Matematikkfilosofi - Philosophy of mathematics

Den filosofien matematikk er den grenen av filosofien som studerer forutsetninger, stiftelser, og implikasjoner av matematikk . Den tar sikte på å forstå matematikkens natur og metoder , og finne matematikkens plass i folks liv. Matematikkens logiske og strukturelle natur gjør denne studien både bred og unik blant dens filosofiske kolleger.

Historie

Matematikkens opprinnelse er gjenstand for argumenter og uenigheter. Om matematikkens fødsel var tilfeldig eller forårsaket av nødvendighet under utviklingen av andre fag, som fysikk, er fortsatt et spørsmål om fruktbare debatter.

Mange tenkere har bidratt med sine ideer om matematikkens natur. I dag har noen matematikkfilosofer som mål å redegjøre for denne formen for undersøkelse og dens produkter slik de er, mens andre understreker en rolle for seg selv som går utover enkel tolkning til kritisk analyse. Det er tradisjoner for matematisk filosofi i både vestlig filosofi og østlig filosofi . Vestlige matematikkfilosofier går så langt tilbake som Pythagoras , som beskrev teorien "alt er matematikk" ( matematikk ), Platon , som parafraserte Pythagoras, og studerte ontologiske status for matematiske objekter, og Aristoteles , som studerte logikk og spørsmål knyttet til uendelig (faktisk mot potensial).

Gresk filosofi om matematikk ble sterkt påvirket av studiet av geometri . For eksempel mente grekerne en gang at 1 (ett) ikke var et tall , men snarere en enhet med vilkårlig lengde. Et tall ble definert som et mangfold. Derfor representerte 3 for eksempel en viss mengde enheter, og var dermed ikke "virkelig" et tall. På et annet tidspunkt ble det gjort et lignende argument om at 2 ikke var et tall, men en grunnleggende forestilling om et par. Disse visningene kommer fra grekernes tungt geometriske rettkant-og-kompass-synspunkt: akkurat som linjer tegnet i et geometrisk problem måles i forhold til den første vilkårlig tegnet linjen, så er også tallene på en tallinje målt i proporsjon til det vilkårlige første "tallet" eller "ett".

Disse tidligere greske ideene om tall ble senere oppgradert av oppdagelsen av irrasjonaliteten til kvadratroten til to. Hippasus , en disippel av Pythagoras , viste at diagonalen til en enhetsfirkant var uforlignelig med dens (enhetslengde) kant: med andre ord viste han at det ikke var noe eksisterende (rasjonelt) tall som nøyaktig viser andelen av enhetens diagonal firkantet til kanten. Dette forårsaket en betydelig revurdering av gresk matematikkfilosofi. Ifølge legenden ble andre pytagoreere så traumatisert av denne oppdagelsen at de myrdet Hippasus for å stoppe ham fra å spre sin kjetteriske idé. Simon Stevin var en av de første i Europa som utfordret greske ideer på 1500 -tallet. Fra og med Leibniz flyttet fokuset sterkt til forholdet mellom matematikk og logikk. Dette perspektivet dominerte matematikkfilosofien gjennom Freges og Russells tid , men ble satt i tvil av utviklingen på slutten av 1800- og begynnelsen av 1900 -tallet.

Samtidsfilosofi

Et flerårig problem i matematikkfilosofien angår forholdet mellom logikk og matematikk i deres felles grunnlag. Mens filosofer fra 1900-tallet fortsatte å stille spørsmålene som ble nevnt i begynnelsen av denne artikkelen, var matematikkfilosofien på 1900-tallet preget av en dominerende interesse for formell logikk , settteori (både naiv settteori og aksiomatisk settteori ), og grunnleggende spørsmål.

Det er et dypt gåte som på den ene siden synes matematiske sannheter å ha en overbevisende uunngåelighet, men på den annen side er kilden til deres "sannhet" fortsatt unnvikende. Undersøkelser av dette problemet er kjent som grunnlaget for matematikkprogrammet .

På begynnelsen av 1900 -tallet begynte matematikkfilosofer allerede å dele seg inn i forskjellige tankeskoler om alle disse spørsmålene, stort sett preget av bildene sine av matematisk epistemologi og ontologi . Tre skoler, formalisme , intuisjonisme og logikk , dukket opp på dette tidspunktet, delvis som svar på den stadig mer utbredte bekymringen for at matematikk slik den var, og spesielt analysen , ikke levde opp til standardene for sikkerhet og strenghet som var tatt for innvilget. Hver skole tok for seg problemene som kom frem på den tiden, enten ved å prøve å løse dem eller hevde at matematikk ikke har krav på status som vår mest pålitelige kunnskap.

Overraskende og kontraintuitiv utvikling i formell logikk og settteori tidlig på 1900-tallet førte til nye spørsmål om det som tradisjonelt ble kalt grunnlaget for matematikk . Etter hvert som århundret utviklet seg, utvidet det opprinnelige fokuset til bekymring seg til en åpen utforskning av matematikkens grunnleggende aksiomer, og den aksiomatiske tilnærmingen har blitt tatt for gitt siden Euklides tid rundt 300 fvt som det naturlige grunnlaget for matematikk. Forestillinger om aksiom , proposisjon og bevis , samt forestillingen om at et forslag er sant for et matematisk objekt (se oppgave ), ble formalisert, slik at de kunne behandles matematisk. De Zermelo-Fraenkel gullkorn for settet teori ble formulert som ga et rammeverk hvor mye matematisk diskusjon vil bli tolket. I matematikk, som i fysikk, hadde nye og uventede ideer dukket opp og betydelige endringer kom. Med Gödel -nummerering kan proposisjoner tolkes som å referere til seg selv eller andre forslag, noe som muliggjør undersøkelse av konsistensen av matematiske teorier. Denne reflekterende kritikken der teorien under evaluering "blir seg selv gjenstand for en matematisk studie" fikk Hilbert til å kalle slike studier for metamatematikk eller bevissteori .

På midten av århundret ble en ny matematisk teori opprettet av Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane , kjent som kategoriteori , og den ble en ny utfordrer for det naturlige språket i matematisk tenkning. Etter hvert som 1900-tallet utviklet seg, divergerte imidlertid filosofiske meninger om hvor velbegrunnede spørsmålene om grunnlag som ble reist i begynnelsen av århundret. Hilary Putnam oppsummerte et felles syn på situasjonen i siste tredjedel av århundret med å si:

Når filosofien oppdager noe galt med vitenskapen, må noen ganger vitenskapen endres - Russells paradoks kommer til å tenke, det samme gjør Berkeleys angrep på det faktiske uendelige - men oftere er det filosofien som må endres. Jeg tror ikke at vanskelighetene som filosofien finner med klassisk matematikk i dag er ekte vanskeligheter; og jeg tror at de filosofiske tolkningene av matematikk som vi tilbys på alle sider, er feil, og at "filosofisk tolkning" er det matematikken ikke trenger.

Matematikkfilosofien fortsetter i dag langs flere forskjellige undersøkelseslinjer, av matematikere, logikere og matematikere, og det er mange tankeskoler om emnet. Skolene behandles separat i neste avsnitt, og deres forutsetninger forklares.

