Proporsjonalitet (matematikk) - Proportionality (mathematics)
I matematikk sies det at to varierende størrelser er i forholdet til proporsjonalitet , multiplisert med en konstant ; det vil si når enten forholdet eller produktet gir en konstant. Verdien av denne konstanten kalles proporsjonalitetskoeffisienten eller proporsjonalitetskonstanten .
- Hvis forholdet ( y/x) av to variabler ( x og y ) er lik en konstant ( k =y/x) , så kan variabelen i telleren av forholdet ( y ) være produktet av den andre variabelen og konstanten ( y = k ⋅ x ) . I dette tilfellet sies y å være direkte proporsjonal med x med proporsjonalitetskonstant k . Tilsvarende kan man skrive x =1/k ⋅ y ; det vil si at x er direkte proporsjonal med y med proporsjonalitetskonstant1/k (= x/y) . Hvis begrepet proporsjonal er koblet til to variabler uten ytterligere kvalifisering, kan man generelt anta direkte proporsjonalitet.
- Hvis produktet av to variabler ( x ⋅ y ) er lik en konstant ( k = x ⋅ y ) , sies det at de to er omvendt proporsjonale med hverandre med proporsjonalitetskonstanten k . Tilsvarende er begge variablene direkte proporsjonale med det gjensidige av den respektive andre med proporsjonalitetskonstant k ( x = k ⋅ 1/yog y = k ⋅ 1/x).
Hvis flere variablerpar deler den samme direkte proporsjonalitetskonstanten, kalles ligningen som uttrykker likheten mellom disse forholdene en andel , f.eks.en/b = x/y= ⋯ = k (for detaljer se Forhold ).
Direkte proporsjonalitet
Gitt to variable x og y , y er direkte proporsjonal til x dersom det er et ikke-null konstant k slik at
|
Forholdet er ofte betegnet med symbolene "∝" (for ikke å forveksle med den greske bokstaven alfa ) eller "~":
- eller
For at proporsjonalitetskonstanten kan uttrykkes som forholdet
Det kalles også konstanten for variasjon eller konstant av proporsjonalitet .
En direkte proporsjonalitet kan også ses som en lineær ligning i to variabler med en y -intercept av 0 og en skråning av k . Dette tilsvarer lineær vekst .
Eksempler
- Hvis et objekt beveger seg med en konstant hastighet , er avstanden som er tilbakelagt direkte proporsjonal med tiden som brukes på reise, med hastigheten som proporsjonalitetskonstanten.
- Den omkretsen av en sirkel er direkte proporsjonal med dens diameter , med en proporsjonalitetskonstant lik π .
- På et kart over et tilstrekkelig lite geografisk område, tegnet til målestrekningsavstander , er avstanden mellom to punkter på kartet direkte proporsjonal med linjeavstanden mellom de to stedene representert av disse punktene; proporsjonalitetskonstanten er kartets skala.
- Den kraft , som virker på et lite objekt med liten masse av en nærliggende stor utvidet massen på grunn av tyngdekraften , er direkte proporsjonal med gjenstandens masse; proporsjonalitetskonstanten mellom kraften og massen er kjent som gravitasjonsakselerasjon .
- Nettokraften som virker på et objekt er proporsjonal med akselerasjonen til objektet i forhold til en treghetsramme. Proportionalitetskonstanten i denne, Newtons andre lov , er objektets klassiske masse.
Omvendt proporsjonalitet
Begrepet omvendt proporsjonalitet kan stå i kontrast med direkte proporsjonalitet . Tenk på to variabler som sies å være "omvendt proporsjonale" med hverandre. Hvis alle andre variabler holdes konstante , reduseres størrelsen eller absoluttverdien til en omvendt proporsjonal variabel hvis den andre variabelen øker, mens produktet (proporsjonalitetskonstanten k ) alltid er det samme. Som et eksempel er tiden det tar for en reise omvendt proporsjonal med reisehastigheten.
Formelt sett er to variabler omvendt proporsjonale (også kalt varierende omvendt , i invers variasjon , invers proporsjon , i gjensidig andel ) hvis hver av variablene er direkte proporsjonal med den multiplikative inverse (gjensidige) av den andre, eller ekvivalent hvis produktet er en konstant. Det følger at variabelen y er omvendt proporsjonal med variabelen x hvis det eksisterer en ikke-null konstant k slik at
eller tilsvarende, Derfor er den konstante " k " produktet av x og y .
Grafen over to variabler som varierer omvendt på det kartesiske koordinatplanet er en rektangulær hyperbola . Produktet av x- og y -verdiene til hvert punkt på kurven er lik proporsjonalitetskonstanten ( k ). Siden verken x eller y kan være lik null (fordi k er ikke-null), krysser grafen aldri noen av aksene.
Hyperboliske koordinater
Konseptene direkte og omvendt proporsjon fører til lokalisering av punkter i det kartesiske planet ved hjelp av hyperboliske koordinater ; de to koordinatene tilsvarer konstanten for direkte proporsjonalitet som angir et punkt som på en bestemt stråle og konstanten for invers proporsjonalitet som angir et punkt som å være på en bestemt hyperbola.
Se også
- Lineært kart
- Sammenheng
- Eudoxus av Cnidus
- Gullforhold
- Lov om omvendt kvadrat
- Proporsjonal skrift
- Forhold
- Regel av tre (matematikk)
- Prøvestørrelse
- Likheten
- Grunnleggende proporsjonalitetsteorem
- ∷ at en er å b som c er til d symbol (U + 2237 FORHOLD )
Vekst
Merknader
Referanser
- Ja. B. Zeldovich, I. M. Yaglom : Høyere matematikk for nybegynnere , s. 34–35 .
- Brian Burrell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , s. 85–101 .
- Lanius, Cynthia S .; Williams Susan E .: PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades . Matematikkundervisning i ungdomsskolen 8.8 (2003), s. 392–396.
- Seeley, Cathy; Schielack Jane F .: En titt på utviklingen av forhold, rater og proporsjonalitet . Matematikkundervisning i ungdomsskolen, 13.3, 2007, s. 140–142.
- Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven: Studenters overforbruk av proporsjonalitet på problemer med manglende verdi: Hvordan tall kan endre løsninger . Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, s. 187–211.