Modal logikk - Modal logic

Modal logic er en samling formelle systemer som opprinnelig ble utviklet og fremdeles mye brukt for å representere uttalelser om nødvendighet og mulighet . De grunnleggende unære (1-plassers) operatørene blir oftest tolket "□" for "nødvendigvis" og "◇" for "muligens".

I en klassisk modal logikk kan hver uttrykkes i form av den andre og negasjon i en De Morgan -dualitet :

${\ displaystyle \ Diamond P \ leftrightarrow \ lnot \ Box \ lnot P, \ quad \ quad \ Box P \ leftrightarrow \ lnot \ Diamond \ lnot P}$

Modalformelen kan leses ved hjelp av tolkningen ovenfor som "hvis P er nødvendig, så er det også mulig", som nesten alltid anses å være gyldig . Denne tolkningen av de modale operatørene som nødvendighet og mulighet kalles aletisk modal logikk . Det er modal logikk for andre moduser, for eksempel "□" for "Obligatorily" og "◇" for "Tillatt" i deontisk modal logikk , der de samme formlene betyr "hvis P er obligatorisk, så er det tillatt", som også er holdt nesten alltid for å være gyldig. ${\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}$

De første modale aksiomatiske systemene ble utviklet av CI Lewis i 1912, og bygde på en uformell tradisjon som strekker seg tilbake til Aristoteles . Den relasjonelle semantikken for modal logikk ble utviklet av Arthur Prior , Jaakko Hintikka og Saul Kripke på midten av det tjuende århundre. I denne semantikken tildeles formler sannhetsverdier i forhold til en mulig verden . En formels sannhetsverdi i en mulig verden kan avhenge av sannhetsverdiene til andre formler i andre tilgjengelige mulige verdener . Spesielt utgjør muligheten sannhet i en tilgjengelig tilgjengelig verden, mens nødvendigheten utgjør sannhet i enhver tilgjengelig mulig verden.

Modal logikk blir ofte referert til som "nødvendigheten og mulighetens logikk", og slike applikasjoner spiller fortsatt en stor rolle i språkfilosofi , epistemologi , metafysikk og formell semantikk . Imidlertid har det matematiske apparatet for modal logikk vist seg nyttig på mange andre felt, inkludert spillteori , moralsk og juridisk teori , webdesign , multiversbasert settteori og sosial epistemologi . En fremtredende lærebok om modellteorien om modal logikk antyder at den mer generelt kan sees på som studiet av formelle systemer som tar et lokalt perspektiv på relasjonsstrukturer .

Semantikk

Relasjonell semantikk

Grunnleggende forestillinger

Standardsemantikken for modal logikk kalles relasjonssemantikken . I denne tilnærmingen bestemmes sannheten til en formel i forhold til et punkt som ofte kalles en mulig verden . For en formel som inneholder en modal operatør, kan dens sannhetsverdi avhenge av hva som er sant i andre tilgjengelige verdener. Dermed tolker den relasjonelle semantikken formler for modal logikk ved å bruke modeller definert som følger.

• En relasjonsmodell er en tupel der:${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle W, R, V \ rangle}$

1. ${\ displaystyle W}$ er et sett med mulige verdener
2. ${\ displaystyle R}$ er en binær relasjon på ${\ displaystyle W}$
3. ${\ displaystyle V}$er en verdivurderingsfunksjon som tilordner en sannhetsverdi til hvert par av en atomformel og en verden, (dvs. hvor er settet med atomformler)${\ displaystyle V: W \ ganger F \ til \ {0,1 \}}$${\ displaystyle F}$

Settet kalles ofte universet . Den binære relasjonen kalles en tilgjengelighetsrelasjon , og den styrer hvilke verdener som kan "se" hverandre for å bestemme hva som er sant. For eksempel betyr at verden er tilgjengelig fra verden . Det vil si at tilstanden som er kjent som en levende mulighet for . Til slutt er funksjonen kjent som en verdsettelsesfunksjon . Den bestemmer hvilke atomformler som er sanne i hvilke verdener. ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle wRu}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle V}$

Deretter definerer vi rekursivt sannheten til en formel i en verden i en modell : ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models P}$ iff ${\ displaystyle V (w, P) = 1}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models \ neg P}$ iff ${\ displaystyle w \ not \ models P}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models (P \ kil Q)}$iff og${\ displaystyle w \ models P}$${\ displaystyle w \ models Q}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models \ Box P}$iff for hvert element av , hvis da${\ displaystyle u}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle wRu}$${\ displaystyle u \ models P}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models \ Diamond P}$iff for noe element av , det holder det og${\ displaystyle u}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle wRu}$${\ displaystyle u \ models P}$

I følge denne semantikken er en formel nødvendig med hensyn til en verden hvis den holder til hver verden som er tilgjengelig fra . Det er mulig hvis det holder på en verden som er tilgjengelig fra . Muligheten avhenger dermed av tilgjengelighetsforholdet , som lar oss uttrykke mulighetenes relative natur. For eksempel kan vi si at gitt våre fysikklover er det ikke mulig for mennesker å reise raskere enn lysets hastighet, men at gitt andre omstendigheter kunne det ha vært mulig å gjøre det. Ved å bruke tilgjengelighetsrelasjonen kan vi oversette dette scenariet slik: I alle verdener som er tilgjengelige for vår egen verden, er det ikke slik at mennesker kan reise raskere enn lysets hastighet, men i en av disse tilgjengelige verdenene er det en annen verden tilgjengelig fra disse verdenene, men ikke tilgjengelig fra vår egen der mennesker kan reise raskere enn lysets hastighet. ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle R}$

