Partikkel-i-celle- Particle-in-cell

Den partikkel-i-celle ( PIC ) metoden refererer til en teknikk som brukes til å løse en viss klasse av partielle differensialligninger . I denne metoden spores individuelle partikler (eller væskeelementer) i en Lagrangian -ramme i kontinuerlig faserom , mens fordelingsøyeblikkene som tettheter og strømmer beregnes samtidig på euleriske (stasjonære) maskepunkter .

PIC -metoder var allerede i bruk allerede i 1955, selv før de første Fortran -kompilatorene var tilgjengelige. Metoden ble populær for plasmasimulering på slutten av 1950 -tallet og begynnelsen av 1960 -tallet av Buneman , Dawson , Hockney, Birdsall, Morse og andre. I plasmafysikkapplikasjoner utgjør metoden å følge banene til ladede partikler i selvkonsistente elektromagnetiske (eller elektrostatiske) felt beregnet på et fast nett.

Tekniske aspekter

For mange typer problemer er den klassiske PIC -metoden oppfunnet av Buneman, Dawson, Hockney, Birdsall, Morse og andre relativt intuitiv og grei å implementere. Dette utgjør sannsynligvis mye av suksessen, spesielt for plasmasimulering, som metoden vanligvis inkluderer følgende prosedyrer for:

Integrering av bevegelsesligningene.
Interpolering av ladning og gjeldende kildebetingelser til feltnettet.
Beregning av feltene på maskepunkter.
Interpolering av feltene fra masken til partikkelplasseringene.

Modeller som bare inneholder interaksjoner av partikler gjennom gjennomsnittsfeltene kalles PM (partikkelmaske). De som inkluderer direkte binære interaksjoner er PP (partikkel-partikkel). Modeller med begge typer interaksjoner er kalt PP-PM eller P ³ M .

Siden de tidlige dagene har det blitt anerkjent at PIC-metoden er utsatt for feil fra såkalt diskret partikkelstøy . Denne feilen er statistisk, og i dag er den fortsatt mindre godt forstått enn for tradisjonelle fastnettmetoder, for eksempel Eulerian eller semi-Lagrangian ordninger.

Moderne geometriske PIC -algoritmer er basert på et helt annet teoretisk rammeverk. Disse algoritmene bruker verktøy for diskret manifold, interpolering av differensialformer og kanoniske eller ikke-kanoniske symplektiske integratorer for å garantere måling invariant og bevaring av ladning, energimomentum og enda viktigere den uendelig dimensjonale symplektiske strukturen til partikkelfeltsystemet. Disse ønskede funksjonene tilskrives det faktum at geometriske PIC-algoritmer er bygget på det mer grunnleggende feltteoretiske rammeverket og er direkte knyttet til den perfekte formen, dvs. fysikkens variasjonsprinsipp.

Grunnleggende om PIC plasmasimuleringsteknikken

Inne i plasmaforskningssamfunnet undersøkes systemer av forskjellige arter (elektroner, ioner, nøytrale, molekyler, støvpartikler, etc.). Settet med ligninger assosiert med PIC-koder er derfor Lorentz-kraften som bevegelsesligningen, løst i den såkalte pusher eller particle mover av koden, og Maxwells ligninger som bestemmer de elektriske og magnetiske feltene, beregnet i (felt) -løseren .

Superpartikler

De virkelige systemene som studeres er ofte ekstremt store når det gjelder antall partikler de inneholder. For å gjøre simuleringer effektive eller i det hele tatt mulige, brukes såkalte superpartikler . En superpartikkel (eller makropartikkel ) er en beregningspartikkel som representerer mange virkelige partikler; det kan være millioner av elektroner eller ioner når det gjelder en plasmasimulering, eller for eksempel et virvelelement i en væskesimulering. Det er tillatt å skalere antallet partikler på nytt, fordi akselerasjonen fra Lorentz-kraften bare avhenger av forholdet mellom ladning og masse, så en superpartikkel vil følge samme bane som en ekte partikkel ville.

Antall virkelige partikler som tilsvarer en superpartikkel må velges slik at det kan samles inn tilstrekkelig statistikk over partikkelbevegelsen. Hvis det er en signifikant forskjell mellom tettheten til forskjellige arter i systemet (for eksempel mellom ioner og nøytrale), kan separate reelle til superpartikkelforhold brukes for dem.