Viktige temaer

Matematisk realisme

Matematisk realisme , som realisme generelt, mener at matematiske entiteter eksisterer uavhengig av det menneskelige sinn . Dermed oppfinner mennesker ikke matematikk, men oppdager det heller, og alle andre intelligente vesener i universet vil antagelig gjøre det samme. I dette synspunktet er det virkelig en slags matematikk som kan oppdages; trekanter , for eksempel, er virkelige enheter, ikke skapelser av det menneskelige sinn.

Mange arbeidende matematikere har vært matematiske realister; de ser på seg selv som oppdagere av naturlig forekommende objekter. Eksempler inkluderer Paul Erdős og Kurt Gödel . Gödel trodde på en objektiv matematisk virkelighet som kunne oppfattes på en måte analog med sanseoppfatning. Enkelte prinsipper (f.eks. For to objekter, det er en samling objekter som består av nettopp de to objektene) kan umiddelbart sees på å være sanne, men kontinuumhypoteseformålet kan vise seg å være uavgjort bare på grunnlag av slike prinsipper. Gödel antydet at kvasi-empirisk metodikk kan brukes for å gi tilstrekkelig bevis for å kunne anta en slik formodning.

Innen realismen er det forskjeller avhengig av hva slags eksistens man tar matematiske enheter å ha, og hvordan vi vet om dem. Store former for matematisk realisme inkluderer platonisme og aristotelianisme .

Matematisk antirealisme

Matematisk antirealisme mener generelt at matematiske utsagn har sannhetsverdier, men at de ikke gjør det ved å svare til et spesielt område av immaterielle eller ikke-empiriske enheter. Store former for matematisk antirealisme inkluderer formalisme og fiksjonalisme .

Moderne tankeskoler

Kunstnerisk

Synet som hevder at matematikk er den estetiske kombinasjonen av forutsetninger, og deretter også hevder at matematikk er en kunst . En berømt matematiker som hevder at det er britiske GH Hardy og også metaforisk den franske Henri Poincaré . For Hardy, i boken hans, A Mathematician's Apology , var definisjonen av matematikk mer som den estetiske kombinasjonen av begreper.

Platonisme

Matematisk platonisme er realismens form som antyder at matematiske enheter er abstrakte, ikke har noen spatiotemporale eller kausale egenskaper, og er evige og uforanderlige. Dette hevdes ofte å være den oppfatningen de fleste har på tall. Begrepet platonismen blir brukt fordi et slikt syn er sett til parallell Platons 's Theory of Forms og en 'World of Ideas'(gresk: Eidos (εἶδος)) beskrevet i Platons hulelignelse : hverdagen kan bare ufullkomment omtrentlig en uforanderlig, ultimate virkelighet. Både Platons hule og platonisme har meningsfulle, ikke bare overfladiske forbindelser, fordi Platons ideer ble forut og sannsynligvis påvirket av de svært populære pytagoreerne i antikkens Hellas, som trodde at verden bokstavelig talt ble generert av tall .

Et stort spørsmål som vurderes i matematisk platonisme er: Nøyaktig hvor og hvordan eksisterer de matematiske enhetene, og hvordan vet vi om dem? Er det en verden, helt atskilt fra vår fysiske, som er opptatt av de matematiske enhetene? Hvordan kan vi få tilgang til denne separate verden og oppdage sannheter om enhetene? Et foreslått svar er Ultimate Ensemble , en teori som postulerer at alle strukturer som eksisterer matematisk, også eksisterer fysisk i sitt eget univers.

Kurt Gödel

Kurt Gödel 's platonisme postulerer en spesiell form for matematisk intuisjon som lar oss oppfatte matematiske objekter direkte. (Dette synet ligner på mange ting Husserl sa om matematikk, og støtter Kants idé om at matematikk er syntetisk a priori .) Davis og Hersh har foreslått i boken The Mathematical Experience fra 1999 at de fleste matematikere oppfører seg som om de er platonister, selv Selv om de presses til å forsvare posisjonen nøye, kan de trekke seg tilbake til formalisme . Matematikeren Alexander Grothendieck var også platonist.

Fullblods platonisme er en moderne variant av platonisme, som er en reaksjon på at forskjellige sett med matematiske enheter kan bevises å eksistere avhengig av aksiomer og slutningsregler som brukes (for eksempel loven om den ekskluderte midten og valgfri aksiom ). Den mener at alle matematiske enheter eksisterer. De kan være bevisbare, selv om de ikke alle kan stammer fra et enkelt konsistent sett med aksiomer.

Sett-teoretisk realisme (også sett-teoretisk platonisme ), en posisjon som forsvares av Penelope Maddy , er oppfatningen om at settteori handler om et enkelt univers av sett. Denne posisjonen (som også er kjent som naturalisert platonismen , fordi det er en naturalisert versjon av matematiske platonismen) har blitt kritisert av Mark Balaguer på grunnlag av Paul Benacerraf 's epistemologisk problem . Et lignende syn, betegnet platonisert naturalisme , ble senere forsvaret av Stanford - Edmonton School : ifølge dette synet er en mer tradisjonell type platonisme i samsvar med naturalisme ; den mer tradisjonelle typen platonisme de forsvarer, kjennetegnes ved generelle prinsipper som hevder eksistensen av abstrakte objekter .

Matematikk

Max Tegmark 's matematiske universet hypotese (eller mathematicism ) går lenger enn platonismen i å hevde at ikke bare eksisterer alle matematiske objekter, men ingenting annet gjør. Tegmarks eneste postulat er: Alle strukturer som eksisterer matematisk, eksisterer også fysisk . Det vil si i den forstand at "i de [verdenene] komplekse nok til å inneholde selvbevisste understrukturer [vil] de subjektivt oppfatte seg selv som eksisterende i en fysisk" ekte "verden".

Logikk

Logisisme er tesen om at matematikk kan reduseres til logikk, og derfor ikke annet enn en del av logikken. Logikere mener at matematikk kan bli kjent på forhånd , men antyder at vår kunnskap om matematikk bare er en del av vår kunnskap om logikk generelt, og er dermed analytisk , og krever ikke noe spesielt fakultet for matematisk intuisjon. I dette synet er logikk det riktige grunnlaget for matematikk, og alle matematiske utsagn er nødvendige logiske sannheter .

Rudolf Carnap (1931) presenterer logistikkoppgaven i to deler:

De begreper i matematikk kan utledes fra logiske begreper gjennom eksplisitte definisjoner.
De teoremer matematikk kan utledes fra logiske aksiomer gjennom utelukkende logiske slutninger.

Gottlob Frege var grunnleggeren av logismen. I sin seminal Die Grundgesetze der Arithmetik ( Basic Laws of Arithmetic ) bygde han opp aritmetikk fra et logikksystem med et generelt forståelsesprinsipp, som han kalte "Basic Law V" (for begrepene F og G er forlengelsen av F lik utvidelse av G hvis og bare hvis for alle objekter a , Fa er lik Ga ), et prinsipp som han tok for å være akseptabelt som en del av logikken.