Rammer og fullstendighet

Valget av tilgjengelighetsrelasjon alene kan noen ganger være tilstrekkelig til å garantere sannheten eller falskheten til en formel. Vurder for eksempel en modell hvis tilgjengelighetsforhold er refleksivt . Fordi forholdet er refleksivt, vil vi ha det for alle uansett hvilken verdsettelsesfunksjon som brukes. Av denne grunn snakker modal logikere noen ganger om rammer , som er delen av en relasjonsmodell som ekskluderer verdsettelsesfunksjonen. ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models P \ rightarrow \ Diamond P}$${\ displaystyle w \ in G}$

• En relasjonsramme er et par der et sett med mulige verdener er en binær relasjon til .${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle G, R \ rangle}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle G}$

De forskjellige systemene for logikk er definert ved hjelp av rammebetingelser . En ramme kalles:

• refleksiv hvis w R w , for hver w i G
• symmetrisk hvis w R u innebærer u R w , for alle w og u i G
• transitive hvis w R u og u Rq sammen antyde w Rq , for alle w , u , q i G .
• seriell hvis det for hver w i G er noen u i G slik at w R u .
• Euklidisk hvis, for hver u , t og w , w R u og w R t innebærer u R t (ved symmetri betyr det også t R u )

Logikkene som stammer fra disse rammebetingelsene er:

• K  : = ingen betingelser
• D  : = serie
• T  : = refleksiv
• B  : = refleksiv og symmetrisk
• S4  : = refleksiv og transitiv
• S5  : = refleksiv og euklidisk

Den euklidiske eiendommen sammen med refleksivitet gir symmetri og transitivitet. (Den euklidiske egenskapen kan også hentes fra symmetri og transitivitet.) Derfor, hvis tilgjengelighetsrelasjonen R er refleksiv og euklidisk, er R også beviselig symmetrisk og transitive . Derfor for modeller av S5, er R et ekvivalensforhold , fordi R er refleksivt, symmetrisk og transitive.

Vi kan bevise at disse rammene produserer det samme settet med gyldige setninger som rammene der alle verdener kan se alle andre verdener av W ( dvs. hvor R er et "totalt" forhold). Dette gir den tilsvarende modalgrafen som er totalt komplett ( dvs. at det ikke kan legges til flere kanter (relasjoner)). For eksempel i en hvilken som helst modal logikk basert på rammebetingelser:

${\ displaystyle w \ models \ Diamond P}$hvis og bare hvis for et element u av G , holder det det og w R u .${\ displaystyle u \ models P}$

Hvis vi vurderer rammer basert på den totale relasjonen, kan vi bare si det

${\ displaystyle w \ models \ Diamond P}$hvis og bare hvis for et element u av G , holder det det .${\ displaystyle u \ models P}$

Vi kan droppe tilgjengelighetsklausulen fra sistnevnte bestemmelse fordi det i slike totale rammer er trivielt sant for alle w og u at w R u . Men vær oppmerksom på at dette ikke trenger å være tilfelle i alle S5 -rammer, som fremdeles kan bestå av flere deler som er fullstendig koblet til hverandre, men som fortsatt er koblet fra hverandre.

Alle disse logiske systemene kan også defineres aksiomatisk, som vist i neste avsnitt. For eksempel, i S5, aksiomene , og (svarende til symmetri , transitivity og refleksivitet , henholdsvis) hold, mens i det minste ett av disse aksiomene ikke holder i hvert av de andre, svakere logikk. ${\ displaystyle P \ impliserer \ Box \ Diamond P}$${\ displaystyle \ Box P \ impliserer \ Box \ Box P}$${\ displaystyle \ Box P \ innebærer P}$

Topologisk semantikk

Modal logikk har også blitt tolket ved hjelp av topologiske strukturer. For eksempel tolker Interior Semantics formler for modal logikk som følger.

En topologisk modell er en tupel der det er et topologisk rom og er en verdivurderingsfunksjon som tilordner hver atomformel til en delmengde av . Den grunnleggende interiør -semantikken tolker formler for modal logikk slik: ${\ displaystyle \ mathrm {X} = \ langle X, \ tau, V \ rangle}$${\ displaystyle \ langle X, \ tau \ rangle}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models P}$ iff ${\ displaystyle x \ i V (p)}$
• ${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ neg \ phi}$ iff ${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ not \ models \ phi}$
• ${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ phi \ land \ chi}$iff og${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ phi}$${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ chi}$
• ${\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ Box \ phi}$iff for noen har vi både det og også det for alle${\ displaystyle U \ in \ tau}$${\ displaystyle x \ i U}$${\ displaystyle \ mathrm {X}, y \ models \ phi}$${\ displaystyle y \ i U}$

Topologiske tilnærminger undertrykker relasjonelle, noe som tillater ikke-normale modal logikker . Den ekstra strukturen de gir, gir også en transparent måte å modellere visse konsepter på, for eksempel bevis eller begrunnelse man har for sin tro. Topologisk semantikk er mye brukt i nyere arbeid innen formell epistemologi og har forløp i tidligere arbeider som David Lewis og Angelika Kratzers logikk for kontrafaktuelle .

Aksiomatiske systemer

De første formaliseringene av modal logikk var aksiomatiske . Mange variasjoner med svært forskjellige egenskaper har blitt foreslått siden CI Lewis begynte å jobbe i området i 1912. Hughes og Cresswell (1996) beskriver for eksempel 42 normale og 25 ikke-normale modal logikker. Zeman (1973) beskriver noen systemer Hughes og Cresswell utelater.

