og tid intervallet mellom to hendelser er uavhengig av den Treghetssystem som de er registrert. Selv om den opprinnelig ble utviklet av matematiker Hermann Minkowski for Maxwells elektromagnetiske ligninger , ble den matematiske strukturen til Minkowski romtid vist å være underforstått av postulatene om spesiell relativitet .

Minkowski -rommet er nært knyttet til Einsteins teorier om spesiell relativitet og generell relativitet og er den vanligste matematiske strukturen som spesiell relativitet er formulert på. Mens de enkelte komponentene i det euklidiske rommet og tiden kan variere på grunn av lengdekontraksjon og tidsutvidelse , vil alle referanserammer i Minkowski romtid være enige om den totale avstanden i romtiden mellom hendelsene. Fordi den behandler tid annerledes enn den behandler de 3 romlige dimensjonene, skiller Minkowski-rommet seg fra det fire-dimensjonale euklidiske rommet .

I det tredimensjonale euklidiske rommet (f.eks. Ganske enkelt plass i galilisk relativitet ), er isometri-gruppen (kartene som bevarer den vanlige euklidiske avstanden ) den euklidiske gruppen . Det genereres av rotasjoner , refleksjoner og oversettelser . Når tiden blir endret som en fjerde dimensjon, blir ytterligere transformasjoner av oversettelser i tid og galileiske booster lagt til, og gruppen av alle disse transformasjonene kalles den galileiske gruppen . Alle galileiske transformasjoner bevarer den tredimensjonale euklidiske avstanden. Denne avstanden er rent romlig. Tidsforskjeller beholdes også separat . Dette endres i romtiden for spesiell relativitet, hvor rom og tid er sammenvevd.

Spacetime er utstyrt med en ubestemt ikke-degenerert bilinjær form , på forskjellige måter kalt Minkowski-metrikk , Minkowski-norm i firkant eller Minkowski indre produkt, avhengig av konteksten. Minkowski indre produkt er definert for å gi romtiden mellom to hendelser når de får sin koordinatforskjellvektor som argument. Utstyrt med dette indre produktet, kalles den matematiske modellen for romtid Minkowski -rom. Analogen til den galileiske gruppen for Minkowski -rom, som bevarer romtiden (i motsetning til den romlige euklidiske avstanden) er Poincaré -gruppen .

Som manifolder er den galileiske romtiden og Minkowski romtiden den samme . De er forskjellige i hvilke ytterligere strukturer som er definert på dem. Førstnevnte har den euklidiske avstandsfunksjonen og tidsintervallet (separat) sammen med treghetsrammer hvis koordinater er relatert til galileiske transformasjoner, mens sistnevnte har Minkowski -metrikken sammen med treghetsrammer hvis koordinater er relatert til Poincaré -transformasjoner.

Historie

Kompleks Minkowski romtid

I sin andre relativitets papir i 1905-1906 Henri Poincaré viste hvordan, ved å ta seg tid til å være en imaginær fjerde rom-tid koordinatsystem $ict$ , hvor $c$ er lyshastigheten , og $i$ er den imaginære enhet , kan Lorentz transformasjoner bli visualisert som ordinære rotasjoner av firedimensjonal euklidisk sfære

{\ displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2} = {\ text {const}}.}

Poincaré sett $c = 1$ for enkelhets skyld. Rotasjoner i fly som strekker seg over to romenhetsvektorer vises både i koordinatrom og i fysisk romtid som euklidiske rotasjoner og tolkes i vanlig forstand. "Rotasjonen" i et plan som strekker seg over en romenhetsvektor og en tidsenhetsvektor, mens den formelt sett fortsatt er en rotasjon i koordinatrommet, er et Lorentz -løft i fysisk romtid med reelle treghetskoordinater. Analogien med euklidiske rotasjoner er bare delvis siden sfærens radius faktisk er imaginær som gjør rotasjoner til rotasjoner i det hyperboliske rommet. (se hyperbolsk rotasjon )

Denne ideen, som bare ble nevnt veldig kort av Poincaré, ble utarbeidet i detalj av Minkowski i et omfattende og innflytelsesrikt papir på tysk i 1908 kalt "The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies". Minkowski, ved å bruke denne formuleringen, gjentok den da nyere relativitetsteorien til Einstein. Spesielt ved å gjenskape Maxwell -ligningene som et symmetrisk sett med ligninger i de fire variablene $(x, y, z, ict)$ kombinert med omdefinerte vektorvariabler for elektromagnetiske størrelser, var han i stand til å vise direkte og veldig enkelt deres invarians under Lorentz -transformasjon . Han ga også andre viktige bidrag og brukte matrisenotasjon for første gang i denne sammenhengen. Fra omformuleringen hans konkluderte han med at tid og rom skulle behandles likt, og så oppstod hans begrep om hendelser som fant sted i et enhetlig fire-dimensjonalt romtidskontinuum .

Ekte Minkowski romtid

I en videreutvikling i foredraget "Space and Time" fra 1908 ga Minkowski en alternativ formulering av denne ideen som brukte en sanntidskoordinat i stedet for en imaginær, som representerte de fire variablene $(x, y, z, t)$ av rom og tid i koordinatform i et fire -dimensjonalt ekte vektorrom . Poeng i dette rommet tilsvarer hendelser i romtiden. I dette rommet er det en definert lyskjegle knyttet til hvert punkt, og hendelser som ikke er på lyskjeglen klassifiseres etter forholdet til toppen som romlig eller tidslig . Det er hovedsakelig dette synet på romtid som er gjeldende i dag, selv om det eldre synet som involverer imaginær tid også har påvirket spesiell relativitet.

I den engelske oversettelsen av Minkowskis artikkel blir Minkowski -metrikken som definert nedenfor referert til som linjeelementet . Det indre produktet av Minkowski nedenfor fremstår uten navn når det refereres til ortogonalitet (som han kaller normalitet ) for visse vektorer, og Minkowski -normen i firkant refereres til (noe kryptisk, kanskje dette er oversettelsesavhengig) som "sum".

Minkowskis hovedverktøy er Minkowski -diagrammet , og han bruker det til å definere konsepter og demonstrere egenskaper ved Lorentz -transformasjoner (f.eks. Riktig tid og lengdekontraksjon ) og for å gi geometrisk tolkning til generalisering av Newtonsk mekanikk til relativistisk mekanikk . For disse spesielle emnene, se de refererte artiklene, ettersom presentasjonen nedenfor hovedsakelig vil være begrenset til den matematiske strukturen (Minkowski -metrikk og fra den avledede mengder og Poincaré -gruppen som symmetri -gruppe i romtiden) som følge av invariansen av romtiden -intervallet på romtidens mangfold som konsekvenser av postulatene om spesiell relativitet, ikke for spesifikk anvendelse eller avledning av invariansen av romtiden. Denne strukturen gir bakgrunnen for alle nåværende relativistiske teorier, med unntak av generell relativitet som flat Minkowski romtid fremdeles gir et springbrett ettersom buet romtid lokalt er Lorentzian.

Minkowski, klar over den grunnleggende omformuleringen av teorien han hadde laget, sa

Synene på rom og tid som jeg ønsker å legge før du har sprunget ut av jorda i eksperimentell fysikk, og der ligger deres styrke. De er radikale. Fra nå av er rommet i seg selv og tiden i seg selv dømt til å forsvinne til bare skygger, og bare en slags forening av de to vil bevare en uavhengig virkelighet.

- Hermann Minkowski, 1908, 1909

Selv om Minkowski tok et viktig skritt for fysikken, så Albert Einstein sin begrensning:

På et tidspunkt da Minkowski ga den geometriske tolkningen av spesiell relativitet ved å utvide det euklidiske tre-rommet til et kvasi-euklidisk fire-rom som inkluderte tid, var Einstein allerede klar over at dette ikke er gyldig, fordi det utelukker fenomenet gravitasjon . Han var fortsatt langt fra studiet av krøllete koordinater og Riemannian geometri , og det tunge matematiske apparatet innebar.

For ytterligere historisk informasjon, se referansene Galison (1979) , Corry (1997) og Walter (1999) .

Kausal struktur

Underavdeling av Minkowski romtid med hensyn til en hendelse i fire usammenhengende sett. Den lyskjeglen , den absolutte fremtiden , den absolutt siste , og andre steder . Terminologien er fra Sard (1970) .

Hvor $v$ er hastighet, og $x$ , $y$ og $z$ er kartesiske koordinater i tredimensjonalt rom, og $c$ er konstanten som representerer den universelle fartsgrensen, og $t$ er tiden, den fire-dimensjonale vektoren $v = (ct, x, y, z) = (ct, r)$ er klassifisert i henhold til tegnet på $c 2 t 2 - r 2$ . En vektor er timelike hvis $c 2 t 2 > r 2$ , spacelike hvis $c 2 t 2 < r 2$ , og null eller lightlike hvis $c 2 t 2 = r 2$ . Dette kan uttrykkes i form av tegnet $η (v, v)$ også, som avhenger av signaturen. Klassifiseringen av en hvilken som helst vektor vil være den samme i alle referanserammer som er relatert til en Lorentz -transformasjon (men ikke ved en generell Poincaré -transformasjon fordi opprinnelsen da kan forskyves) på grunn av intervallets variasjon.