Partikkelflytteren

Selv med super-partikler, er antall simulerte partikler vanligvis meget stor (> 10 ⁵ ), og ofte partikkel klipperen er den mest tidkrevende del av PIC, fordi det må gjøres for hver partikkel separat. Dermed kreves det at pusheren har høy nøyaktighet og hastighet, og det blir brukt mye krefter på å optimalisere de forskjellige ordningene.

Ordningene som brukes for partikkelflytteren kan deles inn i to kategorier, implisitte og eksplisitte løsere. Mens implisitte løsere (f.eks. Implisitt Euler -skjema) beregner partikkelhastigheten fra de allerede oppdaterte feltene, bruker eksplisitte løsere bare den gamle kraften fra forrige tidstrinn, og er derfor enklere og raskere, men krever et mindre tidstrinn. I PIC-simulering brukes sprangfremetoden , en annenordens eksplisitt metode. Også Boris-algoritmen brukes som avbryter magnetfeltet i Newton-Lorentz-ligningen.

For plasmaprogrammer har sprangfremetoden følgende form:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {x} _ {k+1}-\ mathbf {x} _ {k}} {\ Delta t}} = \ mathbf {v} _ {k+1/2}, }

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {v} _ {k+1/2}-\ mathbf {v} _ {k-1/2}} {\ Delta t}} = {\ frac {q} {m }} \ venstre (\ mathbf {E} _ {k}+{\ frac {\ mathbf {v} _ {k+1/2}+\ mathbf {v} _ {k-1/2}} {2} } \ times \ mathbf {B} _ {k} \ right),}

hvor abonnementet refererer til "gamle" mengder fra forrige tidstrinn, til oppdaterte mengder fra neste tidstrinn (dvs. ), og hastigheter beregnes mellom de vanlige tidstrinnene . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k+1}$ ${\ displaystyle t_ {k+1} = t_ {k}+\ Delta t}$ ${\ displaystyle t_ {k}}$

Ligningene til Boris -ordningen som er erstatning i ligningene ovenfor er:

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k+1} = \ mathbf {x} _ {k}+{\ Delta t} \ mathbf {v} _ {k+1/2},}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k+1/2} = \ mathbf {u} '+q' \ mathbf {E} _ {k},}

med

{\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {u} +(\ mathbf {u} +(\ mathbf {u} \ times \ mathbf {h})) \ times \ mathbf {s},}

{\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} _ {k-1/2}+q '\ mathbf {E} _ {k},}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = q '\ mathbf {B} _ {k},}

{\ displaystyle \ mathbf {s} = 2 \ mathbf {h} /(1+h^{2})}

og . ${\ displaystyle q '= \ Delta t \ times (q/2m)}$

På grunn av sin utmerkede langsiktige nøyaktighet er Boris -algoritmen de facto -standarden for fremføring av en ladet partikkel. Det ble innsett at den utmerkede langsiktige nøyaktigheten til den ikke -relativistiske Boris -algoritmen skyldes at den bevarer volumet i faserommet, selv om den ikke er symplektisk. Den globale begrensningen til energifeil som vanligvis er forbundet med symplektiske algoritmer, gjelder fortsatt for Boris-algoritmen, noe som gjør den til en effektiv algoritme for flerdimensjonale dynamikker i plasma. Det har også blitt vist at man kan forbedre det relativistiske Boris-presset for å gjøre det både volumbevarende og ha en konstanthastighetsløsning i kryssede E- og B-felt.

Feltløseren

De mest brukte metodene for å løse Maxwells ligninger (eller mer generelt, partielle differensialligninger (PDE)) tilhører en av følgende tre kategorier:

Med FDM erstattes det kontinuerlige domenet med et diskret rutenett med punkter, som de elektriske og magnetiske feltene beregnes på. Derivater tilnærmes deretter med forskjeller mellom nærliggende rutenettverdier, og dermed blir PDE-er omgjort til algebraiske ligninger.

Ved bruk av FEM er det kontinuerlige domenet delt inn i et diskret nett av elementer. PDE -ene blir behandlet som et egenverdi -problem, og først blir en prøveløsning beregnet ved hjelp av basisfunksjoner som er lokalisert i hvert element. Den endelige løsningen oppnås deretter ved optimalisering til den nødvendige nøyaktigheten er nådd.

Også spektrale metoder, for eksempel den raske Fourier -transformasjonen (FFT), transformerer PDE -ene til et egenverdi -problem, men denne gangen er grunnfunksjonene høy orden og definert globalt over hele domenet. Domenet i seg selv er ikke diskretisert i dette tilfellet, det forblir kontinuerlig. Igjen blir en prøveløsning funnet ved å sette inn basisfunksjonene i egenverdi -ligningen og deretter optimalisert for å bestemme de beste verdiene til de første prøveparametrene.