Moderne behandlinger av modal logikk begynner med å øke proposisjonsberegningen med to unære operasjoner, den ene betegner "nødvendighet" og den andre "mulighet". Notasjonen CI Lewis , mye brukt siden, betegner "nødvendigvis p " med en prefiks "boks" (□ p ) hvis omfang er fastslått av parenteser. På samme måte betegner en prefiks "diamant" (◇ p ) "muligens p ". Uavhengig av notasjon, er hver av disse operatørene definerbare når det gjelder den andre i klassisk modal logikk:

• □ p (nødvendigvis p ) tilsvarer ¬ ◇ ¬ p ("ikke mulig at ikke- p ")
• ◇ p (muligens p ) tilsvarer ¬ □ ¬ p ("ikke nødvendigvis ikke- p ")

Derfor danner □ og ◇ et dobbelt operatørpar.

I mange modale logikker tilfredsstiller nødvendighets- og mulighetsoperatørene følgende analoger av de Morgans lover fra boolsk algebra :

"Det er ikke nødvendig at X " er logisk ekvivalent med "Det er mulig at ikke X ".

"Det er ikke mulig at X " er logisk ekvivalent med "Det er nødvendig at ikke X ".

Akkurat hvilke aksiomer og regler som må legges til proposisjonsberegningen for å skape et brukbart system med modal logikk, er et spørsmål om filosofisk mening, ofte drevet av teoremer man ønsker å bevise; eller innen informatikk handler det om hva slags beregnings- eller deduktivt system man ønsker å modellere. Mange modale logikker, samlet kjent som normale modale logikker , inkluderer følgende regel og aksiom:

• N , Nødvendighetsregel : Hvis p er et teorem (for ethvert system som påkaller N ), er □ p på samme måte et teorem.
• K , distribusjonsaksiom : □ ( p → q ) → (□ p → □ q ).

Den svakeste normal modallogikk , som heter " K " til ære for Saul Kripke , er rett og slett setningslogikk utvidet med □, regelen N , og aksiom K . K er svak ved at den ikke klarer å avgjøre om et forslag kan være nødvendig, men bare betinget nødvendig. Det vil si at det ikke er en teori om K at hvis □ p er sant, så er □□ p sant, dvs. at nødvendige sannheter er "nødvendigvis nødvendige". Hvis slike forvirringer anses tvunget og kunstig, er denne defekten ved K ikke stor. Uansett gir forskjellige svar på slike spørsmål forskjellige systemer for modal logikk.

Å legge aksiomer til K gir opphav til andre kjente modalsystemer. Man kan ikke bevise i K at hvis " p er nødvendig" så er p sant. Aksiomet T utbedrer denne feilen:

• T , refleksivitetsaksiom : □ p → p (Hvis p er nødvendig, er p tilfellet.)

T holder til de fleste, men ikke alle, modale logikkene. Zeman (1973) beskriver noen få unntak, for eksempel S1 ⁰ .

Andre kjente elementære aksiomer er:

• 4 :${\ displaystyle \ Box p \ to \ Box \ Box p}$
• B :${\ displaystyle p \ to \ Box \ Diamond p}$
• D :${\ displaystyle \ Box p \ to \ Diamond p}$
• 5 :${\ displaystyle \ Diamond p \ to \ Box \ Diamond p}$

Disse gir systemene (aksiomer i fet skrift, systemer i kursiv):

• K  : = K + N
• T  : = K + T
• S4  : = T + 4
• S5  : = T + 5
• D  : = K + D .

K til og med S5 danner et nestet hierarki av systemer, som utgjør kjernen i normal modal logikk . Men spesifikke regler eller regelsett kan være passende for spesifikke systemer. For eksempel, i deontisk logikk , (Hvis det burde være det p , så er det tillatt at p ) virker passende, men vi bør sannsynligvis ikke inkludere det . Faktisk er det å gjøre det å gjøre appell til naturfeil (dvs. å si at det som er naturlig også er bra, ved å si at hvis p er tilfelle, bør p være tillatt). ${\ displaystyle \ Box p \ to \ Diamond p}$${\ displaystyle p \ to \ Box \ Diamond p}$

Det vanlige systemet S5 gjør ganske enkelt alle modalsannheter nødvendige. For eksempel, hvis p er mulig, er det "nødvendig" at p er mulig. Også hvis p er nødvendig, er det nødvendig at p er nødvendig. Andre systemer for modal logikk er formulert, delvis fordi S5 ikke beskriver alle typer modaliteter av interesse.

Strukturell bevissteori

Sekvensielle beregninger og systemer for naturlig fradrag er utviklet for flere modal logikker, men det har vist seg vanskelig å kombinere generalitet med andre funksjoner som forventes av gode strukturelle bevissteorier , for eksempel renhet (bevissteorien introduserer ikke ekstra-logiske forestillinger som etiketter ) og analyse (de logiske reglene støtter en ren forestilling om analytisk bevis ). Mer komplekse beregninger har blitt brukt på modal logikk for å oppnå generalitet.

Beslutningsmetoder

Analytiske tablåer gir den mest populære beslutningsmetoden for modal logikk.

Modal logikk i filosofi

Aletisk logikk

Modaliteter av nødvendighet og mulighet kalles aletiske metoder. De kalles også noen ganger spesielle modaliteter, fra de latinske artene . Modal logikk ble først utviklet for å håndtere disse konseptene, og ble først deretter utvidet til andre. Av denne grunn, eller kanskje for deres fortrolighet og enkelhet, nødvendighet og mulighet er ofte tilfeldig behandlet som en gjenstand for modal logikk. Videre er det lettere å forstå for å relativisere nødvendigheten, for eksempel til juridisk, fysisk, nomologisk , epistemisk og så videre, enn det er å gi mening om å relativisere andre forestillinger.

I klassisk modal logikk sies det å være et forslag

• mulig hvis den ikke nødvendigvis er usann (uansett om den faktisk er sann eller faktisk usann);
• nødvendig hvis det muligens ikke er falskt (dvs. sant og nødvendigvis sant);
• betinget hvis det ikke nødvendigvis er falskt og ikke nødvendigvis sant (dvs. mulig, men ikke nødvendigvis sant);
• umulig hvis det muligens ikke er sant (dvs. falskt og nødvendigvis usant).