Settet av alle nullvektorer ved en hendelse i Minkowski -rommet utgjør lyskeglen til den hendelsen. Gitt en tidlignende vektor $v$ , er det en verdenslinje med konstant hastighet knyttet til den, representert med en rett linje i et Minkowski -diagram.

Når en tidsretning er valgt, kan tidlige og nullvektorer nedbrytes ytterligere i forskjellige klasser. For tidlignende vektorer har man

fremtidsrettede tidlignende vektorer hvis første komponent er positiv, (spiss av vektor som ligger i absolutt fremtid i figur) og
fortidsrettede tidlignende vektorer hvis første komponent er negativ (absolutt fortid).

Nullvektorer faller i tre klasser:

nullvektoren, hvis komponenter på en hvilken som helst basis er $(0, 0, 0, 0)$ (opprinnelse),
fremtidsrettede nullvektorer hvis første komponent er positiv (øvre lyskegle), og
fortidsrettede nullvektorer hvis første komponent er negativ (nedre lyskegle).

Sammen med romlignende vektorer er det totalt 6 klasser.

Et ortonormalt grunnlag for Minkowski -rom består nødvendigvis av en tidlignende og tre romlignende enhetsvektorer. Hvis man ønsker å jobbe med ikke-ortonormale baser, er det mulig å ha andre kombinasjoner av vektorer. For eksempel kan man enkelt konstruere et (ikke-ortonormalt) grunnlag som utelukkende består av nullvektorer, kalt nullbasis .

Vektorfelt er kalt timelike, spacelike eller null hvis de tilhørende vektorer er timelike, spacelike eller null ved hvert punkt hvor banen er definert.

Egenskaper for tidslignende vektorer

Tidslignende vektorer har spesiell betydning i relativitetsteorien da de tilsvarer hendelser som er tilgjengelige for observatøren ved (0, 0, 0, 0) med en hastighet som er mindre enn lysets. Av mest interesse er tidslignende vektorer som er likt på samme måte enten i fremre eller bakre kjegler. Slike vektorer har flere egenskaper som ikke deles av romlignende vektorer. Disse oppstår fordi både forover og bakover kjegler er konvekse mens den romlignende regionen ikke er konveks.

Skalært produkt

Den skalarproduktet av to tids lignende vektorer $u 1 = (t 1, x 1, y 1, z 1)$ og $u 2 = (t 2, x 2, y 2, z 2)$ er

{\ displaystyle \ eta (u_ {1}, u_ {2}) = u_ {1} \ cdot u_ {2} = c^{2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2}.}

Positivitet av skalarprodukt : En viktig egenskap er at skalarproduktet av to lignende rettede tidslignende vektorer alltid er positivt. Dette kan sees av den omvendte Cauchy - Schwarz -ulikheten nedenfor. Det følger at hvis skalarproduktet av to vektorer er null, må minst en av disse være plasslignende. Skalarproduktet av to romlignende vektorer kan være positivt eller negativt som det kan sees ved å vurdere produktet av to romlignende vektorer som har ortogonale romlige komponenter og tider enten med forskjellige eller samme tegn.

Ved å bruke positivitetsegenskapen til tidslignende vektorer er det lett å verifisere at en lineær sum med positive koeffisienter av lignende rettede tidslignende vektorer også er liknende rettet tidsliknende (summen forblir innenfor lyskegelen på grunn av konveksitet).

Norm og reversert Cauchy -ulikhet

Normen for en tidslignende vektor $u = (ct, x, y, z)$ er definert som

{\ displaystyle \ left \ | u \ right \ | = {\ sqrt {\ eta (u, u)}} = {\ sqrt {c^{2} t^{2} -x^{2} -y^ {2} -z^{2}}}}

Den omvendte Cauchy-ulikheten er en annen konsekvens av konveksiteten til begge lyskegler. For to distinkte, liknende dirigerte tidslignende vektorer $u 1$ og $u 2 er$ denne ulikheten

{\ displaystyle \ eta (u_ {1}, u_ {2})> \ venstre \ | u_ {1} \ høyre \ | \ venstre \ | u_ {2} \ høyre \ |}

eller algebraisk,

{\ displaystyle c^{2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2}> {\ sqrt {\ venstre (c^{2} t_ {1}^{2} -x_ {1}^{2} -y_ {1}^{2} -z_ {1}^{2} \ høyre) \ venstre (c^{ 2} t_ {2}^{2} -x_ {2}^{2} -y_ {2}^{2} -z_ {2}^{2} \ høyre)}}}}

Fra dette kan positivitetsegenskapen til skalarproduktet ses.

Den omvendte trekanten ulikhet

For to lignende rettede tidslignende vektorer $u$ og $w$ er ulikheten

{\ displaystyle \ left \ | u+w \ right \ | \ geq \ left \ | u \ right \ |+\ left \ | w \ right \ |,}

hvor likestillingen holder når vektorene er lineært avhengige .

Beviset bruker den algebraiske definisjonen med den omvendte Cauchy -ulikheten:

{\ displaystyle \ left \ | u+w \ right \ |^{2} = \ left \ | u \ right \ |^{2} +2 \ left (u, w \ right)+\ left \ | w \ høyre \ |^{2} \ geq \ venstre \ | u \ høyre \ |^{2} +2 \ venstre \ | u \ høyre \ | \ venstre \ | w \ høyre \ |+\ venstre \ | w \ høyre \ |^{2} = \ venstre (\ venstre \ | u \ høyre \ |+\ venstre \ | w \ høyre \ | \ høyre)^{2}}

Resultatet følger nå ved å ta kvadratroten på begge sider.

Matematisk struktur

Det antas nedenfor at romtiden er utstyrt med et koordinatsystem som tilsvarer en treghetsramme . Dette gir en opprinnelse , som er nødvendig for å kunne referere til romtid som modellert som et vektorrom. Dette er egentlig ikke fysisk motivert ved at en kanonisk opprinnelse ("sentral" hendelse i romtiden) skulle eksistere. Man kan slippe unna med mindre struktur, som for et affint rom , men dette ville unødvendig komplisert diskusjonen og ville ikke gjenspeile hvordan flat romtid normalt blir behandlet matematisk i moderne innledende litteratur.

For en oversikt er Minkowski -rommet et $4$ -dimensjonalt ekte vektorrom utstyrt med en ikke -generert, symmetrisk bilinær form på tangensrommet ved hvert punkt i romtiden, her ganske enkelt kalt Minkowski -indre produkt , med metrisk signatur enten $(+ - - -)$ eller $( - + + +)$ . Tangensrommet ved hver hendelse er et vektorrom av samme dimensjon som romtid, $4$ .

Tangentvektorer

En billedlig fremstilling av tangensrommet på et punkt,

x

, på en kule . Dette vektorrommet kan betraktes som et underrom av

ℝ 3

selv. Da ville vektorer i den bli kalt geometriske tangensvektorer . Ved det samme prinsippet kan tangensrommet på et punkt i flat romtid betraktes som et underrom av romtid som tilfeldigvis er hele romtiden.

I praksis trenger man ikke å være bekymret for tangensrommene. Vektorrom -naturen til Minkowski -rom tillater kanonisk identifisering av vektorer i tangensrom på punkter (hendelser) med vektorer (punkter, hendelser) i selve Minkowski -rommet. Se f.eks. Lee (2003 , proposisjon 3.8.) Eller Lee (2012 , proposisjon 3.13.) Disse identifikasjonene gjøres rutinemessig i matematikk. De kan formelt uttrykkes i kartesiske koordinater som

{\ displaystyle {\ begynne {justert} \ venstre (x^{0}, \, x^{1}, \, x^{2}, \, x^{3} \ høyre) \ & \ venstrehøyre pil \ \ left.x^{0} \ mathbf {e} _ {0} \ right | _ {p}+\ left.x^{1} \ mathbf {e} _ {1} \ right | _ {p}+\ left.x^{2} \ mathbf {e} _ {2} \ right | _ {p}+\ left.x^{3} \ mathbf {e} _ {3} \ right | _ {p} \\ \ & \ leftrightarrow \ \ left.x^{0} \ mathbf {e} _ {0} \ right | _ {q}+\ left.x^{1} \ mathbf {e} _ {1} \ right | _ {q}+\ left.x^{2} \ mathbf {e} _ {2} \ right | _ {q}+\ left.x^{3} \ mathbf {e} _ {3} \ right | _ {q}, \ end {align}}}

med basisvektorer i tangensområdene definert av

{\ displaystyle \ left. \ mathbf {e} _ {\ mu} \ right | _ {p} = \ left. {\ frac {\ partiell} {\ delvis x^{\ mu}}} \ høyre | _ { p} {\ text {or}} \ mathbf {e} _ {0} | _ {p} = \ left ({\ begin {matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ til høyre) {\ text {, etc}}.}

Her er $p$ og $q$ to hendelser, og den andre basisvektoridentifikasjonen kalles parallell transport . Den første identifikasjonen er den kanoniske identifikasjonen av vektorer i tangensrommet når som helst med vektorer i selve rommet. Utseendet til basisvektorer i tangentrom som differensialoperatorer av første orden skyldes denne identifiseringen. Det er motivert av observasjonen at en geometrisk tangensvektor kan assosieres på en-til-en-måte med en retningsderivatoperatør på settet med glatte funksjoner. Dette fremmes til en definisjon av tangentvektorer i manifolder som ikke nødvendigvis er innebygd i $R n$ . Denne definisjonen av tangentvektorer er ikke den eneste mulige da vanlige n -tupler også kan brukes.

