Raven paradoks - Raven paradox

En svart ravn
En svart ravn
Grønne og røde epler ("ikke-svarte ikke-ravner")
Ikke-svarte
ikke-ravner
Ravneparadokset antyder at begge disse bildene bidrar med bevis for at alle ravnene er svarte.

The raven paradoks , også kjent som Hempels paradoks , Hempels ravnene , eller sjelden paradoks innendørs ornitologi , er et paradoks som følge av spørsmålet om hva som utgjør bevis for en uttalelse. Å observere objekter som verken er svarte eller ravner, kan formelt øke sannsynligheten for at alle ravnene er svarte, selv om disse observasjonene intuitivt ikke er relatert.

Dette problemet ble foreslått av logikeren Carl Gustav Hempel på 1940-tallet for å illustrere en motsetning mellom induktiv logikk og intuisjon .

Paradoks

Hempel beskriver paradokset i form av hypotesen :

(1) Alle ravner er svarte . I form av en implikasjon kan dette uttrykkes som: Hvis noe er en ravn, så er den svart.

Via kontraposisjon tilsvarer denne uttalelsen :

(2) Hvis noe ikke er svart, er det ikke en ravn.

Under alle omstendigheter der (2) er sant, er (1) også sant - og på samme måte under alle omstendigheter der (2) er falsk (dvs. hvis man forestiller seg en verden der noe som ikke var svart, men likevel var en ravn, eksisterte), (1) er også falsk.

Gitt en generell uttalelse slik at alle ravner er svarte , vil en form for samme utsagn som refererer til en spesifikk observerbar forekomst av den generelle klassen typisk bli ansett for å utgjøre bevis for den generelle uttalelsen. For eksempel,

(3) Raven til kjæledyret mitt er svart.

er bevis som støtter hypotesen om at alle ravner er svarte .

Paradokset oppstår når den samme prosessen brukes på utsagn (2). Når man ser et grønt eple, kan man observere:

(4) Dette grønne eplet er ikke svart, og det er ikke en ravn.

Av samme resonnement er denne uttalelsen bevis på at (2) hvis noe ikke er svart, er det ikke en ravn. Men siden (som ovenfor) denne uttalelsen er logisk ekvivalent med (1) alle ravner er svarte , følger det at synet av et grønt eple er bevis som støtter forestillingen om at alle ravnene er svarte. Denne konklusjonen virker paradoksal fordi den innebærer at informasjon er oppnådd om ravner ved å se på et eple.

Forslag til vedtak

Nicods kriterium sier at bare observasjoner av ravner skal påvirke ens syn på om alle ravner er svarte. Å observere flere forekomster av sorte ravner bør støtte synspunktet, og å observere hvite eller fargede ravne bør være i strid med det, og observasjoner av ikke-ravnene bør ikke ha noen innflytelse.

Hempels ekvivalensbetingelse sier at når en proposisjon, X, gir bevis til fordel for en annen proposisjon Y, så gir X også bevis til fordel for enhver proposisjon som er logisk ekvivalent med Y.

Realistisk sett er ravensettet endelig. Settet med ikke-svarte ting er enten uendelig eller utenfor menneskelig oppregning. For å bekrefte utsagnet 'Alle ravner er svarte', ville det være nødvendig å observere alle ravnene. Dette er vanskelig, men mulig. For å bekrefte utsagnet 'Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner', ville det være nødvendig å undersøke alle ikke-svarte ting. Dette er ikke mulig. Å observere en svart ravn kan betraktes som en endelig mengde bekreftende bevis, men å observere en ikke-svart ikke-ravn ville være en uendelig liten mengde bevis.

Paradokset viser at Nicods kriterium og Hempels ekvivalensforhold ikke er gjensidig konsistente. En oppløsning til paradokset må avvise minst én av:

  1. negative forekomster uten innflytelse (! PC),
  2. ekvivalensbetingelse (EC), eller,
  3. validering av positive instanser (NC).

En tilfredsstillende løsning bør også forklare hvorfor det naivt ser ut til å være et paradoks. Løsninger som aksepterer den paradoksale konklusjonen, kan gjøre dette ved å presentere en proposisjon som vi intuitivt vet er falske, men som lett forveksles med (PC), mens løsninger som avviser (EC) eller (NC) bør presentere et forslag som vi intuitivt vet å være sant, men det er lett å forveksle med (EC) eller (NC).

Å akseptere ikke-ravner som relevant

Selv om denne konklusjonen av paradokset virker kontraintuitivt, aksepterer noen tilnærminger at observasjoner av (fargede) ikke-ravner faktisk kan utgjøre gyldig bevis til støtte for hypoteser om (den universelle svarte av) ravner.

Hempels resolusjon

Hempel aksepterte selv den paradoksale konklusjonen og argumenterte for at grunnen til at resultatet ser ut til å være paradoksalt, er at vi har forhåndsinformasjon uten hvilken observasjon av en ikke-svart ikke-ravn faktisk ville gi bevis for at alle ravner er svarte.

