Flykurve - Plane curve

I matematikk er en plankurve en kurve i et plan som enten kan være et euklidisk plan , et affint plan eller et projektivt plan . De hyppigst studerte tilfellene er glatte plankurver (inkludert stykkevis glatte plankurver) og algebraiske plankurver . Flykurver inkluderer også Jordan -kurvene (kurver som omslutter et område av flyet, men ikke trenger å være jevne) og grafene over kontinuerlige funksjoner .

Symbolsk representasjon

En plan kurve kan ofte bli representert i kartesiske koordinater ved en implisitt ligning av skjemaet for en bestemt funksjon f . Hvis denne ligningen eksplisitt kan løses for y eller x - det vil si omskrevet som eller for spesifikk funksjon g eller h - gir dette en alternativ, eksplisitt form for representasjonen. En flykurve kan også ofte bli representert i kartesiske koordinater ved en parametrisk ligning av skjemaet for spesifikke funksjoner og${\ displaystyle f (x, y) = 0}$${\ displaystyle y = g (x)}$${\ displaystyle x = h (y)}$${\ displaystyle (x, y) = (x (t), y (t))}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t).}$

Flykurver kan noen ganger også være representert i alternative koordinatsystemer , for eksempel polare koordinater som uttrykker plasseringen av hvert punkt i form av en vinkel og en avstand fra opprinnelsen.

Jevn plankurve

En glatt, plan kurve er en kurve i et ekte euklidske plan R ² og er en endimensjonal jevn manifold . Dette betyr at en jevn plankurve er en plan kurve som "lokalt ser ut som en linje ", i den forstand at den nær hvert punkt kan kartlegges til en linje med en jevn funksjon . På ekvivalent måte kan en jevn, plan kurve gis lokalt av en ligning f ( x , y ) = 0 , hvor f  : R ² → R er en jevn funksjon , og de partielle deriverte ∂ f / ∂ x og ∂ f / ∂ y er aldri begge 0 på et punkt i kurven.

Algebraisk plankurve

En algebraisk plankurve er en kurve i et affin eller projektivt plan gitt av en polynomligning f ( x , y ) = 0 (eller F ( x , y , z ) = 0 , hvor F er et homogent polynom , i det projektive tilfellet .)

Algebraiske kurver har blitt studert grundig siden 1700 -tallet.

Hver algebraisk plankurve har en grad, graden av definieringsligningen, som er lik, i tilfelle av et algebraisk lukket felt , antall kryss i kurven med en linje i generell posisjon . For eksempel har sirkelen gitt av ligningen x ² + y ² = 1 grad 2.

De ikke-singulær plane algebraisk kurver av grad 2 kalles kjeglesnitt , og deres projiserte komplettering er alle isomorfe til den projiserte fullføring av sirkelen x ² + y ² = 1 (som er den projiserte kurve av ligning x ² + y ² - z ² = 0 ). Plankurvene i grad 3 kalles kubiske plankurver og, hvis de er ikke-entall, elliptiske kurver . De av grad 4 kalles kvartalkurvekurver .

Eksempler

Mange eksempler på plane kurver er vist i Gallery of curves og oppført på List of curves . De algebraiske kurvene til grad 1 eller 2 er vist her (en algebraisk kurve på grad mindre enn 3 er alltid inneholdt i et plan):

Navn	Implisitt ligning	Parametrisk ligning	Som en funksjon	kurve
Rett linje	${\ displaystyle ax+av = c}$	${\ displaystyle (x, y) = (x_ {0}+\ alpha t, y_ {0}+\ beta t)}$	${\ displaystyle y = mx+c}$
Sirkel	${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = r^{2}}$	${\ displaystyle (x, y) = (r \ cos t, r \ sin t)}$
Parabel	${\ displaystyle yx^{2} = 0}$	${\ displaystyle (x, y) = (t, t^{2})}$	${\ displaystyle y = x^{2}}$
Ellipse	${\ displaystyle {\ frac {x^{2}} {a^{2}}}+{\ frac {y^{2}} {b^{2}}} = 1}$	${\ displaystyle (x, y) = (a \ cos t, b \ sin t)}$
Hyperbola	${\ displaystyle {\ frac {x^{2}} {a^{2}}}-{\ frac {y^{2}} {b^{2}}} = 1}$	${\ displaystyle (x, y) = (a \ cosh t, b \ sinh t)}$

Se også

• Differensial geometri
• Algebraisk geometri
• Osgood -kurve
• Plankurve montering
• Projektive varianter

Referanser

• Coolidge, JL (28. april 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), En håndbok om kurver og deres egenskaper , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), En katalog over spesialflykurver , Dover, ISBN 0-486-60288-5.

Eksterne linker

• Weisstein, Eric W. "Plankurve" . MathWorld .