Navier – Stokes ligninger - Navier–Stokes equations

I fysikk , de Navier-Stokes ligningene ( / n æ v j s t k s / ) er visse partielle differensialligninger som beskriver bevegelsen av viskøse væske stoffer, oppkalt etter fransk ingeniør og fysiker Claude-Louis Navier og anglo Irsk fysiker og matematiker George Gabriel Stokes . De ble utviklet over flere tiår med gradvis å bygge teoriene, fra 1822 (Navier) til 1842–1850 (Stokes).

Navier - Stokes -ligningene uttrykker matematisk bevaring av momentum og bevaring av masse for Newtonske væsker . De er noen ganger ledsaget av en tilstandsligning relatert til trykk , temperatur og tetthet . De oppstår fra søknad Isaac Newtons andre lov til fluider i bevegelse , sammen med den antagelse at den spenning i væsken er summen av et diffuserende viskøs sikt (som er proporsjonal med gradienten av hastigheten) og et trykk termin følgelig beskriver viskøs strømning . Forskjellen mellom dem og de nært beslektede Euler -ligningene er at Navier - Stokes -ligningene tar hensyn til viskositeten, mens Euler -ligningsmodellen bare viser usikker strømning . Som et resultat er Navier – Stokes en parabolsk ligning og har derfor bedre analytiske egenskaper, på bekostning av å ha mindre matematisk struktur (for eksempel er de aldri helt integrerbare ).

Navier - Stokes -ligningene er nyttige fordi de beskriver fysikken til mange fenomener av vitenskapelig og ingeniørfaglig interesse. De kan brukes til å modellere været, havstrømmer , vannføring i et rør og luftstrøm rundt en vinge . Navier – Stokes -ligningene, i deres fulle og forenklede former, hjelper med design av fly og biler, studier av blodstrøm, utforming av kraftstasjoner, analyse av forurensning og mange andre ting. Sammen med Maxwells ligninger kan de brukes til å modellere og studere magnetohydrodynamikk .

Navier -Stokes -ligningene er også av stor interesse i rent matematisk forstand. Til tross for det store utvalget av praktiske bruksområder, er det ennå ikke bevist om jevne løsninger alltid eksisterer i tre dimensjoner - det vil si at de er uendelig differensierbare (eller bare begrenset) på alle punkter i domenet . Dette kalles Navier - Stokes eksistens og glatthetsproblem . The Clay Mathematics Institute har kalt dette en av de sju viktigste åpne problemer i matematikk og har tilbudt en US $ 1 million premie for en løsning eller et moteksempel.

Strømningshastighet

Løsningen av ligningene er en strømningshastighet . Det er et vektorfelt - til hvert punkt i en væske, når som helst i et tidsintervall, gir den en vektor hvis retning og størrelse er hastigheten til væsken på det tidspunktet i rommet og i det øyeblikket i tid. Det studeres vanligvis i tre romlige dimensjoner og en tidsdimensjon, selv om to (romlige) dimensjonale og steady-state-tilfeller ofte brukes som modeller, og høyere dimensjonale analoger studeres i både ren og anvendt matematikk. Når hastighetsfeltet er beregnet, kan andre interessemengder som trykk eller temperatur bli funnet ved bruk av dynamiske ligninger og relasjoner. Dette er forskjellig fra det man vanligvis ser i klassisk mekanikk , der løsninger vanligvis er baner for posisjon av en partikkel eller avbøyning av et kontinuum . Å studere hastighet i stedet for posisjon gir mer mening for en væske, selv om man for visualiseringsformål kan beregne forskjellige baner . Spesielt er strømlinjene i et vektorfelt, tolket som strømningshastighet, banene langs hvilke en masseløs væskepartikkel ville bevege seg. Disse banene er de integrerte kurvene hvis derivat på hvert punkt er lik vektorfeltet, og de kan visuelt representere oppførselen til vektorfeltet på et tidspunkt.

Generelle kontinuumligninger

Navier - Stokes momentumligning kan avledes som en bestemt form for Cauchy momentumligningen , hvis generelle konvektive form er

ved å sette Cauchy -spenningstensoren σ til å være summen av et viskositetsuttrykk τ (den deviatoriske spenningen ) og et trykkuttrykk - p I (volumetrisk stress) kommer vi frem til
Cauchy momentum ligning (konvektiv form)

hvor

  • D/D ter materialderivatet , definert som/. T+ du ⋅ ∇ ,
  • ρ er tettheten,
  • u er strømningshastigheten,
  • ⋅ ⋅ er divergensen ,
  • p er trykket ,
  • t er tid ,
  • τ er den deviatoriske spenningstensoren , som har rekkefølge 2,
  • g representerer kroppsakselerasjoner som virker på kontinuumet, for eksempel tyngdekraft , treghetsakselerasjoner , elektrostatiske akselerasjoner , og så videre,

I denne formen er det tydelig at ved antagelsen om en usynlig væske - ingen avvikende stress - reduserer Cauchy -ligningene til Euler -ligningene .

