Polariseringstetthet - Polarization density

Artikler om
Elektromagnetisme
Elektrisitet Magnetisme Historie Lærebøker
Elektrostatikk Elektrisk ladning Coulombs lov Dirigent Ladetetthet Permittivitet Elektrisk dipolmoment Elektrisk felt Elektrisk potensial Elektrisk strøm  / potensiell energi Støt fra statisk elektrisitet Gauss lov Induksjon Isolering Polarisasjonstetthet Statisk elektrisitet Triboelektrisitet
Magnetostatika Ampères lov Biot – Savart lov Gauss lov for magnetisme Magnetfelt Magnetisk strømning Magnetisk dipolmoment Magnetisk permeabilitet Magnetisk skalarpotensial Magnetisering Magnetmotorkraft Magnetisk vektorpotensial Høyrehåndsregel
Elektrodynamikk Lorentz tvangslov Elektromagnetisk induksjon Faradays lov Lenzs lov Forskyvningsstrøm Maxwells ligninger Elektromagnetisk felt Elektromagnetisk puls Elektromagnetisk stråling Maxwell tensor Poynting vektor Liénard – Wiechert potensial Jefimenkos ligninger virvelstrøm London-ligninger Matematiske beskrivelser av det elektromagnetiske feltet
Elektrisk nettverk Vekselstrøm Kapasitans Likestrøm Elektrisk strøm Elektrolyse Nåværende tetthet Joule oppvarming Elektromotorisk kraft Impedans Induktans Ohms lov Parallell krets Motstand Resonanshulrom Seriekrets Spenning Bølgeledere
Kovariant formulering Elektromagnetisk tensor ( spenningsenergitensor ) Firestrøm Elektromagnetisk firepotensial
Forskere Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sanger Tesla Volta Weber
v t e

I klassisk elektromagnetisme er polarisasjonstetthet (eller elektrisk polarisering , eller bare polarisering ) vektorfeltet som uttrykker tettheten av permanente eller induserte elektriske dipolmomenter i et dielektrisk materiale. Når et dielektrikum plasseres i et eksternt elektrisk felt , får dets molekyler elektrisk dipolmoment, og dielektriket sies å være polarisert. Det elektriske dipolmomentet indusert per volumsenhet av det dielektriske materialet kalles den elektriske polarisasjonen av dielektrikumet.

Polarisasjonstetthet beskriver også hvordan et materiale reagerer på et påført elektrisk felt, så vel som måten materialet endrer det elektriske feltet på, og kan brukes til å beregne kreftene som følger av disse interaksjonene. Det kan sammenlignes med magnetisering , som er mål på den tilsvarende responsen til et materiale på et magnetfelt i magnetisme . Den SI måleenheten er coulomb per kvadratmeter, og polarisering tetthet er representert ved en vektor P .

Definisjon

Et eksternt elektrisk felt som påføres et dielektrisk materiale, forårsaker en forskyvning av bundne ladede elementer. Dette er elementer som er bundet til molekyler og ikke er fri til å bevege seg rundt i materialet. Positive ladede elementer forskyves i retning av feltet, og negative ladede elementer forskyves motsatt retning av feltet. Molekylene kan forbli nøytrale, men likevel dannes et elektrisk dipolmoment.

For et bestemt volumelement i materialet, som bærer et dipolmoment , definerer vi polarisasjonstettheten P : ${\ displaystyle \ Delta V}$${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta V}}}$

Generelt endres dipolmomentet fra punkt til punkt innenfor dielektrikumet. Derfor er polarisasjonstettheten P for et dielektrikum inne i et uendelig stort volum d V med et uendelig minimum dipolmoment d p : ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} V} \ qquad (1)}$

Nettoladningen som vises som et resultat av polarisering kalles bundet ladning og betegnes . ${\ displaystyle Q_ {b}}$

Denne definisjonen av polarisasjonstetthet som et "dipolmoment per volumsenhet" er allment akseptert, selv om det i noen tilfeller kan føre til uklarheter og paradokser.

