Sannsynlighet - Probability

Sannsynlighet
Oversikt Katalog over artikler Sannsynligheter Ordliste Notasjon Tidsskrifter Kategori
v t e

Del av en serie om statistikk
Sannsynlighetsteori
Sannsynlighet Aksiomer Determinisme System Ubestemmelse Tilfeldighet
Sannsynlighetsrom Prøveplass Begivenhet Samlet uttømmende hendelser Elementær begivenhet Gjensidig eksklusivitet Utfall Singleton Eksperiment Bernoulli -rettssak Sannsynlighetsfordeling Bernoulli -distribusjon Binomial fordeling Normal distribusjon Sannsynlighetsmål Tilfeldig variabel Bernoulli -prosess Kontinuerlig eller diskret Forventet verdi Markov -kjeden Observert verdi Tilfeldig tur Stokastisk prosess
Komplementær hendelse Felles sannsynlighet Marginal sannsynlighet Betinget sannsynlighet
Uavhengighet Betinget uavhengighet Lov om total sannsynlighet Loven om store tall Bayes 'teorem Booles ulikhet
venn diagram Trediagram
v t e

Sannsynlighet er grenen av matematikk angående numeriske beskrivelser av hvor sannsynlig en hendelse skal forekomme, eller hvor sannsynlig det er at et forslag er sant. Sannsynligheten for en hendelse er et tall mellom 0 og 1, hvor grovt sett 0 indikerer umulighet for hendelsen og 1 indikerer sikkerhet. Jo større sannsynlighet for en hendelse, desto mer sannsynlig er det at hendelsen vil skje. Et enkelt eksempel er å kaste en rettferdig (upartisk) mynt. Siden mynten er rettferdig, er de to utfallene ("hoder" og "haler") like sannsynlige; sannsynligheten for "hoder" er lik sannsynligheten for "haler"; og siden ingen andre utfall er mulige, er sannsynligheten for enten "hoder" eller "haler" 1/2 (som også kan skrives som 0,5 eller 50%).

Disse begrepene har fått en aksiomatisk matematisk formalisering i sannsynlighetsteori , som brukes mye innen studier som statistikk , matematikk , vitenskap , finans , pengespill , kunstig intelligens , maskinlæring , datavitenskap , spillteori og filosofi til, for for eksempel trekke slutninger om den forventede hyppigheten av hendelser. Sannsynlighetsteori brukes også til å beskrive den underliggende mekanikken og regelmessighetene i komplekse systemer .

Sannsynlighetsteoriens terminologi

Eksperiment: En operasjon som kan gi noen veldefinerte resultater, kalles et eksperiment.

Eksempel: Når vi kaster en mynt, vet vi at enten hode eller hale dukker opp. Så det kan sies at operasjonen med å kaste en mynt har to veldefinerte utfall, nemlig (a) hoder som dukker opp; og (b) haler dukker opp.

Tilfeldig eksperiment: Når vi ruller en terning er vi godt klar over det faktum at noen av tallene 1,2,3,4,5 eller 6 kan vises på oversiden, men vi kan ikke si det nøyaktige tallet som dukker opp.

Et slikt eksperiment der alle mulige utfall er kjent og det eksakte utfallet ikke kan forutses på forhånd, kalles et tilfeldig eksperiment.

Prøveplass: Alle mulige utfall av et eksperiment som helhet danner prøveområdet.

Eksempel: Når vi ruller en terning kan vi få et hvilket som helst resultat fra 1 til 6. Alle de mulige tallene som kan vises på det øvre flaten danner prøveområdet (angitt med S). Derfor er prøveområdet for en terningkast S = {1,2,3,4,5,6}

Utfall: Ethvert mulig resultat ut av prøveområdet S for et tilfeldig eksperiment kalles et resultat.

Eksempel: Når vi ruller en terning, kan vi få 3 eller når vi kaster en mynt, kan vi få hoder.

Hendelse: Enhver delmengde av prøveområdet S kalles en hendelse (betegnet med E ). Når et utfall som tilhører delsettet E finner sted, sies det at en hendelse har skjedd. Mens et utfall som ikke tilhører delmengde E finner sted, har hendelsen ikke skjedd.