Forutsatt bevaring av masse kan vi bruke massekontinuitetsligningen (eller ganske enkelt kontinuitetsligningen),

for å komme til bevaringsformen for bevegelsesligningene. Dette er ofte skrevet:
Cauchy momentum ligning (bevaringsform)

hvor er det ytre produktet :

Venstre side av ligningen beskriver akselerasjon, og kan være sammensatt av tidsavhengige og konvektive komponenter (også effekten av ikke-treghetskoordinater hvis den er tilstede). Den høyre siden av ligningen er i virkeligheten en summering av hydrostatiske effekter, divergensen av deviatorisk stress og kroppskrefter (for eksempel tyngdekraften).

Alle ikke-relativistiske balanse-ligninger, for eksempel Navier-Stokes-ligningene, kan utledes ved å begynne med Cauchy-ligningene og spesifisere spenningstensoren gjennom et konstitutivt forhold . Ved å uttrykke den deviatoriske (skjær) spenningstensoren når det gjelder viskositet og væskehastighetsgradienten , og anta konstant viskositet, vil de ovennevnte Cauchy -ligningene føre til Navier - Stokes -ligningene nedenfor.

Konvektiv akselerasjon

Et eksempel på konveksjon. Selv om strømmen kan være jevn (tidsuavhengig), retarderer væsken når den beveger seg nedover den divergerende kanalen (forutsatt inkomprimerbar eller subsonisk komprimerbar strøm), og derfor skjer det en akselerasjon over posisjonen.

Et vesentlig trekk ved Cauchy -ligningen og følgelig alle andre kontinuumligninger (inkludert Euler og Navier – Stokes) er tilstedeværelsen av konvektiv akselerasjon: effekten av akselerasjon av en strøm med hensyn til plass. Mens individuelle væskepartikler faktisk opplever tidsavhengig akselerasjon, er den konvektive akselerasjonen av strømningsfeltet en romlig effekt, et eksempel er væske som øker hastigheten i en dyse.

Komprimerbar flyt

Bemerkning: her er Cauchy -spenningstensoren betegnet σ (i stedet for τ slik den var i de generelle kontinuumslikningene og i den inkomprimerbare strømningsdelen ).

Den komprimerbare momentum Navier - Stokes -ligningen er resultatet av følgende forutsetninger om Cauchy stress tensor:

  • spenningen er galileisk invariant : den avhenger ikke direkte av strømningshastigheten, men bare av romlige derivater av strømningshastigheten. Så spenningsvariabelen er tensorgradienten u .
  • spenningen er lineær i denne variabelen: σ (∇ u ) = C  : (∇ u ) , der C er tensor i fjerde orden som representerer proporsjonalitetskonstanten, kalt viskositeten eller elastisitetstensoren , og: er dobbeltpunktsproduktet .
  • væsken antas å være isotrop , som med gasser og enkle væsker, og følgelig er V en isotrop tensor; siden spenningstensoren er symmetrisk, kan den ved Helmholtz -dekomponering uttrykkes i to skalære Lamé -parametere , bulkviskositeten λ og den dynamiske viskositeten μ , slik den er vanlig i lineær elastisitet :
    Lineær stresskonstitutiv ligning (uttrykk brukt for elastisk fast stoff)

    hvor jeg er identitetstensoren, ε (∇ u ) ≡1/2u +1/2(∇ u ) T er belastningsfrekvens-tensoren og ∇ ⋅ u er ekspansjonshastigheten til strømningen. Så denne nedbrytningen kan eksplisitt defineres som:

Siden sporet av tensorens hastighet i tre dimensjoner er:

Sporet av spenningstensoren i tre dimensjoner blir:

Så ved alternativt å dekomponere spenningstensoren til isotrope og deviatoriske deler, som vanlig i væskedynamikk:

Vi introduserer den andre viskositeten ζ ,

kommer vi til den lineære konstituerende ligningen i den formen som vanligvis brukes i termisk hydraulikk :

Lineær stresskonstitutiv ligning (uttrykk brukt for væsker)

Både den andre viskositeten ζ og den dynamiske viskositeten μ trenger ikke å være konstant - generelt er de avhengige av tetthet, av hverandre (viskositeten uttrykkes i trykk) og i komprimerbare strømninger også av temperaturen. Enhver ligning som gjør eksplisitt en av disse transportkoeffisientene i bevaringsvariablene kalles en tilstandsligning .

Den mest generelle av Navier - Stokes ligninger blir

Navier - Stokes momentumligning ( konvektiv form )

I de fleste tilfeller kan den andre viskositeten ζ antas å være konstant. Effekten av volumviskositeten ζ er at det mekaniske trykket ikke tilsvarer det termodynamiske trykket : Siden

modifisert trykk blir vanligvis introdusert
for å fjerne begrepet som tilsvarer den andre viskositeten. Denne forskjellen blir vanligvis neglisjert, noen ganger ved eksplisitt å anta ζ = 0 , men den kan ha innvirkning på lydabsorbering og demping og sjokkbølger. Med denne forenklingen blir ligningene Navier - Stokes
Navier - Stokes momentumligning ( konvektiv form )

Hvis den dynamiske viskositeten μ også antas å være konstant, kan ligningene forenkles ytterligere. Ved å beregne avviket til spenningstensoren, ettersom divergens av tensoren u er 2 u og divergensen av tensor (∇ u ) T er ∇ (∇ ⋅ u ) , kommer man endelig til den sammenpress (mest generelle) Navier- Stokes momentum -ligning:

Navier - Stokes momentumligning ( konvektiv form )

hvor D/Dter materialderivatet . Venstre side endres i bevaringsformen for momentumligningen Navier-Stokes:

Navier - Stokes momentumligning ( bevaringsform )

Masseviskositeten antas å være konstant, ellers bør den ikke tas ut av det siste derivatet. Det konvektive akselerasjonsbegrepet kan også skrives som

hvor vektoren (∇ × u ) × u er kjent som lamvektoren .