Andre uttrykk

La et volum d V isoleres inne i dielektriket. På grunn av polarisering vil den positive bundet ladning forskyves en avstand i forhold til den negative bundet ladning , noe som gir opphav til et dipolmoment . Substitusjon av dette uttrykket i (1) gir ${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbf {d}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathrm {d} q_ {b} \ mathbf {d}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ mathrm {d} q_ {b} \ over \ mathrm {d} V} \ mathbf {d}}$

Siden ladningen avgrenset i volumet d V er lik ligningen for P blir: ${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b}}$${\ displaystyle \ rho _ {b} \ mathrm {d} V}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ rho _ {b} \ mathbf {d} \ qquad (2)}$

hvor er tettheten til den bundne ladningen i det aktuelle volumet. Det er klart fra definisjonen ovenfor at dipolene er generelt nøytrale, som balanseres av en like tetthet av den motsatte ladningen innenfor volumet. Kostnader som ikke er balansert, er en del av gratis kostnaden som er diskutert nedenfor. ${\ displaystyle \ rho _ {b}}$${\ displaystyle \ rho _ {b}}$

Gauss lov for feltet P

For et gitt volum V innesluttet av en overflate S , er den bundne ladningen inni den lik strømmen av P til S tatt med negativt tegn, eller ${\ displaystyle Q_ {b}}$

${\ displaystyle -Q_ {b} =}$ ${\ displaystyle {\ scriptstyle S}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ qquad (3)}$

Bevis:

La et overflateareal S omslutte deler av et dielektrikum. Ved polarisering vil negative og positive bundet ladninger bli forskjøvet. La d 1 og d 2 være avstandene til henholdsvis de bundne ladningene og fra planet dannet av elementet i område d A etter polarisasjonen. Og la d V 1 og d V 2 være volumene vedlagte under og over området d A . ${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+}}$ Ovenfor: et elementvolum d V = d V 1 + d V 2 (avgrenset av elementet i område d A ) så lite at dipolen som er innesluttet av det, kan tenkes som den som produseres av to elementære motsatte ladninger. Nedenfor en plan visning (klikk på bildet for å forstørre). Det følger at den negative bundne ladning beveget fra den ytre del av overflate d A innover, mens den positive bundne ladning beveges fra den indre del av overflate utover. ${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-} = \ rho _ {b} ^ {-} \ \ mathrm {d} V_ {1} = \ rho _ {b} ^ {-} d_ { 1} \ \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} = \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V_ {2} = \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} EN}$ I henhold til loven om bevaring av ladning er den totale bundne ladningen som er igjen inne i volumet etter polarisering: ${\ displaystyle \ mathrm {d} Q_ {b}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} V}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} & = \ mathrm {d} q _ {\ text {in}} - \ mathrm {d} q _ {\ text {out}} \\ & = \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-} - \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+} \\ & = \ rho _ {b} ^ {-} d_ {1} \ \ mathrm { d} A- \ rho _ {b} d_ {2} \ \ mathrm {d} A \ end {align}}}$ Siden ${\ displaystyle \ rho _ {b} ^ {-} = - \ rho _ {b}}$ og (se bildet til høyre) ${\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} & = (da) \ cos (\ theta) \\ d_ {2} & = a \ cos (\ theta) \ end {align}}}$ Ovennevnte ligning blir ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} & = - \ rho _ {b} (da) \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A- \ rho _ {b} a \ cos (\ theta) \ \ mathrm {d} A \\ & = - \ rho _ {b} d \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \ end {aligned}}}$ Av (2) følger det at , så vi får: ${\ displaystyle \ rho _ {b} d = P}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} Q_ {b} & = - P \ \ mathrm {d} A \ cos (\ theta) \\ - \ mathrm {d} Q_ {b} & = \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} \ end {align}}}$ Og ved å integrere denne ligningen over hele den lukkede overflaten S, finner vi det ${\ displaystyle -Q_ {b} =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$ som fullfører beviset.

Differensiell form

Ved divergenssatsen kan Gauss lov for feltet P angis i differensiell form som:

${\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$ ,

hvor ∇ · P er divergensen til feltet P gjennom en gitt overflate som inneholder den bundne ladetettheten . ${\ displaystyle \ rho _ {b}}$

Bevis:

Ved divergensetningen har vi det ${\ displaystyle -Q_ {b} = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V}$ , for volum V som inneholder bundet ladning . Og siden integralen av den bundne ladetettheten er tatt over hele volumet V som er omsluttet av S , gir ligningen ovenfor ${\ displaystyle Q_ {b}}$${\ displaystyle Q_ {b}}$${\ displaystyle \ rho _ {b}}$ ${\ displaystyle - \ iiint \ limits _ {V} \ rho _ {b} \ \ mathrm {d} V = \ iiint \ limits _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ \ mathrm {d} V }$ , som er sant hvis og bare hvis ${\ displaystyle - \ rho _ {b} = \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$

Forholdet mellom feltene P og E.