Definisjoner av tangentvektorer som vanlige vektorer

En tangentvektor på et punkt $p$ kan defineres, her spesialisert på kartesiske koordinater i Lorentz -rammer, som $4 \times 1$ kolonnevektorer $v$ assosiert med hver Lorentz -ramme relatert til Lorentz -transformasjon $Λ$ slik at vektoren $v$ i en ramme relatert til en ramme ved $Λ$ transformerer i henhold til $v \to Λ v$ . Dette er den samme måten som koordinatene $x μ$ transformerer. Eksplisitt,

{\ displaystyle {\ begin {align} x '^{\ mu} & = {\ Lambda^{\ mu}} _ {\ nu} x^{\ nu}, \\ v'^{\ mu} & = {\ Lambda ^{\ mu}} _ {\ nu} v ^{\ nu}. \ Ende {justert}}}

Denne definisjonen tilsvarer definisjonen gitt ovenfor under en kanonisk isomorfisme.

For noen formål er det ønskelig å identifisere tangentvektorer på et punkt $p$ med forskyvningsvektorer på $p$ , noe som selvfølgelig er tillatt ved i hovedsak den samme kanoniske identifikasjonen. Identifikasjonene til vektorer som det er referert til ovenfor i den matematiske setting, kan tilsvarende finnes i en mer fysisk og eksplisitt geometrisk setting i Misner, Thorne & Wheeler (1973) . De tilbyr forskjellige grader av raffinement (og strenghet) avhengig av hvilken del av materialet man velger å lese.

Metrisk signatur

Den metriske signaturen refererer til hvilket tegn Minkowski indre produkt gir når det får plass ( romlig for å være spesifikk, definert lenger nede) og tidsbaserte vektorer ( tidlignende ) som argumenter. Ytterligere diskusjon om dette teoretisk ubetydelige, men praktisk nødvendig valget for intern konsistens og bekvemmelighet utsettes til skjulboksen nedenfor.

Valget av metrisk signatur

Generelt, men med flere unntak, foretrekker matematikere og generelle relativister at romlignende vektorer gir et positivt tegn, $( - + + +)$ , mens partikkelfysikere har en tendens til å foretrekke at tidlignende vektorer gir et positivt tegn, $( + - - -)$ . Forfattere som dekker flere fysikkområder, f.eks. Steven Weinberg og Landau og Lifshitz ( $( - + + +)$ og $( + - - -)$ ) holder seg til ett valg uavhengig av emne. Argumenter for den tidligere konvensjonen inkluderer "kontinuitet" fra det euklidiske tilfellet som tilsvarer den ikke-relativistiske grensen $c \to \infty$ . Argumenter for sistnevnte inkluderer at minustegn, ellers allestedsnærværende i partikkelfysikk, forsvinner. Andre forfattere, spesielt innledende tekster, f.eks. Kleppner & Kolenkow (1978) , velger ikke en signatur i det hele tatt, men velger i stedet å koordinere romtiden slik at tidskoordinaten (men ikke selve tiden!) Er imaginær. Dette fjerner behovet for den eksplisitte introduksjonen av en metrisk tensor (som kan virke som en ekstra belastning i et introduksjonskurs), og man trenger ikke å være bekymret for kovariante vektorer og kontravariantvektorer (eller økning og senking av indekser) som skal beskrives nedenfor. Det indre produktet påvirkes i stedet av en enkel forlengelse av prikkproduktet i $ℝ 3$ til $ℝ 3 \times ℂ$ . Dette fungerer i den flate romtiden til spesiell relativitet, men ikke i den buede romtiden til generell relativitet, se Misner, Thorne & Wheeler (1973 , boks 2.1, Farvel til ict ) (som forresten bruker $( - + + +)$ ) . MTW argumenterer også for at det skjuler den sanne ubestemte naturen til metrikken og Lorentz boosters sanne natur, som ikke er rotasjoner. Det kompliserer også unødvendig bruken av verktøy med differensialgeometri som ellers er umiddelbart tilgjengelig og nyttig for geometrisk beskrivelse og beregning - selv i den flate romtiden av spesiell relativitet, for eksempel det elektromagnetiske feltet.

Terminologi

Matematisk knyttet til den bilinjære formen er en tensor av typen $(0,2)$ på hvert punkt i romtiden, kalt Minkowski -metriket . Minkowski -metriket, den bilinjære formen og Minkowski indre produkt er alle det samme objektet; det er en bilinear funksjon som godtar to (kontravariant) vektorer og returnerer et reelt tall. I koordinater er dette $4 \times 4$ -matrisen som representerer den bilinjære formen.

Til sammenligning, i generell relativitets , en Lorentzian manifold $l$ er likeledes utstyrt med en metrisk tensor $g$ , som er en ikke-degenerert symmetrisk bilineær skjemaet på plass tangent $T p L$ i hvert punkt $p$ av $L$ . I koordinater kan den representeres av en $4 \times 4$ matrise avhengig av romtidsposisjon . Minkowski -rommet er dermed et relativt enkelt spesialtilfelle av en Lorentzian -manifold. Dens metriske tensor er i koordinater den samme symmetriske matrisen på hvert punkt i $M$ , og argumentene kan, ovenfor, tas som vektorer i selve romtiden.

Introduserer mer terminologi (men ikke mer struktur), og Minkowski-rommet er dermed et pseudo-euklidisk rom med total dimensjon $n = 4$ og signatur $(3, 1)$ eller $(1, 3)$ . Elementer av Minkowski -rom kalles hendelser . Minkowski plass er ofte angitt $ℝ 3,1$ eller $ℝ 1,3$ for å understreke den valgte signatur, eller bare $M$ . Det er kanskje det enkleste eksemplet på en pseudo-Riemannian manifold .

Et interessant eksempel på ikke-treghetskoordinater for (en del av) Minkowski romtid er Born-koordinatene . Et annet nyttig sett med koordinater er lyskegle-koordinatene .

Pseudo-euklidiske beregninger

Den Minkowski indre Produktet er ikke et indre produkt , siden det ikke er positivt bestemte , dvs. kvadratisk form $η (v, v)$ trenger ikke være positive for ikke-null $v$ . Den positivt bestemte tilstanden er erstattet av den svakere tilstanden til ikke-degenerasjon. Den bilinære formen sies å være på ubestemt tid . Minkowski -metriken $η$ er den metriske tensoren til Minkowski -rommet. Det er en pseudo-euklidisk metrikk, eller mer generelt en konstant pseudo-Riemannian-metrikk i kartesiske koordinater. Som sådan er det en ikke -generert symmetrisk bilinær form, en type $(0, 2)$ tensor. Det aksepterer to argumenter $u p, v p$ , vektorer i $T p M, p \in M$ , tangenten plass ved $p$ i $M$ . På grunn av den ovennevnte kanoniske identifikasjon av $T p M$ med $M$ i seg selv, tar det argumentene $u, v$ med både $u$ og $v$ i $M$ .

Som en notasjonskonvensjon er vektorer $v$ i $M$ , kalt 4-vektorer , angitt med kursiv, og ikke, som det er vanlig i den euklidiske innstillingen, med fet skrift $v$ . Sistnevnte er generelt forbeholdt $3$ -vektordelen (som skal presenteres nedenfor) av en $4$ -vektor.

Definisjonen

{\ displaystyle u \ cdot v = \ eta (u, \, v)}

gir en indre produktlignende struktur på $M$ , tidligere og også fremover, kalt Minkowski indre produkt , lik det euklidiske indre produktet , men det beskriver en annen geometri. Det kalles også det relativistiske prikkproduktet . Hvis de to argumentene er like,

{\ displaystyle u \ cdot u = \ eta (u, u) \ equiv \ | u \ |^{2} \ equiv u^{2},}

den resulterende mengden vil bli kalt Minkowski -normen i kvadrat . Minkowski indre produkt tilfredsstiller følgende egenskaper.

Linearitet i første argument: ${\ displaystyle \ eta (au+v, \, w) = a \ eta (u, \, w)+\ eta (v, \, w), \ quad \ forall u, \, v \ in M, \ ; \ forall a \ in \ mathbb {R}}$
Symmetri: ${\ displaystyle \ eta (u, \, v) = \ eta (v, \, u)}$
Ikke-degenerasjon: ${\ displaystyle \ eta (u, \, v) = 0, \; \ forall v \ in M \ \ Rightarrow \ u = 0}$

De to første forholdene innebærer bilinearitet. Den definerende forskjellen mellom et pseudo-indre produkt og et indre produkt er at det førstnevnte ikke er nødvendig for å være positivt bestemt, det vil si at $η (u, u) <0$ er tillatt.

Det viktigste trekket ved det indre produktet og normen i firkant er at dette er mengder som ikke påvirkes av Lorentz -transformasjoner . Faktisk kan det tas som den definerende egenskapen til en Lorentz -transformasjon at den bevarer det indre produktet (dvs. verdien av den tilsvarende bilinære formen på to vektorer). Denne tilnærmingen tas mer generelt for alle klassiske grupper som kan defineres på denne måten i klassisk gruppe . Der er matrisen $Φ$ identisk i tilfellet $O (3, 1)$ (Lorentz -gruppen) med matrisen $η$ som skal vises nedenfor.