For det spesielle tilfelle med en inkompressibel strømning , trykk begrenser gjennomstrømningen, slik at volumet av fluidelementer er konstant: isokorisk strømning som resulterer i en magnetshastighetsfelt med ∇ ⋅ u = 0 .

Ukomprimerbar flyt

Den inkomprimerbare momentum Navier - Stokes -ligningen er resultatet av følgende forutsetninger om Cauchy stress tensor:

  • spenningen er galileisk invariant : den avhenger ikke direkte av strømningshastigheten, men bare av romlige derivater av strømningshastigheten. Så spenningsvariabelen er tensorgradienten u .
  • væsken antas å være isotrop , som med gasser og enkle væsker, og følgelig er τ en isotrop tensor; Videre, siden den deviatoriske spenningstensoren kan uttrykkes i form av dynamisk viskositet μ :
    Stokes stresskonstituerende ligning (uttrykk brukt for inkomprimerbare elastiske faste stoffer)

    hvor

    er belastningshastigheten tensor . Så denne nedbrytningen kan gjøres eksplisitt som:
    Stokes stresskonstituerende ligning (uttrykk brukt for inkomprimerbare viskøse væsker)

Dynamisk viskositet μ trenger ikke å være konstant - i inkomprimerbare strømmer kan det avhenge av tetthet og trykk. Enhver ligning som gjør eksplisitt en av disse transportkoeffisientene i de konservative variablene kalles en tilstandsligning .

Divergensen av det deviatoriske stresset er gitt av:

fordi ∇ ⋅ u = 0 for en inkomprimerbar væske.

Ukomprimerbarhet utelukker tetthet og trykkbølger som lyd- eller sjokkbølger , så denne forenklingen er ikke nyttig hvis disse fenomenene er av interesse. Den inkomprimerbare strømningsforutsetningen holder vanligvis godt med alle væsker ved lave Mach -tall (si opptil Mach 0,3), for eksempel for modellering av luftvind ved normale temperaturer. de inkomprimerbare Navier – Stokes -ligningene visualiseres best ved å dele for tettheten:

Ukomprimerbare Navier - Stokes ligninger ( konvektiv form )

Hvis tettheten er konstant i væskedomenet, eller, med andre ord, hvis alle væskeelementene har samme tetthet , så har vi

Ukomprimerbare Navier - Stokes ligninger ( konvektiv form )

hvor 𝜈 =μ/ρ 0kalles kinematisk viskositet .

Et eksempel på laminær flyt

Hastighetsprofil (laminær flyt):

for y -retningen, forenkle Navier – Stokes -ligningen:

Integrer to ganger for å finne hastighetsprofilen med grensebetingelser y = h , u = 0 , y = - h , u = 0 :

Fra denne ligningen, erstatt i de to grensebetingelsene for å få to ligninger:

Legg til og løs for B :

Erstatt og løs på A :

Til slutt gir dette hastighetsprofilen:

Det er vel verdt å observere betydningen av hvert begrep (sammenlign med Cauchy momentum -ligningen ):

Den høyere ordens sikt, nemlig skjærspenningen divergensen ∇ for ⋅ r , har bare redusert til vektor-Laplace- uttrykket jj ∇ for 2 u . Dette laplaciske uttrykket kan tolkes som forskjellen mellom hastigheten på et punkt og gjennomsnittshastigheten i et lite omgivende volum. Dette innebærer at viskositeten - for en newtonsk væske - fungerer som en diffusjon av momentum , omtrent på samme måte som varmeledningen . Faktisk forsømme konveksjon sikt, ikke-komprimer Navier-Stokes-ligningene føre til en vektor diffusjonsligningen (nemlig Stokes ligningene ), men generelt konveksjon sikt er til stede, slik at komprimerbare Navier-Stokes-ligningene tilhører klassen av konveksjon-diffusjons-ligninger .

I det vanlige tilfellet at et eksternt felt er et konservativt felt :

ved å definere det hydrauliske hodet :

man kan til slutt kondensere hele kilden på en periode og komme til den inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningen med et konservativt ytre felt:

De inkomprimerbare Navier – Stokes -ligningene med konservativt ytre felt er den grunnleggende ligningen for hydraulikk . Domenet for disse ligningene er vanligvis et 3 eller mindre euklidisk rom , for hvilket en ortogonal koordinatreferanseramme vanligvis er satt til å eksplisitt systemet med skalære partielle differensialligninger som skal løses. I 3-dimensjonale ortogonale koordinatsystemer er 3: kartesiske , sylindriske og sfæriske . Å uttrykke vektorligningen Navier-Stokes i kartesiske koordinater er ganske greit og ikke mye påvirket av antall dimensjoner av det euklidiske rommet som brukes, og dette er tilfellet også for første ordens vilkår (som variasjon og konveksjon) også i ikke-kartesiske ortogonale koordinatsystemer. Men for vilkårene av høyere orden (de to som kommer fra avviket mellom det deviatoriske stresset som skiller Navier-Stokes ligninger fra Euler-ligninger) kreves det noen tensorberegning for å utlede et uttrykk i ikke-kartesiske ortogonale koordinatsystemer.

