Poincaré formodning - Poincaré conjecture

Poincaré formodning
P1S2all.jpg
En kompakt todimensjonal overflate uten grense er topologisk homeomorf til en 2-sfære hvis hver sløyfe kan strammes kontinuerlig til et punkt. Poincaré-antagelsen hevder at det samme gjelder for tredimensjonale mellomrom.
Felt Geometrisk topologi
Gisset av Henri Poincaré
Gisset inn 1904
Første bevis av Grigori Perelman
Første bevis i 2002
Underforstått av
Tilsvarende
Generaliseringer Generalisert Poincaré -formodning
Problemer med tusenårsprisen

I matematikk , den Poincaré formodning ( UK : / p w æ k AER eɪ / , US : / ˌ p w æ k ɑː r eɪ / , fransk:  [pwɛkaʁe] ) er en teorem om den karakteriseringen av 3-sfære , som er den hypersphere som avgrenser enheten ball i firedimensjonal.

Formodningen sier:

Hver enkelt tilkoblet , lukket 3- manifold er homeomorf i forhold til 3-sfæren .

En ekvivalent form for formodningen innebærer en grovere form for ekvivalens enn homeomorfisme som kalles homotopiekvivalens : hvis en 3-manifold er homotopi ekvivalent med 3-sfæren, er den nødvendigvis homeomorf for den.

Teoremet opprinnelig antatt av Henri Poincaré , angår et rom som lokalt ser ut som et vanlig tredimensjonalt rom, men er forbundet, begrenset i størrelse og mangler noen grense (en lukket 3-manifold ). Poincaré-antagelsen hevder at hvis et slikt rom har den ekstra egenskapen at hver sløyfe i rommet kan strammes kontinuerlig til et punkt, så er det nødvendigvis en tredimensjonal sfære. De analoge formodningene for alle høyere dimensjoner ble påvist før et bevis på den opprinnelige formodningen ble funnet.

Etter nesten et århundres innsats av matematikere, presenterte Grigori Perelman et bevis på formodningen i tre artikler som ble gjort tilgjengelige i 2002 og 2003 om arXiv . Beviset bygget på programmet til Richard S. Hamilton for å bruke Ricci -strømmen for å prøve å løse problemet. Hamilton introduserte senere en modifikasjon av standard Ricci -strømning, kalt Ricci -strømning med kirurgi for systematisk å avskjære enkeltregioner etter hvert som de utvikles, på en kontrollert måte, men klarte ikke å bevise at denne metoden "konvergerte" i tre dimensjoner. Perelman fullførte denne delen av beviset. Flere matematikerteam bekreftet at Perelmans bevis var riktig.

Poincaré -formodningen, før den ble bevist, var et av de viktigste åpne spørsmålene innen topologi . I 2000 ble den kåret til en av de syv Millennium Prize -problemene , som Clay Mathematics Institute tilbød en premie på 1 million dollar for den første riktige løsningen. Perelmans arbeid overlevde anmeldelse og ble bekreftet i 2006, noe som førte til at han ble tilbudt en Fields -medalje , som han avslo. Perelman ble tildelt tusenårsprisen 18. mars 2010. 1. juli 2010 takket han nei til prisen og sa at han mente at hans bidrag til å bevise Poincaré -formodningen ikke var større enn Hamiltons. 17. oktober 2021 er Poincaré -antagelsen det eneste løste årtusenproblemet.

22. desember 2006 hedret tidsskriftet Science Perelmans bevis på Poincaré -formodningen som det vitenskapelige " Årets gjennombrudd ", første gang denne æren ble tildelt innen matematikk.

Historie

Ingen av de to fargede løkkene på denne torusen kan strammes kontinuerlig til et punkt. En torus er ikke homeomorf for en sfære.

Poincarés spørsmål

Henri Poincaré jobbet med grunnlaget for topologi - det som senere skulle bli kalt kombinatorisk topologi og deretter algebraisk topologi . Han var spesielt interessert i hva topologiske egenskaper kjennetegnet en sfære .