To vektorer $v$ og $w$ sies å være ortogonale hvis $η (v, w) = 0$ . For en geometrisk tolkning av ortogonalitet i det spesielle tilfellet når $η (v, v) \leq 0$ og $η (w, w) \geq 0$ (eller omvendt), se hyperbolsk ortogonalitet .

En vektor $e$ kalles en enhetsvektor hvis $η (e, e) = \pm 1$ . Et grunnlag for $M$ bestående av gjensidig ortogonale enhetsvektorer kalles et ortonormalt grunnlag .

For en gitt treghetsramme danner et ortonormalt grunnlag i rommet, kombinert med enhetstidsvektoren, et ortonormalt grunnlag i Minkowski -rommet. Antall positive og negative enhetsvektorer på et slikt grunnlag er et fast tallpar, lik signaturen til den bilinjære formen knyttet til det indre produktet. Dette er Sylvesters treghetslov .

Mer terminologi (men ikke mer struktur): Den Minkowski beregningen er en pseudo-Riemannisk metrisk , mer spesifikt, et Lorentzian metrisk , enda mer spesifikt, den Lorentz metrisk, reservert for $fire$ -dimensjonal flate rom og tid med den gjenværende tvetydigheten blir bare signaturen konvensjon .

Minkowski metrisk

Fra det andre postulatet om spesiell relativitet , sammen med homogenitet i romtid og isotropi av rom, følger det at mellomtiden mellom to vilkårlige hendelser kalt $1$ og $2$ er:

{\ displaystyle c^{2} \ venstre (t_ {1} -t_ {2} \ høyre)^{2}-\ venstre (x_ {1} -x_ {2} \ høyre)^{2}-\ venstre (y_ {1} -y_ {2} \ høyre)^{2}-\ venstre (z_ {1} -z_ {2} \ høyre)^{2}.}

Denne mengden er ikke konsekvent navngitt i litteraturen. Intervallet blir noen ganger referert til som kvadratroten til intervallet som definert her.

Invariansen til intervallet under koordinat transformasjoner mellom treghetsrammer følger av invariansen av

{\ displaystyle c^{2} t^{2} -x^{2} -y^{2} -z^{2}}

forutsatt at transformasjonene er lineære. Denne kvadratiske formen kan brukes til å definere en bilinjær form

{\ displaystyle u \ cdot v = c^{2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2}.}

via polariseringsidentiteten . Denne bilinære formen kan igjen skrives som

{\ displaystyle u \ cdot v = u^{\ textf {T}} [\ eta] v,}

hvor $[η]$ er en $4 \times 4$ matrise assosiert med $η$ . Selv om det muligens er forvirrende, er det vanlig praksis å betegne $[η]$ med bare $η$ . Matrisen leses av fra den eksplisitte tokantede formen som

{\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}},}

og den bilinære formen

{\ displaystyle u \ cdot v = \ eta (u, v),}

som denne delen startet med å anta at den eksisterer, er nå identifisert.

For bestemthet og kortere presentasjon, er signaturen $( - + + +)$ vedtatt nedenfor. Dette valget (eller det andre mulige valget) har ingen (kjente) fysiske implikasjoner. Symmetri -gruppen som bevarer den bilinjære formen med ett signaturvalg er isomorf (under kartet gitt her ) med symmetri -gruppen som beholder det andre valget av signatur. Dette betyr at begge valgene er i samsvar med de to relativitetens postulater. Det er greit å bytte mellom de to konvensjonene. Hvis den metriske tensoren $η$ har blitt brukt i en avledning, går du tilbake til det tidligste punktet der den ble brukt, erstatter $η$ for $- η$ , og går tilbake til ønsket formel med ønsket metrisk signatur.

Standard basis

Et standardgrunnlag for Minkowski -rom er et sett med fire innbyrdes ortogonale vektorer ${e 0, e 1, e 2, e 3}$ slik at

{\ displaystyle -\ eta (e_ {0}, e_ {0}) = \ eta (e_ {1}, e_ {1}) = \ eta (e_ {2}, e_ {2}) = \ eta (e_ {3}, e_ {3}) = 1.}

Disse betingelsene kan skrives kompakt i skjemaet

{\ displaystyle \ eta (e _ {\ mu}, e _ {\ nu}) = \ eta _ {\ mu \ nu}.}

I forhold til standardbasis skrives komponentene i en vektor $v$ $(v 0, v 1, v 2, v 3)$ der Einstein -notasjonen brukes til å skrive $v = v μ e μ$ . Komponenten $v 0$ kalles den tidlignende komponenten til $v$ mens de tre andre komponentene kalles de romlige komponentene . De romlige komponentene i en $4$ -vektor $v$ kan identifiseres med en $3$ -vektor $v = (v 1, v 2, v 3)$ .

Når det gjelder komponenter, er Minkowski indre produkt mellom to vektorer $v$ og $w$ gitt av

{\ displaystyle \ eta (v, w) = \ eta _ {\ mu \ nu} v^{\ mu} w^{\ nu} = v^{0} w_ {0}+v^{1} w_ { 1}+v^{2} w_ {2}+v^{3} w_ {3} = v^{\ mu} w _ {\ mu} = v _ {\ mu} w^{\ mu},}

og

{\ displaystyle \ eta (v, v) = \ eta _ {\ mu \ nu} v^{\ mu} v^{\ nu} = v^{0} v_ {0}+v^{1} v_ { 1}+v^{2} v_ {2}+v^{3} v_ {3} = v^{\ mu} v _ {\ mu}.}

Her ble senking av en indeks med metrikken brukt.

Heving og senking av indekser

Lineære funksjoner (1-former) α , β og deres sum σ og vektorer u , v , w , i 3d euklidisk rom . Antall (1-form) hyperplan som skjæres av en vektor er lik det indre produktet .

Teknisk gir en ikke-degenerert bilinjær form et kart mellom et vektorrom og dets dobbel; i denne sammenheng, er kartet mellom tangent områder av $M$ og cotangens områder av $M$ . På et punkt i $M$ er tangent- og cotangent -mellomrommene to vektorrom (så dimensjonen til cotangent -rommet ved en hendelse er også $4$ ). På samme måte som et autentisk indre produkt på et vektorrom med ett argument som er fikset, ved Riesz representasjonsteorem , kan uttrykkes som virkningen av en lineær funksjonell på vektorrommet, gjelder det samme for Minkowski indre produkt av Minkowski -rommet.

Så hvis $v μ$ er komponentene i en vektor i et $tangensrom$ , så er $η μν v μ = v v$ komponentene i en vektor i cotangent -rommet (en lineær funksjonell). På grunn av identifiseringen av vektorer i tangensrom med vektorer i $M$ selv, blir dette stort sett ignorert, og vektorer med lavere indekser blir referert til som kovariante vektorer . I denne sistnevnte tolkningen er de kovariante vektorene (nesten alltid implisitt) identifisert med vektorer (lineære funksjoner) i dobbelten av Minkowski -rommet. De med øvre indekser er kontravariantvektorer . På samme måte kan det inverse av kartet fra tangent til cotangent mellomrom, eksplisitt gitt av inverse av $η$ i matrise representasjon, brukes til å definere heving av en indeks . Komponentene i denne inverse er betegnet $η μν$ . Det hender at $η μν = η μν$ . Disse kartene mellom et vektorrom og dets dual kan betegnes $η ♭$ (eta-flat) og $η ♯$ (eta-sharp) med den musikalske analogien.

Kontravariante og kovariante vektorer er geometrisk svært forskjellige objekter. Den første kan og bør betraktes som piler. En lineær funksjonell kan preges av to objekter: dens kjerne , som er et hyperplan som passerer gjennom opprinnelsen, og dens norm. Geometrisk sett bør kovariante vektorer ses på som et sett med hyperplan, med avstand avhengig av normen (større = mindre avstand), med en av dem (kjernen) som passerer gjennom opprinnelsen. Det matematiske uttrykket for covariant vektor er 1-covector eller 1-formen (selv om sistnevnte er vanligvis reservert for covector felt ).

Misner, Thorne & Wheeler (1973) bruker en levende analogi med bølgefrontene til en de Broglie-bølge (skalert med en faktor av Plancks reduserte konstant) kvantum mekanisk assosiert med en momentum fire-vektor for å illustrere hvordan man kan forestille seg en kovariant versjon av en kontravariant vektor. Det indre produktet av to kontravariantvektorer kan like godt betraktes som virkningen av den kovariante versjonen av en av dem på den kontravariantversjonen av den andre. Det indre produktet er da hvor mange ganger pilen gjennomborer flyene. Den matematiske referansen, Lee (2003) , gir det samme geometriske synet på disse objektene (men nevner ingen piercing).

Den elektromagnetiske feltet tensor er en differensial 2-form , som geometrisk beskrivelse også kan finnes i MTW.

Man kan selvfølgelig ignorere geometriske synspunkter alle sammen (som det er stilen i f.eks. Weinberg (2002) og Landau & Lifshitz 2002 ) og fortsette algebraisk på en rent formell måte. Den velprøvde robustheten til selve formalismen, noen ganger referert til som indeksgymnastikk , sikrer at flytting av vektorer rundt og endring fra kontravariant til kovariant vektorer og omvendt (samt høyere ordenstensorer) er matematisk forsvarlig. Feil uttrykk har en tendens til å avsløre seg raskt.