I klassisk modal logikk kan derfor ideen om enten mulighet eller nødvendighet antas å være grunnleggende, der disse andre forestillingene er definert i form av den på samme måte som De Morgan -dualiteten . Intuisjonistisk modal logikk behandler mulighet og nødvendighet som ikke helt symmetrisk.

Anta for eksempel at mens vi går til nærbutikken, passerer vi Friedrichs hus og ser at lysene er slukket. På vei tilbake ser vi at de er slått på.

• "Noen eller noe tente lysene" er nødvendig .
• "Friedrich tente lysene", "Friedrichs romkamerat Max slo på lysene" og "En innbruddstyv ved navn Adolf brøt seg inn i Friedrichs hus og slo på lysene" er betinget .
• Alle utsagnene ovenfor er mulige .
• Det er umulig at Sokrates (som har vært død i over to tusen år) tente lysene.

(Selvfølgelig bruker denne analogien ikke aletisk modalitet på en virkelig streng måte; for å gjøre det, må den aksiomatisk komme med uttalelser som "mennesker kan ikke reise seg fra de døde", "Sokrates var et menneske og ikke en udødelig vampyr ", og" vi tok ikke hallusinogene legemidler som fikk oss til å falsk tro at lysene var tent ", uendelig . Absolutt visshet om sannhet eller usannhet eksisterer bare i betydningen logisk konstruerte abstrakte begreper som" det er umulig å tegne en trekant med fire sider "og" alle ungkarer er ugift ".)

For de som har problemer med å forstå at noe er mulig, men ikke sant, kan betydningen av disse begrepene bli mer forståelig ved å tenke på flere "mulige verdener" (i betydningen Leibniz ) eller "alternative universer"; noe "nødvendig" er sant i alle mulige verdener, noe "mulig" er sant i minst én mulig verden. Disse "mulige verdenssemantikkene" er formalisert med Kripke -semantikk .

Fysisk mulighet

Noe er fysisk, eller nominelt, mulig hvis det er tillatt av fysikkens lover . For eksempel antas dagens teori å tillate at det er et atom med et atomnummer 126, selv om det ikke finnes slike atomer. Selv om det er logisk mulig å akselerere utover lysets hastighet , sier moderne vitenskap at det ikke er fysisk mulig for materialpartikler eller informasjon.

Metafysisk mulighet

Filosofer debatterer om objekter har egenskaper uavhengige av de som er diktert av vitenskapelige lover. For eksempel kan det være metafysisk nødvendig, som noen som går inn for fysikalisme har trodd, at alle tenkende vesener har kropper og kan oppleve tidens gang . Saul Kripke har hevdet at hver person nødvendigvis har foreldrene de har: Alle med forskjellige foreldre ville ikke være den samme personen.

Metafysisk mulighet har blitt antatt å være mer begrensende enn bare logisk mulighet (dvs. færre ting er metafysisk mulig enn det som er logisk mulig). Imidlertid er dens eksakte forhold (hvis noen) til logisk eller fysisk mulighet et spørsmål om tvist. Filosofer er også uenige om metafysiske sannheter bare er nødvendig "per definisjon", eller om de gjenspeiler noen underliggende dype fakta om verden, eller noe helt annet.

Epistemisk logikk

Epistemiske metoder (fra det greske episteme , kunnskap), omhandler vissheten i setninger. Operatøren □ er oversatt som "x vet at ...", og operatøren ◇ er oversatt som "For alle x vet kan det være sant at ..." I vanlig tale uttrykkes både metafysiske og epistemiske modaliteter ofte i lignende ord; følgende kontraster kan hjelpe:

En person, Jones, kan med rimelighet si begge deler : (1) "Nei, det er ikke mulig at Bigfoot eksisterer; jeg er ganske sikker på det"; og , (2) "Jada, det er mulig at Bigfoots kan eksistere". Det Jones mener med (1) er at, gitt all tilgjengelig informasjon, er det ingen spørsmål om Bigfoot eksisterer. Dette er en epistemisk påstand. Ved (2) hevder han den metafysiske påstanden om at det er mulig for Bigfoot å eksistere, selv om han ikke gjør det : Det er ingen fysisk eller biologisk årsak til at store, fjærløse, tobeinte skapninger med tykt hår ikke kunne eksistere i skogene i Nord -Amerika (uansett om de gjør det eller ikke). På samme måte er "det mulig for personen som leser denne setningen å være fjorten meter høy og heter Tsjad" metafysisk sann (en slik person ville på en eller annen måte ikke bli forhindret i å gjøre det på grunn av høyden og navnet), men ikke aletisk sant med mindre du matcher den beskrivelsen, og ikke epistemisk sant hvis det er kjent at fjorten fot høye mennesker aldri har eksistert.

Fra den andre retningen kan Jones si: (3) "Det er mulig at Goldbachs formodning er sann; men også mulig at den er falsk", og også (4) "hvis den er sann, så er den nødvendigvis sann, og ikke muligens falsk ". Her mener Jones at det er epistemisk mulig at det er sant eller usant, for alt han vet (Goldbachs formodning er ikke bevist verken sant eller falskt), men hvis det er et bevis (hittil uoppdaget), så ville det vise at det er ikke logisk mulig for Goldbachs formodning å være falsk - det kan ikke være et antall tall som krenket den. Logisk mulighet er en form for aletisk mulighet; (4) påstår om det er mulig (dvs. logisk sett) at en matematisk sannhet har vært falsk, men (3) bare hevder om det er mulig, for alt Jones vet, (dvs. å snakke om sikkerhet) at den matematiske påstanden spesifikt enten er sann eller usann, og igjen motsier ikke Jones seg selv. Det er verdt å legge merke til at Jones ikke nødvendigvis har rett: Det er mulig (epistemisk) at Goldbachs formodning er både sann og ikke beviselig.