Poincaré hevdet i 1900 at homologi , et verktøy han hadde utviklet basert på tidligere arbeid av Enrico Betti , var tilstrekkelig til å fortelle om en 3-manifold var en 3-sfære . Imidlertid beskrev han i et papir fra 1904 et moteksempel på denne påstanden, et rom som nå kalles Poincaré -homologisfæren . Poincaré -sfæren var det første eksemplet på en homologisfære , en mangfold som hadde samme homologi som en sfære, som mange andre siden har blitt konstruert. For å fastslå at Poincaré-sfæren var forskjellig fra 3-sfæren, introduserte Poincaré en ny topologisk invariant , den grunnleggende gruppen , og viste at Poincaré-sfæren hadde en grunnleggende gruppe av orden 120, mens 3-sfæren hadde en triviell grunnleggende gruppe. På denne måten kunne han konkludere med at disse to mellomrommene faktisk var forskjellige.

I samme papir lurte Poincaré på om en 3-manifold med homologien til en 3-sfære og også triviell grunnleggende gruppe måtte være en 3-sfære. Poincarés nye tilstand - dvs. "triviell grunnleggende gruppe" - kan omarbeides som "hver sløyfe kan krympes til et punkt."

Den opprinnelige formuleringen var som følger:

Vurder en kompakt tredimensjonal manifold V uten grense. Er det mulig at den grunnleggende gruppen av V kan være trivielle, selv om V ikke er homeomorf i forhold til den tredimensjonale sfæren?

Poincaré erklærte aldri om han trodde at denne tilleggstilstanden ville prege 3-sfæren, men ikke desto mindre er uttalelsen om at den gjør det kjent som Poincaré-formodningen. Her er standardformen for formodningen:

Hver enkelt tilkoblet , lukket 3- manifold er homeomorf i forhold til 3-sfæren.

Vær oppmerksom på at "lukket" her betyr, som vanlig i dette området, betingelsen for å være kompakt når det gjelder sett topologi, og også uten grense (3-dimensjonalt euklidisk rom er et eksempel på en enkelt forbundet 3-manifold som ikke er homomorf til 3 -sfære; men den er ikke kompakt og derfor ikke et moteksempel).

Løsninger

Dette problemet så ut til å ligge i dvale til JHC Whitehead gjenopplivet interessen for formodningen, da han på 1930 -tallet først hevdet et bevis og deretter trakk det tilbake. I prosessen oppdaget han noen eksempler på ganske enkelt tilkoblede (faktisk kontraktible, dvs. homotopisk ekvivalente til et punkt) ikke-kompakte 3-manifolder som ikke er homomorfe til , hvis prototype nå kalles Whitehead-manifolden .

På 1950- og 1960 -tallet forsøkte andre matematikere bevis på formodningen bare for å oppdage at de inneholdt feil. Innflytelsesrike matematikere som Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise og Christos Papakyriakopoulos forsøkte å bevise formodningen. I 1958 viste Bing seg en svak versjon av Poincaré-formodningen: Hvis hver enkel lukket kurve av en kompakt 3-manifold er inneholdt i en 3-ball, så er manifolden homeomorf i forhold til 3-sfæren. Bing beskrev også noen av fallgruvene i forsøket på å bevise Poincaré -formodningen.

Włodzimierz Jakobsche viste i 1978 at hvis formodningen Bing - Borsuk er sann i dimensjon 3, må Poincaré -formodningen også være sann.

Over tid fikk formodningen ry for å være spesielt vanskelig å takle. John Milnor kommenterte at noen ganger kan feilene i falske bevis være "ganske subtile og vanskelige å oppdage." Arbeid med formodningen forbedret forståelsen av 3-manifolder. Eksperter på feltet var ofte motvillige til å kunngjøre bevis, og hadde en tendens til å se på enhver slik kunngjøring med skepsis. På 1980- og 1990-tallet ble det vitne til noen godt publiserte feilaktige bevis (som faktisk ikke ble publisert i fagfellevurdert form).