Formalismen til Minkowski -metrikken

Hensikten med det nåværende er å vise halv-strengt hvor formelt man kan anvende Minkowski-metriken på to vektorer og få et reelt tall, det vil si å vise differansenes rolle, og hvordan de forsvinner i en beregning. Innstillingen er den for glatt mangfoldig teori, og konsepter som konvektorfelt og utvendige derivater blir introdusert.

En formell tilnærming til Minkowski -metrikken

En fullverdig versjon av Minkowski-metrikken i koordinater som et tensorfelt i romtiden har utseendet

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} dx^{\ mu} \ otimes dx^{\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} dx^{\ mu} \ odot dx^{\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} dx^{\ mu} dx^{\ nu}.}

Forklaring: Koordinatforskjellene er felt i 1-form. De er definert som det utvendige derivatet av koordinatfunksjonene $x μ$ . Disse mengdene evaluert på et punkt $p$ gir grunnlag for cotangent -rommet på $s$ . Den tensorprodukt (betegnet med symbolet $\otimes$ ) gir en tensor felt av typen $(0, 2)$ , det vil si den type som venter to kontravariante vektorer som argumenter. På høyre side er det symmetriske produktet (angitt med symbolet $⊙$ eller ved siden av hverandre) tatt. Likestillingen gjelder siden Minkowski -metriken per definisjon er symmetrisk. Notasjonen ytterst til høyre brukes også noen ganger for det beslektede, men annerledes, linjeelementet . Det er ikke en tensor. For utdypning av forskjellene og likhetene, se Misner, Thorne & Wheeler (1973 , boks 3.2 og avsnitt 13.2.)

Tangentvektorer er i denne formalismen gitt i form av et grunnlag for differensialoperatorer av første orden,

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partiell} {\ delvis x^{\ mu}}} \ høyre | _ {p},}

hvor $p$ er en hendelse. Denne operatoren som brukes på en funksjon $f$ gir retningsderivatet av $f$ ved $p$ i retning for å øke $x μ$ med $x ν, ν \neq μ$ fikset. De gir et grunnlag for tangensrommet på $s$ .

Det utvendige derivatet $df$ av en funksjon $f$ er et kuvektorfelt , dvs. en tildeling av en kotangentvektor til hvert punkt $p$ , per definisjon slik at

{\ displaystyle df (X) = Xf,}

for hvert vektorfeltet $X$ . Et vektorfelt er en tildeling av en tangentvektor til hvert punkt $p$ . I koordinater kan $X$ utvides på hvert punkt $p$ i grunnlaget gitt av $\partial/\partial x ν | s$ . Ved å bruke dette med $f = x μ$ , får selve koordinatfunksjonen, og $X = \partial/\partial x ν$ , kalt et koordinatvektorfelt , en

{\ displaystyle dx^{\ mu} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partiell x^{\ nu}}} \ høyre) = {\ frac {\ partiell x^{\ mu}} {\ delvis x^{\ nu}}} = \ delta _ {\ nu}^{\ mu}.}

Siden denne relasjonen holder på hvert punkt $p$ , er $dx μ | p$ gir grunnlag for cotangent -plassen på hver $p$ og basene $dx μ | p$ og $\partial/\partial x ν | p$ er to mot hverandre,

{\ displaystyle \ left.dx^{\ mu} \ right | _ {p} \ left (\ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x^{\ nu}}} \ right | _ {p} \ høyre) = \ delta _ {\ nu}^{\ mu}.}

på hver $s$ . Videre har man

{\ displaystyle \ alpha \ otimes \ beta (a, b) = \ alpha (a) \ beta (b)}

for generelle en-former på et tangensrom $α, β$ og generelle tangentvektorer $a, b$ . (Dette kan tas som en definisjon, men kan også bevises i en mer generell setting.)

Således når den metriske tensoren mates med to vektorfelt $a, b$ , begge utvidet når det gjelder grunnkoordinatvektorfeltene, er resultatet

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} dx^{\ mu} \ otimes dx^{\ nu} (a, b) = \ eta _ {\ mu \ nu} a^{\ mu} b^{ \ nu},}

der $a μ$ , $b ν$ er komponentfunksjonene til vektorfeltene. Den ovennevnte ligningen holder på hvert punkt $p$ , og forholdet kan like godt tolkes som Minkowski -metrikken ved $p$ anvendt på to tangensvektorer på $s$ .

Som nevnt kan tangentvektorer identifiseres kanonisk med vektorer i selve rommet, og omvendt, i et vektorrom, slik som ved modellering av romtiden for spesiell relativitet. Dette betyr at tangensrommene på hvert punkt kanonisk identifiseres med hverandre og med selve vektorrommet. Dette forklarer hvordan høyre side av ligningen ovenfor kan brukes direkte, uten hensyn til romtidspunktet beregningen skal evalueres og hvorfra (hvilket tangensrom) vektorene kommer fra.

Denne situasjonen endres i generell relativitet . Der har en

{\ displaystyle g (p) _ {\ mu \ nu} \ left.dx^{\ mu} \ right | _ {p} \ left.dx^{\ nu} \ right | _ {p} (a, b ) = g (p) _ {\ mu \ nu} a^{\ mu} b^{\ nu},}

hvor nå $η \to g (p)$ , dvs. $g$ er fortsatt en metrisk tensor, men nå avhengig av romtid og er en løsning på Einsteins feltligninger . Videre er $en, b$ må være tangentvektorene i rom og tid for punktet $p$ og ikke lenger kan beveges fritt rundt.

Kronologiske og årsakssammenhenger

La $x, y \in M$ . Vi sier det

$x$ går kronologisk foran $y$ hvis $y - x$ er fremtidsrettet. Denne relasjonen har den transitive egenskapen og kan derfor skrives $x < y$ .
$x$ går kausalt foran $y$ hvis $y - x$ er fremtidsrettet null eller fremtidsrettet. Det gir en delvis rekkefølge av romtiden og kan derfor skrives $x \leq y$ .

Anta at x ∈ M er tidlignende. Da er det samtidige hyperplanet for x Siden dette hyperplanet varierer som x varierer, er det en relativitet av relativitet i Minkowski -rommet. ${\ displaystyle \ {y: \ eta (x, y) = 0 \}.}$

Generaliseringer

En Lorentzian -manifold er en generalisering av Minkowski -rommet på to måter. Det totale antallet romtiden dimensjoner er ikke begrenset til å være $4$ ( $2$ eller flere) og en Lorentzian manifold trenger ikke å være flat, dvs. det gir mulighet for krumning.

Kompleksert Minkowski -rom

Kompleksert Minkowski -rom er definert som $M c = M \oplus iM$ . Dens reelle del er Minkowski plass av fire vektorer , slik som den fire-hastighet og den fire-moment , som er uavhengig av valget av orienteringen av plassen. Den imaginære delen kan derimot bestå av fire-pseudovektorer, for eksempel vinkelhastighet og magnetisk moment , som endrer retning med endring av orientering. Vi introduserer en pseudoskalar $i$ som også endrer skilt med endring av orientering. Dermed er elementer av $M c$ uavhengige av valg av orientering.

Den indre produktlignende strukturen på $M c$ er definert som $u\cdotv = η (u, v)$ for enhver $u, v \in M c$ . Et relativistisk rent spinn av et elektron eller en hvilken som helst halvspinnpartikkel er beskrevet av $ρ \in M c$ som $ρ = u+er$ , hvor $u$ er partikkelhastigheten til partikkelen, som tilfredsstiller $u 2 = 1$ og $s$ er 4D-spinnvektoren, som også er Pauli -Lubanski_pseudovector som tilfredsstiller $s 2 = -1$ og $u \cdot s = 0$ .

Generalisert Minkowski -rom

Minkowski -rom refererer til en matematisk formulering i fire dimensjoner. Imidlertid kan matematikken lett utvides eller forenkles for å skape et analogt generalisert Minkowski -rom i et hvilket som helst antall dimensjoner. Hvis $n \geq 2$ , er $n$ -dimensjonalt Minkowski -rom et vektorrom av reell dimensjon $n$ som det er en konstant Minkowski -metrik for signatur $(n$ -1 $, 1)$ eller $(1, n -1)$ . Disse generaliseringene brukes i teorier der romtiden antas å ha mer eller mindre enn $4$ dimensjoner. Stringteori og M-teori er to eksempler der $n > 4$ . I strengteori vises det konforme feltteorier med $1 + 1$ romtidsmål.

de Sitter plass kan formuleres som en submanifold av generalisert Minkowski plass som modellrommene for hyperbolisk geometri (se nedenfor).

Krumning

Som en flat romtid følger de tre romlige komponentene i Minkowski romtid alltid Pythagoras teorem . Minkowski -rommet er et passende grunnlag for spesiell relativitet , en god beskrivelse av fysiske systemer over begrensede avstander i systemer uten betydelig gravitasjon . For å ta hensyn til tyngdekraften bruker imidlertid fysikere teorien om generell relativitet , som er formulert i matematikken til en ikke-euklidisk geometri . Når denne geometrien brukes som en modell av fysisk rom, er det kjent som buet rom .

Selv i buet rom er Minkowski -rommet fremdeles en god beskrivelse i en uendelig liten region som omgir et hvilket som helst punkt (unntatt gravitasjonelle singulariteter). Mer abstrakt sier vi at romtiden i nærvær av tyngdekraften er beskrevet av en buet 4-dimensjonal manifold som tangensrommet til et hvilket som helst punkt er et 4-dimensjonalt Minkowski-rom for. Således er strukturen til Minkowski -rommet fremdeles avgjørende i beskrivelsen av generell relativitet.