Epistemiske muligheter påvirker også den faktiske verden på en måte som metafysiske muligheter ikke gjør. Metafysiske muligheter er avhengig av hvordan verden kan ha vært, men epistemiske muligheter holder på hvordan verden kan være (for alt vi vet). Anta for eksempel at jeg vil vite om jeg skal ta en paraply eller ikke før jeg drar. Hvis du forteller meg "det er mulig at det regner ute" - i følelsen av epistemisk mulighet - så ville det veie om jeg tar paraplyen eller ikke. Men hvis du bare forteller meg at "det er mulig for det å regne ute" - i betydningen metafysisk mulighet - så har jeg det ikke bedre med denne delen av modal opplysning.

Noen trekk ved epistemisk modal logikk er i debatt. For eksempel, hvis x vet at p , vet x at den vet at p ? Det vil si, bør □ P → □□ P være et aksiom i disse systemene? Selv om svaret på dette spørsmålet er uklart, er det minst ett aksiom som vanligvis er inkludert i epistemisk modal logikk, fordi det er minimalt sant for alle normale modale logikker (se avsnittet om aksiomatiske systemer ):

• K , Distribusjon Axiom : .${\ displaystyle \ Box (p \ to q) \ to (\ Box p \ to \ Box q)}$

Det har blitt stilt spørsmål ved om de epistemiske og aletiske metodene bør betraktes som forskjellige fra hverandre. Kritikken sier at det ikke er noen reell forskjell mellom "sannheten i verden" (aletisk) og "sannheten i et individs sinn" (epistemisk). En undersøkelse har ikke funnet et eneste språk der man formelt skiller aletiske og epistemiske metoder, som ved hjelp av en grammatisk stemning .

Midlertidig logikk

Temporal logic er en tilnærming til semantikken i uttrykk med anspent , det vil si uttrykk med kvalifikasjoner for når. Noen uttrykk, for eksempel '2 + 2 = 4', er til enhver tid sanne, mens spente uttrykk som 'John er glad' bare er sanne noen ganger.

I tidsmessig logikk behandles spente konstruksjoner i form av modaliteter, der en standard metode for formalisering av snakk om tid er å bruke to par operatører, en for fortiden og en for fremtiden (P vil bare bety 'det er i dag tilfelle den P '). For eksempel:

F P  : Det vil noen ganger være slik at P

G P  : Det vil alltid være slik at P

P P  : Det var en gang tilfelle at P

H P  : Det har alltid vært slik at P

Det er da minst tre modale logikker som vi kan utvikle. For eksempel kan vi fastsette at

${\ displaystyle \ Diamond P}$= P er tilfellet på et tidspunkt t

${\ displaystyle \ Box P}$= P er tilfelle hver gang t

Eller vi kan bytte disse operatørene for å bare håndtere fremtiden (eller fortiden). For eksempel,

${\ displaystyle \ Diamond _ {1} P}$= F P

${\ displaystyle \ Box _ {1} P}$= G P

eller,

${\ displaystyle \ Diamond _ {2} P}$= P og/eller F P

${\ displaystyle \ Box _ {2} P}$= P og G P

Operatørene F og G kan i utgangspunktet virke fremmed, men de lager normale modalsystemer . Legg merke til at F P er den samme som ¬ G ¬ P . Vi kan kombinere operatørene ovenfor for å danne komplekse utsagn. For eksempel sier P P → □ P P (effektivt): Alt som er fortid og sant er nødvendig .

Det virker rimelig å si at det muligens kommer til å regne i morgen, og muligens ikke; på den annen side, siden vi ikke kan endre fortiden, hvis det er sant at det regnet i går, er det sannsynligvis ikke sant at det kanskje ikke har regnet i går. Det ser ut til at fortiden er "fast" eller nødvendig, på en måte fremtiden ikke er. Dette blir noen ganger referert til som tilfeldig nødvendighet . Men hvis fortiden er "fikset", og alt som er i fremtiden til slutt vil være i fortiden, så virker det sannsynlig å si at fremtidige hendelser også er nødvendige.

På samme måte anser problemet med fremtidige kontingenter semantikken i påstander om fremtiden: er et av forslagene "Det vil være et sjøslag i morgen", eller "Det vil ikke være et sjøslag i morgen" nå sant? Ved å vurdere denne oppgaven fikk Aristoteles til å avvise prinsippet om bivalens for påstander om fremtiden.

Ytterligere binære operatører er også relevante for temporal logics, qv Linear Temporal Logic .

Versjoner av timelig logikk kan brukes i informatikk for å modellere databehandlinger og bevise teoremer om dem. I en versjon betyr ◇ P "på et fremtidig tidspunkt i beregningen er det mulig at datamaskinens tilstand vil være slik at P er sant"; □ P betyr "til enhver tid i beregningen vil P være sant". I en annen versjon betyr ◇ P "i umiddelbar neste tilstand av beregningen kan P være sant"; □ P betyr "i umiddelbar neste tilstand av beregningen vil P være sant". Disse er forskjellige i valg av tilgjengelighetsrelasjon . (P betyr alltid "P er sant ved den nåværende datamaskintilstanden.") Disse to eksemplene involverer ubestemte eller ikke fullt ut forståtte beregninger; det er mange andre modalogikker som er spesialisert på forskjellige typer programanalyser. Hver og en fører naturlig til litt forskjellige aksiomer.

