Perspektiv (geometri) - Perspective (geometry)

To perspektivtrekanter, med deres perspektivakse og sentrum

To figurer i et plan er perspektiv fra et punkt O dersom linjene sammenføyning tilsvarende punkter i figurene møtes ved O . To ganger sies figurene å være perspektiv fra en linje hvis skjæringspunktene for korresponderende linjer alle ligger på en linje. Den riktige innstillingen for dette konseptet er i projektiv geometri der det ikke vil være noen spesielle tilfeller på grunn av parallelle linjer siden alle linjer møtes. Selv om det er angitt her for figurer i et fly, utvides konseptet lett til høyere dimensjoner.

Terminologi

Linjen som går gjennom punktene der figurens korresponderende sider skjærer hverandre, er kjent som perspektivitetsaksen , perspektivaksen , homologiaksen eller arkaisk perspektiv . Tallene sies å være perspektiv fra denne aksen. Det punktet som linjene som forbinder de tilsvarende verteksene i perspektivfigurene, krysser hverandre kalles sentrum av perspektivitet , perspektivsenter , homologisenter , pol eller arkaisk perspektiv . Tallene sies å være perspektiv fra dette senteret.

Perspectivity

Hvis hver av perspektivfigurene består av alle punktene på en linje (et område ), kalles transformasjon av punktene i det ene området til det andre en sentral perspektiv . En dobbel transformasjon, som tar alle linjene gjennom et punkt (en blyant ) til en annen blyant ved hjelp av en perspektivakse, kalles en aksial perspektivitet .

Triangles

En viktig spesiell sak oppstår når figurene er trekanter . To trekanter som er perspektiv fra et punkt kalles et sentralt par og to trekanter som er perspektiv fra en linje kalles et aksialt par .

Notasjon

Karl von Staudt introduserte notasjonen for å indikere at trekanter ABC og abc er perspektiv.

Beslektede teoremer og konfigurasjoner

Desargues 'teorem uttaler at et sentralt par trekanter er aksialt. Det omvendte utsagnet, et aksialt par trekanter er sentralt, er ekvivalent (begge kan brukes til å bevise den andre). Desargues 'teorem kan bevises i det virkelige projektive planet , og med passende modifikasjoner for spesielle tilfeller, i det euklidiske planet . Prosjekterende fly der dette resultatet kan bevises, kalles Desarguesian-fly .

Det er ti punkter knyttet til disse to perspektivene: seks på de to trekantene, tre på perspektivitetsaksen og ett i sentrum av perspektiviteten. To ganger er det også ti linjer assosiert med to perspektivtrekanter: tre sider av trekantene, tre linjer gjennom sentrum av perspektivitet og perspektivitetsaksen. Disse ti punktene og ti linjene danner et eksempel på Desargues-konfigurasjonen .

To trippelt perspektivtrekanter BbY og CcX

Hvis to trekanter er et sentralt par på minst to forskjellige måter (med to forskjellige assosiasjoner av korresponderende hjørner, og to forskjellige sentrum for perspektivitet), er de perspektiv på tre måter. Dette er en av de ekvivalente formene for Pappus (sekskant) teorem . Når dette skjer, danner de ni tilknyttede punktene (seks trekanthoder og tre sentre) og ni tilknyttede linjer (tre gjennom hvert perspektivsenter) et eksempel på Pappus-konfigurasjonen .

Den Reyes konfigurasjon er dannet av fire firedobbelt perspektiv tetraedre på en analog måte til den Pappus konfigurasjon.

Se også

Merknader

referanser