Eksempel: Vurder eksperimentet med å kaste en terningkast. Her over er eksempelrommet S = {1,2,3,4,5,6}. La E betegne hendelsen med 'et tall som vises mindre enn 4'. Dermed er hendelsen E = {1,2,3}. Hvis tallet 1 vises, sier vi at hendelse E har skjedd. På samme måte, hvis utfallene er 2 eller 3, kan vi si at hendelse E har skjedd siden disse resultatene tilhører delsett E.

Forsøk: Med en prøve mener vi å utføre et tilfeldig eksperiment.

Eksempel: (i) Å kaste en rettferdig mynt, (ii) rulle en upartisk terning

Tolkninger

Når man arbeider med eksperimenter som er tilfeldige og veldefinerte i en rent teoretisk setting (som å kaste en mynt), kan sannsynligheter beskrives numerisk med antall ønskede utfall, delt på det totale antallet av alle utfall. Hvis du for eksempel kaster en mynt to ganger, får du "hode-hode", "hode-hale", "hale-hode" og "hale-hale". Sannsynligheten for å få et resultat av "hode-hode" er 1 av 4 utfall, eller, i numeriske termer, 1/4, 0,25 eller 25%. Når det gjelder praktisk anvendelse, er det imidlertid to store konkurrerende kategorier av sannsynlighetstolkninger, hvis tilhenger har forskjellige oppfatninger om sannsynlighetens grunnleggende natur:

• Objektivister tildeler tall for å beskrive en objektiv eller fysisk tilstand. Den mest populære versjonen av objektiv sannsynlighet er frequentist sannsynlighet , som hevder at sannsynligheten for en tilfeldig hendelse angir den relative frekvensen av forekomst av et eksperiments utfall når eksperimentet gjentas på ubestemt tid. Denne tolkningen anser sannsynligheten for å være den relative frekvensen "i det lange løp" av utfall. En modifikasjon av dette er tilbøyelighetssannsynlighet , som tolker sannsynlighet som tendensen til et eksperiment til å gi et visst utfall, selv om det bare utføres en gang.
• Subjektivister tildeler tall per subjektiv sannsynlighet, det vil si som en grad av tro. Troens grad er blitt tolket som "prisen du vil kjøpe eller selge et spill som betaler 1 nytteenhet hvis E, 0 hvis ikke E." Den mest populære versjonen av subjektiv sannsynlighet er Bayesiansk sannsynlighet , som inkluderer ekspertkunnskap så vel som eksperimentelle data for å produsere sannsynligheter. Ekspertkunnskapen representeres av en viss (subjektiv) tidligere sannsynlighetsfordeling . Disse dataene er inkorporert i en sannsynlighetsfunksjon . Produktet fra tidligere og sannsynligheten, når det er normalisert, resulterer i en posterior sannsynlighetsfordeling som inneholder all informasjon som er kjent til dags dato. Etter Aumanns avtaleverk vil Bayesianske agenter hvis tidligere tro er like ende opp med lignende posterior tro. Imidlertid kan tilstrekkelig forskjellige prioriteringer føre til forskjellige konklusjoner, uavhengig av hvor mye informasjon agentene deler.

Etymologi

Ordet sannsynlighet stammer fra de latinske probabilitas , som også kan bety " probity ", et mål på et vitnes autoritet i en rettssak i Europa , og ofte korrelert med vitnets adel . På en måte skiller dette seg mye fra den moderne betydningen av sannsynlighet , som derimot er et mål på vekten av empirisk bevis , og kommer frem til fra induktiv resonnement og statistisk slutning .

Historie

Den vitenskapelige studien av sannsynlighet er en moderne utvikling av matematikk . Gambling viser at det har vært en interesse for å kvantifisere sannsynlighetsideene i årtusener, men eksakte matematiske beskrivelser oppstod mye senere. Det er grunner til den langsomme utviklingen av sannsynlighetsmatematikken. Mens sjansespill ga drivkraft for den matematiske undersøkelsen av sannsynlighet, er grunnleggende spørsmål fremdeles skjult av gamblers overtro.