Deontisk logikk

På samme måte synes snakk om moral, eller om forpliktelse og normer generelt, å ha en modal struktur. Forskjellen mellom "Du må gjøre dette" og "Du kan gjøre dette" ligner mye på forskjellen mellom "Dette er nødvendig" og "Dette er mulig". Slike logikker kalles deontisk , fra gresk for "plikt".

Deontic logikker som vanligvis mangler aksiom T semantisk svarende til refleksivitet av tilgjengelighet forhold i Kripke semantikk : i symboler, . Tolker □ som "det er obligatorisk det", sier T uformelt at hver forpliktelse er sann. For eksempel, hvis det er obligatorisk å ikke drepe andre (dvs. drap er moralsk forbudt), så innebærer T at mennesker faktisk ikke dreper andre. Konsekvensen er åpenbart falsk. ${\ displaystyle \ Box \ phi \ to \ phi}$

I stedet, ved å bruke Kripke semantikk , sier vi at selv om vår egen verden ikke realiserer alle forpliktelser, gjør verdenene som er tilgjengelige for den (dvs. T holder til disse verdenene). Disse verdenene kalles idealiserte verdener. P er obligatorisk med hensyn til vår egen verden hvis i det hele tatt idealiserte verdener som er tilgjengelige for vår verden, holder P. Selv om dette var en av de første tolkningene av den formelle semantikken, har den nylig blitt utsatt for kritikk.

Et annet prinsipp som ofte er (i det minste tradisjonelt) aksepteres som en deontic prinsipp er D , , som svarer til den serialitet (eller strekkbarhet eller unboundedness) av tilgjengeligheten forhold. Det er en legemliggjørelse av den kantianske ideen om at "burde antyde kan". (Tydeligvis kan "kanen" tolkes i forskjellige sanser, f.eks. I moralsk eller aletisk forstand.) ${\ displaystyle \ Box \ phi \ to \ Diamond \ phi}$

Intuitive problemer med deontisk logikk

Når vi prøver å formalisere etikk med standard modal logikk, støter vi på noen problemer. Anta at vi har et forslag K : du har stjålet noen penger, og en annen, Q : du har stjålet en liten sum penger. Anta nå at vi ønsker å uttrykke tanken om at "hvis du har stjålet noen penger, burde det være en liten sum penger". Det er to sannsynlige kandidater,

(1) ${\ displaystyle (K \ to \ Box Q)}$

(2) ${\ displaystyle \ Box (K \ til Q)}$

Men (1) og K innebærer sammen □ Q , som sier at det burde være slik at du har stjålet en liten sum penger. Dette er absolutt ikke riktig, fordi du burde ikke ha stjålet noe i det hele tatt. Og (2) fungerer heller ikke: Hvis den riktige fremstillingen av "hvis du har stjålet noen penger burde det være et lite beløp" er (2), så er den riktige representasjonen av (3) "hvis du har stjålet noen penger så burde det være en stor mengde "er . Anta nå (som det virker rimelig) at du ikke burde stjele noe, eller . Men så kan vi utlede via og ( kontrapositiv av ); så setning (3) følger av vår hypotese (selvfølgelig viser den samme logikken setning (2)). Men det kan ikke være riktig, og er ikke riktig når vi bruker naturlig språk. Å fortelle noen at de ikke skal stjele, betyr absolutt ikke at de skal stjele store mengder penger hvis de driver med tyveri. ${\ displaystyle \ Box (K \ to (K \ land \ lnot Q))}$${\ displaystyle \ Box \ lnot K}$${\ displaystyle \ Box (K \ to (K \ land \ lnot Q))}$${\ displaystyle \ Box (\ lnot K) \ to \ Box (K \ to K \ land \ lnot K)}$${\ displaystyle \ Box (K \ land \ lnot K \ to (K \ land \ lnot Q))}$${\ displaystyle Q \ to K}$

Døsisk logikk

Doksastisk logikk angår logikken i tro (for noen sett med agenter). Begrepet doxastic er avledet fra den gamle greske doxa som betyr "tro". Vanligvis bruker en doxastisk logikk □, ofte skrevet "B", for å bety "Det antas at", eller når det relativiseres til en bestemt agent, "Det antas av s at".

Metafysiske spørsmål

I den vanligste tolkningen av modal logikk vurderer man " logisk mulige verdener". Hvis et utsagn er sant i alle mulige verdener , så er det en nødvendig sannhet. Hvis et utsagn tilfeldigvis er sant i vår verden, men ikke er sant i alle mulige verdener, så er det en betinget sannhet. Et utsagn som er sant i en mulig verden (ikke nødvendigvis vår egen) kalles en mulig sannhet.

Under dette "mulige verdenens formspråk", for å fastholde at Bigfoot eksistens er mulig, men ikke faktisk, sier man: "Det er en mulig verden der Bigfoot eksisterer; men i den faktiske verden eksisterer Bigfoot ikke". Det er imidlertid uklart hva denne påstanden forplikter oss til. Påstår vi virkelig eksistensen av mulige verdener, like virkelige som vår virkelige verden, bare ikke egentlig? Saul Kripke mener at 'mulig verden' er noe av et misvisende navn - at begrepet 'mulig verden' bare er en nyttig måte å visualisere muligheten for. For ham er setningene "du kunne ha rullet en 4 i stedet for en 6" og "det er en mulig verden hvor du rullet en 4, men du rullet en 6 i den faktiske verden", ikke vesentlig forskjellige uttalelser, og ingen av oss forplikter oss til eksistensen av en mulig verden. David Lewis , derimot, gjorde seg beryktet ved å bite i kula, og hevdet at alle bare mulige verdener er like virkelige som vår egen, og at det som skiller vår verden som faktisk er ganske enkelt at det faktisk er vår verden - denne verden. Denne posisjonen er et viktig prinsipp for " modal realisme ". Noen filosofer nekter å godkjenne en hvilken som helst versjon av modal realisme, og vurderer den ontologisk ekstravagant, og foretrekker å søke forskjellige måter å omskrive disse ontologiske forpliktelsene. Robert Adams mener at "mulige verdener" bedre tenkes som "verdenshistorier" eller konsistente sett med proposisjoner. Dermed er det mulig at du rullet en 4 hvis en slik situasjon kan beskrives sammenhengende.