Bertrand Russell

Freges konstruksjon var feil. Bertrand Russell oppdaget at grunnlov V er inkonsekvent (dette er Russells paradoks ). Frege forlot sitt logistikkprogram like etter dette, men det ble videreført av Russell og Whitehead . De tilskrev paradokset til "ond sirkularitet" og bygde opp det de kalte forgrenet typeteori for å håndtere det. I dette systemet klarte de til slutt å bygge opp mye av moderne matematikk, men i en endret og altfor kompleks form (for eksempel var det forskjellige naturlige tall i hver type, og det var uendelig mange typer). De måtte også inngå flere kompromisser for å utvikle så mye matematikk, for eksempel et " aksiom for reduserbarhet ". Selv sa Russell at dette aksiomet egentlig ikke tilhørte logikk.

Moderne logikere (som Bob Hale , Crispin Wright og kanskje andre) har kommet tilbake til et program nærmere Freges. De har forlatt grunnloven V til fordel for abstraksjonsprinsipper som Humes prinsipp (antall objekter som faller under begrepet F er lik antallet objekter som faller under begrepet G hvis og bare hvis utvidelsen av F og utvidelsen av G kan være sette i en-til-en-korrespondanse ). Frege krevde grunnlov V for å kunne gi en eksplisitt definisjon av tallene, men alle egenskapene til tall kan stammer fra Humes prinsipp. Dette ville ikke ha vært nok for Frege fordi (for å omskrive ham) det ikke utelukker muligheten for at tallet 3 faktisk er Julius Caesar. I tillegg virker mange av de svekkede prinsippene de har måttet vedta for å erstatte grunnlov V ikke lenger så åpenbart analytiske og dermed rent logiske.

Formalisme

Formalisme mener at matematiske utsagn kan betraktes som utsagn om konsekvensene av visse strengmanipuleringsregler. For eksempel, i "spillet" i den euklidiske geometrien (som ses som bestående av noen strenger som kalles "aksiomer", og noen "slutningsregler" for å generere nye strenger fra gitte), kan man bevise at det pytagoreiske teoremet holder ( det vil si at man kan generere strengen som tilsvarer Pythagoras teorem). I følge formalisme handler matematiske sannheter ikke om tall og sett og trekanter og lignende - faktisk handler de ikke om noe i det hele tatt.

En annen versjon av formalisme er ofte kjent som deduktivisme . I deduktivisme er ikke Pythagoras teorem en absolutt sannhet, men en relativ: hvis man tilordner strengene mening på en slik måte at spillereglene blir sanne (dvs. sanne utsagn er tilordnet aksiomene og reglene for slutning er sannhetsbevarende), så må man godta teoremet, eller rettere sagt tolkningen man har gitt det må være en sann uttalelse. Det samme er sant for alle andre matematiske utsagn. Dermed trenger formalisme ikke å bety at matematikk ikke er annet enn et meningsløst symbolsk spill. Det er vanligvis håp om at det finnes en tolkning der spillereglene holder. (Sammenlign denne posisjonen med strukturalisme .) Men den tillater den fungerende matematikeren å fortsette i sitt arbeid og overlate slike problemer til filosofen eller vitenskapsmannen. Mange formalister vil si at i praksis vil aksiomsystemene som skal studeres bli antydet av vitenskapens krav eller andre matematikkområder.

David Hilbert

En stor tidlig talsmann for formalisme var David Hilbert , hvis program var ment å være en fullstendig og konsekvent aksiomatisering av hele matematikken. Hilbert hadde som mål å vise konsistensen til matematiske systemer ut fra antagelsen om at den "endelige aritmetikken" (et undersystem av den vanlige aritmetikken til de positive heltallene , valgt til å være filosofisk ukontroversiell) var konsistent. Hilberts mål om å lage et matematisk system som er både komplett og konsistent, ble alvorlig undergravd av den andre av Gödels ufullstendighetsteoremer , som sier at tilstrekkelig uttrykksfulle konsistente aksiomsystemer aldri kan bevise sin egen konsistens. Siden et slikt aksiomsystem ville inneholde den endelige aritmetikken som et delsystem, antydet Godels teorem at det ville være umulig å bevise systemets konsistens i forhold til det (siden det da ville bevise sin egen konsistens, som Gödel hadde vist var umulig). For å vise at ethvert aksiomatisk matematisk system faktisk er konsistent, må man først anta konsistensen til et matematisk system som på en måte er sterkere enn systemet som skal bevises konsistent.

Hilbert var opprinnelig en deduktivist, men som det kan være klart ovenfra, vurderte han visse metamatematiske metoder for å gi iboende meningsfulle resultater og var realist med hensyn til den endelige aritmetikken. Senere mente han at det ikke var noen annen meningsfull matematikk overhodet, uavhengig av tolkning.

Andre formalister, som Rudolf Carnap , Alfred Tarski og Haskell Curry , anså matematikk som undersøkelse av formelle aksiomsystemer . Matematiske logikere studerer formelle systemer, men er like ofte realister som formalister.

Formalister er relativt tolerante og inviterer til nye tilnærminger til logikk, ikke-standardiserte tallsystemer, nye settteorier osv. Jo flere spill vi studerer, jo bedre. I alle tre av disse eksemplene er imidlertid motivasjon hentet fra eksisterende matematiske eller filosofiske bekymringer. "Spillene" er vanligvis ikke vilkårlige.

Hovedkritikken mot formalisme er at de faktiske matematiske ideene som opptar matematikere er langt borte fra strengmanipulasjonsspillene som er nevnt ovenfor. Formalisme er derfor stille om spørsmålet om hvilke aksiomsystemer som bør studeres, ettersom ingen er mer meningsfulle enn et annet fra et formalistisk synspunkt.

Nylig har noen formalistiske matematikere foreslått at alle våre formelle matematiske kunnskaper skal være systematisk kodet i datamaskinlesbare formater, for å lette automatisert korrekturkontroll av matematiske bevis og bruk av interaktiv teorem som viser i utviklingen av matematiske teorier og programvare . På grunn av deres nære forbindelse med informatikk , blir denne ideen også anbefalt av matematiske intuisjonister og konstruktivister i "beregningsbarhet" -tradisjonen - se QED -prosjektet for en generell oversikt.

Konvensjonalisme

Den franske matematikeren Henri Poincaré var blant de første som artikulerte et konvensjonalistisk syn. Poincarés bruk av ikke-euklidiske geometrier i arbeidet med differensialligninger overbeviste ham om at euklidisk geometri ikke skulle betraktes som en priori sannhet. Han mente at aksiomer i geometri bør velges for resultatene de gir, ikke for deres tilsynelatende sammenheng med menneskelige intuisjoner om den fysiske verden.

Intuisjonisme

I matematikk er intuisjonisme et program for metodiske reformer hvis motto er at "det er ingen ikke-erfarne matematiske sannheter" ( LEJ Brouwer ). Fra dette springbrettet søker intuisjonister å rekonstruere det de anser som den korrigerbare delen av matematikken i samsvar med kantianske begreper om å være, bli, intuisjon og kunnskap. Brouwer, grunnleggeren av bevegelsen, mente at matematiske objekter stammer fra de a priori former av volisjonene som informerer oppfatningen av empiriske objekter.

En stor kraft bak intuisjonisme var LEJ Brouwer , som avviste nytten av formalisert logikk av noe slag for matematikk. Hans student Arend Heyting postulerte en intuisjonistisk logikk , forskjellig fra den klassiske aristoteliske logikken ; denne logikken inneholder ikke loven om den utelukkede midten og rynker derfor på rynker mot bevis ved motsetning . Den aksiom valg er også avvist i de fleste intuitionistic sett teorier, men i noen versjoner er det akseptert.