Han illustrerer dette med eksemplet med generaliseringen "Alle natriumsalter brenner gule", og ber oss vurdere observasjonen som oppstår når noen holder et stykke ren is i en fargeløs flamme som ikke blir gul:

Dette resultatet vil bekrefte påstanden "Det som ikke brenner gult, er ikke natriumsalt", og følgelig vil det i kraft av ekvivalensbetingelsen bekrefte den opprinnelige formuleringen. Hvorfor imponerer dette oss som paradoksale? Årsaken blir tydelig når vi sammenligner den forrige situasjonen med tilfellet med et eksperiment der en gjenstand hvis kjemiske sammensetning ennå ikke er ukjent for oss, holdes i en flamme og ikke klarer å gjøre den gul, og der den påfølgende analysen viser at den ikke inneholder noe salt. Dette utfallet, burde vi uten tvil være enige om, var det som var å forvente på grunnlag av hypotesen ... dermed utgjør dataene her innhentet bekreftende bevis for hypotesen. ... I de tilsynelatende paradoksale tilfellene av bekreftelse, vurderer vi ofte ikke forholdet mellom det gitte beviset, E alene til hypotesen H ... vi innfører stiltiende en sammenligning av H med et bevismateriale som består av E i sammen med en ekstra mengde informasjon som vi tilfeldigvis har til rådighet; i vår illustrasjon inkluderer denne informasjonen kunnskapen (1) om at stoffet som brukes i eksperimentet er is, og (2) at isen ikke inneholder natriumsalt. Hvis vi antar denne tilleggsinformasjonen som gitt, kan selvfølgelig resultatet av eksperimentet ikke gi styrke til hypotesen som blir vurdert. Men hvis vi er forsiktige med å unngå denne stilltiende henvisningen til ytterligere kunnskap ... forsvinner paradoksene.

Standard Bayesian-løsning

En av de mest populære resolusjonsforslagene er å akseptere konklusjonen om at observasjon av et grønt eple gir bevis for at alle ravnene er svarte, men å argumentere for at mengden bekreftelse som er gitt er veldig liten på grunn av det store avviket mellom antall ravner og antall ikke-svarte gjenstander. I følge denne oppløsningen fremstår konklusjonen paradoksalt fordi vi intuitivt estimerer mengden bevis som er gitt ved observasjonen av et grønt eple til å være null, når det faktisk er ikke-null, men ekstremt lite.

IJ Goods presentasjon av dette argumentet i 1960 er kanskje den mest kjente, og variasjoner av argumentet har vært populær siden, selv om det hadde blitt presentert i 1958 og tidlige former for argumentet dukket opp så tidlig som i 1940.

Goods argument innebærer å beregne vekten av bevis gitt av observasjonen av en svart ravn eller en hvit sko til fordel for hypotesen om at alle ravnene i en samling objekter er svarte. Vekten av bevis er logaritmen til Bayes-faktoren , som i dette tilfellet ganske enkelt er den faktoren som oddsen for hypotesen endres når observasjonen blir gjort. Argumentet går som følger:

... antar at det er gjenstander som kan sees når som helst, hvorav det er ravner og er svarte, og at gjenstandene hver har sannsynlighet for å bli sett. La oss være hypotesen om at det er ikke-svarte ravner, og antar at hypotesene i utgangspunktet er ekvivalente. Så hvis vi tilfeldigvis ser en svart ravn, er Bayes-faktoren til fordel for det
dvs. ca 2 hvis antall ravner som eksisterer er kjent for å være stort. Men faktoren hvis vi ser en hvit sko er bare
og dette overgår enhet ved bare om hvis er stor i forhold til . Dermed er bevisvekten som gis ved synet av en hvit sko positiv, men er liten hvis antall ravner er kjent for å være lite sammenlignet med antall ikke-svarte gjenstander.

Mange av forslagsstillerne til denne oppløsningen og varianter av den har vært talsmenn for bayesisk sannsynlighet, og den kalles nå ofte den bayesiske løsningen, selv om, som Chihara bemerker, "det ikke er noe som heter den bayesiske løsningen. Det er mange forskjellige" løsninger som Bayesians har lagt fram ved bruk av Bayesian-teknikker. " Bemerkelsesverdige tilnærminger ved bruk av Bayesian-teknikker (hvorav noen aksepterer PC og i stedet avviser NC) inkluderer Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum , Howson og Urbach, Mackie og Hintikka, som hevder at hans tilnærming er "mer Bayesian enn den så- kalt 'Bayesian løsning' av samme paradoks ". Bayesianske tilnærminger som bruker Carnaps teori om induktiv inferens inkluderer Humburg, Maher og Fitelson & Hawthorne. Vranas introduserte begrepet "Standard Bayesian Solution" for å unngå forvirring.

Carnap-tilnærming

Maher aksepterer den paradoksale konklusjonen, og foredler den:

En ikke-ravn (uansett farge) bekrefter at alle ravner er svarte fordi

(i) informasjonen om at dette objektet ikke er en ravn fjerner muligheten for at dette objektet er et moteksempel til generaliseringen, og
(ii) det reduserer sannsynligheten for at ikke-observerte objekter er ravner, og reduserer dermed sannsynligheten for at de er moteksempler til generaliseringen.