Geometri

Betydningen av begrepet geometri for Minkowski -rommet avhenger sterkt av konteksten. Minkowski -rommet er ikke utstyrt med en euklidisk geometri, og ikke med noen av de generaliserte Riemanniske geometriene med iboende krumning, de som er eksponert av modellrommene i hyperbolsk geometri (negativ krumning) og geometrien modellert av sfæren (positiv krumning). Årsaken er ubestemmelsen til Minkowski -metrikken. Minkowski -rommet er spesielt ikke et metrisk rom og ikke et Riemannian -mangfold med en Riemannian -metrikk. Imidlertid inneholder Minkowski -rommet submanifolds utstyrt med en Riemannian -metrikk som gir hyperbolsk geometri.

Modellrom med hyperbolsk geometri med lav dimensjon, si $2$ eller $3$ , kan ikke isometrisk innebygd i det euklidiske rommet med én dimensjon til, dvs. henholdsvis $ℝ 3$ eller $ℝ 4$ , med den euklidiske metriske $g$ , som ikke tillater enkel visualisering. Til sammenligning er modellrom med positiv krumning bare sfærer i det euklidiske rommet med en høyere dimensjon. Hyperboliske mellomrom kan være isometrisk innebygd i mellomrom av en dimensjon til når innstøtningsrommet er utstyrt med Minkowski -metriket $η$ .

Definer $H 1 (n) R \subset M n +1 for$ å være det øvre arket ( $ct > 0$ ) i hyperboloidet

{\ displaystyle \ mathbf {H} _ {R}^{1 (n)} = \ left \ {\ left (ct, x^{1}, \ ldots, x^{n} \ right) \ in \ mathbf {M}^{n}: c^{2} t^{2}-\ venstre (x^{1} \ høyre)^{2} \ cdots \ venstre (x^{n} \ høyre)^{2 } = R^{2}, ct> 0 \ høyre \}}

i generalisert Minkowski -rom $M n +1$ i romtiden dimensjon $n + 1$ . Dette er en av transittoverflatene til den generaliserte Lorentz -gruppen. Den induserte metrikken på denne delmanifolden,

{\ displaystyle h_ {R} ^{1 (n)} = \ iota ^{*} \ eta,}

den tilbaketrekkings av Minkowski metrisk $η$ henhold inkludering, er en Riemannsk metrikk . Med denne metriske $H 1 (n) R$ er en Riemannian manifold . Det er et av modellrommene for Riemannian geometri, hyperboloidmodellen for hyperbolisk rom . Det er et mellomrom med konstant negativ krumning $-1/ R 2$ . Den $1$ i den øvre indeks menes en fortegnelse av de forskjellige modell flate av hyperbolsk geometri, og $n$ for dens dimensjon. A $2 (2)$ tilsvarer Poincaré-diskmodellen , mens $3 (n)$ tilsvarer Poincaré-halvromsmodellen av dimensjon $n$ .

Preliminaries

I definisjonen ovenfor $ι : H 1 (n) R \to M n +1$ er inkluderingskartet og den overskriftsstjernen angir tilbaketrekningen . Den nåværende hensikten er å beskrive denne og lignende operasjoner som en forberedelse til selve demonstrasjonen som $H 1 (n) R$ er faktisk et hyperbolsk rom.

Oppførsel av tensorer under inkludering, tilbaketrekking av kovariante tensorer under generelle kart og fremover av vektorer under generelle kart
Oppførsel av tensorer under inkludering: For inkluderingskart fra en submanifold $S$ til $M$ og en kovariant tensor $α$ av orden $k$ på $M gjelder$ det at ${\ displaystyle \ iota ^{} \ alpha \ left (X_ {1}, \, X_ {2}, \, \ ldots, \, X_ {k} \ right) = \ alpha \ left (\ iota _ { } X_ {1}, \, \ iota _ {} X_ {2}, \, \ ldots, \, \ iota _ {} X_ {k} \ right) = \ alpha \ left (X_ {1} , \, X_ {2}, \, \ ldots, \, X_ {k} \ høyre),}$ hvor $X 1, x 1, ..., X k$ er vektorfelt på $S$ . Abonnementsstjernen betegner pushforward (skal introduseres senere), og det er i dette spesielle tilfellet ganske enkelt identitetskartet (som er inkluderingskartet). Sistnevnte likestilling holder fordi et tangensrom til en submanifold på et punkt på en kanonisk måte er et underrom av tangentrommet til manifolden selv på det aktuelle punktet. Man kan ganske enkelt skrive ${\ displaystyle \ iota ^{} \ alpha = \ alpha \| _ {S},}$ betyr (med svak misbruk av notasjon ) til begrensning av $α$ å godta som inngangs vektorer tangent til noen $s \in S$ bare. Tilbaketrekking av tensorer under generelle kart:* Tilbaketrekking av en kovariant $k$ -tensor $α$ (en tar kun kontravariantvektorer som argumenter) under et kart $F : M \to N$ er et lineært kart ${\ displaystyle F^{} \ colon T_ {F (p)}^{k} N \ høyre pil T_ {p}^{k} M,}$ hvor for et hvilket som helst vektorrom $V$ , ${\ displaystyle T^{k} V = \ underbrace {V^{} \ otimes V^{} \ otimes \ cdots \ otimes V^{}} _ {k {\ text {times}}}.}$ Det er definert av ${\ displaystyle F^{} (\ alpha) \ left (X_ {1}, \, X_ {2}, \, \ ldots, \, X_ {k} \ right) = \ alpha \ left (F _ { } X_ {1}, \, F _ {} X_ {2}, \, \ ldots, \, F _ {} X_ {k} \ høyre),}$ hvor indeksen stjerne angir pushforward av kartet $F$ , og $X 1, X 2, ..., X k$ er vektorer i $T p M$ . (Dette er i samsvar med det som var detaljert om tilbaketrekningen av inkluderingskartet. I det generelle tilfellet her kan man ikke fortsette så enkelt fordi $F * X 1 \neq X 1$ generelt.) Pushforward av vektorer under generelle kart: Heuristisk, trekker du tilbake en tensor til $p \in M$ fra $F (p) \in N som$ mater den vektorer som bor på $p \in M$ er per definisjon det samme som å skyve vektorene frem fra $p \in M$ til $F (p) \in N$ mate dem til tensor som befinner seg ved $C (p) \in N$ . Videre avvikling av definisjonene, pushforward $F * : TM p \to TN F (p)$ til et vektorfelt under et kart $F : M \to N$ mellom manifolder er definert av ${\ displaystyle F _ {} (X) f = X (f \ circ F),}$ hvor $f$ er en funksjon av $N$ . Når $M = ℝ m, N = ℝ n$ skyver fremover av $F ned$ til $DF : ℝ m \to ℝ n$ , den vanlige differensialen , som er gitt av den jakobiske matrisen for partielle derivater av komponentfunksjonene. Differensialen er den beste lineære tilnærmingen til en funksjon $F$ fra $ℝ m$ til $ℝ n$ . Pushforward er den glatte mangfoldige versjonen av dette. Den virker mellom tangensrom, og er i koordinater representert av den jakobiske matrisen til koordinatrepresentasjonen* av funksjonen. Den tilsvarende tilbaketrekningen er det doble kartet fra det dobbelte av områdets tangensrom til det dobbelte av domenetangentområdet, det vil si at det er et lineært kart, ${\ displaystyle F^{} \ colon T_ {F (p)}^{} N \ høyre pil T_ {p}^{*} M.}$

Hyperbolisk stereografisk projeksjon

Rød sirkelbue er geodesisk i Poincaré diskmodell ; den projiserer til den brune geodesikken på den grønne hyperboloiden.

For å vise metrikken er det nødvendig å trekke den tilbake via en passende parametrering . En parameter av en submanifold $S$ av $M$ er et kart $U \subset ℝ m \to M$ hvis avstand er en åpen undergruppe av $S$ . Hvis $S$ har samme dimensjon som $M$ , er en parametrering bare det inverse av et koordinatkart $φ : M \to U \subset ℝ m$ . Parametriseringen som skal brukes er det inverse av hyperbolsk stereografisk projeksjon . Dette er illustrert i figuren til venstre for $n = 2$ . Det er lærerikt å sammenligne med stereografisk projeksjon for sfærer.

Stereografisk projeksjon $σ : H n R \to ℝ n$ og dens inverse $σ -1 : ℝ n \to H n R$ er gitt av

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma (\ tau, \ mathbf {x}) = \ mathbf {u} & = {\ frac {R \ mathbf {x}} {R+\ tau}}, \\\ sigma^{-1} (\ mathbf {u}) = (\ tau, \ mathbf {x}) & = \ left (R {\ frac {R^{2}+| u |^{2}} {R ^{2}-| u |^{2}}}, {\ frac {2R^{2} \ mathbf {u}} {R^{2}-| u |^{2}}} \ høyre), \ end {align}}}

hvor, for enkelhets skyld, $τ \equiv ct$ . Den $(τ, x)$ er koordinater på $M n 1$ og $u$ er koordinater på $ℝ n$ .

