Rasjonell funksjon - Rational function

I matematikk er en rasjonell funksjon enhver funksjon som kan defineres av en rasjonell brøk , som er en algebraisk brøk slik at både telleren og nevneren er polynom . De koeffisienter av polynomer trenger ikke være rasjonale tall ; de kan tas i noen felt K . I dette tilfellet snakker man om en rasjonal funksjon og en rasjonell fraksjon over r . Verdiene av variablene kan tas på en hvilken som helst felt L inneholdende K . Da det domenet av funksjonen er det sett av verdier for de variable som nevneren ikke er null, og den verdiområde er L .

Settet av rasjonale funksjoner over et felt K er et felt, det felt av fraksjoner av ringen av de polynomiske funksjoner enn K .

Definisjoner

En funksjon kalles en rasjonell funksjon hvis og bare hvis den kan skrives i skjemaet ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

hvor og er polynomfunksjonene til og er ikke nullfunksjonen . Den domene av er settet av alle verdier av hvor nevneren er ikke null. ${\ displaystyle P \,}$${\ displaystyle Q \,}$${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle Q \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle Q (x) \,}$

Imidlertid, hvis og har en ikke-konstant polynom største felles divisor , så setter og produserer en rasjonell funksjon ${\ displaystyle \ textstyle P}$${\ displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ displaystyle \ textstyle R}$${\ displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

som kan ha et større domene enn , og er lik på domenet til Det er en vanlig bruk å identifisere og , det vil si å utvide "ved kontinuitet" domenet til til Faktisk kan man definere en rasjonell brøkdel som en ekvivalens klasse av brøkdeler av polynomer, hvor to fraksjoner og anses som ekvivalente hvis . I dette tilfellet tilsvarer . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x).}$${\ displaystyle {\ frac {A (x)} {B (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$

En skikkelig rasjonell funksjon er en rasjonell funksjon der graden av er mindre enn graden av og begge er virkelige polynomer , navngitt analogt til en skikkelig brøkdel i . ${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Grad

Det er flere ikke -ekvivalente definisjoner av graden av en rasjonell funksjon.

Vanligvis er graden av en rasjonell funksjon maksimumet av gradene til dets konstituerende polynom P og Q , når fraksjonen reduseres til laveste termer . Hvis graden av f er d , så er ligningen

${\ displaystyle f (z) = w \,}$

har d forskjellige løsninger i z bortsett fra visse verdier av w , kalt kritiske verdier , hvor to eller flere løsninger sammenfaller eller hvor noen løsning avvises i det uendelige (det vil si når graden av ligningen reduseres etter å ha fjernet nevneren ).

Når det gjelder komplekse koeffisienter, er en rasjonell funksjon med grad en en Möbius -transformasjon .

Den grad av grafen til en rasjonal funksjon er ikke den grad som definert ovenfor: det er maksimum av graden av telleren og en pluss graden av nevneren.

I noen sammenhenger, for eksempel i asymptotisk analyse , er graden av en rasjonell funksjon forskjellen mellom grader av teller og nevner.

I nettverkssyntese og nettverksanalyse kalles en rasjonell funksjon av grad to (det vil si forholdet mellom to polynomer på høyst to) en bikadratisk funksjon .

Eksempler

Den rasjonelle funksjonen

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x^{3} -2x} {2 (x^{2} -5)}}}}$

er ikke definert kl

${\ displaystyle x^{2} = 5 \ Venstrehøyre pil x = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Det er asymptotisk å som${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle x \ to \ infty.}$

Den rasjonelle funksjonen

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x^{2} +2} {x^{2} +1}}}$

er definert for alle reelle tall , men ikke for alle komplekse tall , siden hvis x var en kvadratrot av (dvs. den imaginære enheten eller dens negative), ville formell evaluering føre til divisjon med null: ${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle f (i) = {\ frac {i^{2} +2} {i^{2} +1}} = {\ frac {-1+2} {-1+1}} = {\ frac {1} {0}},}$

som er udefinert.