Partikkel- og feltvekting

Navnet "partikkel-i-celle" oppstår på den måten at plasmamakro-mengder ( nummertetthet , strømtetthet , etc.) er tilordnet simuleringspartikler (dvs. partikkelvekten ). Partikler kan plasseres hvor som helst på det kontinuerlige domenet, men makro-mengder beregnes bare på maskepunktene, akkurat som feltene er. For å oppnå makro-mengdene antar man at partiklene har en gitt "form" bestemt av formfunksjonen

{\ displaystyle S (\ mathbf {x} -\ mathbf {X}),}

hvor er koordinaten til partikkelen og observasjonspunktet. Det kanskje enkleste og mest brukte valget for formfunksjonen er det såkalte cloud-in-cell (CIC) -skjemaet, som er et første ordens (lineært) vektingsskjema. Uansett hva skjemaet er, må formfunksjonen tilfredsstille følgende betingelser: plassisotropi, bevaring av ladning og økende nøyaktighet (konvergens) for vilkår av høyere orden. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Feltene hentet fra feltløseren bestemmes bare på rutenettpunktene og kan ikke brukes direkte i partikkelflytteren for å beregne kraften som virker på partikler, men må interpoleres via feltvekten :

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ mathbf {E} _ {i} S (\ mathbf {x} _ {i}-\ mathbf {x}), }

der abonnementet merker rutenettet. For å sikre at kreftene som virker på partikler blir selvkonsistent oppnådd, må måten å beregne makro-mengder fra partikkelposisjoner på rutenettene og interpolere felt fra rutenettpunkter til partikkelposisjoner også være konsekvent, siden de begge vises i Maxwells ligninger . Fremfor alt bør feltinterpoleringsordningen spare fart . Dette kan oppnås ved å velge det samme vektingsskjemaet for partikler og felt og ved å sikre passende romsymmetri (dvs. ingen egenkraft og oppfylle handlingsreaksjonsloven ) til feltløseren samtidig ${\ displaystyle i}$

Kollisjoner

Ettersom feltløseren må være fri for selvkrefter, må feltet generert av en partikkel inne i en celle avta med avtagende avstand fra partikkelen, og derfor blir inter-partikkelkrefter inne i cellene undervurdert. Dette kan balanseres ved hjelp av Coulomb -kollisjoner mellom ladede partikler. Simulering av samspillet for hvert par i et stort system ville blitt beregningsmessig for dyrt, så flere Monte Carlo -metoder har blitt utviklet i stedet. En mye brukt metode er den binære kollisjonsmodellen , der partikler grupperes i henhold til cellen deres, deretter blir disse partiklene paret tilfeldig, og til slutt kollideres parene.

I et ekte plasma kan mange andre reaksjoner spille en rolle, alt fra elastiske kollisjoner, for eksempel kollisjoner mellom ladede og nøytrale partikler, over uelastiske kollisjoner, for eksempel elektron-nøytral ioniseringskollisjon, til kjemiske reaksjoner; hver av dem krever separat behandling. De fleste kollisjonsmodellene som håndterer ladningsnøytrale kollisjoner bruker enten direkte Monte-Carlo- ordningen, der alle partikler bærer informasjon om kollisjonssannsynligheten, eller nullkollisjonsordningen , som ikke analyserer alle partikler, men bruker maksimal kollisjonssannsynlighet for hver ladede art i stedet.

Nøyaktighet og stabilitet

Som i alle simuleringsmetoder, også i PIC, må tidstrinnet og rutenettstørrelsen velges godt, slik at tids- og lengdeskala -fenomenene av interesse løses riktig i problemet. I tillegg påvirker tidstrinn og rutenettstørrelse hastigheten og nøyaktigheten til koden.