I intuisjonisme er begrepet "eksplisitt konstruksjon" ikke klart definert, og det har ført til kritikk. Det er gjort forsøk på å bruke konseptene Turing -maskin eller beregningsfunksjon for å fylle dette hullet, noe som fører til påstanden om at bare spørsmål angående oppførselen til endelige algoritmer er meningsfulle og bør undersøkes i matematikk. Dette har ført til studiet av de beregningsbare tallene , først introdusert av Alan Turing . Ikke overraskende er denne tilnærmingen til matematikk noen ganger forbundet med teoretisk informatikk .

Konstruktivisme

I likhet med intuisjonisme innebærer konstruktivisme det regulerende prinsippet om at bare matematiske enheter som eksplisitt kan konstrueres i en viss forstand, bør tas opp til matematisk diskurs. I dette synet er matematikk en øvelse av den menneskelige intuisjon, ikke et spill som spilles med meningsløse symboler. I stedet handler det om enheter som vi kan skape direkte gjennom mental aktivitet. I tillegg avviser noen tilhengere av disse skolene ikke-konstruktive bevis, for eksempel et bevis ved motsetning. Viktig arbeid ble utført av Errett Bishop , som klarte å bevise versjoner av de viktigste teoremene i reell analyse som konstruktiv analyse i sine 1967 Foundations of Constructive Analysis.

Finitisme

Leopold Kronecker

Finitisme er en ekstrem form for konstruktivisme , ifølge hvilken et matematisk objekt ikke eksisterer med mindre det kan konstrueres fra naturlige tall i et begrenset antall trinn. I hennes bok Philosophy of Set Theory , Mary Fliser preget dem som lar countably uendelig gjenstander som klassiske finitists, og de som benekter selv countably uendelig gjenstander som strenge finitists.

Den mest kjente talsmannen for finitisme var Leopold Kronecker , som sa:

Gud skapte de naturlige tallene, alt annet er menneskets verk.

Ultrafinitisme er en enda mer ekstrem versjon av finitisme, som ikke bare avviser uendelige men endelige mengder som ikke er mulig å konstruere med tilgjengelige ressurser. En annen variant av finitisme er euklidisk aritmetikk, et system utviklet av John Penn Mayberry i boken The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . Mayberrys system er generelt aristotelisk inspirert, og til tross for hans sterke avvisning av enhver rolle for operasjonalisme eller gjennomførbarhet i matematikkens grunnlag, kommer det til noenlunde lignende konklusjoner, for eksempel at super-eksponentiering ikke er en legitim endelig funksjon.

Strukturisme

Strukturisme er en posisjon som mener at matematiske teorier beskriver strukturer, og at matematiske objekter er uttømmende definert av stedene i slike strukturer, og følgelig ikke har noen iboende egenskaper . For eksempel vil det hevde at alt som trenger å være kjent om tallet 1 er at det er det første hele tallet etter 0. På samme måte er alle de andre hele tallene definert av stedene i en struktur, tallinjen . Andre eksempler på matematiske objekter kan omfatte linjer og plan i geometri, eller elementer og operasjoner i abstrakt algebra .

Strukturalisme er et epistemologisk realistisk syn ved at den mener at matematiske utsagn har en objektiv sannhetsverdi. Imidlertid gjelder den sentrale påstanden bare hva slags enhet et matematisk objekt er, ikke hva slags eksistens matematiske objekter eller strukturer har (ikke, med andre ord, deres ontologi ). Den typen eksistens matematiske objekter har, vil helt klart være avhengig av strukturen de er innebygd i; forskjellige sub-varianter av strukturalisme gjør forskjellige ontologiske påstander i denne forbindelse.

Det ante rem strukturalisme ( "før ting") har en lignende ontologi til platonismen . Strukturene antas å ha en reell, men abstrakt og immateriell eksistens. Som sådan står det overfor det vanlige epistemologiske problemet med å forklare samspillet mellom slike abstrakte strukturer og kjøtt-og-blod-matematikere (se Benacerrafs identifikasjonsproblem ).

Den i re strukturalisme ( "i ting") er tilsvarende aristoteliske realisme . Strukturer holdes å eksistere ettersom et konkret system eksemplifiserer dem. Dette medfører de vanlige problemene om at noen helt legitime strukturer ved et uhell tilfeldigvis ikke eksisterer, og at en endelig fysisk verden kanskje ikke er "stor" nok til å imøtekomme noen ellers legitime strukturer.

Den etter rem strukturalisme ( "etter ting") er anti-realist om strukturer på en måte som paralleller nominalisme . I likhet med nominalisme benekter post rem -tilnærmingen eksistensen av abstrakte matematiske objekter med andre egenskaper enn deres plass i en relasjonsstruktur. I følge dette synet eksisterer matematiske systemer og har strukturelle trekk til felles. Hvis noe er sant om en struktur, vil det være sant for alle systemer som eksemplifiserer strukturen. Imidlertid er det bare instrumentelt å snakke om at strukturer blir "holdt til felles" mellom systemene: de har faktisk ingen uavhengig eksistens.

Legemliggjort tanketeorier

Legemliggjort tanketeorier mener at matematisk tenkning er en naturlig utvekst av det menneskelige kognitive apparatet som befinner seg i vårt fysiske univers. For eksempel, den abstrakte begrepet tallfjærer fra opplevelsen av å telle adskilte stedene. Det antas at matematikk ikke er universell og ikke eksisterer i egentlig forstand, annet enn i menneskelige hjerner. Mennesker konstruerer, men oppdager ikke, matematikk.

Med denne oppfatningen kan det fysiske universet dermed sees på som det endelige grunnlaget for matematikk: det styrte hjernens utvikling og bestemte senere hvilke spørsmål denne hjernen ville finne verdig til undersøkelse. Imidlertid har menneskesinnet ingen spesiell påstand om virkeligheten eller tilnærminger til den som er bygget ut av matematikk. Hvis slike konstruksjoner som Eulers identitet er sanne, er de sanne som et kart over det menneskelige sinn og erkjennelse .

Legemliggjort sinnsteoretikere forklarer dermed matematikkens effektivitet - matematikk ble konstruert av hjernen for å være effektiv i dette universet.

Den mest tilgjengelige, berømte og beryktede behandlingen av dette perspektivet er Where Mathematics Comes From , av George Lakoff og Rafael E. Núñez . I tillegg har matematiker Keith Devlin undersøkt lignende konsepter med sin bok The Math Instinct , det samme har nevrovitenskapsmannen Stanislas Dehaene med sin bok The Number Sense . For mer om de filosofiske ideene som inspirerte dette perspektivet, se kognitiv vitenskap om matematikk .

Aristotelisk realisme

Aristotelisk realisme mener at matematikk studerer egenskaper som symmetri, kontinuitet og orden som bokstavelig talt kan realiseres i den fysiske verden (eller i en hvilken som helst annen verden det kan være). Det står i kontrast til platonismen og mener at matematikkens objekter, for eksempel tall, ikke eksisterer i en "abstrakt" verden, men kan realiseres fysisk. For eksempel realiseres tallet 4 i forholdet mellom en haug med papegøyer og det universelle "å være en papegøye" som deler haugen i så mange papegøyer. Aristotelisk realisme forsvares av James Franklin og Sydney School i matematikkfilosofien og er nær Penelope Maddys syn på at når en eggekartong åpnes, blir et sett med tre egg oppfattet (det vil si en matematisk enhet realisert i fysiske verden). Et problem for den aristoteliske realismen er hvilken regnskap man skal gi om høyere uendeligheter, som kanskje ikke kan realiseres i den fysiske verden.

