Parallell transport - Parallel transport

Parallell transport av en vektor rundt en lukket sløyfe (fra A til N til B og tilbake til A) på sfæren. Vinkelen den vrir seg med, er proporsjonal med området inne i løkken.${\ displaystyle \ alpha}$

I geometri er parallell transport (eller parallell oversettelse ) en måte å transportere geometriske data langs glatte kurver i en manifold . Hvis manifolden er utstyrt med en affinert forbindelse (et kovariant derivat eller en forbindelse på tangentbunten ), tillater denne forbindelsen en å transportere vektorer av manifolden langs kurver slik at de forblir parallelle i forhold til forbindelsen.

Parallelltransporten for en forbindelse gir dermed en måte på en eller annen måte å flytte den lokale geometrien til en manifold langs en kurve: det vil si å koble geometriene til punkter i nærheten. Det kan være mange forestillinger om parallelltransport tilgjengelig, men en spesifikasjon av én - en måte å koble sammen geometriene til punkter på en kurve - er lik en tilkobling . Faktisk er den vanlige oppfatningen om tilkobling den uendelige analoge av paralleltransport. Eller omvendt , parallell transport er den lokale realiseringen av en forbindelse.

Ettersom paralleltransport leverer en lokal realisering av forbindelsen, gir den også en lokal erkjennelse av krumningen kjent som holonomi . Den Ambrose-Singer teoremet gjør eksplisitt dette forholdet mellom krumning og holonomy.

Andre forestillinger om tilkobling er også utstyrt med sine egne parallelle transportsystemer. For eksempel tillater en Koszul -forbindelse i en vektorgruppe også parallell transport av vektorer på omtrent samme måte som med et kovariantderivat. En Ehresmann- eller Cartan -tilkobling leverer løft av kurver fra manifolden til den totale plassen til en hovedbunt . Slike kurveløft kan noen ganger betraktes som parallell transport av referanserammer .

Parallell transport på en vektorgruppe

La M være en jevn manifold. La E → M være en vektor bunt med covariant derivat ∇ og γ : I → M en jevn kurve parametrisert ved et åpent intervall I . En del av langs γ kalles parallell hvis ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} X = 0 {\ text {for}} t \ i I. \,}$

For eksempel, hvis er et tangensrom i en tangentbunt av en manifold, betyr dette uttrykket at tangentvektorer i for hver i intervallet er "konstante" (derivatet forsvinner) når en uendelig liten forskyvning fra i tangentens retning vektoren er ferdig. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$

Anta at vi får et element e ₀ ∈ E _P ved P = γ (0) ∈ M , snarere enn et snitt. Den parallelle transport av e ₀ langs γ er forlengelsen av e ₀ til en parallell seksjon X på γ . Nærmere bestemt er X den unike delen av E langs γ slik at

1. ${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} X = 0}$
2. ${\ displaystyle X _ {\ gamma (0)} = e_ {0}.}$

Vær oppmerksom på at i en gitt koordinatlapp definerer (1) en vanlig differensialligning , med den opprinnelige tilstanden gitt av (2). Dermed garanterer Picard – Lindelöf -setningen eksistensen og særegenheten til løsningen.

Således definerer forbindelsen a en måte å flytte elementene i fibrene langs en kurve, og dette gir lineære isomorfier mellom fibrene på punkter langs kurven:

${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}$

fra vektorrommet som ligger over γ ( s ) til det over γ ( t ). Denne isomorfismen er kjent som paralleltransportkartet knyttet til kurven. De isomorphisms mellom fibrene som oppnås på denne måte, vil i alminnelighet være avhengig av valg av kurven: hvis de ikke gjør det, kan da parallell transport langs hver kurve benyttes for å definere parallelle seksjoner av E over hele av M . Dette er bare mulig hvis krumningen til ∇ er null.

Spesielt definerer parallell transport rundt en lukket kurve som starter ved et punkt x en automorfisme av tangensrommet ved x som ikke nødvendigvis er trivielt. Paralleltransportautorforfismene definert av alle lukkede kurver basert på x danner en transformasjonsgruppe kalt holonomigruppen ∇ at x . Det er et nært forhold mellom denne gruppen og verdien av krumningen til ∇ at x ; dette er innholdet i Ambrose - Singer holonomy teorem .

Gjenopprette tilkoblingen fra paralleltransporten

Gitt et kovariantderivat ∇, oppnås paralleltransporten langs en kurve γ ved å integrere tilstanden . Omvendt, hvis en passende forestilling om parallelltransport er tilgjengelig, kan en tilsvarende forbindelse oppnås ved differensiering. Denne tilnærmingen skyldes i hovedsak Knebelman (1951) ; se Guggenheimer (1977) . Lumiste (2001) bruker også denne tilnærmingen. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ nabla _ {\ dot {\ gamma}} = 0}}$harvtxt -feil: ingen mål: CITEREFLumiste2001 ( hjelp )

Vurder en tildeling til hver kurve γ i manifolden en samling av kartlegginger

${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}$

slik at

1. ${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{s} = Id}$, identitetstransformasjonen til E _{γ (s)} .
2. ${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {u}^{t} \ circ \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{u} = \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t}.}$
3. Avhengigheten av Γ av γ, s og t er "jevn".

Begrepet glatthet i tilstand 3. er noe vanskelig å feste (se diskusjonen nedenfor om paralleltransport i fiberbunter). Spesielt ser moderne forfattere som Kobayashi og Nomizu generelt på at paralleltransporten av forbindelsen kommer fra en forbindelse i en annen forstand, hvor glatthet lettere uttrykkes.