Den inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningen er sammensatt, summen av to ortogonale ligninger,

hvor Π S og Π I er solenoidale og irrotasjonelle projeksjonsoperatorer som tilfredsstiller Π S + Π I = 1 og f S og f I er de ikke-konservative og konservative delene av kroppskraften. Dette resultatet følger av Helmholtz -setningen (også kjent som grunnsetningen til vektorkalkulus). Den første ligningen er en trykkløs styrende ligning for hastigheten, mens den andre ligningen for trykket er en funksjon av hastigheten og er relatert til trykket Poisson -ligningen.

Den eksplisitte funksjonsformen til projiseringsoperatoren i 3D er funnet fra Helmholtz -setningen:

med en lignende struktur i 2D. Således er den styrende ligningen en integro-differensiell ligning som ligner Coulomb og Biot-Savart-loven , ikke praktisk for numerisk beregning.

En tilsvarende svak eller variasjonsform av ligningen, som viste seg å produsere den samme hastighetsløsningen som Navier - Stokes -ligningen, er gitt av,

for divergens frie testfunksjoner w tilfredsstiller egnede grensebetingelser. Her oppnås anslagene ved ortogonaliteten til de magnetiske og irrotasjonelle funksjonsrommene. Den diskrete formen for dette er utmerket egnet for endelig elementberegning av divergensfri flyt, som vi skal se i neste avsnitt. Der vil man kunne ta opp spørsmålet "Hvordan spesifiserer man trykkdrevne (Poiseuille) problemer med en trykkløs styrende ligning?".

Fraværet av trykkrefter fra reguleringshastighetsligningen viser at ligningen ikke er en dynamisk, men snarere en kinematisk ligning der den divergensfrie tilstanden tjener rollen som en bevaringsligning. Alt dette ser ut til å tilbakevise de hyppige utsagnene om at det inkomprimerbare trykket håndhever den divergensfrie tilstanden.

Variasjonsform av de inkomprimerbare Navier - Stokes ligningene

Sterk form

Vurder de inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningene for en newtonsk væske med konstant tetthet ρ i et domene

med grense
å være Γ D og Γ N deler av grensen der henholdsvis en Dirichlet og en Neumann grense betingelse er brukt ( Γ D ∩ Γ N = ∅ ):
u er væskehastigheten, p væsketrykket, f et gitt kraftuttrykk, den utadrettede enhetsnormale vektoren tilΓ N , og σ ( u , p )denviskøse spenningstensorendefinert som:
La μ er den dynamiske viskositeten til fluidet, I den andreordens identitet tensor og ε ( u ) den strekkhastigheten tensoren definert som:
Funksjonene g og h gis Dirichlet og Neumann grensedata, mens u 0 er utgangsbetingelsen . Den første ligningen er momentumbalanse -ligningen, mens den andre representerer massebevarelsen , nemlig kontinuitetsligningen . Forutsatt konstant dynamisk viskositet, ved bruk av vektoridentiteten
og utnytter massebevaring, kan divergensen av den totale spenningstensoren i momentumligningen også uttrykkes som:
Vær dessuten oppmerksom på at Neumann -grensebetingelsene kan omorganiseres som:

Svak form

For å finne en variasjonsform for Navier - Stokes -ligningene, må du først vurdere momentumligningen

multipliser den for en testfunksjon v , definert i et passende mellomrom V , og integrer begge medlemmene med hensyn til domenet Ω :
Motintegrering av deler av diffusive og trykkbetingelser og ved bruk av Gauss 'setning:

Ved å bruke disse relasjonene får man:

På samme måte multipliseres kontinuitetsligningen for en testfunksjon q som tilhører et mellomrom Q og integrert i domenet Ω :
Plassfunksjonene er valgt som følger:
Med tanke på at testfunksjonen v forsvinner på Dirichlet -grensen og med tanke på Neumann -tilstanden, kan integralen på grensen omorganiseres som:
Med dette i tankene, uttrykkes den svake formuleringen av Navier - Stokes -ligningene som:

Diskret hastighet

Med partisjonering av problemdomenet og definisjon av grunnfunksjoner på det oppdelte domenet, er den diskrete formen for den styrende ligningen

Det er ønskelig å velge basisfunksjoner som gjenspeiler det vesentlige trekket ved inkomprimerbar flyt-elementene må være divergensfrie. Selv om hastigheten er variabelen av interesse, er eksistensen av strømfunksjonen eller vektorpotensialet nødvendig av Helmholtz -setningen. Videre, for å bestemme væskestrømmen i fravær av en trykkgradient, kan man spesifisere forskjellen i strømfunksjonsverdier over en 2D -kanal, eller linjeintegralet av den tangensielle komponenten i vektorpotensialet rundt kanalen i 3D, og ​​strømmen blir gitt etter Stokes teorem . Diskusjonen vil være begrenset til 2D i det følgende.