Den euklidiske aritmetikken utviklet av John Penn Mayberry i boken The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets faller også inn i den aristoteliske realistiske tradisjonen. Mayberry, etter Euclid, anser tall som ganske enkelt "bestemte mengder enheter" som er realisert i naturen - for eksempel "medlemmene av London Symphony Orchestra" eller "trærne i Birnam wood". Hvorvidt det er bestemte mengder enheter som Euclids felles forestilling 5 (helheten er større enn delen) mislykkes i, og som følgelig vil bli regnet som uendelig, er for Mayberry i hovedsak et spørsmål om naturen og ikke innebærer noen transcendentale antagelser.

Psykologi

Psykologi i matematikkfilosofien er posisjonen som matematiske begreper og/eller sannheter er forankret i, avledet fra eller forklart av psykologiske fakta (eller lover).

John Stuart Mill ser ut til å ha vært forkjemper for en type logisk psykologi, i likhet med mange tyske logikere fra 1800-tallet som Sigwart og Erdmann , samt en rekke psykologer i fortid og nåtid: for eksempel Gustave Le Bon . Psychologism ble berømt kritisert av Frege i sine grunnvoller aritmetikk , og mange av hans verker og essays, inkludert sin anmeldelse av Husserl 's Philosophy of Arithmetic . Edmund Husserl, i første bind av sine logiske undersøkelser , kalt "The Prolegomena of Pure Logic", kritiserte psykologismen grundig og søkte å ta avstand fra den. "Prolegomena" regnes som en mer kortfattet, rettferdig og grundig tilbakevisning av psykologisme enn kritikken fra Frege, og den anses i dag av mange som en minneverdig tilbakevisning for dens avgjørende slag mot psykologi. Psykologi ble også kritisert av Charles Sanders Peirce og Maurice Merleau-Ponty .

Empirisme

Matematisk empirisme er en form for realisme som benekter at matematikk i det hele tatt kan bli kjent a priori . Den sier at vi oppdager matematiske fakta ved empirisk forskning , akkurat som fakta i noen av de andre vitenskapene. Det er ikke en av de klassiske tre stillingene som ble fremmet på begynnelsen av 1900 -tallet, men oppsto først og fremst i midten av århundret. Imidlertid var en viktig tidlig forkjemper for et syn som dette John Stuart Mill . Mills syn ble sterkt kritisert, fordi det ifølge kritikere, for eksempel AJ Ayer, gjør at utsagn som "2 + 2 = 4" fremstår som usikre, betingede sannheter, som vi bare kan lære ved å observere tilfeller av to par som kommer sammen og danner en kvartett.

Moderne matematisk empirisme, formulert av WVO Quine og Hilary Putnam , støttes først og fremst av det uunnværlige argumentet : matematikk er uunnværlig for alle empiriske vitenskaper, og hvis vi vil tro på virkeligheten til fenomenene beskrevet av vitenskapene, burde vi også tro på virkeligheten til disse enhetene som kreves for denne beskrivelsen. Det vil si at siden fysikk trenger å snakke om elektroner for å si hvorfor lyspærer oppfører seg som de gjør, må elektroner eksistere . Siden fysikk trenger å snakke om tall for å tilby noen av forklaringene, må tall eksistere. I tråd med Quine og Putnams overordnede filosofier er dette et naturalistisk argument. Den argumenterer for eksistensen av matematiske enheter som den beste forklaringen på erfaring, og fjerner dermed matematikken fra å være forskjellig fra de andre vitenskapene.

Putnam avviste sterkt begrepet " platonist " som å antyde en overspesifikk ontologi som ikke var nødvendig for matematisk praksis i noen egentlig forstand. Han tok til orde for en form for "ren realisme" som avviste mystiske sannhetsoppfatninger og godtok mye kvasi-empirisme i matematikk . Dette vokste fra den stadig mer populære påstanden på slutten av 1900 -tallet om at det aldri kan bevises at et grunnlag for matematikk eksisterer. Det kalles også noen ganger "postmodernisme i matematikk", selv om dette begrepet anses å være overbelastet av noen og fornærmende av andre. Kvasi-empirisme argumenterer for at matematikere tester både hypoteser og beviser teorier når de forsker. Et matematisk argument kan overføre falskhet fra konklusjonen til premissene like godt som den kan overføre sannhet fra premissene til konklusjonen. Putnam har hevdet at enhver teori om matematisk realisme ville inkludere kvasi-empiriske metoder. Han foreslo at en fremmed art som driver matematikk godt kunne stole på kvasi-empiriske metoder, først og fremst å være villig til å gi avkall på strenge og aksiomatiske bevis, og fortsatt gjøre matematikk-med kanskje en noe større risiko for å mislykkes i beregningene. Han ga et detaljert argument for dette i New Directions . Kvasi-empirisme ble også utviklet av Imre Lakatos .

Den viktigste kritikken av empiriske syn på matematikk er omtrent den samme som den som ble reist mot Mill. Hvis matematikk er like empirisk som de andre vitenskapene, antyder dette at resultatene er like feilbare som deres, og like betingede. I Mills tilfelle kommer den empiriske begrunnelsen direkte, mens den i Quines tilfelle kommer indirekte gjennom sammenhengen mellom vår vitenskapelige teori som helhet, dvs. konsilien etter EO Wilson . Quine antyder at matematikk virker helt sikker fordi rollen den spiller i vårt trosnett er usedvanlig sentral, og at det ville være ekstremt vanskelig for oss å revidere den, men ikke umulig.

For en filosofi om matematikk som forsøk på å overvinne noen av svakhetene i Quine og Gödel tilnærminger ved å ta deler av hvert se Penelope Maddy er realisme i matematikk . Et annet eksempel på en realistisk teori er den legemlige sinnsteorien .

For eksperimentelle bevis som tyder på at spedbarn hos mennesker kan gjøre grunnleggende regning, se Brian Butterworth .

Fiksjonisme

Matematisk fiksjonisme ble berømt i 1980 da Hartry Field publiserte Science Without Numbers , som avviste og faktisk reverserte Quines uunnværlige argument. Der Quine antydet at matematikk var uunnværlig for våre beste vitenskapelige teorier, og derfor burde bli akseptert som en mengde sannheter som snakket om uavhengige eksisterende enheter, foreslo Field at matematikk var utilgjengelig, og derfor burde betraktes som en kropp av usannheter som ikke snakker om noe ekte. Han gjorde dette ved å gi en fullstendig aksiomatisering av newtonsk mekanikk uten referanse til tall eller funksjoner i det hele tatt. Han begynte med "mellom" i Hilberts aksiomer for å karakterisere rom uten å koordinere det, og la deretter til ekstra forhold mellom punkter for å utføre arbeidet som tidligere var utført av vektorfelt . Hilberts geometri er matematisk, fordi den snakker om abstrakte punkter, men i Fields teori er disse punktene de konkrete punktene i det fysiske rommet, så det er ikke behov for spesielle matematiske objekter i det hele tatt.