Gitt en slik regel for parallelltransport, er det imidlertid mulig å gjenopprette den tilknyttede uendelige forbindelsen i E som følger. La γ være en differensierbar kurve i M med utgangspunkt γ (0) og innledende tangensvektor X = γ ′ (0). Hvis V er en seksjon av E over γ, så la

${\ displaystyle \ nabla _ {X} V = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ Gamma (\ gamma) _ {h}^{0} V _ {\ gamma (h)}-V _ {\ gamma (0)}} {h}} = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ Gamma (\ gamma) _ {t}^{0} V _ {\ gamma (t)} \ right | _ {t = 0}.}$

Dette definerer den tilhørende forsvinnende forbindelse ∇ på E . Man gjenoppretter den samme parallelle transporten Γ fra denne uendelige forbindelsen.

Spesialtilfelle: tangentbunten

La M være en jevn manifold. Deretter skiller en forbindelse på tangentbunten til M , kalt en affin forbindelse , en klasse kurver som kalles (affine) geodesics ( Kobayashi & Nomizu , bind 1, kapittel III) . En jevn kurve γ : I → M er en affin geodetikk hvis den er parallelt transportert langs , det vil si harv -feil: ingen mål: CITEREFKobayashiNomizu ( hjelp )${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t} {\ dot {\ gamma}} (s) = {\ dot {\ gamma}} (t). \,}$

Når man tar derivatet med hensyn til tid, tar dette den mer kjente formen

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} = 0. \,}$

Parallell transport i Riemannian geometri

I ( pseudo ) Riemannian geometri er en metrisk forbindelse en hvilken som helst forbindelse hvis parallelle transporttilordninger bevarer den metriske tensoren . Således er en metrisk forbindelse enhver forbindelse Γ slik at for to vektorer X , Y ∈ T _{γ (s)}

${\ displaystyle \ langle \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t} X, \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t} Y \ rangle _ {\ gamma (t)} = \ langle X , Y \ rangle _ {\ gamma (s)}.}$

Ved å ta derivatet til t = 0, må den assosierte differensialoperatoren satisfy tilfredsstille en produktregel med hensyn til beregningen:

${\ displaystyle Z \ langle X, Y \ rangle = \ langle \ nabla _ {Z} X, Y \ rangle +\ langle X, \ nabla _ {Z} Y \ rangle.}$

Geodesikk

Hvis ∇ er en metrisk tilkobling, er affine geodesikk de vanlige geodesikkene i Riemannian geometri og er de lokale avstandene som minimerer kurver. Mer presist, først oppmerksom på at hvis γ : I → M , hvor I er et åpent intervall, er en geodetisk, deretter normen er konstant på jeg . Faktisk, ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle {\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ rangle = 2 \ langle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ rangle = 0.}$

Det følger av en anvendelse av Gauss lemma at hvis A er normen for så er avstanden, indusert av metriken, mellom to nære nok punkter på kurven γ , si γ ( t ₁ ) og γ ( t ₂ ), gitt av ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$

${\ displaystyle {\ mbox {dist}} {\ big (} \ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) {\ big)} = A | t_ {1} -t_ {2} | .}$

Formelen ovenfor er kanskje ikke sant for punkter som ikke er nær nok siden geodetikken for eksempel kan vikle rundt manifolden (f.eks. På en kule).

Generaliseringer

Paralleltransporten kan defineres mer generelt for andre typer forbindelser, ikke bare de som er definert i en vektorgruppe. En generalisering er for hovedforbindelser ( Kobayashi & Nomizu 1996 , bind 1, kapittel II). La P → M være en hovedbunt over en manifold M med struktur Lie -gruppe G og en hovedforbindelse ω. Som i tilfellet med vektorgrupper, definerer en hovedforbindelse ω på P for hver kurve γ i M en kartlegging

${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s}^{t}: P _ {\ gamma (s)} \ rightarrow P _ {\ gamma (t)}}$

fra den fiber over γ ( r ) til at over γ ( t ), som er en isomorfi av homogene områder : det vil si for hvert g ∈ G . ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ gamma (s)} gu = g \ Gamma _ {\ gamma (s)}}$

Ytterligere generaliseringer av paralleltransport er også mulig. I sammenheng med Ehresmann -forbindelser , der forbindelsen er avhengig av en spesiell forestilling om " horisontal løft " av tangentrom, kan man definere parallell transport via horisontale heiser . Cartan -forbindelser er Ehresmann -forbindelser med tilleggsstruktur som gjør at paralleltransporten kan tenkes som et kart som "ruller" et bestemt modellrom langs en kurve i manifolden. Denne rullingen kalles utvikling .

Tilnærming: Schilds stige

To trinn på Schilds stige . Segmentene A ₁ X ₁ og A ₂ X ₂ er en tilnærming til første rekkefølge av paralleltransporten av A ₀ X ₀ langs kurven.

Paralleltransport kan diskret tilnærmes av Schilds stige , som tar endelige skritt langs en kurve, og tilnærmer Levi-Civita parallellogramoider med omtrentlige parallellogram .

Se også

• Grunnleggende introduksjon til matematikken i buet romtid
• Tilkobling (matematikk)
• Utvikling (differensialgeometri)
• Affine tilkobling
• Kovariant derivat
• Geodesisk (generell relativitet)
• Geometrisk fase
• Lie derivat
• Schilds stige
• Levi-Civita parallellogramoid
• parallellkurve , navngitt på samme måte, men forskjellig oppfatning

Merknader

Sitater

Referanser

Eksterne linker

• Demografisk sfærisk geometri . En applet som demonstrerer parallell transport av tangentvektorer på en kule.