Homogene, isotrope dielektrikker

Feltlinjer av D- ningsanordningene på spillefeltet i en dielektrisk kule med større følsomhet enn sine omgivelser som er lagt inn i et på forhånd ensartet felt. De feltlinjer i E ningsanordningene på spillefeltet ikke er vist: Dette punkt i de samme retninger, men mange feltlinjer som starter og ender på overflaten av kulen, hvor det er bundet ladning. Som et resultat er tettheten av E-feltlinjer lavere inne i sfæren enn utenfor, noe som tilsvarer det faktum at E-feltet er svakere inne i sfæren enn utenfor.

I et homogent , lineært, ikke-dispersivt og isotropisk dielektrisk medium, er polarisasjonen justert med og proporsjonal med det elektriske feltet E :

${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ chi \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E},}$

hvor ε ₀ er den elektriske konstanten , og χ er den elektriske følsomheten til mediet. Merk at i dette tilfellet forenkles χ til en skalar, men mer generelt er det en tensor . Dette er et spesielt tilfelle på grunn av dielektrikumets isotropi .

Tatt i betraktning dette forholdet mellom P og E blir ligning (3):

${\ displaystyle -Q_ {b} = \ chi \ varepsilon _ {0} \}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$

Uttrykket i integralet er Gauss 'lov for feltet E som gir den totale kostnad, både fri og bundet , i volumet v innelukket av S . Derfor, ${\ displaystyle (Q_ {f})}$${\ displaystyle (Q_ {b})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} -Q_ {b} & = \ chi Q _ {\ text {total}} \\ & = \ chi \ left (Q_ {f} + Q_ {b} \ right) \\ [ 3pt] \ Rightarrow Q_ {b} & = - {\ frac {\ chi} {1+ \ chi}} Q_ {f}, \ end {align}}}$

som kan skrives i form av gratis kostnad og bundet ladetetthet (ved å vurdere forholdet mellom ladningene, deres volumladetetthet og det gitte volumet):

${\ displaystyle \ rho _ {b} = - {\ frac {\ chi} {1+ \ chi}} \ rho _ {f}}$

Siden det i en homogen dielektrikum ikke kan være noen gratis ladning , følger det av den siste ligningen at det ikke er noen bulkbundet ladning i materialet . Og siden gratis ladninger kan komme så nær dielektrikumet som den øverste overflaten, følger det at polarisering bare gir opphav til overflatebundet ladetetthet (betegnet for å unngå tvetydighet med volumbundet ladetetthet ). ${\ displaystyle (\ rho _ {f} = 0)}$${\ displaystyle (\ rho _ {b} = 0)}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$${\ displaystyle \ rho _ {b}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$ kan være relatert til P ved følgende ligning:

${\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf {P}}$

hvor er den normale vektoren til overflaten S som peker utover. (se ladetetthet for det strenge beviset) ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}}}$

Anisotrope dielektrikum

Klassen av dielektrikum der polarisasjonstettheten og det elektriske feltet ikke er i samme retning er kjent som anisotrope materialer.

I slike materialer, i det te komponent av den polariseringen knyttet til j th komponent i det elektriske felt i henhold til:

${\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {j} \ epsilon _ {0} \ chi _ {ij} E_ {j},}$

Denne relasjonen viser for eksempel at et materiale kan polarisere i x-retningen ved å bruke et felt i z-retningen, og så videre. Tilfellet med et anisotropisk dielektrisk medium er beskrevet av feltet krystalloptikk .

Som i de fleste elektromagnetisme, handler dette forholdet om makroskopiske gjennomsnitt av feltene og dipoltettheten, slik at man har en kontinuerlig tilnærming av de dielektriske materialene som neglisjerer atomskalaoppførsel. Den polarisasjonsevne av de enkelte partikler i mediet kan være relatert til den gjennomsnittlige følsomhet og polarisering tetthet av Clausius-Mossotti forhold .