Etter å ha vist hvordan man gjør vitenskap uten å bruke tall, fortsatte Field med å rehabilitere matematikk som en slags nyttig skjønnlitteratur . Han viste at matematisk fysikk er en konservativ forlengelse av hans ikke-matematiske fysikk (det vil si at alle fysiske fakta som kan bevises i matematisk fysikk allerede kan bevises fra Fields system), slik at matematikk er en pålitelig prosess hvis fysiske anvendelser alle er sanne, selv om egne utsagn er falske. Således, når vi gjør matematikk, kan vi se på oss selv som å fortelle en slags historie, snakke som om tall eksisterte. For Field er en uttalelse som "2 + 2 = 4" like fiktiv som " Sherlock Holmes bodde på 221B Baker Street" - men begge er sanne i henhold til de relevante fiksjonene.

Etter denne beretningen er det ingen metafysiske eller epistemologiske problemer som er spesielle for matematikk. De eneste bekymringene som er igjen er de generelle bekymringene for ikke-matematisk fysikk, og om fiksjon generelt. Fields tilnærming har vært veldig innflytelsesrik, men blir allment avvist. Dette er delvis på grunn av kravet om sterke fragmenter av andreordens logikk for å gjennomføre hans reduksjon, og fordi uttalelsen om konservativitet ser ut til å kreve kvantifisering over abstrakte modeller eller fradrag.

Sosial konstruktivisme

Sosial konstruktivisme ser matematikk først og fremst som en sosial konstruksjon , som et produkt av kultur, gjenstand for korreksjon og endring. I likhet med de andre vitenskapene blir matematikk sett på som et empirisk forsøk hvis resultater kontinuerlig evalueres og kan kastes. Selv om evalueringen på et empiristisk syn er en slags sammenligning med "virkeligheten", understreker sosialkonstruktivister at retningen for matematisk forskning dikteres av motene til den sosiale gruppen som utfører den eller av behovene til samfunnet som finansierer den. Selv om slike eksterne krefter kan endre retningen for noen matematisk forskning, er det imidlertid sterke interne begrensninger-de matematiske tradisjonene, metodene, problemene, betydningene og verdiene som matematikere er inkulturert i-som arbeider for å bevare den historisk definerte disiplinen.

Dette strider mot den tradisjonelle oppfatningen til arbeider matematikere, at matematikk på en eller annen måte er ren eller objektiv. Men sosialkonstruktivister hevder at matematikk faktisk er grunnet av mye usikkerhet: etter hvert som matematisk praksis utvikler seg, blir statusen til tidligere matematikk tvilsom og blir korrigert i den grad det er nødvendig eller ønsket av det nåværende matematiske samfunnet. Dette kan sees i utviklingen av analyse fra re -undersøkelse av beregningen til Leibniz og Newton. De hevder videre at ferdig matematikk ofte får for mye status, og folkematematikk ikke nok, på grunn av en overvekt på aksiomatisk bevis og fagfellevurdering som praksis.

Matematikkens sosiale karakter fremheves i dens subkulturer . Store funn kan gjøres i en gren av matematikken og være relevante for en annen, men forholdet forblir uoppdaget på grunn av mangel på sosial kontakt mellom matematikere. Sosialkonstruktivister argumenterer for at hver spesialitet danner sitt eget epistemiske fellesskap og ofte har store problemer med å kommunisere eller motivere etterforskning av samlende formodninger som kan knytte ulike matematikkområder. Sosiale konstruktivister ser på prosessen med å "gjøre matematikk" som faktisk å skape meningen, mens sosiale realister ser en mangel på enten menneskelig evne til å abstrahere, eller menneskets kognitive skjevhet , eller av matematikernes kollektive intelligens som hindre forståelsen av et ekte univers av matematiske objekter. Sosiale konstruktivister avviser noen ganger søket etter matematikkens grunnlag for å mislykkes, meningsløst eller til og med meningsløst.

Bidrag til denne skolen har blitt gitt av Imre Lakatos og Thomas Tymoczko , selv om det ikke er klart at noen av dem ville godkjenne tittelen. Mer nylig har Paul Ernest eksplisitt formulert en sosialkonstruktivistisk matematikkfilosofi. Noen anser arbeidet til Paul Erdős som helhet for å ha fremmet dette synet (selv om han personlig avviste det) på grunn av hans unikt brede samarbeid, som fikk andre til å se og studere "matematikk som en sosial aktivitet", f.eks. Via Erd -tallet . Reuben Hersh har også fremmet det sosiale synet på matematikk, og kalte det en "humanistisk" tilnærming, lik, men ikke helt den samme som den som er knyttet til Alvin White; en av Hershs medforfattere, Philip J. Davis , har også uttrykt sympati for det sosiale synet.

Utover de tradisjonelle skolene

Urimelig effektivitet

I stedet for å fokusere på trange debatter om den matematiske sannhetens sanne natur , eller til og med på metoder som er unike for matematikere som beviset , begynte en voksende bevegelse fra 1960- til 1990 -årene å stille spørsmål ved ideen om å søke grunnlag eller finne et riktig svar på hvorfor matematikk fungerer. Utgangspunktet for dette var Eugene Wigners berømte papir fra 1960 " The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ", der han argumenterte for at den lykkelige tilfeldigheten av matematikk og fysikk som passet så godt sammen syntes å være urimelig og vanskelig å forklare.

Poppers to sanser av tallsetninger

Realistiske og konstruktivistiske teorier regnes normalt som motsetninger. Imidlertid hevdet Karl Popper at en talluttalelse som "2 epler + 2 epler = 4 epler" kan tas i to betydninger. På en måte er det ubestridelig og logisk sant. I andre forstand er det faktisk sant og falsifiserbart. En annen måte å si dette på er å si at en enkelt tallsetning kan uttrykke to proposisjoner: den ene kan forklares på konstruktivistiske linjer; den andre på realistiske linjer.

Språkfilosofi

Innovasjoner i språkfilosofi i det 20. århundre fornyet interesse i om matematikk er, slik det ofte sagt, språket av vitenskap. Selv om noen matematikere og filosofer ville godta utsagnet " matematikk er et språk ", mener lingvister at implikasjonene av en slik uttalelse må vurderes. For eksempel brukes lingvistikkens verktøy vanligvis ikke på matematikkens symbolsystemer, det vil si at matematikk studeres på en markant annerledes måte enn andre språk. Hvis matematikk er et språk, er det en annen type språk enn naturlige språk . På grunn av behovet for klarhet og spesifisitet er matematikkspråket langt mer begrenset enn naturlige språk studert av lingvister. Imidlertid har metodene utviklet av Frege og Tarski for studiet av matematisk språk blitt utvidet sterkt av Tarskis student Richard Montague og andre lingvister som jobber med formell semantikk for å vise at skillet mellom matematisk språk og naturlig språk kanskje ikke er så stort som det ser ut til .