Vi begrenser videre diskusjonen til kontinuerlige Hermite-begrensede elementer som har minst førstegivende frihetsgrader. Med dette kan man trekke et stort antall kandidat-trekantede og rektangulære elementer fra platebøyningslitteraturen . Disse elementene har derivater som komponenter i gradienten. I 2D er gradienten og krøllen til en skalar tydelig ortogonal, gitt av uttrykkene,

Vedta kontinuerlige plate-bøyningselementer, bytte ut de avledede frihetsgrader og endre tegnet på den riktige gir mange familier av strømfunksjonselementer.

Å ta krøllen til skalarstrømfunksjonselementene gir divergensfrie hastighetselementer. Kravet om at strømfunksjonselementene skal være kontinuerlige, sikrer at den normale komponenten i hastigheten er kontinuerlig på tvers av elementgrensesnitt, alt som er nødvendig for å forsvinne divergens på disse grensesnittene.

Grensebetingelser er enkle å bruke. Strømfunksjonen er konstant på overflater uten strømning, med glidende hastighetsforhold på overflater. Strømfunksjonsforskjeller på tvers av åpne kanaler bestemmer flyten. Ingen grensebetingelser er nødvendige for åpne grenser, selv om konsistente verdier kan brukes med noen problemer. Dette er alle Dirichlet -forhold.

De algebraiske ligningene som skal løses er enkle å sette opp, men er selvfølgelig ikke-lineære , noe som krever iterasjon av de lineariserte ligningene.

Lignende betraktninger gjelder tredimensjoner, men forlengelse fra 2D er ikke umiddelbar på grunn av potensialets vektornatur, og det eksisterer ingen enkel sammenheng mellom gradienten og krøllen som var tilfellet i 2D.

Trykkgjenoppretting

Gjenopprette trykk fra hastighetsfeltet er enkelt. Den diskrete svake ligningen for trykkgradienten er,

der test/vektfunksjonene er irrotasjonelle. Et hvilket som helst samsvarende skalært begrenset element kan brukes. Imidlertid kan trykkgradientfeltet også være av interesse. I dette tilfellet kan man bruke skalære eremittelementer for trykket. For test-/vektfunksjonene g i ville man velge de irrotasjonelle vektorelementene hentet fra gradienten til trykkelementet.

Ikke-treg referanseramme

Den roterende referanserammen introduserer noen interessante pseudokrefter i ligningene gjennom materialderivatet . Tenk på en stasjonær treghetsramme med referanse K , og en ikke-treghet referanseramme K ' , som translaterer med hastigheten U ( t ) og roterer med vinkelhastigheten Ω ( t ) i forhold til den stasjonære rammen. Navier-Stokes-ligningen observert fra den ikke-trege rammen blir da

Navier-Stokes momentumligning i ikke-treghetsramme

Her måles x og u i den ikke-trege rammen. Den første termen i parentesen representerer Coriolis -akselerasjon , den andre termen skyldes sentrifugalakselerasjon , den tredje skyldes den lineære akselerasjonen av K ′ i forhold til K og den fjerde termen skyldes vinkelakselerasjonen til K ′ mht. K .

Andre ligninger

Navier - Stokes -ligningene er strengt tatt et utsagn om momentumbalansen. For å beskrive væskestrømmen fullt ut, er det nødvendig med mer informasjon, hvor mye avhengig av forutsetningene. Denne tilleggsinformasjonen kan omfatte grensedata ( sklisikker , kapillær overflate , etc.), bevaring av masse, energibalanse og/eller en statlig ligning .

Kontinuitetsligning for inkomprimerbar væske

Uavhengig av strømforutsetningene, er en uttalelse om bevaring av masse generelt nødvendig. Dette oppnås gjennom massen kontinuitetslikningen , her vist i sin mest generelle form som:

eller, ved å bruke det materielle derivatet :

For inkomprimerbar væske forblir tettheten langs strømningslinjen konstant over tid,

Derfor er divergens av hastighet alltid null:

Streamfunksjon for inkomprimerbar 2D -væske

Å ta krøllen til den inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningen resulterer i eliminering av trykk. Dette er spesielt lett å se om 2D -kartesisk strømning antas (som i det degenererte 3D -tilfellet med u z = 0 og ingen avhengighet av noe på z ), der ligningene reduseres til:

Å differensiere den første med hensyn til y , den andre med hensyn til x og trekke fra de resulterende ligningene vil eliminere trykk og enhver konservativ kraft . For inkomprimerbar flyt, definerer strømfunksjonen ψ gjennom

resulterer i at massekontinuitet blir ubetinget tilfredsstilt (gitt at strømfunksjonen er kontinuerlig), og deretter inkomprimerbar Newtonsk 2D -momentum og massebevaring til en ligning:

hvor 4 er 2D biharmonisk operator og ν er kinematisk viskositet , ν =μ/ρ. Vi kan også uttrykke dette kompakt ved hjelp av den jakobiske determinanten :

Denne enkeltligningen sammen med passende grensebetingelser beskriver 2D væskestrøm, og tar kun kinematisk viskositet som en parameter. Vær oppmerksom på at ligningen for krypstrøm resulterer når venstre side antas null.

I aksesymmetrisk strøm kan en annen strømfunksjonsformulering, kalt Stokes -strømfunksjonen , brukes til å beskrive hastighetskomponentene i en inkomprimerbar strøm med en skalarfunksjon .