For å nå (ii) appellerer han til Carnaps teori om induktiv sannsynlighet, som er (fra Bayesiansk synspunkt) en måte å tildele tidligere sannsynligheter som naturlig implementerer induksjon. I følge Carnaps teori er den bakre sannsynligheten for at et objekt , vil ha et predikat , etter at bevisene er observert, er:

hvor er den første sannsynligheten som har predikatet ; er antall gjenstander som er undersøkt (i henhold til tilgjengelig bevis ); er antall undersøkte objekter som viste seg å ha predikatet , og er en konstant som måler motstand mot generalisering.

Hvis er nær null, vil være veldig nær en etter en enkelt observasjon av et objekt som viste seg å ha predikatet , mens det er mye større enn , vil være veldig nær uavhengig av brøkdelen av observerte objekter som hadde predikatet .

Ved å bruke denne Carnapian-tilnærmingen identifiserer Maher en proposisjon vi intuitivt (og riktig) vet er falsk, men lett forveksler med den paradoksale konklusjonen. Forslaget det er snakk om er at observasjon av ikke-ravnene forteller oss om fargen på ravnene. Selv om dette er intuitivt falskt og også er usant i henhold til Carnaps teori om induksjon, fører det til at vi observerer ikke-ravner (ifølge den samme teorien) oss til å redusere vårt estimat av det totale antall ravner, og dermed redusere det estimerte antallet mulige moteksempler til regelen om at alle ravner er svarte.

Fra Bayesian-Carnapian synspunkt forteller ikke observasjon av en ikke-ravn oss ikke noe om fargen på ravnene, men den forteller oss om utbredelsen av ravnene, og støtter "Alle ravnene er svarte" ved å redusere estimat av antall ravner som kanskje ikke er svarte.

Rollen til bakgrunnskunnskap

Mye av diskusjonen om paradokset generelt og den bayesiske tilnærmingen spesielt har sentrert om relevansen av bakgrunnskunnskap. Overraskende viser Maher at observasjonen av en ikke-svart ikke-ravn gir nøyaktig samme bekreftelse som observasjonen av en svart ravn , for en stor klasse av mulige konfigurasjoner av bakgrunnskunnskap . Konfigurasjonene av bakgrunnskunnskap som han anser er de som er gitt av en prøveproposisjon , nemlig en proposisjon som er en forbindelse av atomproposisjoner, som hver tilskriver et enkelt predikat til et enkelt individ, uten to atomproposisjoner som involverer samme individ . Dermed kan en proposisjon av formen "A er en svart ravn og B er en hvit sko" betraktes som et prøveforslag ved å ta "svart ravn" og "hvit sko" som predikater.

Beviset til Maher ser ut til å være i strid med resultatet av det bayesiske argumentet, som var at observasjonen av en ikke-svart ikke-ravn gir mye mindre bevis enn observasjonen av en svart ravn. Årsaken er at bakgrunnskunnskapen som Good og andre bruker, ikke kan uttrykkes i form av et utvalgsproposisjon - spesielt antar varianter av standard Bayesian-tilnærming ofte (som Good gjorde i argumentet sitert ovenfor) at det totale antallet ravner, ikke-svarte gjenstander og / eller det totale antallet gjenstander, er kjente mengder. Maher kommenterer at, "Årsaken til at vi tror det er flere ting som ikke er svarte enn ravner, er fordi det har vært sant for de tingene vi har observert til dags dato. Bevis av denne typen kan representeres av et eksempel. Men ... gitt ethvert eksempel på forslag som bakgrunnsbevis, bekrefter en ikke-svart ikke-ravn A like sterkt som en svart ravn gjør ... Dermed antyder analysen min at dette svaret på paradokset [dvs. den standard Bayesian] ikke kan være riktig. "

Fitelson & Hawthorne undersøkte forholdene der observasjon av en ikke-svart ikke-ravn gir mindre bevis enn observasjonen av en svart ravn. De viser at, hvis er et objekt valgt tilfeldig, er proposisjonen at objektet er svart, og er proposisjonen om at objektet er en ravn, så er betingelsen:

er tilstrekkelig for observasjon av en ikke-svart ikke-ravn for å gi mindre bevis enn observasjonen av en svart ravn. Her indikerer en linje over en proposisjon den logiske negasjonen av den proposisjonen.

Denne tilstanden forteller oss ikke hvor stor forskjellen i beviset som er gitt, men en senere beregning i samme papir viser at vekten av bevis fra en svart ravn overstiger den som ble gitt av en ikke-svart ikke-ravn med omtrent . Dette er lik mengden tilleggsinformasjon (i biter, hvis basen til logaritmen er 2) som blir gitt når en ravn av ukjent farge oppdages å være svart, gitt hypotesen om at ikke alle ravnene er svarte.

Fitelson & Hawthorne forklarer at:

Under normale omstendigheter, kan være et sted rundt 0,9 eller 0,95; så er det et sted rundt 1.11 eller 1.05. Dermed kan det se ut til at en enkelt forekomst av en svart ravn ikke gir mye mer støtte enn en ikke-svart ikke-ravn. Under plausible forhold kan det imidlertid vises at en sekvens av forekomster (dvs. av n svarte ravn, sammenlignet med n ikke-svarte ikke-ravn) gir et forhold mellom sannsynlighetsforhold i størrelsesorden , som sprenger betydelig for store .