I følge Richard Jeffrey , "Før midten av det syttende århundre, betydde begrepet" sannsynlig "(latinsk probabilis ) godkjent , og ble anvendt i den forstand univokalt på mening og handling. En sannsynlig handling eller mening var en slik som fornuftige mennesker ville påta seg eller holde under omstendighetene. " Men spesielt i juridiske sammenhenger kan 'sannsynlig' også gjelde for forslag som det var gode bevis for.

Den italienske polymaten Gerolamo Cardano fra det sekstende århundre demonstrerte effekten av å definere odds som forholdet mellom gunstige og ugunstige utfall (noe som innebærer at sannsynligheten for en hendelse er gitt av forholdet mellom gunstige utfall og det totale antallet mulige utfall). Bortsett fra det elementære verket av Cardano, daterer sannsynlighetslæren korrespondansen til Pierre de Fermat og Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) ga den tidligste kjente vitenskapelige behandlingen av emnet. Jakob Bernoulli 's Ars Conjectandi (posthumt, 1713) og Abraham de Moivre ' s Lære av Sjansene (1718) behandlet faget som en gren av matematikk. Se Ian Hacking 's The Emergence of Probability og James Franklin The Science of formodningen for historiene om den tidlige utviklingen av selve begrepet matematisk sannsynlighet.

Den teori av feil kan føres tilbake til Roger Cotes 's Opera Miscellanea (posthum, 1722), men en avhandling fremstilt ved Thomas Simpson i 1755 (trykt 1756) først påført teorien til omtalen av feil av observasjon. Opptrykket (1757) av dette memoaret angir aksiomene om at positive og negative feil er like sannsynlige, og at visse tildelbare grenser definerer området for alle feil. Simpson diskuterer også kontinuerlige feil og beskriver en sannsynlighetskurve.

De to første feillovene som ble foreslått, stammer begge fra Pierre-Simon Laplace . Den første loven ble publisert i 1774, og uttalte at hyppigheten av en feil kan uttrykkes som en eksponentiell funksjon av den numeriske størrelsen på feilen - ser bort fra tegn. Den andre feilloven ble foreslått i 1778 av Laplace, og uttalte at feilens frekvens er en eksponentiell funksjon av kvadratet til feilen. Den andre feilloven kalles normalfordelingen eller Gauss -loven. "Det er vanskelig historisk å tilskrive denne loven til Gauss, som til tross for sin velkjente forgjengelighet sannsynligvis ikke hadde gjort denne oppdagelsen før han var to år gammel."

Daniel Bernoulli (1778) introduserte prinsippet om maksimalt produkt av sannsynligheten for et system med samtidige feil.

Adrien-Marie Legendre (1805) utviklet metoden for minst kvadrater , og introduserte den i hans Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ( New Methods for Determining the Orbits of Comets ). I uvitenhet om Legendres bidrag, utledet en irsk-amerikansk forfatter, Robert Adrain , redaktør for "The Analyst" (1808), først loven om feilfasilitet,

${\ displaystyle \ phi (x) = ce^{-h^{2} x^{2}},}$

hvor er en konstant avhengig av observasjonens presisjon, og er en skalafaktor som sikrer at området under kurven er lik 1. Han ga to bevis, det andre er i hovedsak det samme som John Herschels (1850). Gauss ga det første beviset som synes å ha vært kjent i Europa (det tredje etter Adrain) i 1809. Ytterligere bevis ble gitt av Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837) ), Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856) og Morgan Crofton (1870). Andre bidragsytere var Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) og Giovanni Schiaparelli (1875). Peters (1856) formel for r , den sannsynlige feilen ved en enkelt observasjon, er velkjent. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle c}$

På 1800 -tallet inkluderte forfattere om den generelle teorien Laplace , Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion og Karl Pearson . Augustus De Morgan og George Boole forbedret redegjørelsen for teorien.

I 1906 introduserte Andrey Markov forestillingen om Markov -kjeder , som spilte en viktig rolle i teorien om stokastiske prosesser og dens anvendelser. Den moderne sannsynlighetsteorien basert på tiltaksteorien ble utviklet av Andrey Kolmogorov i 1931.