Den inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningen er en differensial algebraisk ligning , som har den upraktiske egenskapen at det ikke er noen eksplisitt mekanisme for å fremme trykket i tid. Følgelig er det lagt ned mye arbeid for å eliminere trykket fra hele eller deler av beregningsprosessen. Strømfunksjonsformuleringen eliminerer trykket, men bare i to dimensjoner og på bekostning av innføring av høyere derivater og eliminering av hastigheten, som er den primære variabelen av interesse.

Egenskaper

Ikke -linearitet

Navier - Stokes -ligningene er ikke -lineære partielle differensialligninger i det generelle tilfellet, og forblir derfor i nesten alle virkelige situasjoner. I noen tilfeller, for eksempel endimensjonal strømning og Stokes-strømning (eller krypende strømning), kan ligningene forenkles til lineære ligninger. Ikke -lineariteten gjør de fleste problemer vanskelig eller umulig å løse og er den viktigste bidragsyteren til turbulensen som ligningene modellerer.

Ikke -lineariteten skyldes konvektiv akselerasjon, som er en akselerasjon forbundet med endringen i hastighet over posisjon. Derfor vil enhver konvektiv strømning, uansett om det er turbulent eller ikke, innebære ulinearitet. Et eksempel på konvektiv, men laminær (ikke -turbulent) strømning, er passering av et viskøst væske (for eksempel olje) gjennom en liten konvergerende dyse . Slike strømmer, enten de er løselige eller ikke, kan ofte studeres og forstås grundig.

Turbulens

Turbulens er den tidsavhengige kaotiske oppførselen man ser i mange væskestrømmer. Det antas generelt at det skyldes tregheten i væsken som helhet: kulminasjonen av tidsavhengig og konvektiv akselerasjon; derfor strømmer der treghetseffekter er små, pleier å være laminære ( Reynolds -tallet kvantifiserer hvor mye strømmen påvirkes av treghet). Det antas, men ikke kjent med sikkerhet, at Navier - Stokes -ligningene beskriver turbulens skikkelig.

Den numeriske løsningen til Navier – Stokes-ligningene for turbulent strømning er ekstremt vanskelig, og på grunn av de vesentlig forskjellige blandingslengdeskalaene som er involvert i turbulent strømning, krever den stabile løsningen av dette en så fin maskeoppløsning at beregningstiden blir betydelig umulig for beregning eller direkte numerisk simulering . Forsøk på å løse turbulent strømning ved hjelp av en laminær løsningsmiddel resulterer vanligvis i en ustabil løsning som ikke klarer å konvergere på riktig måte. For å motvirke dette brukes tidsgjennomsnittlige ligninger som Reynolds-gjennomsnittet Navier-Stokes-ligninger (RANS), supplert med turbulensmodeller, i praktiske applikasjoner for beregning av fluiddynamikk (CFD) ved modellering av turbulente strømninger. Noen modeller inkluderer modellene Spalart - Allmaras , k - ω , k - ε og SST , som legger til en rekke tilleggsligninger for å lukke RANS -ligningene. Stor virvel simulering (LES) kan også brukes til å løse disse ligningene numerisk. Denne tilnærmingen er beregningsmessig dyrere - i tid og i dataminne - enn RANS, men gir bedre resultater fordi den eksplisitt løser de større turbulente skalaene.

Gjelder

Sammen med supplerende ligninger (for eksempel bevaring av masse) og velformulerte grensebetingelser, ser det ut til at Navier-Stokes-ligningene modellerer væskebevegelse nøyaktig; selv turbulente strømmer synes (i gjennomsnitt) å stemme med observasjoner fra den virkelige verden.

Navier - Stokes -ligningene antar at væsken som studeres er et kontinuum (den er uendelig delelig og ikke sammensatt av partikler som atomer eller molekyler), og beveger seg ikke med relativistiske hastigheter . På svært små skalaer eller under ekstreme forhold vil virkelige væsker laget av diskrete molekyler gi resultater som er forskjellige fra de kontinuerlige væskene som er modellert av Navier -Stokes -ligningene. For eksempel vises kapillaritet av indre lag i væsker for strømning med høye gradienter. For stort Knudsen -nummer på problemet kan Boltzmann -ligningen være en passende erstatning. Hvis du ikke klarer det, må du ty til molekylær dynamikk eller forskjellige hybridmetoder.

En annen begrensning er ganske enkelt den kompliserte naturen til ligningene. Tidstestede formuleringer eksisterer for vanlige væskefamilier, men anvendelsen av Navier-Stokes-ligningene på mindre vanlige familier har en tendens til å resultere i svært kompliserte formuleringer og ofte åpne forskningsproblemer. Av denne grunn er disse ligningene vanligvis skrevet for Newtonske væsker der viskositetsmodellen er lineær ; virkelig generelle modeller for strømmen av andre typer væsker (for eksempel blod) eksisterer ikke.

Søknad om spesifikke problemer

Navier - Stokes -ligningene, selv om de er skrevet eksplisitt for spesifikke væsker, er ganske generiske, og deres riktige anvendelse på spesifikke problemer kan være svært forskjellige. Dette er delvis fordi det er et enormt utvalg av problemer som kan modelleres, alt fra så enkelt som fordelingen av statisk trykk til så komplisert som flerfasestrøm drevet av overflatespenning .