Forfatterne påpeker at deres analyse er helt i samsvar med antagelsen om at en ikke-svart ikke-ravn gir en ekstremt liten mengde bevis, selv om de ikke prøver å bevise det; de bare beregner forskjellen mellom bevismengden som en svart ravn gir og mengden bevis som en ikke-svart ikke-ravn gir.

Bestrider induksjonen fra positive tilfeller

Noen tilnærminger for å løse paradokset fokuserer på det induktive trinnet. De bestrider om observasjon av en bestemt forekomst (for eksempel en svart ravn) er den type bevis som nødvendigvis øker tilliten til den generelle hypotesen (for eksempel at ravnene alltid er svarte).

Rødsild

Good gir et eksempel på bakgrunnskunnskap som observasjon av en svart ravn reduserer sannsynligheten for at alle ravner er svarte:

Anta at vi vet at vi er i en eller annen av to verdener, og hypotesen, H, under vurdering er at alle ravnene i vår verden er svarte. Vi vet på forhånd at det i en verden er hundre sorte ravner, ingen ikke-sorte ravner og en million andre fugler; og at det i den andre verden er tusen sorte ravner, en hvit ravn og en million andre fugler. En fugl blir valgt tilfeldig ut fra alle fuglene i vår verden. Det viser seg å være en svart ravn. Dette er et sterkt bevis ... på at vi er i den andre verden, der ikke alle ravner er svarte.

Good konkluderer med at den hvite skoen er en " rød sild ": Noen ganger kan til og med en svart ravn utgjøre bevis mot hypotesen om at alle ravnene er svarte, så det at observasjonen av en hvit sko kan støtte den er ikke overraskende og ikke verdt oppmerksomhet . Nikods kriterium er i følge Good godt, og derfor følger ikke den paradoksale konklusjonen.

Hempel avviste dette som en løsning på paradokset, og insisterte på at proposisjonen 'c er en ravn og er svart' må betraktes som "av seg selv og uten referanse til annen informasjon", og påpekte at den "... ble understreket i avsnitt 5.2 (b) i artikkelen min i tankene ... at selve utseendet til paradoksalitet i tilfeller som den hvite skoen delvis skyldes manglende overholdelse av denne maksimeringen. "

Spørsmålet som da oppstår er om paradokset skal forstås i sammenheng med absolutt ingen bakgrunnsinformasjon (som Hempel antyder), eller i sammenheng med bakgrunnsinformasjonen vi faktisk har om ravner og svarte gjenstander, eller med hensyn til alle mulige konfigurasjoner av bakgrunnsinformasjon.

Good hadde vist at Nicods kriterium for noen konfigurasjoner av bakgrunnskunnskap er falskt (forutsatt at vi er villige til å likestille "induktivt støtte" med "øke sannsynligheten for" - se nedenfor). Muligheten var at med hensyn til vår faktiske konfigurasjon av kunnskap, som er veldig forskjellig fra Goods eksempel, kan Nicods kriterium fremdeles være sant, og vi kan fremdeles komme til den paradoksale konklusjonen. Hempel, derimot, insisterer på at vår bakgrunnskunnskap i seg selv er røde sild, og at vi bør vurdere induksjon med hensyn til en tilstand av perfekt uvitenhet.

Good's baby

I sin resolusjonsforslag brukte Maher implisitt det faktum at proposisjonen "Alle ravner er svarte" er høyst sannsynlig når det er høyst sannsynlig at det ikke er ravner. Good hadde brukt dette faktum før for å svare på Hempels insistering på at Nicods kriterium skulle forstås slik at det ikke hadde bakgrunninformasjon:

... forestill deg en uendelig intelligent nyfødt baby som har innebygde nevrale kretser som gjør det mulig for ham å takle formell logikk, engelsk syntaks og subjektiv sannsynlighet. Han kan nå hevde, etter å ha definert en ravn i detalj, at det er ekstremt usannsynlig at det er noen ravner, og derfor er det ekstremt sannsynlig at alle ravnene er svarte, det vil si det er sant. 'På den annen side' fortsetter han og argumenterer, 'hvis det er ravner, er det en rimelig sjanse for at de har en rekke farger. Derfor, hvis jeg skulle oppdage at det til og med eksisterer en svart ravn, vil jeg vurdere å være mindre sannsynlig enn den var i utgangspunktet. '

Dette er ifølge Good så nært som man med rimelighet kan forvente å komme til en tilstand av perfekt uvitenhet, og det ser ut til at Nikods tilstand fortsatt er falsk. Maher gjorde Goods argument mer presist ved å bruke Carnaps teori om induksjon for å formalisere forestillingen om at hvis det er en ravn, er det sannsynlig at det er mange.