En beskrivelse av forsøk på å bevise denne formodningen finnes i den ikke-tekniske boken Poincaré's Prize av George Szpiro .

Dimensjoner

Hovedartikkel: Generalisert Poincaré -formodning

Den klassifisering av lukkede flater gir et bekreftende svar på den analoge spørsmålet i to dimensjoner. For dimensjoner større enn tre kan man stille den generaliserte Poincaré -formodningen: er en homotopi n -sfære homeomorf i forhold til n -kulen? En sterkere antagelse er nødvendig; i dimensjoner fire og høyere er det enkelt tilkoblede, lukkede manifolder som ikke er homotopiske som tilsvarer en n -sfære.

Historisk sett, mens formodningen i dimensjon tre virket troverdig, ble den generaliserte formodningen antatt å være falsk. I 1961 sjokkerte Stephen Smale matematikere ved å bevise den generaliserte Poincaré-formodningen for dimensjoner større enn fire og utvidet teknikkene hans for å bevise det grunnleggende h-cobordism-teoremet . I 1982 beviste Michael Freedman Poincaré -formodningen i fire dimensjoner. Freedmans arbeid åpnet muligheten for at det er en jevn fire-mangfoldig homeomorf til firesfæren som ikke er diffeomorf til firesfæren. Denne såkalte glatte Poincaré-formodningen, i dimensjon fire, forblir åpen og antas å være veldig vanskelig. Milnor 's eksotiske sfærer viser at den glatte Poincaré formodning er falsk i dimensjon syv, f.eks.

Disse tidligere suksessene i høyere dimensjoner forlot saken med tre dimensjoner i limbo. Poincaré -formodningen var i hovedsak sant i både dimensjon fire og alle høyere dimensjoner av vesentlig forskjellige grunner. I dimensjon tre hadde formodningen et usikkert rykte inntil formålet med geometrisering satte den inn i et rammeverk som styrer alle 3-manifolder. John Morgan skrev:

Det er mitt syn at før Thurstons arbeid med hyperbolsk 3-manifolder og. . . Det var ingen enighet blant ekspertene om hvorvidt Poincaré -antagelsen var sann eller usann. Etter Thurstons arbeid, til tross for at det ikke hadde noen direkte innvirkning på Poincaré -formodningen, utviklet det seg en enighet om at Poincaré -formodningen (og Geometrization -formodningen) var sann.

Hamiltons program og løsning

Flere stadier av Ricci flyter på en todimensjonal manifold

Hamiltons program ble startet i hans papir fra 1982 der han introduserte Ricci -strømmen på en manifold og viste hvordan du kan bruke den til å bevise noen spesielle tilfeller av Poincaré -formodningen. I årene etter forlenget han dette arbeidet, men klarte ikke å bevise formodningen. Den faktiske løsningen ble ikke funnet før Grigori Perelman publiserte sine artikler.

På slutten av 2002 og 2003 la Perelman ut tre artikler om arXiv . I disse papirene skisserte han et bevis på Poincaré -formodningen og en mer generell formodning, Thurstons geometrization -formodning , og fullførte Ricci -strømningsprogrammet som ble skissert tidligere av Richard S. Hamilton .