På den geometriske siden var bidragsytere til The Educational Times innflytelsesrike (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson og Artemas Martin ). Se integrert geometri for mer informasjon.

Teori

I likhet med andre teorier er sannsynlighetsteorien en representasjon av konseptene i formelle termer - det vil si i termer som kan betraktes atskilt fra deres betydning. Disse formelle begrepene manipuleres av reglene for matematikk og logikk, og eventuelle resultater blir tolket eller oversatt tilbake til problemdomenet.

Det har vært minst to vellykkede forsøk på å formalisere sannsynlighet, nemlig Kolmogorov -formuleringen og Cox -formuleringen. I Kolmogorov formulering (se også Sannsynlighetsrom ), sett blir tolket som hendelser og sannsynlighet som et mål på en klasse av settene. I Cox -teoremet blir sannsynligheten tatt som en primitiv (dvs. ikke analysert ytterligere), og det legges vekt på å konstruere en konsekvent tildeling av sannsynlighetsverdier til proposisjoner. I begge tilfeller er sannsynlighetslovene de samme, bortsett fra tekniske detaljer.

Det er andre metoder for å kvantifisere usikkerhet, for eksempel Dempster-Shafer-teorien eller mulighetsteorien , men de er i hovedsak forskjellige og ikke kompatible med de vanligvis forståtte sannsynlighetslovene.

applikasjoner

Sannsynlighetsteori brukes i hverdagen i risiko vurdering og modellering . Forsikringsindustrien og markedene bruker aktuariell vitenskap for å bestemme priser og ta handelsbeslutninger. Regjeringer bruker sannsynlighetsmetoder innen miljøregulering , berettigelsesanalyse og finansregulering .

Et eksempel på bruk av sannsynlighetsteori i aksjehandel er effekten av den opplevde sannsynligheten for en utbredt konflikt i Midtøsten på oljeprisen, som har ringvirkninger i økonomien som helhet. En vurdering av en varehandler om at en krig er mer sannsynlig kan sende varens priser opp eller ned, og signaliserer andre handelsmenn om den oppfatningen. Følgelig vurderes sannsynlighetene verken uavhengig eller nødvendigvis rasjonelt. Teorien om atferdsfinansiering dukket opp for å beskrive effekten av slik gruppetenkning på prising, på politikk og på fred og konflikt.

I tillegg til økonomisk vurdering kan sannsynlighet brukes til å analysere trender innen biologi (f.eks. Sykdomsspredning) så vel som økologi (f.eks. Biologiske Punnett -firkanter). Som med finans kan risikovurdering brukes som et statistisk verktøy for å beregne sannsynligheten for at uønskede hendelser oppstår, og kan hjelpe med å implementere protokoller for å unngå å støte på slike omstendigheter. Sannsynlighet brukes til å designe sjansespill slik at kasinoer kan tjene garantert, men gir utbetalinger til spillere som er hyppige nok til å oppmuntre til fortsatt spill.

En annen viktig anvendelse av sannsynlighetsteori i hverdagen er pålitelighet . Mange forbrukerprodukter, for eksempel biler og forbrukerelektronikk, bruker pålitelighetsteori i produktdesign for å redusere sannsynligheten for feil. Manglende sannsynlighet kan påvirke produsentens beslutninger om et produkts garanti .

Den cache språkmodell og andre statistiske språkmodeller som brukes i naturlig språk er også eksempler på anvendelser av sannsynlighetsteori.

Matematisk behandling

Vurder et eksperiment som kan gi en rekke resultater. Samlingen av alle mulige resultater kalles prøveområdet for eksperimentet, noen ganger betegnet som . Den kraften satt av utfallsrommet er dannet ved å vurdere alle forskjellige samlinger av mulige resultater. For eksempel kan rulling av en matrise gi seks mulige resultater. En samling av mulige resultater gir et oddetall på terningen. Dermed er delsettet {1,3,5} et element i kraftsettet til prøveområdet for terningkast. Disse samlingene kalles "hendelser". I dette tilfellet er {1,3,5} hendelsen at terningen faller på et oddetall. Hvis resultatene som faktisk oppstår faller i en gitt hendelse, sies hendelsen å ha skjedd. ${\ displaystyle \ Omega}$