Detaljert avledning
La ${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {R}^{n} = \ left \ {\ left (\ tau, x^{1}, \ ldots, x^{n} \ right) \ delsett \ mathbf {M }:-\ tau^{2}+\ venstre (x^{1} \ høyre)^{2}+\ cdots+\ venstre (x^{n} \ høyre)^{2} =-R^{2 }, \ tau> 0 \ høyre \}}$ og la ${\ displaystyle S = (-1,0, \ ldots, 0)}$ Hvis ${\ displaystyle P = \ left (\ tau, x^{1}, \ ldots, x^{n} \ right) \ in \ mathbf {H} _ {R}^{n},}$ da er det geometrisk klart at vektoren ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PS}}}$ skjærer hyperplanet ${\ displaystyle \ left \ {\ left (\ tau, x^{1}, \ ldots, x^{n} \ right) \ in M: \ tau = 0 \ right \}}$ en gang i punkt betegnet ${\ displaystyle U = \ left (0, u^{1} (P), \ ldots, u^{n} (P) \ right) \ equiv (0, \ mathbf {u}).}$ En har ${\ displaystyle {\ begin {align} S+{\ overrightarrow {SU}} & = U \ Rightarrow {\ overrightarrow {SU}} = US, \\ S+{\ overrightarrow {SP}} & = P \ Rightarrow {\ overrightarrow {SP}} = OPP \ slutt {justert}}.}$ eller ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overrightarrow {SU}} & = (0, \ mathbf {u})-(-R, 0) = (R, \ mathbf {u}), \\ {\ overrightarrow {SP}} & = (\ tau, \ mathbf {x})-(-R, 0) = (\ tau +R, \ mathbf {x}). \ End {justert}}}$ Ved konstruksjon av stereografisk projeksjon har man ${\ displaystyle {\ overrightarrow {SU}} = \ lambda (\ tau) {\ overrightarrow {SP}}.}$ Dette fører til ligningssystemet ${\ displaystyle {\ begin {align} R & = \ lambda (\ tau +R), \\\ mathbf {u} & = \ lambda \ mathbf {x}. \ end {align}}}$ Den første av disse er løst for og en oppnår for stereografisk projeksjon ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ sigma (\ tau, \ mathbf {x}) = \ mathbf {u} = {\ frac {R \ mathbf {x}} {R+\ tau}}.}$ Deretter må det inverse beregnes. Bruk de samme hensynene som før, men nå med ${\ displaystyle \ sigma ^{-1} (u) = (\ tau, \ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle {\ begynne {justert} U & = (0, \ mathbf {u}) \\ P & = (\ tau (\ mathbf {u}), \ xi (\ mathbf {u})). \ end {justert }}}$ Man får ${\ displaystyle {\ begin {align} \ tau & = {\ frac {R (1- \ lambda)} {\ lambda}}, \\\ mathbf {x} & = {\ frac {\ mathbf {u}} {\ lambda}}, \ ende {justert}}}$ men nå med avhengig av Tilstanden for $P som$ ligger i hyperboloidet er ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}.}$ ${\ displaystyle-\ tau ^{2}+\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} =-\ tau ^{2}+\| u \| ^{2} =-R ^{2},}$ eller ${\ displaystyle -{\ frac {R^{2} (1- \ lambda)^{2}} {\ lambda^{2}}} = {\ frac {\| u \|^{2}} {\ lambda^ {2}}},}$ fører til ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {R^{2}-\| u \|^{2}} {2R^{2}}}.}$ Med dette oppnår man ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ sigma^{-1} (\ mathbf {u}) = (\ tau, \ mathbf {x}) = \ left (R {\ frac {R^{2}+\| u \|^{2} } {R^{2}-\| u \|^{2}}}, {\ frac {2R^{2} \ mathbf {u}} {R^{2}-\| u \|^{2}}}. \Ikke sant)}$

Trekker metriken tilbake

En har

{\ displaystyle h_ {R}^{1 (n)} = \ eta | _ {\ mathbf {H} _ {R}^{1 (n)}} = \ left (dx^{1} \ right)^ {2} +\ ldots +\ venstre (dx^{n} \ høyre)^{2} -d \ tau^{2}}

og kartet

{\ displaystyle \ sigma ^{-1}: \ mathbb {R} ^{n} \ rightarrow \ mathbf {H} _ {R} ^{1 (n)}; \ quad \ sigma ^{-1} (\ mathbf {u}) = (\ tau (\ mathbf {u}), \, \ mathbf {x} (\ mathbf {u})) = \ left (R {\ frac {R^{2}+| u | ^{2}} {R^{2}-| u |^{2}}}, \, {\ frac {2R^{2} \ mathbf {u}} {R^{2}-| u |^ {2}}} \ høyre).}

Den tilbaketrukne metrikk kan oppnås ved enkle beregningsmetoder;

{\ displaystyle \ left. \ left (\ sigma^{-1} \ right)^{*} \ eta \ right | _ {\ mathbf {H} _ {R}^{1 (n)}} = \ left (dx^{1} (\ mathbf {u}) \ right)^{2} +\ ldots +\ left (dx^{n} (\ mathbf {u}) \ right)^{2}-\ left ( d \ tau (\ mathbf {u}) \ right)^{2}.}

Man beregner i henhold til standardreglene for beregningsdifferensialer (selv om man virkelig beregner de strengt definerte utvendige derivatene),

{\ displaystyle {\ begin {align} dx^{1} (\ mathbf {u}) & = d \ left ({\ frac {2R^{2} u^{1}} {R^{2}-| u |^{2}}} \ right) = {\ frac {\ partiell} {\ delvis u^{1}}} {\ frac {2R^{2} u^{1}} {R^{2} -| u |^{2}}} du^{1} +\ ldots +{\ frac {\ partiell} {\ delvis u^{n}}} {\ frac {2R^{2} u^{1} } {R^{2}-| u |^{2}}} du^{n}+{\ frac {\ partiell} {\ delvis \ tau}} {\ frac {2R^{2} u^{1 }} {R^{2}-| u |^{2}}} d \ tau, \\ & \ \ \ vdots \\ dx^{n} (\ mathbf {u}) & = d \ left ({ \ frac {2R^{2} u^{n}} {R^{2}-| u |^{2}}} \ right) = \ cdots, \\ d \ tau (\ mathbf {u}) & = d \ venstre (R {\ frac {R^{2}+| u |^{2}} {R^{2}-| u |^{2}}} \ høyre) = \ cdots, \ end { justert}}}

og erstatter resultatene på høyre side. Dette gir

{\ displaystyle \ left (\ sigma^{-1} \ right)^{*} h_ {R}^{1 (n)} = {\ frac {4R^{2} \ left [\ left (du^{ 1} \ høyre)^{2} +\ ldots +\ venstre (du^{n} \ høyre)^{2} \ høyre]} {\ venstre (R^{2}-| u |^{2} \ høyre)^{2}}} \ equiv h_ {R}^{2 (n)}.}

Detaljert oversikt over beregning
En har ${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ frac {\ partiell} {\ delvis u^{1}}} {\ frac {2R^{2} u^{1}} {R^{2}-\| u \|^{2}}} du^{1} & = {\ frac {2 \ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)+4R^{2} \ venstre (u^{ 1} \ høyre)^{2}} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2}}} du^{1}, \\ {\ frac {\ partiell } {\ delvis u^{2}}} {\ frac {2R^{2} u^{1}} {R^{2}-\| u \|^{2}}} du^{2} & = { \ frac {4R^{2} u^{1} u^{2} du^{2}} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2}}} du^{2}, \ end {align}}}$ og ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partiell \ tau}} {\ frac {2R^{2} u^{1}} {R^{2}-\| u \|^{2}}} d \ tau ^{2} = 0.}$ Med dette kan man skrive ${\ displaystyle dx^{1} (\ mathbf {u}) = {\ frac {2R^{2} \ left (R^{2}-\| u \|^{2} \ right) du^{1}+ 4R^{2} u^{1} (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u})} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2} }},}$ hvorfra ${\ displaystyle \ left (dx^{1} (\ mathbf {u}) \ right)^{2} = {\ frac {4R^{2} \ left (r^{2}-\| u \|^{2 } \ høyre)^{2} \ venstre (du^{1} \ høyre)^{2}+16R^{4} \ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre) \ venstre (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u} \ høyre) u^{1} du^{1}+14R^{r} \ venstre (u^{1} \ høyre)^{2} \ venstre (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u} \ right)^{2}} {\ left (R^{2}-\| u \|^{2} \ right)^{4}}}.}$ Når man oppsummerer denne formelen, oppnår man ${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (dx^{1} (\ mathbf {u}) \ right)^{2} +\ ldots +\ left (dx^{n} (\ mathbf {u} ) \ høyre)^{2} \\ = {} og {\ frac {4R^{2} \ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2} \ venstre [\ venstre (du^{1} \ høyre)^{2}+\ ldots+\ venstre (du^{n} \ høyre)^{2} \ høyre]+16R^{4} \ venstre (R^{2} -\| u \|^{2} \ right) (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u}) (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u})+16R^{4} \| u \| ^{2} (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u})^{2}} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{4}}} \\ = {} og {\ frac {4R^{2} \ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2} \ venstre [\ venstre (du^{1} \ høyre)^{2} +\ ldots +\ venstre (du^{n} \ høyre)^{2} \ høyre]} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^ {4}}}+R^{2} {\ frac {16R^{4} (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u})} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^ {2} \ høyre)^{4}}}. \ Ende {justert}}}$ Tilsvarende for $τ$ man får ${\ displaystyle d \ tau = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {\ partiell} {\ delvis u^{i}}} R {\ frac {R^{2}+\| u \| ^{2}} {R^{2}+\| u \|^{2}}} du^{i}+{\ frac {\ partiell} {\ delvis \ tau}} R {\ frac {R^{2 }+\| u \|^{2}} {R^{2}+\| u \|^{2}}} d \ tau = \ sum _ {i = 1}^{n} R^{4} {\ frac {4R^{2} u^{i} du^{i}} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)}},}$ gi fra seg ${\ displaystyle -dt^{2} = -\ left (R {\ frac {4R^{4} \ left (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u} \ right)} {\ left (R^ {2}-\| u \|^{2} \ right)^{2}}} \ right)^{2} =-R^{2} {\ frac {14R^{4} (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u})^{2}} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{4}}}.}$ Legg nå til dette bidraget for å endelig få det ${\ displaystyle \ left (\ sigma^{-1} \ right)^{*} h_ {R}^{1 (n)} = {\ frac {4R^{2} \ left [\ left (du^{ 1} \ høyre)^{2} +\ ldots +\ venstre (du^{n} \ høyre)^{2} \ høyre]} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2}}} \ equiv h_ {R}^{2 (n)}.}$

Denne siste ligningen viser at metriken på ballen er identisk med den Riemannian metriske $h 2 (n) R$ i Poincaré -ballmodellen , en annen standardmodell for hyperbolsk geometri.