Mohan Ganesalingam har analysert matematisk språk ved hjelp av verktøy fra formell lingvistikk. Ganesalingam bemerker at noen funksjoner i naturlig språk ikke er nødvendige når man analyserer matematisk språk (for eksempel anspent ), men mange av de samme analyseverktøyene kan brukes (for eksempel kontekstfrie grammatikker ). En viktig forskjell er at matematiske objekter har klart definerte typer , som eksplisitt kan defineres i en tekst: "Effektivt får vi lov til å introdusere et ord i en del av en setning, og deklarere sin tale i en annen; og denne operasjonen har ingen analog i naturlig språk. "

Argumenter

Uunnværlig argument for realisme

Dette argumentet, assosiert med Willard Quine og Hilary Putnam , anses av Stephen Yablo for å være et av de mest utfordrende argumentene for å akseptere eksistensen av abstrakte matematiske enheter, for eksempel tall og sett. Argumentets form er som følger.

Man må ha ontologiske forpliktelser til alle enheter som er uunnværlig for beste vitenskapelige teorier, og til disse enhetene bare (ofte referert til som "alle og bare").
Matematiske enheter er uunnværlige for de beste vitenskapelige teoriene. Derfor,
Man må ha ontologiske forpliktelser overfor matematiske enheter.

Begrunnelsen for det første premisset er det mest kontroversielle. Både Putnam og Quine påkaller naturalisme for å rettferdiggjøre ekskludering av alle ikke-vitenskapelige enheter, og dermed forsvare den "eneste" delen av "alt og bare". Påstanden om at "alle" enheter postulert i vitenskapelige teorier, inkludert tall, bør aksepteres som reelle, er begrunnet med bekreftelsesholisme . Siden teorier ikke er bekreftet stykkevis, men som helhet, er det ingen begrunnelse for å ekskludere noen av enhetene det refereres til i godt bekreftede teorier. Dette setter nominalisten som ønsker å ekskludere eksistensen av sett og ikke-euklidisk geometri , men å inkludere eksistensen av kvarker og andre uoppdagbare fysiske enheter, for eksempel i en vanskelig posisjon.

Epistemisk argument mot realisme

Det anti-realistiske " epistemiske argumentet" mot platonisme har blitt fremsatt av Paul Benacerraf og Hartry Field . Platonisme antar at matematiske objekter er abstrakte enheter. Etter generell avtale kan ikke abstrakte enheter samhandle kausalt med konkrete, fysiske enheter ("sannhetsverdiene i våre matematiske påstander er avhengige av fakta som involverer platoniske enheter som er bosatt i et rike utenfor romtiden"). Selv om vår kunnskap om konkrete, fysiske objekter er basert på vår evne til å oppfatte dem og derfor kausalt samhandle med dem, er det ingen parallell redegjørelse for hvordan matematikere får kunnskap om abstrakte objekter. En annen måte å gjøre poenget på er at hvis den platoniske verden skulle forsvinne, ville det ikke gjøre noen forskjell for matematikernes evne til å generere bevis osv., Som allerede er fullt ut ansvarlig når det gjelder fysiske prosesser i hjernen deres.

Field utviklet sine synspunkter til fiksjonisme . Benacerraf utviklet også filosofien om matematisk strukturalisme , ifølge hvilken det ikke er matematiske objekter. Noen versjoner av strukturalisme er imidlertid kompatible med noen versjoner av realisme.

Argumentet er basert på ideen om at en tilfredsstillende naturalistisk redegjørelse for tankeprosesser når det gjelder hjerneprosesser kan gis for matematisk resonnement sammen med alt annet. En forsvarslinje er å fastslå at dette er feil, slik at matematisk resonnement bruker en spesiell intuisjon som innebærer kontakt med det platoniske riket. En moderne form for dette argumentet er gitt av Sir Roger Penrose .

En annen forsvarslinje er å hevde at abstrakte objekter er relevante for matematisk resonnement på en måte som er ikke-årsakssammenhengende, og ikke er analog med persepsjon. Dette argumentet er utviklet av Jerrold Katz i sin bok Realistic Rationalism fra 2000 .

Et mer radikalt forsvar er fornektelse av den fysiske virkeligheten, dvs. den matematiske univershypotesen . I så fall er en matematikers kunnskap om matematikk et matematisk objekt som tar kontakt med et annet.

Estetikk

Mange praktiserende matematikere har blitt tiltrukket av emnet på grunn av en skjønnhet de oppfatter i det. Noen ganger hører man følelsen av at matematikere gjerne ville overlate filosofien til filosofene og komme tilbake til matematikk - hvor antagelig skjønnheten ligger.

I sitt arbeid med den guddommelige proporsjonen relaterer HE Huntley følelsen av å lese og forstå andres bevis på matematikkens teorem til en som ser på et mesterverk av kunst - leseren av et bevis har en lignende følelse av begeistring ved å forstå som den opprinnelige forfatteren av beviset, omtrent som han hevder at betrakteren til et mesterverk har en følelse av begeistring som ligner den originale maleren eller skulptøren. Faktisk kan man studere matematiske og vitenskapelige skrifter som litteratur .

Philip J. Davis og Reuben Hersh har kommentert at følelsen av matematisk skjønnhet er universell blant praktiserende matematikere. For eksempel gir de to bevis på irrasjonaliteten til $\sqrt 2$ . Det første er det tradisjonelle beviset ved motsetning , tilskrevet Euklid ; det andre er et mer direkte bevis som involverer den grunnleggende regningssetningen som, hevder de, kommer til kjernen i saken. Davis og Hersh hevder at matematikere synes det andre beviset er mer estetisk tiltalende fordi det kommer nærmere problemets art.

Paul Erdős var kjent for sin forestilling om en hypotetisk "bok" som inneholdt de mest elegante eller vakreste matematiske bevisene. Det er ikke universell enighet om at et resultat har et "mest elegant" bevis; Gregory Chaitin har argumentert mot denne ideen.

Filosofer har noen ganger kritisert matematikernes følelse av skjønnhet eller eleganse som i beste fall vagt uttalt. På samme måte har imidlertid matematikkfilosofer forsøkt å karakterisere det som gjør ett bevis mer ønskelig enn et annet når begge er logisk forsvarlige.

Et annet aspekt ved estetikk angående matematikk er matematikernes synspunkter på mulig bruk av matematikk til formål som anses uetisk eller upassende. Den mest kjente redegjørelsen for dette synet forekommer i GH Hardys bok A Mathematician's Apology , der Hardy hevder at ren matematikk er overlegen i skjønnhet enn anvendt matematikk nettopp fordi den ikke kan brukes til krig og lignende formål.