En sannsynlighet er en måte å tildele hver hendelse en verdi mellom null og en, med krav om at hendelsen består av alle mulige resultater (i vårt eksempel er hendelsen {1,2,3,4,5,6}) tildelt verdien en. For å kvalifisere som en sannsynlighet må verditildelingen tilfredsstille kravet om at for enhver samling av gjensidig utelukkende hendelser (hendelser uten felles resultater, for eksempel hendelsene {1,6}, {3} og {2,4}) , sannsynligheten for at minst en av hendelsene vil inntreffe er gitt av summen av sannsynligheten for alle de enkelte hendelsene.

Sannsynligheten for en hendelse A er skrevet som , eller . Denne matematiske definisjonen av sannsynlighet kan strekke seg til uendelige utvalgsområder, og til og med utallige prøveområder, ved å bruke begrepet et mål. ${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle p (A)}$${\ displaystyle {\ text {Pr}} (A)}$

Den motsatte eller komplementet av en hendelse A er arrangementet [ikke A ] (som er, dersom A ikke forekommer), ofte betegnet som , eller ; sannsynligheten er gitt av P (ikke A ) = 1 - P ( A ) . Som et eksempel er sjansen for ikke å rulle en sekser på en sekssidig terning 1-(sjanse for å rulle en sekser) . For en mer omfattende behandling, se Komplementær hendelse . ${\ displaystyle A ', A^{c}}$${\ displaystyle {\ overline {A}}, A^{\ complement}, \ neg A}$${\ displaystyle {\ sim} A}$${\ displaystyle = 1-{\ tfrac {1} {6}} = {\ tfrac {5} {6}}}$

Hvis to hendelser A og B forekommer på en enkelt forestilling av et eksperiment, kalles dette krysset eller felles sannsynlighet for A og B , betegnet som . ${\ displaystyle P (A \ cap B)}$

Uavhengige hendelser

Hvis to hendelser, A og B er uavhengige , er felles sannsynligheten

${\ displaystyle P (A {\ mbox {og}} B) = P (A \ cap B) = P (A) P (B).}$

For eksempel, hvis to mynter vendes, er sjansen for at begge er hoder . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {4}}}$

Gjensidig eksklusive hendelser

Hvis enten hendelse A eller hendelse B kan oppstå, men aldri begge samtidig, så kalles de hendelser som utelukker hverandre.

Hvis to hendelser er gjensidig utelukkende , er sannsynligheten for begge forekommende betegnet som og ${\ displaystyle P (A \ cap B)}$

${\ displaystyle P (A {\ mbox {og}} B) = P (A \ cap B) = 0}$

Hvis to hendelser er gjensidig utelukkende , er sannsynligheten for at begge hendelser betegnes som og ${\ displaystyle P (A \ cup B)}$

${\ displaystyle P (A {\ mbox {or}} B) = P (A \ cup B) = P (A)+P (B) -P (A \ cap B) = P (A)+P (B ) -0 = P (A)+P (B)}$

For eksempel, er sjansen for å rulle en 1 eller 2 på en sekskantet dyse er${\ displaystyle P (1 {\ mbox {or}} 2) = P (1)+P (2) = {\ tfrac {1} {6}}+{\ tfrac {1} {6}} = {\ tfrac {1} {3}}.}$

Ikke gjensidig utelukkende hendelser

Hvis hendelsene ikke utelukker hverandre

${\ displaystyle P \ venstre (A {\ hbox {eller}} B \ høyre) = P (A \ kopp B) = P \ venstre (A \ høyre)+P \ venstre (B \ høyre) -P \ venstre ( A {\ mbox {og}} B \ høyre).}$

Når du for eksempel trekker et kort fra en kortstokk, er sjansen for å få et hjerte eller et ansiktskort (J, Q, K) (eller begge deler) , siden blant de 52 kortene i en kortstokk er 13 hjerter, 12 er ansiktskort, og 3 er begge: her er mulighetene som er inkludert i "3 som er begge" inkludert i hvert av "13 hjerter" og "12 ansiktskort", men skal bare telles én gang. ${\ displaystyle {\ tfrac {13} {52}}+{\ tfrac {12} {52}}-{\ tfrac {3} {52}} = {\ tfrac {11} {26}}}$