Mahers argument vurderer et univers med nøyaktig to objekter, som hver for seg er lite sannsynlig å være en ravn (en av tusen sjanser) og rimelig lite sannsynlig å være svart (en av ti sjanser). Ved å bruke Carnaps formel for induksjon, finner han at sannsynligheten for at alle ravner er svarte reduseres fra 0,9985 til 0,8995 når det blir oppdaget at en av de to gjenstandene er en svart ravn.

Maher konkluderer med at ikke bare er den paradoksale konklusjonen sant, men at Nicods kriterium er falskt i fravær av bakgrunnskunnskap (bortsett fra kunnskapen om at antall objekter i universet er to og at ravner er mindre sannsynlige enn svarte ting).

Distinguished predikater

Quine hevdet at løsningen på paradokset ligger i erkjennelsen av at visse predikater , som han kalte naturlige arter , har en fremtredende status med hensyn til induksjon. Dette kan illustreres med Nelson Goodman 's eksempel på predikatet grue . Et objekt er grått hvis det er blått før (si) 2021 og grønt etterpå. Det er klart at vi forventer at gjenstander som var blå før 2021 forblir blå etterpå, men vi forventer ikke at gjenstandene som ble funnet å være grue før 2021, var blå etter 2021, siden de etter 2021 ville være grønne. Quines forklaring er at "blå" er en naturlig type; et privilegert predikat vi kan bruke til induksjon, mens "grue" ikke er en naturlig art og bruk av induksjon med det fører til feil.

Dette antyder en løsning på paradokset - Nicods kriterium gjelder for naturlige slag, som "blå" og "svart", men er falsk for kunstig konstruerte predikater, som "grue" eller "ikke-ravn". Paradokset oppstår i henhold til denne oppløsningen fordi vi implisitt tolker Nicods kriterium slik at det gjelder alle predikater når det faktisk bare gjelder naturlige slag.

En annen tilnærming, som favoriserer spesifikke predikater fremfor andre, ble tatt av Hintikka. Hintikka var motivert for å finne en bayesisk tilnærming til paradokset som ikke brukte kunnskap om de relative frekvensene til ravner og sorte ting. Argumenter angående relative frekvenser, hevder han, kan ikke alltid redegjøre for den opplevde irrelevansen av bevis som består av observasjoner av gjenstander av type A for å lære om gjenstander av typen ikke-A.

Argumentet hans kan illustreres ved å omformulere paradokset ved å bruke andre predikater enn "ravn" og "svart". For eksempel tilsvarer "Alle menn er høye" til "Alle korte mennesker er kvinner", og det å observere at en tilfeldig valgt person er en kort kvinne, bør gi bevis for at alle menn er høye. Til tross for at vi mangler bakgrunnskunnskap for å indikere at det er dramatisk færre menn enn korte mennesker, finner vi oss fortsatt tilbøyelige til å avvise konklusjonen. Hintikkas eksempel er: "... en generalisering som 'ingen materielle kropper er uendelig delelig' ser ut til å være helt upåvirket av spørsmål angående immaterielle enheter, uavhengig av hva man synes om de relative frekvensene av materielle og immaterielle enheter i ens diskursunivers. "

Løsningen hans er å introdusere en ordre i settet med predikater. Når det logiske systemet er utstyrt med denne rekkefølgen, er det mulig å begrense omfanget av en generalisering som "Alle ravner er svarte" slik at den gjelder bare ravner og ikke for ikke-svarte ting, siden ordreprivilegiene ravner over ikke -svarte ting. Som han sier det:

"Hvis vi er berettiget til å anta at omfanget av generaliseringen 'Alle ravnene er svarte' kan være begrenset til ravnene, betyr dette at vi har litt informasjon utenfor, som vi kan stole på når det gjelder den faktiske situasjonen. Paradokset kommer av det faktum at denne informasjonen, som farger vårt spontane syn på situasjonen, ikke er innlemmet i de vanlige behandlingene av den induktive situasjonen. "

Avslag på Hempels ekvivalensforhold

Noen tilnærminger for å løse paradokset avviser Hempels ekvivalensbetingelse. Det vil si at de kanskje ikke anser bevis som støtter utsagnet, alle ikke-svarte gjenstander er ikke-ravner for nødvendigvis å støtte logisk ekvivalente utsagn, slik som alle ravner er svarte .

Selektiv bekreftelse

Scheffler og Goodman tok en tilnærming til paradokset som inkorporerer Karl Popers syn på at vitenskapelige hypoteser egentlig ikke blir bekreftet, bare forfalsket.

Tilnærmingen begynner med å merke seg at observasjonen av en svart ravn ikke beviser at "Alle ravner er svarte", men den forfalsker den motsatte hypotesen, "Ingen ravn er svart". En ikke-svart ikke-ravn, derimot, stemmer overens med både "Alle ravner er svarte" og med "Ingen ravner er svarte". Som forfatterne uttrykte det:

... uttalelsen om at alle ravner er svarte, tilfredsstilles ikke bare med bevis på en svart ravn, men favoriseres av slike bevis, siden en svart ravn bekrefter den motsatte påstanden om at alle ravnene ikke er svarte, dvs. tilfredsstiller dens benektelse. En svart ravn tilfredsstiller med andre ord hypotesen om at alle ravnene er svarte i stedet for: den bekrefter dermed selektivt at alle ravnene er svarte .