En konstant funksjon som f ( x ) = π er en rasjonell funksjon siden konstanter er polynomer. Selve funksjonen er rasjonell, selv om verdien av f ( x ) er irrasjonell for alle x .

Hver polynomfunksjon er en rasjonell funksjon med en funksjon som ikke kan skrives i denne formen, for eksempel ikke er en rasjonell funksjon. Imidlertid brukes adjektivet "irrasjonelt" vanligvis ikke for funksjoner. ${\ displaystyle f (x) = P (x)}$${\ displaystyle Q (x) = 1.}$${\ displaystyle f (x) = \ sin (x),}$

Den rasjonelle funksjonen er lik 1 for alle x unntatt 0, der det er en flyttbar singularitet . Summen, produktet eller kvoten (unntatt divisjon med nullpolynomet) av to rasjonelle funksjoner er i seg selv en rasjonell funksjon. Imidlertid kan prosessen med reduksjon til standardform utilsiktet resultere i fjerning av slike særegenheter med mindre forsiktighet utvises. Ved å bruke definisjonen av rasjonelle funksjoner som ekvivalensklasser kommer dette rundt, siden x / x tilsvarer 1/1. ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$

Taylor -serien

Koeffisientene til en Taylor -serie med en hvilken som helst rasjonell funksjon tilfredsstiller et lineært gjentakelsesforhold , som kan bli funnet ved å likestille den rasjonelle funksjonen til en Taylor -serie med ubestemte koeffisienter, og samle like vilkår etter å ha fjernet nevneren.

For eksempel,

${\ displaystyle {\ frac {1} {x^{2} -x+2}} = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}.}$

Multiplisering av nevneren og distribusjon,

${\ displaystyle 1 = (x^{2} -x+2) \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}}$

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k+2}-\ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{ k+1} +2 \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}.}$

Etter å ha justert indeksene for summene for å få de samme potensene til x , får vi

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 2}^{\ infty} a_ {k-2} x^{k}-\ sum _ {k = 1}^{\ infty} a_ {k-1} x ^{k} +2 \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}.}$

Å kombinere lignende begreper gir

${\ displaystyle 1 = 2a_ {0}+(2a_ {1} -a_ {0}) x+\ sum _ {k = 2}^{\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1}+ 2a_ {k}) x^{k}.}$

Siden dette gjelder for alle x i konvergensradien til den originale Taylor -serien, kan vi beregne som følger. Siden den konstante termen til venstre må være lik den konstante termen til høyre følger det at

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.}$

Siden det ikke er noen potens for x til venstre, må alle koeffisientene til høyre være null, hvorav det følger at

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {4}}}$

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) \ quad {\ text {for}} \ k \ geq 2.}$

Omvendt bestemmer enhver sekvens som tilfredsstiller en lineær tilbakefall en rasjonell funksjon når den brukes som koeffisientene til en Taylor -serie. Dette er nyttig for å løse slike tilbakefall, siden ved å bruke delvis fraksjon dekomponering kan vi skrive hvilken som helst riktig rasjonell funksjon som en sum av faktorer i form 1 / ( ax + b ) og utvide disse som geometriske serier , noe som gir en eksplisitt formel for Taylor koeffisienter; dette er metoden for å generere funksjoner .

Abstrakt algebra og geometrisk forestilling

I abstrakt algebra utvides begrepet et polynom til å omfatte formelle uttrykk der koeffisientene til polynomet kan tas fra et hvilket som helst felt . I denne innstillingen gitt et felt F og noen ubestemmelig X , et rasjonelt uttrykk er noe element i feltet av fraksjoner av polynomet ring F [ X ]. Ethvert rasjonelt uttrykk kan skrives som kvotienten til to polynomer P / Q med Q ≠ 0, selv om denne representasjonen ikke er unik. P / Q tilsvarer R / S , for polynomer P , Q , R og S , når PS = QR . Siden F [ X ] er et unikt faktoriseringsdomene , er det imidlertid en unik representasjon for ethvert rasjonelt uttrykk P / Q med P- og Q -polynomer av laveste grad og Q valgt for å være monisk . Dette ligner på hvordan en brøkdel av heltall alltid kan skrives unikt i laveste termer ved å avbryte vanlige faktorer.

