Paschens lov - Paschen's law

Paschen kurver oppnådd for helium, neon, argon, hydrogen og nitrogen, ved å bruke uttrykket for nedbrytningsspenningen som en funksjon av parametrene A, B som interpolerer den første Townsend-koeffisienten .

Paschens lov er en ligning som gir nedbrytningsspenningen , det vil si den spenningen som er nødvendig for å starte en utladning eller en lysbue , mellom to elektroder i en gass som en funksjon av trykk og gaplengde. Den er oppkalt etter Friedrich Paschen som oppdaget den empirisk i 1889.

Paschen studert nedbryting spenning av forskjellige gasser mellom parallelle metallplater som gasstrykk , og spalten avstand ble variert:

Med en konstant gaplengde, reduserte spenningen som var nødvendig for å bue over gapet etter hvert som trykket ble redusert og deretter økte gradvis og oversteg den opprinnelige verdien.
Med et konstant trykk trengte spenningen for å forårsake en lysbue redusert ettersom spalten ble redusert, men bare til et punkt. Da gapet ble redusert ytterligere, begynte spenningen som kreves for å få en lysbue til å stige og overgikk igjen den opprinnelige verdien.

For en gitt gass er spenningen bare en funksjon av produktet av trykk og gaplengde. Kurven han fant av spenning kontra trykkgapslengdeproduktet (til høyre) kalles Paschens kurve . Han fant en ligning som passet til disse kurvene, som nå kalles Paschens lov.

Ved høyere trykk og gaplengder er nedbrytningsspenningen omtrent proporsjonal med produktet av trykk og gaplengde, og begrepet Paschens lov blir noen ganger brukt for å referere til dette enklere forholdet. Dette er imidlertid bare omtrent sant, over et begrenset kurveområde.

Paschen kurve

Tidlige vakuumeksperimenter fant en ganske overraskende oppførsel. En bue ville noen ganger finne sted i en lang uregelmessig bane i stedet for på minimal avstand mellom elektrodene. For eksempel, i luft, ved et trykk på en atmosfære , er avstanden for minimal nedbrytningsspenning ca 7,5 mikrometer. Spenningen som kreves for å bue denne avstanden er 327 V, som ikke er tilstrekkelig til å tenne buene for hull som er enten bredere eller smalere. For et gap på 3,5 mikrometer er den nødvendige spenningen 533 V, nesten dobbelt så mye. Hvis 500 V ble påført, ville det ikke være tilstrekkelig å bue på 2,85 μm avstand, men ville bue på 7,5 μm avstand.

Paschen fant at sammenbruddsspenningen ble beskrevet av ligningen

{\ displaystyle V _ {\ text {B}} = {\ frac {Bpd} {\ ln (Apd) - \ ln \ left [\ ln \ left (1 + {\ frac {1} {\ gamma _ {\ text {se}}}} \ right) \ right]}}}

hvor er nedbrytningsspenningen i volt , er trykket i pascal , er avstanden i meter , er sekundærelektronemisjonskoeffisienten (antall sekundære elektroner produsert per innfallende positivt ion), er metningioniseringen i gassen ved et bestemt ( elektrisk felt / trykk), og er relatert til eksiterings- og ioniseringsenergiene. ${\ displaystyle V _ {\ text {B}}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ text {se}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E / p}$ ${\ displaystyle B}$

De konstanter og bestemmes eksperimentelt, og funnet å være omtrent konstant over et lite utvalg for en gitt gass. For eksempel luft med en i området 450 til 7500 V / (kPa · cm), = 112,50 (kPa · cm) ⁻¹ og = 2737,50 V / (kPa · cm). ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle E / p}$ ${\ displaystyle E / p}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Grafen for denne ligningen er Paschen-kurven. Ved å differensiere det med hensyn til og sette derivatet til null, kan den minimale spenningen bli funnet. Dette gir ${\ displaystyle pd}$

{\ displaystyle pd = {\ frac {e \ cdot \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {{\ mathit {\ gamma}} _ {se}}} \ right)} {A}}}

og forutsier forekomsten av en minimal sammenbruddsspenning for = 7,5 × 10 ⁻⁶ m · atm. Dette er 327 V i luft ved standard atmosfærisk trykk i en avstand på 7,5 μm. ${\ displaystyle pd}$

Sammensetningen av gassen bestemmer både den minimale buespenningen og avstanden den oppstår på. For argon er den minimale buespenningen 137 V ved større 12 μm. For svoveldioksid er den minimale buespenningen 457 V på bare 4,4 μm.