Selektiv bekreftelse bryter ekvivalensbetingelsen siden en svart ravn selektivt bekrefter "Alle ravner er svarte", men ikke "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner".

Probabilistisk eller ikke-probabilistisk induksjon

Scheffler og Goodmans konsept med selektiv bekreftelse er et eksempel på en tolkning av "gir bevis til fordel for ..." som ikke sammenfaller med "øke sannsynligheten for ..." Dette må være et generelt trekk i alle resolusjoner som avviser ekvivalensbetingelser, siden logisk ekvivalente proposisjoner alltid må ha samme sannsynlighet.

Det er umulig for observasjonen av en svart ravn å øke sannsynligheten for proposisjonen "Alle ravner er svarte" uten å forårsake nøyaktig samme endring i sannsynligheten for at "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner". Hvis en observasjon induktivt støtter førstnevnte, men ikke sistnevnte, må "induktiv støtte" referere til noe annet enn endringer i sannsynligheten for proposisjoner. Et mulig smutthull er å tolke "Alle" som "Nesten alle" - "Nesten alle ravner er svarte" tilsvarer ikke "Nesten alle ikke-svarte ting er ikke-ravner", og disse proposisjonene kan ha svært forskjellige sannsynligheter.

Dette reiser det bredere spørsmålet om forholdet mellom sannsynlighetsteori og induktiv resonnement. Karl Popper hevdet at sannsynlighetsteori alene ikke kan redegjøre for induksjon. Hans argument innebærer å dele en hypotese,, i en del som deduktivt er medført av bevisene , og en annen del. Dette kan gjøres på to måter.

Først bør du vurdere splitting:

hvor , og er sannsynlig uavhengige: og så videre. Betingelsen som er nødvendig for at en slik splitting av H og E skal være mulig , det vil si at det er sannsynlig støttet av .

Poppers observasjon er at den delen ,, av som mottar støtte fra faktisk følger deduktivt fra , mens den delen av det ikke følger deduktivt fra mottar ingen støtte i det hele tatt fra - det vil si .

For det andre, splittelsen:

skiller seg inn i , som som Popper sier, "er den logisk sterkeste delen av (eller av innholdet i ) som følger [deduktivt] fra ", og som, sier han, "inneholder alt som går utover ". Han fortsetter:

Gir i dette tilfellet støtte for faktoren , som i nærvær av er nødvendig for å oppnå ? Svaret er: Nei. Det gjør det aldri. Faktisk motstøtter med mindre enten eller (som er muligheter uten interesse). ...
Dette resultatet er fullstendig ødeleggende for den induktive tolkningen av sannsynlighetsregningen. All sannsynlig støtte er rent deduktiv: den delen av en hypotese som ikke deduktivt er medført av bevisene, støttes alltid sterkt av bevisene ... Det er noe som sannsynlig støtte; det kan til og med være noe som induktiv støtte (selv om vi neppe tror det). Men sannsynlighetsberegningen avslører at sannsynlig støtte ikke kan være induktiv støtte.

Ortodoks tilnærming

Den ortodokse Neyman – Pearson- teorien om hypotesetesting vurderer hvordan man skal bestemme om man skal godta eller avvise en hypotese, snarere enn hvilken sannsynlighet å tildele hypotesen. Fra dette synspunktet aksepteres ikke hypotesen om at "Alle ravner er svarte" gradvis , ettersom sannsynligheten øker mot en når flere og flere observasjoner blir gjort, men aksepteres i en enkelt handling som et resultat av å evaluere dataene som har allerede er samlet inn. Som Neyman og Pearson sa det:

Uten å håpe å vite om hver enkelt hypotese er sann eller falsk, kan vi søke etter regler for å styre vår oppførsel med hensyn til dem, og deretter forsikrer vi at vi på lang sikt ikke ofte tar feil.

I følge denne tilnærmingen er det ikke nødvendig å tilordne sannsynligheten for en hypotese noen verdi , selv om man absolutt må ta i betraktning sannsynligheten for dataene gitt hypotesen, eller gitt en konkurrerende hypotese, når man bestemmer om man skal godta eller avvise . Aksept eller avvisning av en hypotese medfører risiko for feil .

Dette står i kontrast til den bayesiske tilnærmingen, som krever at hypotesen tildeles en tidligere sannsynlighet, som blir revidert i lys av de observerte dataene for å oppnå den endelige sannsynligheten for hypotesen. Innenfor Bayesian-rammene er det ingen risiko for feil siden hypoteser ikke blir akseptert eller avvist; i stedet blir de tildelt sannsynligheter.

En analyse av paradokset fra det ortodokse synspunktet er utført, og fører til blant annet innsikt, en avvisning av ekvivalensbetingelsen:

Det virker åpenbart at man ikke begge kan akseptere hypotesen om at alle P er Q og også avvise kontrapositive, dvs. at alle ikke-Q er ikke-P. Likevel er det lett å se at i Neyman-Pearson-teorien om testing er en test av "All P's Q" ikke nødvendigvis en test av "All non-Q's are non-P" eller omvendt. En test av "Alle P er Q" krever referanse til noen alternativ statistisk hypotese av formen til alle P er Q , mens en test av "Alle ikke-Q er ikke-P" krever referanse til noe statistisk alternativ av form av alle ikke-Qs er ikke-P, . Men disse to settene med mulige alternativer er forskjellige ... Dermed kan man ta en test av uten å ha en test av dens kontrapositive.