Fra mai til juli 2006 presenterte flere grupper artikler som fylte ut detaljene i Perelmans bevis på Poincaré -formodningen, som følger:

  • Bruce Kleiner og John W. Lott la ut et papir om arXiv i mai 2006 som fylte ut detaljene i Perelmans bevis på geometrization -formodningen, etter delversjoner som hadde vært offentlig tilgjengelig siden 2003. Manuskriptet deres ble publisert i tidsskriftet "Geometry and Topologi "i 2008. Et lite antall korreksjoner ble gjort i 2011 og 2013; for eksempel gjorde den første versjonen av deres publiserte papir bruk av en feil versjon av Hamiltons kompakthetsteorem for Ricci -flyt.
  • Huai-Dong Cao og Xi-Ping Zhu publiserte en artikkel i juni 2006-utgaven av Asian Journal of Mathematics med en oversikt over det komplette beviset på Poincaré- og geometrization-formodninger. Det åpnet avsnittet i avisen deres

I denne artikkelen skal vi presentere Hamilton-Perelman-teorien om Ricci-flyt. Basert på den, skal vi gi den første skriftlige redegjørelsen for et komplett bevis på Poincaré -formodningen og geometrization -formodningen om Thurston. Selv om det komplette arbeidet er en akkumulert innsats fra mange geometriske analytikere, er de viktigste bidragsyterne utvilsomt Hamilton og Perelman.

Noen observatører tolket Cao og Zhu som å ta æren for Perelmans arbeid. De la senere ut en revidert versjon, med ny ordlyd, på arXiv. I tillegg var en side med utstillingen deres i det vesentlige identisk med en side i et av Kleiner og Lotts tidlige offentlig tilgjengelige utkast; dette ble også endret i den reviderte versjonen, sammen med en unnskyldning fra tidsskriftets redaksjon.
  • John Morgan og Gang Tian la ut et papir om arXiv i juli 2006 som ga et detaljert bevis på nettopp Poincaré -formodningen (noe som er noe lettere enn full geometrization -formodning) og utvidet dette til en bok. I 2015 påpekte Abbas Bahri at side 441-445 i Morgan og Tians fremstilling var feil. Feilen ble senere rettet av Morgan og Tian.

Alle tre gruppene fant at hullene i Perelmans aviser var små og kunne fylles ut ved hjelp av hans egne teknikker.

22. august 2006 tildelte ICM Perelman Fields -medaljen for sitt arbeid med formodningen, men Perelman nektet medaljen. John Morgan talte på ICM om Poincaré -formodningen 24. august 2006 og erklærte at "i 2003 løste Perelman Poincaré -formodningen."

I desember 2006 hedret tidsskriftet Science beviset på Poincaré -formodning som Årets gjennombrudd og presenterte det på forsiden.

Ricci flyter med kirurgi

Hovedartikkel: Ricci flow

Hamiltons program for å bevise Poincaré-formodningen innebærer først å sette en Riemannian-beregning på den ukjente, enkelt tilkoblede, lukkede 3-manifolden. Grunntanken er å prøve å "forbedre" denne metrikken; for eksempel, hvis metriken kan forbedres nok til at den har konstant positiv krumning, må den ifølge klassiske resultater i Riemannian geometri være 3-sfæren. Hamilton foreskrev " Ricci -strømningsligningene" for å forbedre metriket;

hvor g er den metriske og R dens Ricci -krumning, og man håper at etter hvert som t øker blir manifolden lettere å forstå. Ricci flow utvider den negative krumningsdelen av manifolden og trekker sammen den positive krumningsdelen.

I noen tilfeller var Hamilton i stand til å vise at dette fungerer; for eksempel, hans opprinnelige gjennombrudd var å vise at hvis Riemannian -manifolden har positiv Ricci -krumning overalt, kan prosedyren ovenfor bare følges for et begrenset intervall med parameterverdier, med og mer signifikant at det er tall slik som , de Riemanniske beregningene konvergerer jevnt til en med konstant positiv krumning. I følge klassisk Riemannian-geometri er den eneste enkelt tilkoblede kompakte manifolden som kan støtte en Riemannian-metrik med konstant positiv krumning, sfæren. Så faktisk viste Hamilton et spesielt tilfelle av Poincaré-formodningen: Hvis en kompakt, enkelt tilkoblet 3-manifold støtter en Riemannian-måling med positiv Ricci-krumning, må den være diffeomorf for 3-sfæren.

