Relativistisk mekanikk - Relativistic mechanics

I fysikk , relativistisk mekanikk refererer til mekanikere som er kompatible med spesielle relativitetsteori (SR) og generell relativitet (GR). Den gir en ikke- kvantemekanisk beskrivelse av et system av partikler, eller av en væske , i tilfeller der hastigheten til objekter i bevegelse er sammenlignbar med lysets hastighet c . Som et resultat utvides den klassiske mekanikken riktig til partikler som beveger seg med høye hastigheter og energier, og gir en konsekvent inkludering av elektromagnetisme med mekanikken til partikler. Dette var ikke mulig i den galileiske relativiteten, der det ville være tillatt for partikler og lys å bevege seg med hvilken som helst hastighet, inkludert raskere enn lys. Grunnlaget for relativistisk mekanikk er postulatene til spesiell relativitet og generell relativitet. Samlingen av SR med kvantemekanikk er relativistisk kvantemekanikk , mens forsøk på GR er kvantegravitasjon , et uløst problem i fysikken .

Som med klassisk mekanikk kan emnet deles inn i " kinematikk "; beskrivelsen av bevegelse ved å spesifisere posisjoner , hastigheter og akselerasjoner og " dynamikk "; en fullstendig beskrivelse ved å vurdere energier , momenta og vinkelmoment og deres bevaringslover , og krefter som virker på partikler eller utøves av partikler. Det er imidlertid en subtilitet; hva som ser ut til å være "bevegende" og hva som er "i ro" - som kalles " statikk " i klassisk mekanikk - avhenger av den relative bevegelsen til observatører som måler i referanserammer .

Selv om noen definisjoner og begreper fra klassisk mekanikk overfører til SR, for eksempel kraft som tidsderivatet av momentum ( Newtons andre lov ), utføres arbeidet av en partikkel som linjens integral av kraft som utøves på partikkelen langs en bane, og kraft som tidsavledet av utført arbeid, er det en rekke betydelige modifikasjoner av de gjenværende definisjonene og formlene. SR sier at bevegelse er relativ og fysikkens lover er de samme for alle forskere uavhengig av deres treghet referanserammer . I tillegg til å endre forestillinger om rom og tid , tvinger SR en til å revurdere begrepene masse , momentum og energi som alle er viktige konstruksjoner i den newtonske mekanikken . SR viser at disse begrepene alle er forskjellige aspekter av den samme fysiske størrelsen på omtrent samme måte som det viser rom og tid som skal henge sammen. Følgelig er en annen modifikasjon konseptet om et massesenter i et system, som er enkelt å definere i klassisk mekanikk, men mye mindre åpenbart i relativitet - se relativistisk massesenter for detaljer.

Ligningene blir mer kompliserte i den mer kjente tredimensjonale vektorkalkulalformalismen , på grunn av ulineariteten i Lorentz-faktoren , som nøyaktig står for relativistisk hastighetsavhengighet og fartsgrensen for alle partikler og felt. Imidlertid har de en enklere og elegant form i fire -dimensjonal romtid , som inkluderer flat Minkowski -plass (SR) og buet romtid (GR), fordi tredimensjonale vektorer avledet fra rom og skalarer avledet fra tid kan samles i fire vektorer , eller firdimensjonale tensorer . Imidlertid kalles den sekskomponente vinkelmoment -tensoren noen ganger en bivektor fordi det i 3D -synspunktet er to vektorer (en av disse, det konvensjonelle vinkelmomentet, er en aksial vektor ).

Relativistisk kinematikk

Den relativistiske firehastigheten, det vil si den fire vektoren som representerer hastigheten i relativitet, er definert som følger:

I det ovennevnte er den riktige tiden for banen gjennom romtiden , kalt verdenslinjen, etterfulgt av objektets hastighet ovenfor og, og

er firestillingen ; koordinatene til en hendelse . På grunn av tidsutvidelse er riktig tid tiden mellom to hendelser i en referanseramme der de finner sted på samme sted. Riktig tid er relatert til koordineringstid t av:

hvor er Lorentz -faktoren :

(hver versjon kan være sitert), så det følger:

De tre første begrepene, unntatt faktoren til , er hastigheten sett av observatøren i sin egen referanseramme. Den bestemmes av hastigheten mellom observatørens referanseramme og objektets ramme, som er rammen der den riktige tiden måles. Denne mengden er uforanderlig under Lorentz-transformasjon, så for å kontrollere hva en observatør i en annen referanseramme ser, multipliserer man ganske enkelt hastigheten fire-vektoren med Lorentz-transformasjonsmatrisen mellom de to referanserammer.

Relativistisk dynamikk

Hvilemasse og relativistisk masse

Massen til et objekt målt i sin egen referanseramme kalles dets hvilemasse eller invariant masse og er noen ganger skrevet . Hvis et objekt beveger seg med hastighet i en annen referanseramme, kalles mengden ofte objektets "relativistiske masse" i den rammen. Noen forfattere bruker for å betegne hvilemasse, men for klarhetens skyld vil denne artikkelen følge konvensjonen om å bruke for relativistisk masse og for hvilemasse.

Lev Okun har antydet at begrepet relativistisk masse "ikke har noen rasjonell begrunnelse i dag" og ikke lenger bør læres. Andre fysikere, inkludert Wolfgang Rindler og TR Sandin, hevder at konseptet er nyttig. Se masse i spesiell relativitet for mer informasjon om denne debatten.

En partikkel hvis hvilemasse er null kalles masseløs . Fotoner og gravitoner antas å være masseløse, og nøytrinoer er nesten det.