Lange hull

For luft ved standardbetingelser for temperatur og trykk (STP) er spenningen som trengs for å bue et gap på 1 meter, omtrent 3,4 MV. Intensiteten til det elektriske feltet for dette gapet er derfor 3,4 MV / m.

Det elektriske feltet som trengs for å bue over minimalspenningsgapet, er mye større enn det som er nødvendig for å bue et gap på en meter. For et gap på 7,5 μm er lysbuespenningen 327 V, som er 43 MV / m. Dette er omtrent 13 ganger større enn feltstyrken for 1 meters gap. Fenomenet er godt bekreftet eksperimentelt og blir referert til som Paschen minimum.

Ligningen mister nøyaktighet for hull under ca. 10 mikrometer i luft i en atmosfære og forutsier feilaktig en uendelig buespenning i et gap på ca. 2,7 mikrometer. Nedbrytningsspenning kan også avvike fra prediksjonen for Paschen-kurven for svært små elektrodespalter når feltutslipp fra katodeoverflaten blir viktig.

Fysisk mekanisme

Den gjennomsnittlige frie banen til et molekyl i en gass er den gjennomsnittlige avstanden mellom kollisjonen med andre molekyler. Dette er omvendt proporsjonalt med gassens trykk gitt konstant temperatur. I luft ved STP er den gjennomsnittlige frie banen til molekyler omtrent 96 nm. Siden elektroner er mye mindre, er gjennomsnittlig avstand mellom kollisjon med molekyler omtrent 5,6 ganger lengre, eller omtrent 0,5 mikrometer. Dette er en betydelig brøkdel av avstanden på 7,5 mikrometer mellom elektrodene for minimal buespenning. Hvis elektronet er i et elektrisk felt på 43 MV / m, vil det bli akselerert og skaffe 21,5 eV energi i 0,5 μm kjøring i retning av feltet. Den første ioniseringsenergien som trengs for å løsne et elektron fra nitrogenmolekylet, er omtrent 15,6 eV. Det akselererte elektronet vil skaffe seg mer enn nok energi til å ionisere et nitrogenmolekyl. Dette frigjorte elektronet vil igjen bli akselerert, noe som vil føre til en annen kollisjon. En kjedereaksjon fører da til snøskrednedbryting , og en bue finner sted fra kaskaden av frigitte elektroner.

Flere kollisjoner vil finne sted i elektronbanen mellom elektrodene i en høytrykksgass. Når trykkgapsproduktet er høyt, vil et elektron kollidere med mange forskjellige gassmolekyler når det beveger seg fra katoden til anoden. Hver av kollisjonene randomiserer elektronretningen, så elektronet akselereres ikke alltid av det elektriske feltet - noen ganger beveger det seg tilbake mot katoden og bremses av feltet. ${\ displaystyle pd}$

Kollisjoner reduserer elektronens energi og gjør det vanskeligere for det å ionisere et molekyl. Energitap fra et større antall kollisjoner krever større spenninger for at elektronene skal akkumulere tilstrekkelig energi til å ionisere mange gassmolekyler, noe som kreves for å produsere et snøskrednedbrudd .

På venstre side av Paschen-minimumet er produktet lite. Elektronens gjennomsnittlige frie vei kan bli lang sammenlignet med gapet mellom elektrodene. I dette tilfellet kan elektronene få store mengder energi, men ha færre ioniserende kollisjoner. Det kreves derfor en større spenning for å sikre ionisering av nok gassmolekyler til å starte et skred. ${\ displaystyle pd}$

Derivasjon

Grunnleggende

For å beregne gjennombruddsspenningen antas et homogent elektrisk felt. Dette er tilfelle i et kondensatoroppsett med parallellplate . Elektrodene kan ha avstanden . Katoden er plassert på punktet . ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle x = 0}$

For å få slagionisering må elektronenergien bli større enn ioniseringsenergien til gassatomene mellom platene. Per sti vil det forekomme et antall ioniseringer. er kjent som den første Townsend-koeffisienten da den ble introdusert av Townsend. Økningen av elektronstrømmen kan beskrives for det antatte oppsettet som ${\ displaystyle E_ {e}}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {I}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {e}}$

{\ displaystyle \ Gamma _ {e} (x = d) = \ Gamma _ {e} (x = 0) \, e ^ {\ alpha d}.}

( 1 )

(Så antall frie elektroner ved anoden er lik antall frie elektroner ved katoden som ble multiplisert med slagionisering. Jo større og / eller , jo flere frie elektroner blir opprettet.) ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Antall opprettet elektroner er