Feltet med rasjonelle uttrykk er betegnet F ( X ). Dette feltet er sagt å være generert (som et felt) over F med (en opphøyet element ) X , fordi F ( X ) ikke inneholder noen skikkelig delfelt inneholdende både F og elementet X .

Komplekse rasjonelle funksjoner

• Julia setter for rasjonelle kart
• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {az^{5}+z^{3}+bz}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {z^{3}+z (-3-3i)}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z^{2} -0.2+0.7i} {z^{2} +0.917}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z^{2}} {z^{9} -z+0.025}}}$

I kompleks analyse , en rasjonell funksjon

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}$

er forholdet mellom to polynomer med komplekse koeffisienter, hvor Q ikke er nullpolynomet og P og Q ikke har noen felles faktor (dette unngår f å ta den ubestemte verdien 0/0).

Domenet til f er settet med komplekse tall slik at og dets område er settet av de komplekse tallene w slik at${\ displaystyle Q (z) \ neq 0,}$${\ displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$

Hver rasjonell funksjon kan naturlig utvides til en funksjon hvis domene og område er hele Riemann -sfæren ( kompleks projektiv linje ).

Rasjonelle funksjoner er representative eksempler på meromorfe funksjoner .

Iterasjon av rasjonelle funksjoner (kart) på Riemann -sfæren skaper diskrete dynamiske systemer .

Forestilling om en rasjonell funksjon på en algebraisk variasjon

I likhet med polynomer kan rasjonelle uttrykk også generaliseres til n ubestemte X ₁ , ..., X _n , ved å ta feltet med fraksjoner av F [ X ₁ , ..., X _n ], som er betegnet med F ( X ₁ , ..., X _n ).

En utvidet versjon av den abstrakte ideen om rasjonell funksjon brukes i algebraisk geometri. Der er funksjonsfeltet til en algebraisk variant V dannet som feltet for fraksjoner av koordinatringen til V (mer nøyaktig sagt, av et Zariski-tett affint åpent sett i V ). Elementene f betraktes som vanlige funksjoner i betydningen algebraisk geometri på ikke-tomme åpne sett U , og kan også sees på som morfisme til den projektive linjen .

applikasjoner

Rasjonelle funksjoner brukes i numerisk analyse for interpolasjon og tilnærming av funksjoner, for eksempel Padé -tilnærminger introdusert av Henri Padé . Tilnærminger når det gjelder rasjonelle funksjoner er godt egnet for datamaskinalgebra -systemer og annen numerisk programvare . Som polynomer kan de evalueres greit, og samtidig uttrykker de mer mangfoldig oppførsel enn polynomer.

Rasjonelle funksjoner brukes til å tilnærme eller modellere mer komplekse ligninger innen vitenskap og ingeniørfag, inkludert felt og krefter i fysikk, spektroskopi i analytisk kjemi, enzymkinetikk i biokjemi, elektronisk krets, aerodynamikk, medisinkonsentrasjoner in vivo, bølgefunksjoner for atomer og molekyler, optikk og fotografering for å forbedre bildeoppløsning, og akustikk og lyd.

I signalbehandling er Laplace-transformasjonen (for kontinuerlige systemer) eller z-transformasjonen (for diskrete tidssystemer) av impulsresponsen til vanlig brukte lineære tidsinvariante systemer (filtre) med uendelig impulsrespons rasjonelle funksjoner over komplekse tall .

Se også

• Brøkfelt
• Delvis fraksjonering
• Delfraksjoner i integrering
• Funksjonsfelt for en algebraisk variant
• Algebraiske fraksjoner  - en generalisering av rasjonelle funksjoner som gjør det mulig å ta heltallsrøtter

Referanser

• "Rasjonell funksjon" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Trykk, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Seksjon 3.4. Rasjonell funksjonsinterpolering og ekstrapolering" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. utg.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Eksterne linker

• Dynamisk visualisering av rasjonelle funksjoner med JSXGraph