For en elektrostatisk plasmasimulering ved bruk av et eksplisitt tidsintegrasjonsopplegg (f.eks. Leapfrog, som er mest brukt), bør to viktige betingelser angående nettstørrelse og tidstrinn oppfylles for å sikre stabilitet i løsningen: ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ displaystyle \ Delta t}$

{\ displaystyle \ Delta x <3.4 \ lambda _ {D},}

{\ displaystyle \ Delta t \ leq 2 \ omega _ {pe}^{-1},}

som kan avledes med tanke på de harmoniske svingningene til et endimensjonalt umagnetisert plasma. Sistnevnte betingelser er strengt påkrevd, men praktiske hensyn knyttet til energibesparelse antyder å bruke en mye strengere begrensning der faktor 2 er erstattet av en størrelsesorden mindre. Bruken av er typisk. Ikke overraskende er den naturlige tidsskalaen i plasmaet gitt av den inverse plasmafrekvensen og lengdeskalaen av Debye -lengden . ${\ displaystyle \ Delta t \ leq 0.1 \ omega _ {pe}^{-1},}$ ${\ displaystyle \ omega _ {pe}^{-1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {D}}$

For en eksplisitt elektromagnetisk plasmasimulering må tidstrinnet også tilfredsstille CFL -tilstanden :

{\ displaystyle \ Delta t <\ Delta x/c,}

hvor , og er lysets hastighet. ${\ displaystyle \ Delta x \ sim \ lambda _ {D}}$ ${\ displaystyle c}$

applikasjoner

Innen plasmafysikk har PIC-simulering blitt brukt med hell for å studere laser-plasma-interaksjoner, elektronakselerasjon og ionoppvarming i auroral ionosfæren , magnetohydrodynamikk , magnetisk gjenkobling , samt ion-temperatur-gradient og andre mikroinstabiliteter i tokamaks , i tillegg vakuumutladninger , og støvete plasmaer .

Hybridmodeller kan bruke PIC -metoden for kinetisk behandling av noen arter, mens andre arter (som er Maxwellian ) simuleres med en væskemodell.

PIC -simuleringer har også blitt brukt utenfor plasmafysikk på problemer i fast og flytende mekanikk .

Elektromagnetiske partikkel-i-celle beregningsapplikasjoner

Beregningsapplikasjon	Tillatelse	Tilgjengelighet	Kanonisk referanse
SKARP	Proprietær		doi : 10.3847/1538-4357/aa6d13
ALaDyn	GPLv3+	Åpne Repo:	doi : 10.5281/zenodo.49553
EPOCH	GPL	Åpen for akademiske brukere, men påmelding kreves:	doi : 10.1088/0741-3335/57/11/113001
FBPIC	3-ledd-BSD-LBNL	Åpne Repo:	doi : 10.1016/j.cpc.2016.02.007
LSP	Proprietær	Tilgjengelig fra ATK	doi : 10.1016/S0168-9002 (01) 00024-9
MAGISK	Proprietær	Tilgjengelig fra ATK	doi : 10.1016/0010-4655 (95) 00010-D
OSIRIS	Proprietær	Stengt (samarbeidspartnere med MoU)	doi : 10.1007/3-540-47789-6_36
PICCANTE	GPLv3+	Åpne Repo:	doi : 10.5281/zenodo.48703
PICLas	Proprietær	Tilgjengelig fra Institute of Space Systems og Institute of Aerodynamics and Gas Dynamics ved University of Stuttgart	doi : 10.1016/j.crme.2014.07.005
PIConGPU	GPLv3+	Åpne Repo:	doi : 10.1145/2503210.2504564
SMILEI	CeCILL-B	Åpne Repo:	doi : 10.1016/j.cpc.2017.09.024
iPIC3D	Apache lisens 2.0	Åpne Repo:	doi : 10.1016/j.matcom.2009.08.038
Virtual Laser Plasma Lab (VLPL)	Proprietær	Ukjent	doi : 10.1017/S0022377899007515
VizGrain	Proprietær	Kommersielt tilgjengelig fra Esgee Technologies Inc.
VPIC	3-ledd-BSD	Åpne Repo:	doi : 10.1063/1.2840133
VSim (Vorpal)	Proprietær	Tilgjengelig fra Tech-X Corporation	doi : 10.1016/j.jcp.2003.11.004
Warp	3-ledd-BSD-LBNL	Åpne Repo:	doi : 10.1063/1.860024
WarpX	3-ledd-BSD-LBNL	Åpne Repo:	doi : 10.1016/j.nima.2018.01.035
ZPIC	AGPLv3+	Åpne Repo:
ultraPICA	Proprietær	Kommersielt tilgjengelig fra Plasma Taiwan Innovation Corporation.

Se også

Referanser

Bibliografi

Birdsall, Charles K .; A. Bruce Langdon (1985). Plasmafysikk via datasimulering . McGraw-Hill. ISBN 0-07-005371-5.

Hockney, Roger W .; James W. Eastwood (1988). Datasimulering ved bruk av partikler . CRC Press. ISBN 0-85274-392-0.

Languages

In other projects