Generelt er følsomheten en funksjon av frekvensen ω til det påførte feltet. Når feltet er en vilkårlig funksjon av tiden t , er polarisasjonen en konvolusjon av Fourier-transformasjonen av χ ( ω ) med E ( t ). Dette gjenspeiler det faktum at dipolene i materialet ikke kan reagere øyeblikkelig på det anvendte feltet, og kausalitetshensyn fører til forholdene Kramers – Kronig .

Hvis polarisasjonen P ikke er lineært proporsjonal med det elektriske feltet E , betegnes mediet ikke-lineært og er beskrevet av feltet for ikke-lineær optikk . Til en god tilnærming (for tilstrekkelig svake felt, forutsatt at det ikke er permanente dipolmomenter), er P vanligvis gitt av en Taylor-serie i E, hvis koeffisienter er de ikke-lineære følsomhetene:

${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {\ epsilon _ {0}}} = \ sum _ {j} \ chi _ {ij} ^ {(1)} E_ {j} + \ sum _ {jk } \ chi _ {ijk} ^ {(2)} E_ {j} E_ {k} + \ sum _ {jk \ ell} \ chi _ {ijk \ ell} ^ {(3)} E_ {j} E_ { k} E _ {\ ell} + \ cdots}$

hvor er den lineære følsomheten, er den andre ordens følsomhet (som beskriver fenomener som Pockels-effekten , optisk retting og andreharmoniske generasjon ), og er den tredje ordens følsomhet (som beskriver tredje ordens effekter som Kerr-effekten og elektrisk feltindusert optisk retting). ${\ displaystyle \ chi ^ {(1)}}$${\ displaystyle \ chi ^ {(2)}}$${\ displaystyle \ chi ^ {(3)}}$

I ferroelektriske materialer er det ikke en-til-en korrespondanse mellom P og E i det hele tatt på grunn av hysterese .

Polarisasjonstetthet i Maxwells ligninger

Oppførselen til elektriske felt ( E , D ), magnetiske felt ( B , H ), ladetetthet (ρ) og strømtetthet ( J ) er beskrevet av Maxwells ligninger i materie .

Forholdet mellom E, D og P

Når det gjelder volumladetettheter, er den gratis ladetettheten gitt av ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$

${\ displaystyle \ rho _ {f} = \ rho - \ rho _ {b}}$

hvor er den totale ladetettheten. Ved å vurdere forholdet til hver av vilkårene i ovenstående ligning til divergensen mellom deres tilsvarende felt (av det elektriske forskyvningsfeltet D , E og P i den rekkefølgen), kan dette skrives som: ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}.}$

Dette er kjent som den konstituerende ligningen for elektriske felt. Her er ε ₀ den elektriske permittiviteten til tomt rom. I denne ligningen er P det (negative av) feltet indusert i materialet når de "faste" ladningene, dipolene, skifter som svar på det totale underliggende feltet E , mens D er feltet på grunn av de gjenværende ladningene, kjent som "gratis" kostnader.

Generelt varierer P som en funksjon av E, avhengig av mediet, som beskrevet senere i artikkelen. I mange problemer er det mer praktisk å jobbe med D og de gratis kostnadene enn med E og den totale ladningen.

Derfor kan et polarisert medium, ved hjelp av Green's Theorem, deles i fire komponenter.

• Den bundne volumetriske ladetettheten: ${\ displaystyle \ rho _ {b} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$
• Den bundet overflateladningstetthet: ${\ displaystyle \ sigma _ {b} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf {P}}$
• Den gratis volumetriske ladetettheten: ${\ displaystyle \ rho _ {f} = \ nabla \ cdot \ mathbf {D}}$
• Den gratis overflateladingstettheten ${\ displaystyle \ sigma _ {f} = \ mathbf {\ hat {n}} _ {\ text {out}} \ cdot \ mathbf {D}}$

Tidsvarierende polarisasjonstetthet

Når polarisasjonen tetthet forandrer seg med tiden, skaper den tidsavhengige bundet-ladningstetthet en polarisasjon strømtetthet av

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {p} = {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}}}$

slik at den totale strømtettheten som kommer inn i Maxwells ligninger er gitt av

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {f} + \ nabla \ times \ mathbf {M} + {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}}}$

hvor J _f er den frie ladestrømtetthet, og det andre ledd er den magnetiseringsstrømmen tetthet (også kalt den bundne strømtetthet ), et bidrag fra atomstilte magnetiske dipoler (når de er til stede).