Avviser materiell implikasjon

Følgende proposisjoner innebærer alle hverandre: "Hvert objekt er enten svart eller ikke en ravn", "Hver ravn er svart" og "Hver ikke-svart gjenstand er en ikke-ravn." De er derfor per definisjon logisk likeverdige. Imidlertid har de tre proposisjonene forskjellige domener: den første proposisjonen sier noe om "hvert objekt", mens det andre sier noe om "hver ravn".

Den første proposisjonen er den eneste hvis kvantifiseringsdomene er ubegrenset ("alle objekter"), så dette er den eneste som kan uttrykkes i førsteordens logikk . Det tilsvarer logisk:

og også til

hvor indikerer materialet betinget , ifølge hvilket "Hvis da " kan forstås å bety " eller ".

Det er blitt hevdet av flere forfattere at materiell implikasjon ikke fanger opp betydningen av "Hvis da " (se paradoksene for materiell implikasjon ). "For hvert objekt, , er enten svart eller ikke en raven" er sant når det ikke er noen ravner. Det er på grunn av dette at "Alle ravner er svarte" blir ansett som sanne når det ikke er ravner. Videre støttet argumentene som Good og Maher brukte for å kritisere Nicods kriterium (se § Goods baby , ovenfor) på dette faktum - at "Alle ravner er svarte" er høyst sannsynlig når det er høyst sannsynlig at det ikke er ravn.

Å si at alle ravner er svarte i fravær av ravner, er en tom uttalelse. Det refererer til ingenting. "Alle ravner er hvite" er like relevante og sanne, hvis denne uttalelsen anses å ha noen sannhet eller relevans.

Noen tilnærminger til paradokset har forsøkt å finne andre måter å tolke "Hvis da " og "Alt er ", som vil eliminere den oppfattede ekvivalensen mellom "Alle ravner er svarte" og "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner."

En slik tilnærming innebærer å innføre en mangeverdige logikk som "Hvis da " har sannhetsverdien , som betyr "Ubestemt" eller "Upassende" når det er falskt. I et slikt system er kontraposisjon ikke automatisk tillatt: "Hvis da " tilsvarer ikke "Hvis da ". Følgelig tilsvarer "Alle ravner er svarte" ikke "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner".

I dette systemet, når kontraposisjon oppstår, endres modaliteten til den betingede involverte fra det veiledende ("Hvis det smørstykket er oppvarmet til 32 ° C så har det smeltet") til kontrafaktisk ("Hvis det smørstykket hadde vært oppvarmet til 32 ° C da ville det ha smeltet "). I følge dette argumentet fjerner dette den påståtte ekvivalensen som er nødvendig for å konkludere med at gule kyr kan informere oss om ravner:

I riktig grammatisk bruk bør et kontrapositivt argument ikke angis helt i veiledningen. Og dermed:
Fra det faktum at hvis denne kampen er riper, vil den lyse, følger det at hvis den ikke lyser, ble den ikke riper.
er vanskelig. Vi burde si:
Fra det faktum at dersom denne kampen er skrapet det lyser, følger det at hvis det var ikke for lys det ville ikke ha blitt ripete. ...
Man kan lure på hvilken effekt denne tolkningen av lov om kontraposisjon har på Hempels paradoks for bekreftelse. "Hvis er en ravn så er svart" tilsvarer "Hvis ikke var svart så ville ikke være en ravn". Derfor, uansett hva som bekrefter sistnevnte, bør det også ved likeverdensbetingelsen bekrefte det første. Det er sant, men gule kyr kan fremdeles ikke finne ut av bekreftelsen på "Alle ravnene er svarte" fordi, i vitenskapen, blir bekreftelse oppnådd med spådommer, og spådommer er riktig angitt i den veiledende stemningen. Det er meningsløst å spørre hva som bekrefter en kontrafaktisk.

Ulike resultater av å akseptere hypotesene

Flere kommentatorer har observert at proposisjonene "Alle ravner er svarte" og "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner" antyder forskjellige prosedyrer for å teste hypotesene. F.eks. Good skriver:

Som proposisjoner er de to utsagnene logisk likeverdige. Men de har en annen psykologisk effekt på eksperimentatoren. Hvis han blir bedt om å teste om alle ravner er svarte, vil han se etter en ravn og deretter bestemme om den er svart. Men hvis han blir bedt om å teste om alle ikke-svarte ting er ikke-ravner, kan han se etter et ikke-svart objekt og deretter bestemme om det er en ravn.