Hvis man i stedet bare har en vilkårlig Riemannian -måling, må Ricci -strømningsligningene føre til mer kompliserte singulariteter. Perelmans viktigste prestasjon var å vise at hvis man tar et visst perspektiv, hvis de dukker opp i en endelig tid, kan disse singularitetene bare se ut som krympende kuler eller sylindere. Med en kvantitativ forståelse av dette fenomenet, kutter han manifolden langs singularitetene, deler manifolden i flere stykker, og fortsetter deretter med Ricci -strømmen på hver av disse bitene. Denne prosedyren er kjent som Ricci flow med kirurgi.

Perelman kom med et eget argument basert på kurveforkortende strømning for å vise at på en enkelt tilkoblet kompakt 3-manifold, blir enhver løsning av Ricci-strømmen med kirurgi utryddet i løpet av endelig tid. Et alternativt argument, basert på min-max-teorien om minimale overflater og geometrisk målteori, ble levert av Tobias Colding og William Minicozzi . Derfor, i den enkelt tilkoblede konteksten, er de ovennevnte fenomenene ovenfor i Ricci flyt med kirurgi alt som er relevant. Faktisk er dette til og med sant hvis den grunnleggende gruppen er et fritt produkt av begrensede grupper og sykliske grupper.

Denne tilstanden for den grunnleggende gruppen viser seg å være nødvendig og tilstrekkelig for endelig tidsutryddelse. Det tilsvarer å si at den primære dekomponeringen av manifolden ikke har asykliske komponenter, og viser seg å være ekvivalent med betingelsen om at alle geometriske stykker av manifolden har geometrier basert på de to Thurston -geometriene S 2 × R og S 3 . I den sammenhengen at man ikke antar noen som helst grunnleggende gruppe, foretok Perelman en ytterligere teknisk undersøkelse av grenrommet for manifolden i uendelig store tider, og på den måten beviste Thurstons geometrization-formodning: til tider har manifolden en tykk- tynn dekomponering , hvis tykke brikke har en hyperbolsk struktur, og hvis tynne stykke er en grafmanifold . På grunn av Perelmans og Colding og Minicozzis resultater er disse ytterligere resultatene imidlertid unødvendige for å bevise Poincaré -formodningen.

Løsning

Grigori Perelman

Den 13. november 2002 la den russiske matematikeren Grigori Perelman ut den første av en serie på tre eprints på arXiv med en løsning på Poincaré -formodningen. Perelmans bevis bruker en modifisert versjon av et Ricci flytprogram utviklet av Richard S. Hamilton . I august 2006 ble Perelman tildelt, men avslo, Fields -medaljen (verdt $ 15 000 CAD) for beviset. 18. mars 2010 tildelte Clay Mathematics Institute Perelman Millennium -prisen på 1 million dollar som anerkjennelse for hans bevis. Perelman avviste også den prisen.

Perelman beviste formodningen ved å deformere manifolden ved hjelp av Ricci -strømmen (som oppfører seg på samme måte som varmeligningen som beskriver diffusjon av varme gjennom et objekt). Ricci -strømmen deformerer vanligvis manifolden mot en rundere form, bortsett fra i noen tilfeller der den strekker manifolden fra seg selv mot det som er kjent som singulariteter . Perelman og Hamilton hugger deretter manifolden ved singularitetene (en prosess som kalles "kirurgi") og får de separate brikkene til å bli balllignende former. Store trinn i beviset innebærer å vise hvordan manifoldene oppfører seg når de deformeres av Ricci -strømmen, undersøke hva slags singulariteter som utvikler seg, avgjøre om denne operasjonsprosessen kan fullføres og fastslå at operasjonen ikke trenger gjentas uendelig mange ganger.