Vanligvis begynner applikasjon på spesifikke problemer med noen flytantagelser og innledende/grensetilstandsformulering. Dette kan etterfølges av skalaanalyse for å forenkle problemet ytterligere.

Visualisering av (a) parallellstrøm og (b) radiell strømning.

Parallell flyt

Anta jevn, parallell, endimensjonal, ikke-konvektiv trykkdrevet strømning mellom parallelle plater, det resulterende skalerte (dimensjonsløse) grenseverdiproblemet er:

Grensetilstanden er no -slip -betingelsen . Dette problemet løses enkelt for strømningsfeltet:

Fra dette tidspunktet og fremover kan flere mengder interesse lett oppnås, for eksempel viskøs dragkraft eller netto strømningshastighet.

Radial flyt

Vanskeligheter kan oppstå når problemet blir litt mer komplisert. En tilsynelatende beskjeden vri på parallellstrømmen over ville være radialstrømmen mellom parallelle plater; dette innebærer konveksjon og dermed ikke-linearitet. Hastighetsfeltet kan representeres av en funksjon f ( z ) som må tilfredsstille:

Denne vanlige differensialligningen er det som oppnås når Navier - Stokes -ligningene skrives og strømforutsetningene brukes (i tillegg løses trykkgradienten for). Det ikke -lineære begrepet gjør dette til et svært vanskelig problem å løse analytisk (det kan bli funnet en lang implisitt løsning som involverer elliptiske integraler og røtter av kubiske polynomer ). Problemer med den faktiske eksistensen av løsninger oppstår for R > 1,41 (omtrentlig; dette er ikke 2 ), parameteren R er Reynolds -tallet med passende valgte skalaer. Dette er et eksempel på at flytantagelser mister anvendeligheten, og et eksempel på vanskeligheten med "høye" Reynolds -tallstrømmer.

Konveksjon

En type naturlig konveksjon som kan beskrives av Navier - Stokes ligning er Rayleigh - Bénard konveksjon . Det er et av de mest studerte konveksjonsfenomenene på grunn av dets analytiske og eksperimentelle tilgjengelighet.

Eksakte løsninger av Navier - Stokes ligninger

Noen eksakte løsninger på Navier - Stokes -ligningene eksisterer. Eksempler på degenererte tilfeller-med de ikke-lineære begrepene i Navier-Stokes ligninger lik null-er Poiseuille flow , Couette flow og det oscillerende Stokes grenselag . Men det finnes også mer interessante eksempler, løsninger på de fulle ikke-lineære ligningene, for eksempel Jeffery-Hamel-strøm , Von Kármán virvlende strømning , stagnasjonspunktstrøm , Landau-Squire-jet og Taylor-Green virvel . Vær oppmerksom på at eksistensen av disse eksakte løsningene ikke betyr at de er stabile: turbulens kan utvikle seg ved høyere Reynolds -tall.

Under ytterligere forutsetninger kan komponentdelene skilles.

Et todimensjonalt eksempel

For eksempel, i tilfelle av et ubegrenset plant domene med todimensjonal -inkomprimerbar og stasjonær-strømning i polære koordinater ( r , φ ) , er hastighetskomponentene ( u r , u φ ) og trykket p :

hvor A og B er vilkårlige konstanter. Denne løsningen er gyldig i domenet r ≥ 1 og for A <−2 ν .

I kartesiske koordinater, når viskositeten er null ( ν = 0 ), er dette:

Et tredimensjonalt eksempel

For eksempel, i tilfellet av et ubegrenset euklidsk ring med tre-dimensjonal - inkompressibel, stasjonært og med null viskositet ( ν = 0 ) - radiell strømning i kartesiske koordinater ( x , y , z ) , det hastighetsvektor v og trykk p er :

Det er en singularitet på x = y = z = 0 .

En tredimensjonal steady-state vortex-løsning

Et steady-state-eksempel uten særegenheter kommer fra å vurdere strømmen langs linjene til en Hopf-fibrasjon . La r være en konstant radius av den indre spolen. Ett sett med løsninger er gitt av:

for vilkårlige konstanter A og B . Dette er en løsning i en ikke-viskøs gass (komprimerbar væske) hvis tetthet, hastigheter og trykk går til null langt fra opprinnelsen. (Vær oppmerksom på at dette ikke er en løsning på Clay Millennium -problemet fordi det refererer til inkomprimerbare væsker der ρ er en konstant, og det handler heller ikke om særegenheten til Navier – Stokes -ligningene med hensyn til eventuelle turbulensegenskaper .) Det er også verdt påpeker at komponentene i hastighetsvektoren er nøyaktig de fra den pythagoranske firdoble parametriseringen. Andre valg av tetthet og trykk er mulig med samme hastighetsfelt:

Andre valg av tetthet og trykk

Et annet valg av trykk og tetthet med samme hastighetsvektor ovenfor er et der trykket og tettheten faller til null ved opprinnelsen og er høyest i den sentrale sløyfen ved z = 0 , x 2 + y 2 = r 2 :

Faktisk er det generelt enkle løsninger for enhver polynomfunksjon f der tettheten er:

Tyktflytende tredimensjonale periodiske løsninger

To eksempler på periodiske helt tredimensjonale viskøse løsninger er beskrevet i. Disse løsningene er definert på en tredimensjonal torus og er preget av henholdsvis positiv og negativ helicitet . Løsningen med positiv helisitet er gitt av:

hvor er bølgetallet og hastighetskomponentene normalisert slik at gjennomsnittlig kinetisk energi per masseenhet er på . Trykkfeltet er hentet fra hastighetsfeltet som (hvor og er referanseverdier for henholdsvis trykk- og tetthetsfeltene). Siden begge løsningene tilhører klassen Beltrami -strømning , er virvelhetsfeltet parallelt med hastigheten, og for tilfelle med positiv helisitet er det gitt av . Disse løsningene kan betraktes som en generalisering i tre dimensjoner av den klassiske todimensjonale Taylor-Green Taylor – Green virvelen .