Datavitenskapere vil vanligvis velge en meget spesifikk tolkning av modaloperatørene som er spesialisert på den bestemte beregningen som analyseres. I stedet for "alle verdener" kan du ha "alle mulige neste tilstander på datamaskinen", eller "alle mulige fremtidige tilstander på datamaskinen".

Ytterligere applikasjoner

Modal logikk har begynt å bli brukt på områder innen humaniora som litteratur, poesi, kunst og historie.

Historie

De grunnleggende ideene om modal logikk går tilbake til antikken. Aristoteles utviklet en modal syllogistisk i bok I av hans Prior Analytics (kap. 8–22), som Theophrastus forsøkte å forbedre. Det er også passasjer i Aristoteles arbeid, for eksempel det berømte sjøkampargumentet i De Interpretatione §9, som nå blir sett på som forventninger til sammenhengen mellom modal logikk og potensial og tid. I den hellenistiske perioden utviklet logikerne Diodorus Cronus , Philo dialektikeren og Stoic Chrysippus hver et modalsystem som redegjorde for muligheten og nødvendighetens innbyrdes definisjon, aksepterte aksiom T (se nedenfor ) og kombinerte elementer av modal logikk og tidsmessig logikk i forsøk på å løse det beryktede Master Argument . Det tidligste formelle systemet for modal logikk ble utviklet av Avicenna , som til slutt utviklet en teori om " tidsmessig modal" syllogistisk. Modal logikk som et selvbevisst emne skylder mye til Scholastics skrifter , spesielt William of Ockham og John Duns Scotus , som resonnerte uformelt på en modal måte, hovedsakelig for å analysere uttalelser om essens og ulykke .

På 1800 -tallet ga Hugh MacColl innovative bidrag til modal logikk, men fant ikke mye anerkjennelse. CI Lewis grunnla moderne modal logikk i en serie vitenskapelige artikler som begynte i 1912 med "Implication and the Algebra of Logic". Lewis ble ledet til å oppfinne modal logikk, og spesielt streng implikasjon , med den begrunnelse at klassisk logikk gir paradokser av materiell implikasjon, for eksempel prinsippet om at usannhet innebærer ethvert forslag . Dette arbeidet kulminerte i boken hans Symbolic Logic fra 1932 (med CH Langford ), som introduserte de fem systemene S1 til S5 .

Etter Lewis fikk modal logikk liten oppmerksomhet i flere tiår. Nicholas Rescher har hevdet at dette var fordi Bertrand Russell avviste det. Imidlertid har Jan Dejnozka argumentert mot dette synet og uttalt at et modalsystem som Dejnozka kaller "MDL" er beskrevet i Russells arbeider, selv om Russell trodde begrepet modalitet "kom fra å forveksle proposisjoner med proposisjonsfunksjoner ", som han skrev i Analysen av materie .

Arthur Norman Prior advarte Ruth Barcan Marcus om å forberede seg godt i debattene om kvantifisert modal logikk med Willard Van Orman Quine , på grunn av skjevhetene mot modal logikk.

Ruth C. Barcan (senere Ruth Barcan Marcus ) utviklet de første aksiomatiske systemene for kvantifisert modal logikk - første og andre ordens utvidelser av Lewis ' S2 , S4 og S5 .

Den samtidige epoken i modal semantikk begynte i 1959, da Saul Kripke (den gang bare en 18 år gammel Harvard University bachelor) introduserte den nå standard Kripke-semantikken for modal logikk. Disse blir ofte referert til som "mulige verdener" semantikk. Kripke og AN Prior hadde tidligere korrespondert i lengden. Kripke semantikk er i utgangspunktet enkel, men bevisene blir lettere ved å bruke semantiske tablåer eller analytiske tablåer , som forklart av EW Beth .

AN Prior opprettet moderne tids logikk , nært knyttet til modal logikk, i 1957 ved å legge til modale operatører [F] og [P] som betyr "til slutt" og "tidligere". Vaughan Pratt introduserte dynamisk logikk i 1976. I 1977 foreslo Amir Pnueli å bruke tidsmessig logikk for å formalisere oppførselen til kontinuerlig drift av samtidige programmer. Smaker av tidsmessig logikk omfatter -basert utsagnslogikk dynamisk (PDL), -basert utsagnslogikk lineære temp (PLTL), lineær tidsmessig logikk (LTL), beregning tre logikk (CTL), Hennessy-Milner logikk , og T .

Den matematiske strukturen til modal logikk, nemlig boolske algebraer forsterket med unære operasjoner (ofte kalt modalalgebraer ), begynte å dukke opp med JCC McKinseys 1941 -bevis på at S2 og S4 er løvbare, og nådde full blomst i arbeidet til Alfred Tarski og hans student Bjarni Jónsson (Jónsson og Tarski 1951–52). Dette arbeidet avslørte at S4 og S5 er modeller av interiøralgebra , en skikkelig forlengelse av boolsk algebra som opprinnelig ble designet for å fange egenskapene til interiøret og nedleggelse av topologi . Tekster om modal logikk gjør vanligvis lite mer enn å nevne forbindelsene med studiet av boolske algebraer og topologi . For en grundig undersøkelse av historien til formell modal logikk og den tilhørende matematikken, se Robert Goldblatt (2006).