Polarisasjons tvetydighet

Eksempel på hvordan polarisasjonstettheten i en bulkkrystall er tvetydig. (a) En solid krystall. (b) Ved å parre de positive og negative ladningene på en bestemt måte, ser det ut til at krystallet har en polarisering oppover. (c) Ved å sammenkoble ladningene annerledes ser det ut til at krystallet har en nedadgående polarisering.

Polarisasjonen inne i et fast stoff er generelt ikke unikt definert: Det avhenger av hvilke elektroner som er parret med hvilke kjerner. (Se figur.) Med andre ord, to personer, Alice og Bob, som ser på det samme faste stoffet, kan beregne forskjellige verdier av P , og ingen av dem vil ta feil. Alice og Bob vil være enige om det mikroskopiske elektriske feltet E i det faste stoffet, men er uenige om verdien av forskyvningsfeltet . De vil begge finne at Gauss lov er riktig ( ), men de vil være uenige om verdien av på overflatene til krystallet. For eksempel, hvis Alice tolker det faste stoffet til å bestå av dipoler med positive ioner over og negative ioner under, men den virkelige krystallen har negative ioner som den øverste overflaten, vil Alice si at det er en negativ gratis ladning på den øverste overflaten. (Hun kan se på dette som en type overflaterekonstruksjon ). ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$${\ displaystyle \ rho _ {f}}$

På den annen side, selv om verdien av P ikke er entydig definert ved en masse fast, variasjoner i P er unikt definert. Hvis krystallet gradvis endres fra en struktur til en annen, vil det være en strøm inne i hver enhetscelle på grunn av bevegelse av kjerner og elektroner. Denne strømmen resulterer i en makroskopisk overføring av ladning fra den ene siden av krystallet til den andre, og derfor kan den måles med et amperemeter (som enhver annen strøm) når ledninger er festet til motsatte sider av krystallet. Tiden-integralet av strøm er proporsjonal med endringen i P . Strømmen kan beregnes i datasimuleringer (for eksempel tetthetsfunksjonell teori ); formelen for den integrerte strømmen viser seg å være en type Berrys fase .

Den ikke-entydighet av P er ikke problematisk, fordi enhver målbar konsekvens av P er i virkeligheten en konsekvens av en kontinuerlig endring i P . For eksempel, når et materiale blir satt i et elektrisk felt E , som ramper opp fra null til en endelig verdi, skifter materialets elektroniske og ioniske posisjoner litt. Dette endrer P , og resultatet er elektrisk følsomhet (og dermed permittivitet ). Som et annet eksempel, når noen krystaller oppvarmes, deres elektroniske og ioniske posisjoner lett skifte, endring P . Resultatet er pyroelektrisitet . I alle tilfeller er egenskapene av interesse i forbindelse med en endring i P .

Selv om polarisasjonen i prinsippet ikke er unik, defineres den i praksis ofte (ikke alltid) ved konvensjon på en spesifikk, unik måte. For eksempel, i en perfekt sentrosymmetrisk krystall, defineres P vanligvis ved konvensjon til å være nøyaktig null. Som et annet eksempel, i en ferroelektrisk krystall, er det typisk en sentrosymmetrisk konfigurasjon over Curie-temperaturen , og P er definert der ved konvensjon å være null. Når krystallet avkjøles under Curie-temperaturen, skifter det gradvis til en mer og mer ikke-sentrosymmetrisk konfigurasjon. Siden gradvise endringer i P er unikt definert, gir denne konvensjonen en unik verdi av P for den ferroelektriske krystall, selv under Curie-temperaturen.

Et annet problem i definisjonen av P er relatert til det vilkårlige valget av "enhetsvolum", eller mer presist til systemets skala . For eksempel kan et plasma i mikroskopisk skala betraktes som en gass med gratis ladninger, og P bør derfor være null. Tvert imot, i en makroskopisk skala kan det samme plasma beskrives som et kontinuerlig medium, som viser permittivitet og dermed en nettopolarisering P ≠ 0 . ${\ displaystyle \ varepsilon (\ omega) \ neq 1}$

Se også

• Krystallstruktur
• Electret
• Polarisering (tvetydighet)

Referanser og merknader

Eksterne linker

• Media relatert til elektrisk polarisering på Wikimedia Commons