Wyld -diagrammer

Wyld diagrammer er bokføring diagrammer som svarer til de Navier-Stokes-ligningene via en perturbasjon utvidelse av de grunnleggende kontinuumsmekanikk . I likhet med Feynman -diagrammene i kvantefeltteorien , er disse diagrammene en forlengelse av Keldyshs teknikk for ikke -likevektsprosesser i væskedynamikk. Med andre ord tilordner disse diagrammene grafer til de (ofte) turbulente fenomenene i turbulente væsker ved å la korrelerte og vekselvirkende væskepartikler følge stokastiske prosesser knyttet til pseudo-tilfeldige funksjoner i sannsynlighetsfordelinger .

Representasjoner i 3D

Vær oppmerksom på at formlene i denne seksjonen benytter enkelttallsnotasjonen for partielle derivater, der f.eks. Betyr delvis derivat av

u med hensyn til x , og betyr andreordens delderivat av f θ med hensyn til y .

Kartesiske koordinater

Fra den generelle formen til Navier - Stokes, med hastighetsvektoren utvidet som u = ( u x , u y , u z ) , noen ganger navngitt u , v , w , kan vi skrive vektorligningen eksplisitt,

Vær oppmerksom på at tyngdekraften er blitt regnet som en kroppskraft, og verdiene til g x , g y , g z vil avhenge av tyngdekraftens orientering i forhold til det valgte settet med koordinater.

Kontinuitetsligningen lyder:

Når strømmen er inkomprimerbar, endres ρ ikke for noen væskepartikkel, og dens materialderivat forsvinner:/Dt= 0 . Kontinuitetslikningen er redusert til:

Således faller den andre delen av de viskøse begrepene for den inkomprimerbare versjonen av Navier - Stokes -ligningen (se

Inkomprimerbar flyt ).

Dette systemet med fire ligninger består av den mest brukte og studerte formen. Selv om det er relativt mer kompakt enn andre representasjoner, er dette fremdeles et ikke -lineært system med partielle differensialligninger som det er vanskelig å finne løsninger for.

Sylindriske koordinater

En endring av variabler på de kartesiske ligningene vil gi følgende momentumligninger for r , φ og z

Tyngdekraftskomponentene vil vanligvis ikke være konstanter, men for de fleste applikasjoner velges enten koordinatene slik at tyngdekraftskomponentene er konstante, ellers antas det at tyngdekraften motvirkes av et trykkfelt (for eksempel strømning i horisontalt rør behandles normalt uten tyngdekraften og uten vertikal trykkgradient). Kontinuitetsligningen er:

Denne sylindriske representasjonen av de inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningene er den nest vanligste (den første er kartesisk ovenfor). Sylindriske koordinater er valgt for å dra nytte av symmetri, slik at en hastighetskomponent kan forsvinne. Et veldig vanlig tilfelle er aksesymmetrisk strømning med antagelsen om ingen tangensiell hastighet ( u φ = 0 ), og de resterende mengdene er uavhengige av φ :

Sfæriske koordinater

| I sfæriske koordinater er r , φ og θ momentumligninger (merk konvensjonen som brukes: θ er polar vinkel eller kolatitude , 0 ≤ θ ≤ π ):

Massekontinuitet vil lese:

Disse ligningene kan (litt) komprimeres av for eksempel factoring 1/r 2fra de viskøse vilkårene. Imidlertid ville det på en uønsket måte endre strukturen til Laplacian og andre mengder.

Navier - Stokes ligninger bruker i spill

Navier - Stokes -ligningene brukes mye i videospill for å modellere et stort utvalg av naturfenomener. Simuleringer av småskala gassformige væsker, for eksempel brann og røyk, er ofte basert på det sentrale papiret "Real-Time Fluid Dynamics for Games" av Jos Stam , som utdyper en av metodene som er foreslått i Stams tidligere, mer kjente papir "Stable" Fluids "fra 1999. Stam foreslår stabil væskesimulering ved bruk av en Navier-Stokes løsningsmetode fra 1968, kombinert med en ubetinget stabil semi-Lagrangian adveksjonsordning , som først ble foreslått i 1992.

Nyere implementeringer basert på dette arbeidet kjøres på spillsystemets grafikkbehandlingsenhet (GPU) i motsetning til den sentrale behandlingsenheten (CPU) og oppnår en mye høyere ytelsesgrad. Mange forbedringer har blitt foreslått for Stams originale verk, som iboende lider av høy numerisk spredning i både hastighet og masse.

En introduksjon til interaktiv væskesimulering finnes i ACM SIGGRAPH -kurset 2007 , Fluid Simulation for Computer Animation.

Se også

Sitater

Generelle referanser

Eksterne linker