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for noen hendelse A , gitt forekomsten av noen annen hendelse B . Betinget sannsynlighet skrives, og leses "sannsynligheten for A , gitt B ". Det er definert av ${\ displaystyle P (A \ midten B)}$

${\ displaystyle P (A \ mid B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}}. \,}$

Hvis da er formelt udefinert av dette uttrykket. I dette tilfellet og er uavhengige, siden . Imidlertid er det mulig å definere en betinget sannsynlighet for noen null-sannsynlighetshendelser ved å bruke en σ-algebra av slike hendelser (for eksempel de som stammer fra en kontinuerlig tilfeldig variabel ). ${\ displaystyle P (B) = 0}$${\ displaystyle P (A \ midten B)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A) P (B) = 0}$

For eksempel, i en pose med 2 røde baller og 2 blå baller (4 baller totalt), er sannsynligheten for å ta en rød ball ; Når du tar en annen ball, er imidlertid sannsynligheten for at den enten er en rød eller en blå ball avhengig av ballen som er tatt tidligere. For eksempel, hvis en rød ball ble tatt, ville sannsynligheten for å plukke en rød ball igjen være , siden bare 1 rød og 2 blå baller hadde vært igjen. Og hvis en blå ball ble tatt tidligere, vil sannsynligheten for å ta en rød ball være . ${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle 1/3}$${\ displaystyle 2/3}$

Omvendt sannsynlighet

I sannsynlighetsteori og applikasjoner relaterer Bayes 'regel oddsen for hendelse til hendelse , før (før) og etter (bakre) kondisjonering av en annen hendelse . Oddsen på hendelse er ganske enkelt forholdet mellom sannsynlighetene for de to hendelsene. Når vilkårlig mange hendelser er av interesse, ikke bare to, kan regelen omformuleres som posterior er proporsjonal med sannsynligheten for tidligere tider , der proporsjonalitetssymbolet betyr at venstre side er proporsjonal med (dvs. er lik en konstant tid) høyre hånd siden varierer, for fast eller gitt (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). I denne formen går den tilbake til Laplace (1774) og til Cournot (1843); se Fienberg (2005). Se omvendt sannsynlighet og Bayes 'regel . ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A | B) \ propto P (A) P (B | A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Oppsummering av sannsynligheter

Oppsummering av sannsynligheter

Begivenhet	Sannsynlighet
EN	${\ displaystyle P (A) \ i [0,1] \,}$
ikke A.	${\ displaystyle P (A^{\ complement}) = 1-P (A) \,}$
A eller B.	${\ displaystyle {\ begynne {justert} P (A \ cup B) & = P (A)+P (B) -P (A \ cap B) \\ P (A \ cup B) & = P (A) +P (B) \ qquad {\ mbox {hvis A og B utelukker hverandre}} \\\ ende {justert}}}$
A og B.	${\ displaystyle {\ begynne {justert} P (A \ cap B) & = P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A) \\ P (A \ cap B) & = P (A) P (B) \ qquad {\ mbox {hvis A og B er uavhengige}} \\\ ende {justert}}}$
Et gitt B	${\ displaystyle P (A \ mid B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} = {\ frac {P (B | A) P (A)} {P (B )}} \,}$