Tidsskrifter

Se også

Relaterte arbeider

Historiske temaer

Merknader

Videre lesning

Aristoteles , " Prior Analytics ", Hugh Tredennick (trans.), S. 181–531 i Aristoteles, bind 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann, London, Storbritannia, 1938.
Benacerraf, Paul og Putnam, Hilary (red., 1983), Philosophy of Mathematics, Selected Readings , 1. utgave, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2. utgave, Cambridge University Press, Cambridge, Storbritannia, 1983.
Berkeley, George (1734), The Analyst ; eller, en foredrag adressert til en vantro matematiker. Her undersøkes det om objektet, prinsippene og konklusjonene i den moderne analysen er mer tydelig oppfattet eller tydeligere utledet enn religiøse mysterier og trospunkter , London og Dublin. Netttekst , David R. Wilkins (red.), Eprint .
Bourbaki, N. (1994), Elements of the History of Mathematics , John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Tyskland.
Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty. Estetikk og motivasjon i vitenskap , University of Chicago Press, Chicago, IL.
Colyvan, Mark (2004), "Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics", Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (red.), Eprint .
Davis, Philip J. og Hersh, Reuben (1981), The Mathematical Experience , Mariner Books, New York, NY.
Devlin, Keith (2005), The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Together with Hummer, Birds, Cats and Dogs) , Thunder's Mouth Press, New York, NY.
Dummett, Michael (1991 a), Frege, Mathematics Philosophy , Harvard University Press, Cambridge, MA.
Dummett, Michael (1991 b), Frege og andre filosofer , Oxford University Press, Oxford, Storbritannia.
Dummett, Michael (1993), Origins of Analytical Philosophy , Harvard University Press, Cambridge, MA.
Ernest, Paul (1998), Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics , State University of New York Press, Albany, NY.
George, Alexandre (red., 1994), Mathematics and Mind , Oxford University Press, Oxford, Storbritannia.
Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field , 1. utgave, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2. utgave, 1949. Gjengitt, Dover Publications, New York, NY, 1954.
Hardy, GH (1940), A Mathematician's Apology , første utgave, 1940. Gjengitt, CP Snow (forord), 1967. Gjengitt, Cambridge University Press, Cambridge, Storbritannia, 1992.
Hart, WD (red., 1996), The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, Oxford, Storbritannia.
Hendricks, Vincent F. og Hannes Leitgeb (red.). Philosophy of Mathematics: 5 Questions , New York: Automatic Press / VIP, 2006. [1]
Huntley, HE (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty , Dover Publications, New York, NY.
Irvine, A., red (2009), The Philosophy of Mathematics , in Handbook of the Philosophy of Science series, North-Holland Elsevier, Amsterdam.
Klein, Jacob (1968), Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra , Eva Brann (trans.), MIT Press, Cambridge, MA, 1968. Gjengitt, Dover Publications, Mineola, NY, 1992.
Kline, Morris (1959), Mathematics and the Physical World , Thomas Y. Crowell Company, New York, NY, 1959. Gjengitt, Dover Publications, Mineola, NY, 1981.
Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Oxford University Press, New York, NY.
König, Julius (Gyula) (1905), "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem", Mathematische Annalen 61, 156-160. Gjentrykt, "On the Foundations of Set Theory and the Continuum Problem", Stefan Bauer-Mengelberg (overs.), S. 145–149 i Jean van Heijenoort (red., 1967).
Körner, Stephan , The Philosophy of Mathematics, An Introduction . Harper Books, 1960.
Lakoff, George og Núñez, Rafael E. (2000), Where Mathematics Comes From : How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being , Basic Books, New York, NY.
Lakatos, Imre 1976 Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery (red.) J. Worrall & E. Zahar Cambridge University Press
Lakatos, Imre 1978 Mathematics, Science and Epistemology: Philosophical Papers Volume 2 (Eds) J.Worrall & G.Currie Cambridge University Press
Lakatos, Imre 1968 Problemer i filosofien om matematikk Nord -Holland
Leibniz, GW , Logical Papers (1666–1690), GHR Parkinson (red., Trans.), Oxford University Press, London, Storbritannia, 1966.
Maddy, Penelope (1997), Naturalism in Mathematics , Oxford University Press, Oxford, Storbritannia.
Maziarz, Edward A. og Greenwood, Thomas (1995), Greek Mathematical Philosophy , Barnes and Noble Books.
Mount, Matthew , klassisk gresk Mathematical Philosophy ,.
Parsons, Charles (2014). Matematikkfilosofi i det tjuende århundre: utvalgte essays . Cambridge, MA: Harvard University Press . ISBN 978-0-674-72806-6.
Peirce, Benjamin (1870), "Linear Associative Algebra", § 1. Se American Journal of Mathematics 4 (1881).
Peirce, CS , Collected Papers of Charles Sanders Peirce , bind. 1-6, Charles Hartshorne og Paul Weiss (red.), Bind. 7-8, Arthur W. Burks (red.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931-1935, 1958. Sitert som CP (bind). (Avsnitt).
Peirce, CS, forskjellige stykker om matematikk og logikk, mange lesbare online via lenker i Charles Sanders Peirce -bibliografien , spesielt under Books forfattet eller redigert av Peirce, utgitt i hans levetid og de to seksjonene som fulgte den.
Platon, "The Republic, Volume 1", Paul Shorey (trans.), S. 1–535 i Platon, bind 5 , Loeb Classical Library, William Heinemann, London, Storbritannia, 1930.
Platon, "The Republic, Volume 2", Paul Shorey (trans.), S. 1–521 i Platon, bind 6 , Loeb Classical Library, William Heinemann, London, Storbritannia, 1935.
Resnik, Michael D. Frege and the Philosophy of Mathematics , Cornell University, 1980.
Resnik, Michael (1997), Mathematics as a Science of Patterns , Clarendon Press, Oxford, Storbritannia, ISBN 978-0-19-825014-2
Robinson, Gilbert de B. (1959), The Foundations of Geometry , University of Toronto Press, Toronto, Canada, 1940, 1946, 1952, 4. utgave 1959.
Raymond, Eric S. (1993), "The Utility of Mathematics", Eprint .
Smullyan, Raymond M. (1993), Recursion Theory for Metamathematics , Oxford University Press, Oxford, Storbritannia.
Russell, Bertrand (1919), Introduction to Mathematical Philosophy , George Allen og Unwin, London, Storbritannia. Gjengitt på nytt, John G. Slater (intro.), Routledge, London, Storbritannia, 1993.
Shapiro, Stewart (2000), Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, Oxford, Storbritannia
Strohmeier, John og Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras , Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
Styazhkin, NI (1969), History of Mathematical Logic fra Leibniz til Peano , MIT Press, Cambridge, MA.
Tait, William W. (1986), "Truth and Proof: The Platonism of Mathematics", Synthese 69 (1986), 341-370. Gjentrykt, s. 142–167 i WD Hart (red., 1996).
Tarski, A. (1983), Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938 , JH Woodger (trans.), Oxford University Press, Oxford, UK, 1956. 2. utgave, John Corcoran (red.), Hackett Publishing, Indianapolis, IN, 1983.
Ulam, SM (1990), Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of SM Ulam and His Los Alamos Collaborators , AR Bednarek og Françoise Ulam (red.), University of California Press, Berkeley, CA.
van Heijenoort, Jean (red. 1967), From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA.
Wigner, Eugene (1960), " The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ", Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1): 1-14. Eprint
Wilder, Raymond L. Mathematics as a Cultural System , Pergamon, 1980.
Witzany, Guenther (2011), Kan matematikk forklare utviklingen av menneskelig språk? , Kommunikativ og integrativ biologi, 4 (5): 516-520.

Eksterne linker

Matematikkfilosofi ved PhilPapers
Matematikkfilosofi ved Indiana Philosophy Ontology Project
Horsten, Leon. "Matematikkfilosofi" . I Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
"Matematikkfilosofi" . Internet Encyclopedia of Philosophy .
The London Filosofi Study Guide tilbyr mange forslag på hva du skal lese, avhengig av studentens fortrolighet med emnet:
RB Jones 'filosofi om matematikk
Matematikkfilosofi ved Curlie
The Philosophy of Real Mathematics - Blogg av David Corfield
Kaina Stoicheia av CS Peirce

Languages

In other projects