Mer nylig har det blitt antydet at "Alle ravner er svarte" og "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner" kan ha forskjellige effekter når de blir akseptert . Argumentet vurderer situasjoner der det totale antallet eller forekomst av ravner og svarte gjenstander er ukjent, men estimert. Når hypotesen "Alle ravner er svarte" aksepteres, ifølge argumentet, øker det estimerte antallet svarte gjenstander, mens det estimerte antallet ravner ikke endres.

Det kan illustreres ved å vurdere situasjonen til to personer som har identisk informasjon om ravner og sorte gjenstander, og som har identiske estimater av antall ravner og sorte gjenstander. Anta at det er 100 objekter generelt, og i henhold til informasjonen som er tilgjengelig for de involverte, er hvert objekt like sannsynlig å være en ikke-ravn som det er å være en ravn, og like sannsynlig å være svart som det er å være ikke-svart:

og forslagene er uavhengige for forskjellige objekter , og så videre. Da er estimert antall ravner 50; anslått antall svarte ting er 50; estimert antall sorte ravner er 25, og estimert antall ikke-sorte ravner (moteksempler til hypotesene) er 25.

En av menneskene utfører en statistisk test (f.eks. En Neyman-Pearson- test eller sammenligning av den akkumulerte bevisvekten til en terskel) av hypotesen om at "Alle ravnene er svarte", mens den andre tester hypotesen om at "Alle ikke- svarte gjenstander er ikke-ravner ". For enkelhets skyld, anta at bevisene som ble brukt til testen ikke har noe å gjøre med samlingen av 100 objekter som er behandlet her. Hvis den første personen aksepterer hypotesen om at "Alle ravner er svarte", antas det ifølge argumentet at rundt 50 objekter hvis farger tidligere var i tvil (ravnene) nå antas å være svarte, mens det ikke er noe annet tenkt på gjenværende gjenstander (ikke-ravnene). Derfor bør han estimere antall sorte ravner til 50, antall sorte ikke-ravner til 25 og antall ikke-svarte ikke-ravner til 25. Ved å spesifisere disse endringene begrenser dette argumentet eksplisitt domenet til "Alle ravner er svarte "for ravner.

På den annen side, hvis den andre personen aksepterer hypotesen om at "Alle ikke-svarte gjenstander er ikke-ravner", vil de omtrent 50 ikke-svarte gjenstandene som det var usikkert om hver var en ravn, bli antatt å være ikke -graver. Samtidig vil ikke noe annerledes tenkes på de omtrent 50 gjenværende gjenstandene (de svarte gjenstandene). Derfor bør han estimere antall sorte ravner til 25, antall sorte ikke-ravner til 25 og antall ikke-svarte ikke-ravner til 50. I følge dette argumentet, siden de to personene er uenige om deres estimater etter at de har akseptert de forskjellige hypotesene, å akseptere "Alle ravner er svarte" tilsvarer ikke å akseptere "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner"; å akseptere førstnevnte betyr å estimere flere ting til å være svart, mens å akseptere sistnevnte innebærer å estimere flere ting som ikke-ravner. Tilsvarende, argumenterer det, krever førstnevnte som bevis ravner som viser seg å være svarte, og sistnevnte krever ikke-svarte ting som viser seg å være ikke-ravner.

Eksistensielle forutsetninger

En rekke forfattere har hevdet at proposisjoner av skjemaet "Alle er " forutsetter at det er gjenstander som er . Denne analysen har blitt brukt på ravneparadokset:

... : "Alle ravner er svarte" og : "Alle ikke-svarte ting er ikke-ravner" er ikke strengt likeverdige ... på grunn av deres forskjellige eksistensielle forutsetninger. Dessuten, selv om og beskriver den samme regelmessigheten - ikke-eksisterende ravner - har de forskjellige logiske former. De to hypotesene har forskjellige sanser og inneholder forskjellige prosedyrer for å teste regelmessigheten de beskriver.

En modifisert logikk kan ta hensyn til eksistensielle forutsetninger ved å bruke forutsetningsoperatøren, '*'. For eksempel,

kan betegne "Alle ravner er svarte" mens de indikerer at det er ravner og ikke ikke-svarte gjenstander som antas å eksistere i dette eksemplet.

... den logiske formen for hver hypotese skiller den med hensyn til anbefalt type støttende bevis: de muligens sanne substitusjonsforekomstene for hver hypotese er knyttet til forskjellige typer objekter. Det faktum at de to hypotesene inneholder forskjellige typer testprosedyrer, uttrykkes på det formelle språket ved å prefikse operatøren '*' til et annet predikat. Den forutsette operatøren tjener altså også som en relevant aktør. Det er prefikset til predikatet ' er en ravn' fordi objektene som er relevante for testprosedyren innlemmet i "Alle ravnene er svarte" inkluderer bare ravnene; det er prefikset til predikatet ' er ikke-svart', i , fordi objektene som er relevante for testprosedyren som er innlemmet i "Alle ikke-svarte ting er ikke-farger" inkluderer bare ikke-svarte ting. ... Bruk av Fregean- termer: når deres forutsetninger holder, har de to hypotesene samme referanse (sannhetsverdi), men forskjellige sanser ; det vil si at de uttrykker to forskjellige måter å bestemme den sannhetsverdien på.

Se også

Merknader

Videre lesning