På sfæren og sylinderen - On the Sphere and Cylinder

En side fra "On the Sphere and Cylinder" på latin

On the Sphere and Cylinder ( gresk : Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) er et verk som ble utgitt av Archimedes i to bind c. 225 fvt. Det er spesielt detaljert hvordan man finner overflaten til en kule og volumet av den inneholdende kulen og de analoge verdiene for en sylinder , og var den første til å gjøre det.

Innhold

Volumet av en kule til sylindervolumet er 2 til 3

De viktigste formlene avledet i På sfæren og sylinderen er de som er nevnt ovenfor: Sfærens overflate, volumet av den inneholdende kulen, og sylinderens overflate og volum. La være radiusen til sfæren og sylinderen, og være sylinderens høyde, med forutsetningen om at sylinderen er en høyre sylinder - siden er vinkelrett på begge hettene. I sitt arbeid viste Archimedes at overflaten til en sylinder er lik: ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle A_ {C} = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh = 2 \ pi r (r + h). \,}$

og at volumet av det samme er:

${\ displaystyle V_ {C} = \ pi r ^ {2} h. \,}$

På sfæren viste han at overflaten er fire ganger arealet av den store sirkelen . I moderne termer betyr dette at overflaten er lik:

${\ displaystyle A_ {S} = 4 \ pi r ^ {2}. \,}$

Resultatet for volumet av den inneholdende kulen sa at den er to tredjedeler av volumet til en omskrevet sylinder , noe som betyr at volumet er

${\ displaystyle V_ {S} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}$

Når påskriftssylinderen er tett og har en høyde , slik at sfæren berører sylinderen øverst og nederst, viste han at både volumet og overflatearealet til sfæren var to tredjedeler av sylinderen. Dette antyder at arealet til kule er lik sylinderens areal minus kappene. Dette resultatet vil til slutt føre til den Lambert sylindriske projiseringen av det samme området , en måte å kartlegge verden som nøyaktig representerer områder. Archimedes var spesielt stolt av dette sistnevnte resultatet, og derfor ba han om at en skisse av en kule innskrevet i en sylinder skulle skrives inn på graven hans. Senere oppdaget den romerske filosofen Marcus Tullius Cicero graven, som hadde blitt gjengrodd av omkringliggende vegetasjon. ${\ displaystyle h = 2r}$

Argumentet Archimedes brukte for å bevise formelen for ballens volum var ganske involvert i geometrien, og mange moderne lærebøker har en forenklet versjon ved hjelp av begrepet grense , som ikke eksisterte på Archimedes 'tid. Archimedes brukte en innskrevet halv polygon i en halvcirkel, og roterte deretter for å skape et konglomerat av frustum i en sfære, hvorav han deretter bestemte volumet.

Det ser ut til at dette ikke er den opprinnelige metoden Archimedes brukte for å utlede dette resultatet, men det beste formelle argumentet som var tilgjengelig for ham i den greske matematiske tradisjonen. Hans opprinnelige metode innebar sannsynligvis en smart bruk av spaker. En palimpsest stjålet fra den gresk-ortodokse kirken tidlig på 1900-tallet, som dukket opp igjen på auksjon i 1998, inneholdt mange av Archimedes-verk, inkludert The Method of Mechanical Theorems , der han beskriver en metode for å bestemme volumer som involverer balanser, massesentre og uendelig små skiver.

Se også

• Arkimedisk eiendom

Merknader

Referanser

• Dunham, William (1990), Journey Through Genius (1. utg.), John Wiley and Sons, ISBN   0-471-50030-5
• Dunham, William (1994), The Mathematical Universe (1. utg.), John Wiley and Sons, ISBN   0-471-53656-3
• SH Gould, The Method of Archimedes, The American Mathematical Monthly. Vol. 62, nr. 7 (aug. - sep. 1955), s. 473–476

• Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton , Roma, Editori Riuniti , 1971.
• Attilio Frajese, Opere di Archimede , Torino, UTET, 1974.