Det første trinnet er å deformere manifolden ved hjelp av Ricci -strømmen . Ricci -strømmen ble definert av Richard S. Hamilton som en måte å deformere manifolder. Formelen for Ricci -strømmen er en etterligning av varme -ligningen som beskriver måten varme strømmer i et fast stoff. I likhet med varmestrømmen har Ricci -strømmen en tendens til ensartet oppførsel. I motsetning til varmestrømmen kan Ricci -strømmen løpe inn i særegenheter og slutte å fungere. En singularitet i en manifold er et sted hvor den ikke er differensierbar: som et hjørne eller et knipe eller en klemming. Ricci -strømmen ble bare definert for glatte differensierbare manifolder. Hamilton brukte Ricci -strømmen for å bevise at noen kompakte manifolder var diffeomorfe for sfærer, og han håpet å bruke den for å bevise Poincaré -formodningen. Han trengte å forstå særegenhetene.

Hamilton laget en liste over mulige singulariteter som kan danne seg, men han var bekymret for at noen singulariteter kan føre til vanskeligheter. Han ønsket å kutte manifolden ved singularitetene og lime inn caps, og deretter kjøre Ricci -strømmen igjen, så han trengte å forstå singularitetene og vise at visse typer singulariteter ikke forekommer. Perelman oppdaget at singularitetene alle var veldig enkle: i hovedsak tredimensjonale sylindere laget av sfærer strukket ut langs en linje. En vanlig sylinder lages ved å ta sirkler strukket langs en linje. Perelman beviste dette ved å bruke noe som kalles "Redusert volum" som er nært knyttet til en egenverdi av en bestemt elliptisk ligning .

Noen ganger reduseres en ellers komplisert operasjon til multiplikasjon med en skalar (et tall). Slike tall kalles egenverdier for den operasjonen. Eigenverdier er nært knyttet til vibrasjonsfrekvenser og brukes til å analysere et kjent problem: kan du høre formen på en tromme? I hovedsak er en egenverdi som en tone som spilles av manifolden. Perelman beviste at dette notatet går opp ettersom manifolden deformeres av Ricci -strømmen. Dette hjalp ham med å eliminere noen av de mer plagsomme singularitetene som hadde bekymret Hamilton, spesielt sigar soliton -løsningen, som så ut som en tråd som stakk ut av en manifold uten noe på den andre siden. I hovedsak viste Perelman at alle trådene som dannes kan klippes og lukkes og ingen stikker ut bare på den ene siden.

Etter å ha fullført beviset, tar Perelman hvilken som helst kompakt, enkelt tilkoblet, tredimensjonal manifold uten grenser og begynner å kjøre Ricci-strømmen. Dette deformerer manifolden til runde biter med tråder som løper mellom dem. Han klipper trådene og fortsetter å deformere manifolden til han til slutt sitter igjen med en samling runde tredimensjonale kuler. Deretter gjenoppbygger han den originale manifolden ved å koble sfærene sammen med tredimensjonale sylindere, omdanner dem til en rund form og ser at til tross for den første forvirringen var manifolden faktisk homeomorf til en sfære.

Et umiddelbart spørsmål var hvordan man kunne være sikker på at uendelig mange kutt ikke var nødvendig. Dette ble hevet på grunn av at kuttingen potensielt utviklet seg for alltid. Perelman beviste at dette ikke kan skje ved å bruke minimale overflater på manifolden. En minimal overflate er egentlig en såpefilm. Hamilton hadde vist at arealet til en minimal overflate avtar ettersom manifolden gjennomgår Ricci -strømning. Perelman bekreftet hva som skjedde med området til den minimale overflaten da manifolden ble skåret. Han beviste at området til slutt er så lite at et snitt etter området er at det lille bare kan kutte av tredimensjonale kuler og ikke mer kompliserte stykker. Dette beskrives som en kamp med en Hydra av Sormani i Szpiros bok som er sitert nedenfor. Denne siste delen av beviset dukket opp i Perelmans tredje og siste papir om emnet.

Referanser

Videre lesning

Eksterne linker