Forholdet til tilfeldighet og sannsynlighet i kvantemekanikk

I et deterministisk univers, basert på newtonske begreper, ville det ikke være noen sannsynlighet hvis alle forhold var kjent ( Laplaces demon ), (men det er situasjoner der følsomhet for innledende forhold overstiger vår evne til å måle dem, dvs. kjenner dem). I tilfelle av et roulettehjul , hvis håndens kraft og perioden med denne kraften er kjent, vil tallet som ballen vil stoppe på være en visshet (selv om det praktisk er sannsynlig at dette bare gjelder for en roulettehjul som ikke hadde blitt nøyaktig utjevnet - som Thomas A. Bass ' Newtonian Casino avslørte). Dette forutsetter også kunnskap om treghet og friksjon av hjulet, vekt, glatthet og rundhet i ballen, variasjoner i håndhastighet under sving, og så videre. En sannsynlighetsbeskrivelse kan dermed være mer nyttig enn newtonsk mekanikk for å analysere mønsteret av utfallet av gjentatte ruller av et roulettehjul. Fysikere står overfor den samme situasjonen i den kinetiske teorien om gasser , hvor systemet, selv om det er deterministisk i prinsippet , er så komplekst (med antall molekyler vanligvis størrelsesordenen til Avogadro -konstanten 6.02 × 10 ²³ ) at bare en statistisk beskrivelse av eiendommene er mulig.

Sannsynlighetsteori er nødvendig for å beskrive kvantefenomener. En revolusjonerende oppdagelse av fysikken fra begynnelsen av 1900-tallet var den tilfeldige karakteren til alle fysiske prosesser som forekommer på subatomære skalaer og styres av kvantemekanikkens lover . Den objektive bølgefunksjonen utvikler seg deterministisk, men ifølge tolkningen i København omhandler den sannsynligheten for å observere, og resultatet forklares med en bølgefunksjon som kollapser når en observasjon er gjort. Tapet av determinisme av hensyn til instrumentalismen møtte imidlertid ikke universell godkjennelse. Albert Einstein bemerket berømt i et brev til Max Born : "Jeg er overbevist om at Gud ikke spiller terninger". I likhet med Einstein trodde Erwin Schrödinger , som oppdaget bølgefunksjonen, kvantemekanikk er en statistisk tilnærming til en underliggende deterministisk virkelighet . I noen moderne tolkninger av den statistiske mekanikken for måling påkalles kvantedekoherens for å redegjøre for utseendet på subjektivt sannsynlige eksperimentelle utfall.

Se også

• Sjanse (disambiguation)
• Sannsynlighet for klassemedlemskap
• Beredskap
• Utstyrbarhet
• Heuristikk i dømmekraft og beslutningstaking
• Sannsynlighetsteori
• Tilfeldighet
• Statistikk
• Estimatorer
• Estimasjonsteori
• Sannsynlighetstetthetsfunksjon
• Uavhengig par

I jussen

• Sannsynlighetsbalanse

Merknader

Referanser

Bibliografi

• Kallenberg, O. (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles . Springer-Verlag, New York. 510 s.  ISBN  0-387-25115-4
• Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2. utg. Springer Series in Statistics. 650 s.  ISBN  0-387-95313-2
• Olofsson, Peter (2005) Sannsynlighet, statistikk og stokastiske prosesser , Wiley-Interscience. 504 s ISBN  0-471-67969-0 .

Eksterne linker

Bibliotekressurser om sannsynlighet

Ressurser i biblioteket ditt

• Virtuelle laboratorier i sannsynlighet og statistikk (Univ. Of Ala.-Huntsville)
• Sannsynlighet på In Our Time hos BBC
• Sannsynlighet og statistikk eBok
• Edwin Thompson Jaynes . Sannsynlighetsteori: Vitenskapens logikk . Fortrykk: Washington University, (1996). - HTML -indeks med lenker til PostScript -filer og PDF (de første tre kapitlene)
• Folk fra History of Probability and Statistics (University of Southampton)
• Sannsynlighet og statistikk over sidene for tidlig bruk (University of Southampton)
• Tidligste bruk av symboler i sannsynlighet og statistikk over tidligste bruk av forskjellige matematiske symboler
• En opplæring om sannsynlighet og Bayes 'teorem utarbeidet for førsteårs studenter ved Oxford University
• [1] pdf -fil av An Anthology of Chance Operations (1963) på UbuWeb
• Introduction to Probability - eBook , av Charles Grinstead, Laurie Snell Source ( GNU Free Documentation License )
• (på engelsk og italiensk) Bruno de Finetti , Probabilità e induzione , Bologna, CLUEB, 1993. ISBN  88-8091-176-7 (digital versjon)
• Richard P. Feynmans forelesning om sannsynlighet.