{\ displaystyle \ Gamma _ {e} (d) - \ Gamma _ {e} (0) = \ Gamma _ {e} (0) \ left (e ^ {\ alpha d} -1 \ right).}

( 2 )

Ved å forsømme mulige flere ioniseringer av samme atom, er antallet skapte ioner det samme som antall opprettede elektroner:

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} (0) - \ Gamma _ {i} (d) = \ Gamma _ {e} (0) \ left (e ^ {\ alpha d} -1 \ right).}

( 3 )

${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$ er ionestrømmen. For å holde utladningen i gang, må det opprettes frie elektroner ved katodeoverflaten. Dette er mulig fordi ionene som treffer katoden frigjør sekundære elektroner ved støtet. (For veldig store påførte spenninger kan også feltelektronemisjon forekomme.) Uten feltemisjon kan vi skrive

{\ displaystyle \ Gamma _ {e} (0) = \ gamma \ Gamma _ {i} (0),}

( 4 )

hvor er gjennomsnittlig antall genererte sekundære elektroner per ion. Dette er også kjent som den andre Townsend-koeffisienten. Forutsatt at man får forholdet mellom Townsend-koeffisientene ved å sette ( 4 ) i ( 3 ) og transformere: ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {i} (d) = 0}$

{\ displaystyle \ alpha d = \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {\ gamma}} \ right).}

( 5 )

Effektionisering

Hva er mengden av ? Antallet ionisering avhenger av sannsynligheten for at et elektron treffer et gassmolekyl. Denne sannsynligheten er forholdet mellom tverrsnittsarealet for en kollisjon mellom elektron og ion i forhold til det totale arealet som er tilgjengelig for elektronet å fly gjennom: ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle P = {\ frac {N \ sigma} {A}} = {\ frac {x} {\ lambda}}}

( 6 )

Som uttrykt i andre del av ligningen, er det også mulig å uttrykke sannsynligheten som forholdet mellom banen som elektronet har reist og den gjennomsnittlige frie banen (avstand der en annen kollisjon inntreffer). ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Visualisering av tverrsnittet : Hvis sentrum av partikkel b trenger gjennom den blå sirkelen, oppstår det en kollisjon med partikkel a . Så sirkelområdet er tverrsnittet og radiusen er summen av partiklenes radius.

{\ displaystyle \ sigma}

{\ displaystyle r}

${\ displaystyle N}$ er antall molekyler som elektroner kan treffe. Den kan beregnes ved hjelp av tilstandsligningen til den ideelle gassen

{\ displaystyle pV = Nk_ {B} T}

( 7 )

( : Trykk, : volum : Boltzmanns konstant , : temperatur)

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle k_ {B}}

{\ displaystyle T}

Den tilstøtende skissen illustrerer det . Ettersom radiusen til et elektron kan neglisjeres sammenlignet med radion til et ion , forenkles det til . Å bruke denne relasjonen, sette ( 7 ) i ( 6 ) og transformere til en får ${\ displaystyle \ sigma = \ pi (r_ {a} + r_ {b}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle r_ {I}}$ ${\ displaystyle \ sigma = \ pi r_ {I} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {k_ {B} T} {p \ pi r_ {I} ^ {2}}} = {\ frac {1} {L \ cdot p}}}

( 8 )

der faktoren bare ble introdusert for bedre oversikt. ${\ displaystyle L}$

Endringen av strømmen til ennå ikke kolliderte elektroner på hvert punkt i banen kan uttrykkes som ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Gamma _ {e} (x) = - \ Gamma _ {e} (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ lambda _ {e}}} }

( 9 )

Denne differensiallikningen kan enkelt løses:

{\ displaystyle \ Gamma _ {e} (x) = \ Gamma _ {e} (0) \, \ exp {\ left (- {\ frac {x} {\ lambda _ {e}}} \ right)} }

( 10 )

Sannsynligheten for at (at det ennå ikke var en kollisjon på punktet ) er ${\ displaystyle \ lambda> x}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle P (\ lambda> x) = {\ frac {\ Gamma _ {e} (x)} {\ Gamma _ {e} (0)}} = \ exp {\ left (- {\ frac {x } {\ lambda _ {e}}} høyre)}}

( 11 )

Ifølge definisjonen er antallet ioniseringer per lengde på banen og dermed forholdet mellom sannsynligheten for at det ikke var noen kollisjon i den gjennomsnittlige frie banen til ionene, og den gjennomsnittlige frie banen til elektronene: ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {P (\ lambda> \ lambda _ {I})} {\ lambda _ {e}}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {e}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ lambda _ {I}} {\ lambda _ {e}}} \ right) = {\ frac {1} {\ lambda _ {e}}} \ exp \ left (- { \ frac {E_ {I}} {E_ {e}}} \ høyre)}