Alternativ beregning ved hjelp av pushforward
Tilbaketrekkingen kan beregnes på en annen måte. Per definisjon, ${\ displaystyle \ left (\ sigma^{-1} \ right)^{} h_ {R}^{1 (n)} (V, \, V) = h_ {R}^{1 (n)} \ venstre (\ venstre (\ sigma ^{-1} \ høyre) _ {} V, \, \ venstre (\ sigma ^{-1} \ høyre) _ {} V \ høyre) = \ eta \| _ {\ mathbf {H} _ {R} ^{1 (n)}} \ venstre (\ venstre (\ sigma ^{-1} \ høyre) _ {} V, \, \ venstre (\ sigma ^{- 1} \ høyre) _ {} V \ høyre).}$ I koordinater, ${\ displaystyle \ left (\ sigma ^{-1} \ right) _ {} V = \ left (\ sigma ^{-1} \ right) _ {} V ^{i} {\ frac {\ partiell } {\ delvis u^{i}}} = V^{i} {\ frac {\ delvis x^{j}} {\ delvis u^{i}}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x ^{j}}}+V^{i} {\ frac {\ partiell \ tau} {\ delvis u^{i}}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis \ tau}} = V^{i } {\ frac {\ partiell} {x}}^{j} {\ delvis u^{i}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x^{j}}}+V^{i} {\ frac {\ partial} {\ tau}} {\ partiell u^{i}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis \ tau}} = Vx^{j} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x ^{j}}}+V \ tau {\ frac {\ partiell} {\ delvis \ tau}}.}$ Man har fra formelen for $σ -1$ ${\ displaystyle {\ begin {align} Vx^{j} & = V^{i} {\ frac {\ partiell} {\ delvis u^{i}}} \ venstre ({\ frac {2R^{2} u^{j}} {R^{2}-\| u \|^{2}}} \ right) = {\ frac {2R^{2} V^{j}} {R^{2}-\| u \|^{2}}}-{\ frac {4R^{2} u^{j} \ langle \ mathbf {V}, \, \ mathbf {u} \ rangle} {\ venstre (R^{2}- \| u \|^{2} \ høyre)^{2}}}, \ quad \ left ({\ text {her}} V \| u \|^{2} = 2 \ sum _ {k = 1}^{n } V^{k} u^{k} \ equiv 2 \ langle \ mathbf {V}, \, \ mathbf {u} \ rangle \ right) \\ V \ tau & = V \ left (R {\ frac { R^{2}+\| u \|^{2}} {R^{2}-\| u \|^{2}}} \ right) = {\ frac {4R^{3} \ langle \ mathbf {V} , \, \ mathbf {u} \ rangle} {\ venstre (R^{2}-\| u \|^{2} \ høyre)^{2}}}. \ ende {justert}}}$ Til slutt, ${\ displaystyle \ eta \ left (\ sigma _ {}^{-1} V, \, \ sigma _ {*}^{-1} V \ right) = \ sum _ {j = 1}^{n } \ venstre (Vx^{j} \ høyre)^{2}-(V \ tau)^{2} = {\ frac {4R^{4} \| V \|^{2}} {\ venstre (R^ {2}-\| u \|^{2} \ right)^{2}}} = h_ {R}^{2 (n)} (V, z, V),}$ og den samme konklusjonen er oppnådd.

Se også

Merknader

Referanser

Corry, L. (1997). "Hermann Minkowski og relativitetens postulat". Arch. Hist. Nøyaktig Sci . 51 (4): 273–314. doi : 10.1007/BF00518231 . ISSN 0003-9519 . S2CID 27016039 .
Catoni, F .; et al. (2008). Matematikk fra Minkowski Space . Grenser i matematikk. Basel: Birkhäuser Verlag . doi : 10.1007/978-3-7643-8614-6 . ISBN 978-3-7643-8613-9. ISSN 1660-8046 .
Galison, PL (1979). R McCormach; et al. (red.). Minkowski's Space – Time: fra visuell tenkning til den absolutte verden . Historiske studier i fysikk. 10 . Johns Hopkins University Press . s. 85–121. doi : 10.2307/27757388 . JSTOR 27757388 .
Giulini D Den rike strukturen i Minkowski -rommet, https://arxiv.org/abs/0802.4345v1
Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978) [1973]. En introduksjon til mekanikk . London: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-035048-9.
Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. Den klassiske feltteorien . Kurs i teoretisk fysikk. 2 (4. utg.). Butterworth - Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
Lee, JM (2003). Introduksjon til Smooth manifolds . Springer Graduate Texts in Mathematics. 218 . ISBN 978-0-387-95448-6.
Lee, JM (2012). Introduksjon til Smooth manifolds . Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-1-4419-9981-8.
Lee, JM (1997). Riemannian Manifolds - En introduksjon til krumning . Springer Graduate Texts in Mathematics. 176 . New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
Minkowski, Hermann (1907–1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111*Wikisource -oversettelse: De grunnleggende ligningene for elektromagnetiske prosesser i bevegelige organer
Minkowski, Hermann (1908–1909), "Raum und Zeit" [Space and Time], Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88Ulike engelske oversettelser på Wikisource: Space and Time
Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Naber, GL (1992). Geometrien til Minkowski Spacetime . New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97848-2.
Nash, J. (1956). "Imbedding -problemet for Riemannian Manifolds". Annals of Mathematics . 63 (1): 20–63. doi : 10.2307/1969989 . JSTOR 1969989 . MR 0075639 .
Penrose, Roger (2005). "18 Minkowskian geometri". Veien til virkeligheten: En komplett guide til universets lover . Alfred A. Knopf . ISBN 9780679454434.
Poincaré, Henri (1905–1906), "Sur la dynamique de l'électron" [On the Dynamics of the Electron], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, doi : 10.1007/BF03013466 , hdl : 2027/ uiug.30112063899089 , S2CID 120211823Oversettelse av Wikisource: On the Dynamics of the Electron
Robb AA: Optical Geometry of Motion; et nytt syn på relativitetsteorien Cambridge 1911, (Heffers). http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich
Robb AA: Geometry of Time and Space, 1936 Cambridge Univ Press http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp
Sard, RD (1970). Relativistisk mekanikk - spesiell relativitet og klassisk partikkeldynamikk . New York: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
Shaw, R. (1982). "§ 6.6 Minkowski -rom, § 6.7,8 Kanoniske former s. 221–242". Lineær algebra og grupperepresentasjoner . Academic Press . ISBN 978-0-12-639201-2.
Walter, Scott A. (1999). "Minkowski, matematikere og den matematiske relativitetsteorien" . I Goenner, Hubert; et al. (red.). The Expanding Worlds of General Relativity . Boston: Birkhäuser. s. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6.
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , 1 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7

Eksterne linker

Media relatert til Minkowski -diagrammer på Wikimedia Commons

Animasjonsklipp på YouTube som visualiserer Minkowski -rom i sammenheng med spesiell relativitet.
Geometrien for spesiell relativitet: Minkowski -rommet - Time Light Cone
Minkowski plass på PhilPapers

Languages

In other projects

Minkowski plass - Minkowski space

Innhold

Historie

Kompleks Minkowski romtid

Ekte Minkowski romtid

Kausal struktur

Egenskaper for tidslignende vektorer

Skalært produkt

Norm og reversert Cauchy -ulikhet

Den omvendte trekanten ulikhet

Matematisk struktur

Tangentvektorer

Metrisk signatur

Terminologi

Pseudo-euklidiske beregninger

Minkowski metrisk

Standard basis

Heving og senking av indekser

Formalismen til Minkowski -metrikken

Kronologiske og årsakssammenhenger

Generaliseringer

Kompleksert Minkowski -rom

Generalisert Minkowski -rom

Krumning

Geometri

Preliminaries

Hyperbolisk stereografisk projeksjon

Trekker metriken tilbake

Se også

Merknader

Merknader

Referanser

Eksterne linker

Romtid
Del av en serie om

Spesiell relativitet Generell relativitet
Romtidskonsepter
Generell relativitet
Klassisk tyngdekraft
Relevant matematikk
v t e