Kvadratur (matematikk) - Quadrature (mathematics)

For andre bruksområder, se Quadrature (disambiguation) .

I matematikk er kvadratur et historisk begrep som betyr prosessen med å bestemme område . Dette begrepet brukes fortsatt i dag i sammenheng med differensiallikninger , der "å løse en ligning med kvadratur" eller "reduksjon til kvadratur" betyr å uttrykke løsningen når det gjelder integraler .

Kvadraturproblemer fungerte som en av hovedkildene til problemer i utviklingen av kalkulator , og introduserte viktige emner i matematisk analyse .

Historie

Den lune av Hippokrates var den første buede figuren for å ha sin nøyaktige område beregnes matematisk.

Greske matematikere forstått bestemmelse av et område av en figur som prosessen med geometrisk konstruksjon av en firkant som har den samme område ( kvadratur ), derfor navnet kvadratur for denne prosessen. De greske geometrene var ikke alltid vellykkede (se kvadraturen i sirkelen ), men de utførte kvadrater av noen figurer hvis sider ikke bare var linjesegmenter, for eksempel Hippokrates-lunes og parabolens kvadratur . Etter en viss gresk tradisjon, måtte disse konstruksjonene utføres med bare et kompass og en rett , selv om ikke alle greske matematikere fulgte denne dikten.

For kvadratur av et rektangel med sidene a og b er det nødvendig å konstruere et kvadrat med siden (det geometriske gjennomsnittet av a og b ). For dette formålet er det mulig å bruke følgende: hvis man tegner sirkelen med diameter laget av sammenføyning av linjesegmenter med lengdene a og b , så blir høyden ( BH i diagrammet) av linjesegmentet tegnet vinkelrett på diameteren, fra punktet for deres forbindelse til punktet der den krysser sirkelen, tilsvarer det geometriske gjennomsnittet av a og b . En lignende geometrisk konstruksjon løser problemene med kvadratur i et parallellogram og i en trekant.

Archimedes beviste at arealet til et parabolsk segment er 4/3 området av en innskrevet trekant.

Kvadraturproblemer for krumme linjer er mye vanskeligere. Kvadraturen til sirkelen med kompass og rettet ble bevist på 1800-tallet som umulig. Likevel kan det for noen figurer utføres en kvadratur. Kvadraturene på overflaten til en kule og et parabolesegment oppdaget av Archimedes ble den høyeste prestasjonen i analysen i antikken.

  • Arealet av overflaten til en kule er lik fire ganger arealet av sirkelen dannet av en stor sirkel av denne sfæren.
  • Arealet av et segment av en parabel bestemt av en rett linje som skjærer det er 4/3 arealet av en trekant innskrevet i dette segmentet.

For å bevise disse resultatene brukte Archimedes metoden for utmattelse som ble tilskrevet Eudoxus .

I middelalderens Europa betydde kvadratur beregning av areal ved hvilken som helst metode. Ofte ble metoden for indivisible brukt; den var mindre streng enn de geometriske konstruksjonene til grekerne, men den var enklere og kraftigere. Med sin hjelp fant Galileo Galilei og Gilles de Roberval området av en sykloidbue , Grégoire de Saint-Vincent undersøkte området under en hyperbola ( Opus Geometricum , 1647), og Alphonse Antonio de Sarasa , de Saint-Vincents elev og kommentator, bemerket forholdet mellom dette området og logaritmer .

John Wallis brukte denne metoden; han skrev i sin Arithmetica Infinitorum (1656) noen serier som tilsvarer det som nå kalles den bestemte integralen , og han beregnet verdiene deres. Isaac Barrow og James Gregory gjorde ytterligere fremskritt: kvadrater for noen algebraiske kurver og spiraler . Christiaan Huygens utførte vellykket en kvadratur av overflaten til noen faste revolusjoner .

Kvadraturen til hyperbola av Saint-Vincent og de Sarasa ga en ny funksjon , den naturlige logaritmen , av kritisk betydning. Med oppfinnelsen av integrert kalkyle kom en universell metode for arealberegning. Som svar har begrepet kvadratur blitt tradisjonelt, og i stedet brukes den moderne setningen om å finne området oftere til det som teknisk er beregningen av en univariat bestemt integral .

Se også

Merknader

Referanser