( 12 )

Det ble herved vurdert at energien som en ladet partikkel kan få mellom en kollisjon avhenger av den elektriske feltstyrken og ladningen : ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle E = \ lambda Q {\ mathcal {E}}}

( 13 )

Spenningsammenbrudd

For den parallellkondensatoren vi har , hvor er den påførte spenningen. Som en enkelt ionisering ble antatt er den grunnleggende ladningen . Vi kan nå sette ( 13 ) og ( 8 ) i ( 12 ) og få ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = {\ frac {U} {d}}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle e}$

{\ displaystyle \ alpha = L \ cdot p \, \ exp \ left (- {\ frac {L \ cdot p \ cdot d \ cdot E_ {I}} {eU}} \ right)}

( 14 )

Ved å sette dette inn i (5) og transformere til får vi Paschen-loven for sammenbruddsspenningen som først ble undersøkt av Paschen i og hvis formel først ble hentet av Townsend i avsnitt 227: ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U _ {\ mathrm {breakdown}}}$

{\ displaystyle U _ {\ text {breakdown}} = {\ frac {L \ cdot p \ cdot d \ cdot E_ {I}} {e \ left (\ ln (L \ cdot p \ cdot d) - \ ln \ venstre (\ ln \ venstre (1+ \ gamma ^ {- 1} \ høyre) \ høyre) \ høyre)}} \ qquad \ qquad (15)}

( 15 )

med

{\ textstyle L = {\ frac {\ pi r_ {I} ^ {2}} {k_ {B} T}}}

Plasmatennelse

Plasmatennelse i definisjonen av Townsend ( Townsend-utladning ) er en selvbærende utladning, uavhengig av en ekstern kilde til frie elektroner. Dette betyr at elektroner fra katoden kan nå anoden i det fjerne og ionisere minst ett atom på vei. Så i henhold til definisjonen av denne relasjonen må oppfylles: ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle \ alpha d \ geq 1}

( 16 )

Hvis brukes i stedet for ( 5 ) får man for sammenbruddsspenningen ${\ displaystyle \ alpha d = 1}$

{\ displaystyle U _ {\ mathrm {breakdown \, Townsend}} = {\ frac {L \ cdot p \ cdot d \ cdot E_ {I}} {e \ cdot \ ln (L \ cdot p \ cdot d)}} = {\ frac {d \ cdot E_ {I}} {e \ cdot \ lambda _ {e} \, \ ln \ left ({\ frac {d} {\ lambda _ {e}}} \ right)}} }

( 17 )

Konklusjoner, gyldighet

Paschens lov krever at:

Det er allerede frie elektroner ved katoden ( ) som kan akselereres for å utløse slagionisering. Slike såkalte frøelektroner kan opprettes ved ionisering med kosmisk røntgenbakgrunn . ${\ displaystyle \ Gamma _ {e} (x = 0) \ neq 0}$
Opprettelsen av ytterligere frie elektroner oppnås bare ved slagionisering. Dermed er Paschens lov ikke gyldig hvis det er eksterne elektronkilder. Dette kan for eksempel være en lyskilde som skaper sekundære elektroner av den fotoelektriske effekten . Dette må vurderes i eksperimenter.
Hvert ioniserte atom fører til bare ett fritt elektron. Imidlertid forekommer flere ioniseringer alltid i praksis.
Frie elektroner ved katodeoverflaten skapes av de støtende ionene. Problemet er at antall derved dannede elektroner avhenger sterkt av katodens materiale, overflaten ( ruhet , urenheter) og miljøforholdene (temperatur, fuktighet osv.). Den eksperimentelle, reproduserbare bestemmelsen av faktoren er derfor nesten umulig. ${\ displaystyle \ gamma}$
Det elektriske feltet er homogent.

Effekter med forskjellige gasser

Ulike gasser vil ha forskjellige gjennomsnittlige frie baner for molekyler og elektroner. Dette er fordi forskjellige molekyler har forskjellige diametre. Edelgasser som helium og argon er monatomiske og har en tendens til å ha mindre diametre. Dette gir dem større gjennomsnittlige frie stier.

Ioniseringspotensialer varierer mellom molekyler, samt hastigheten de gjenerobrer elektroner etter at de er blitt slått ut av bane. Alle tre effektene endrer antall kollisjoner som trengs for å forårsake en eksponentiell vekst i frie elektroner. Disse frie elektronene er nødvendige for å forårsake en lysbue.

Languages

In other projects