Se også

Merknader

Referanser

• Denne artikkelen inneholder materiale fra Free On-line Dictionary of Computing , brukt med tillatelse under GFDL .
• Barcan-Marcus, Ruth JSL 11 (1946) og JSL 112 (1947) og "Modalities", OUP, 1993, 1995.
• Beth, Evert W., 1955. " Semantic entailment and formal derivability ", Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, NR Vol 18, no 13, 1955, s 309–42. Gjentrykt i Jaakko Intikka (red.) The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, 1969 (Semantic Tableaux proof methods).
• Beth, Evert W., " Formal Methods: An Introduction to Symbolic Logic and to the Study of Effective Operations in Arithmetic and Logic ", D. Reidel, 1962 (Semantic Tableaux proof methods).
• Blackburn, P .; van Benthem, J .; og Wolter, Frank; Eds. (2006) Handbook of Modal Logic . Nord -Holland.
• Blackburn, Patrick; de Rijke, Maarten; og Venema, Yde (2001) Modal Logic . Cambridge University Press. ISBN  0-521-80200-8
• Chagrov, Aleksandr; og Zakharyaschev, Michael (1997) Modal Logic . Oxford University Press. ISBN  0-19-853779-4
• Chellas, BF (1980) Modal Logic: An Introduction . Cambridge University Press. ISBN  0-521-22476-4
• Cresswell, MJ (2001) "Modal Logic" i Goble, Lou; Ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Basil Blackwell: 136–58. ISBN  0-631-20693-0
• Montering, Melvin; og Mendelsohn, RL (1998) First Order Modal Logic . Kluwer. ISBN  0-7923-5335-8
• James Garson (2006) Modal Logic for Philosophers . Cambridge University Press. ISBN  0-521-68229-0 . En grundig introduksjon til modal logikk, med dekning av forskjellige avledningssystemer og en særegen tilnærming til bruk av diagrammer for å hjelpe forståelsen.
• Girle, Rod (2000) Modal Logics and Philosophy . Acumen (Storbritannia). ISBN  0-7735-2139-9 . Bevis ved motbevisningstrær . En god introduksjon til de varierte tolkningene av modal logikk.
• Goldblatt, Robert (1992) "Logics of Time and Computation", 2. utg., CSLI Forelesningsnotater nr. 7. University of Chicago Press.
• —— (1993) Mathematics of Modality , CSLI Forelesningsnotater nr. 43. University of Chicago Press.
• —— (2006) " Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution ", i Gabbay, DM; og Woods, John; Eds., Handbook of the History of Logic, bind. 6 . Elsevier BV.
• Goré, Rajeev (1999) "Tableau Methods for Modal and Temporal Logics" i D'Agostino, M .; Gabbay, D .; Haehnle, R .; og Posegga, J .; Eds., Handbook of Tableau Methods . Kluwer: 297–396.
• Hughes, GE og Cresswell, MJ (1996) En ny introduksjon til Modal Logic . Routledge. ISBN  0-415-12599-5
• Jónsson, B. og Tarski, A. , 1951–52, "Boolean Algebra with Operators I and II", American Journal of Mathematics 73 : 891–939 og 74 : 129–62.
• Kracht, Marcus (1999) Verktøy og teknikker i modal logikk , studier i logikk og grunnlaget for matematikk nr. 142. Nord -Holland.
• Lemmon, EJ (med Scott, D. ) (1977) An Introduction to Modal Logic , American Philosophical Quarterly Monograph Series, nr. 11 (Krister Segerberg, serie utg.). Basil Blackwell.
• Lewis, CI (med Langford, CH ) (1932). Symbolisk logikk . Dover -opptrykk, 1959.
• Tidligere, AN (1957) Time and Modality . Oxford University Press.
• Snyder, D. Paul "Modal Logic and its applications", Van Nostrand Reinhold Company, 1971 (proof tree methods).
• Zeman, JJ (1973) Modal Logic. Reidel. Bruker polsk notasjon .
• "Logikkens historie" , Britannica Online .

Videre lesning

• Ruth Barcan Marcus, Modalities , Oxford University Press, 1993.
• DM Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter og M. Zakharyaschev, Many-Dimensional Modal Logics: Theory and Applications , Elsevier, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, bind 148, 2003, ISBN  0-444-50826-0 . [Dekker mange varianter av modal logikk, f.eks. Tidsmessig, epistemisk, dynamisk, beskrivelse, romlig fra et enhetlig perspektiv med vekt på datavitenskapelige aspekter, f.eks. Avgjørbarhet og kompleksitet.]
• Andrea Borghini, A Critical Introduction to the Metaphysics of Modality , New York: Bloomsbury, 2016.

Eksterne linker

• Internet Encyclopedia of Philosophy :
  • " Modal Logic: A Contemporary View " - av Johan van Benthem.
  • " Rudolf Carnaps modale logikk " - av MJ Cresswell.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy :
  • " Modal Logic " - av James Garson .
  • " Modern Origins of Modal Logic " - av Roberta Ballarin.
  • " Provability Logic " - av Rineke Verbrugge.
• Edward N. Zalta , 1995, " Basic Concepts in Modal Logic. "
• John McCarthy , 1996, " Modal Logic. "
• Molle en Java -bevis for å eksperimentere med modal logikk
• Suber, Peter, 2002, " Bibliography of Modal Logic. "
• Liste over logiske systemer Liste over mange modale logikker med kilder, av John Halleck.
• Fremskritt innen Modal Logic. Halvårlig internasjonal konferanse og bokserie i modal logikk.
• S4prover Et tablåprover for S4 -logikk
• " Noen kommentarer til logikk og topologi " - av Richard Moot; gir en topologisk semantikk for den modale logikken S4.
• LoTREC Det mest generiske beviset for modal logikk fra IRIT/Toulouse University