Relativistisk energi og momentum

Det er et par (ekvivalente) måter å definere momentum og energi i SR. En metode bruker bevaringslover . Hvis disse lovene skal forbli gyldige i SR, må de være sanne i alle mulige referanserammer. Imidlertid, hvis man gjør noen enkle tankeeksperimenter ved bruk av de newtonske definisjonene av momentum og energi, ser man at disse størrelsene ikke bevares i SR. Man kan redde ideen om bevaring ved å gjøre noen små modifikasjoner av definisjonene for å ta hensyn til relativistiske hastigheter . Det er disse nye definisjonene som er tatt som de riktige for momentum og energi i SR.

Den fire-fremdrift av et objekt er grei, identisk i formen til den klassiske fart, men ved å erstatte 3-vektorer med 4-vektorer:

Energien og momentumet til et objekt med invariant masse , som beveger seg med hastighet i forhold til en gitt referanseramme, er gitt av

Faktoren kommer fra definisjonen av firehastigheten beskrevet ovenfor. Utseendet til kan angis på en alternativ måte, som vil bli forklart i neste avsnitt.

Den kinetiske energien,, er definert som

og hastigheten som funksjon av kinetisk energi er gitt av

Det romlige momentumet kan skrives som og bevare formen fra newtonsk mekanikk med relativistisk masse erstattet av newtonsk masse. Imidlertid mislykkes denne substitusjonen for noen mengder, inkludert kraft og kinetisk energi. Dessuten er den relativistiske massen ikke invariant under Lorentz -transformasjoner, mens resten masse er. Av denne grunn foretrekker mange mennesker å bruke hvilemassen og forklare eksplisitt gjennom 4-hastigheten eller koordinatiden.

En enkel sammenheng mellom energi, momentum og hastighet kan oppnås fra definisjonene av energi og momentum ved å multiplisere energien med , multiplisere momentum med og merke at de to uttrykkene er like. Dette gir

kan deretter elimineres ved å dele denne ligningen med og kvadrere,

dividere definisjonen av energi med og kvadrering,

og erstatter:

Dette er det relativistiske forholdet mellom energi og momentum .

Mens energien og momentumet er avhengig av referanserammen der de måles, er mengden uforanderlig. Verdien er ganger den kvadratiske størrelsen på 4-momentumvektoren .

Den uforanderlige massen av et system kan skrives som

På grunn av kinetisk energi og bindingsenergi er denne mengden forskjellig fra summen av resten av partiklene som systemet består av. Hvilemasse er ikke en bevart mengde i spesiell relativitet, i motsetning til situasjonen i Newtons fysikk. Selv om et objekt endrer seg internt, så lenge det ikke utveksler energi eller momentum med omgivelsene, vil ikke hvilemassen endres og kan beregnes med samme resultat i en referanseramme.

Masse -energi ekvivalens

Den relativistiske energi- momentum -ligningen gjelder for alle partikler, selv for masseløse partikler som m 0 = 0. I dette tilfellet:

Når det erstattes med Ev  =  c 2 p , gir dette v  =  c : masseløse partikler (for eksempel fotoner ) beveger seg alltid med lysets hastighet.

Legg merke til at hvilemassen til et sammensatt system generelt vil være litt forskjellig fra summen av hvilemassene i delene, siden deres kinetiske energi i hvilestellet vil øke massen og deres (negative) bindingsenergi vil redusere massen. Spesielt vil en hypotetisk "lysboks" ha hvilemasse selv om den er laget av partikler som ikke har gjort siden deres momenta ville avbrytes.

Når man ser på formelen ovenfor for invariant masse av et system, ser man at når et enkelt massivt objekt er i ro ( v = 0 , p = 0 ), er det en ikke-null masse igjen: m 0 = E / c 2 . Den tilsvarende energien, som også er den totale energien når en enkelt partikkel er i ro, blir referert til som "hvileenergi". I systemer av partikler som sees fra en bevegelig treghetsramme, øker total energi og det samme gjør momentum. For enkeltpartikler forblir imidlertid hvilemassen konstant, og for partikelsystemer forblir den invariante massen konstant, fordi energien og momentumet øker i begge tilfeller og trekker seg fra hverandre og avbryter. Dermed er den invariante massen av partikelsystemer en beregnet konstant for alle observatører, i likhet med resten av enkeltpartikler.

Massen av systemer og bevaring av invariant masse

For partikelsystemer krever energimoment -ligningen å summere momentumvektorene til partiklene:

Treghetsrammen der momenta for alle partikler summerer seg til null kalles sentrum for momentumramme . I denne spesielle rammen har den relativistiske energien - momentumligningen p = 0, og gir dermed systemets invariante masse som bare den totale energien til alle deler av systemet, dividert med c 2

Dette er den uforanderlige massen til ethvert system som måles i en ramme der det har null total momentum, for eksempel en flaske varm gass på en skala. I et slikt system er massen som skalaen veier den invariante massen, og den avhenger av systemets totale energi. Det er dermed mer enn summen av resten av molekylene, men inkluderer også alle de totale energiene i systemet. I likhet med energi og momentum kan den invariante massen av isolerte systemer ikke endres så lenge systemet forblir helt lukket (ingen masse eller energi tillatt inn eller ut), fordi systemets totale relativistiske energi forblir konstant så lenge ingenting kan komme inn eller la det være.

En økning i energien til et slikt system som er forårsaket av å oversette systemet til en treghetsramme som ikke er sentrum for momentrammen , forårsaker en økning i energi og momentum uten en økning i invariant masse. E = m 0 c 2 gjelder imidlertid bare for isolerte systemer i deres sentrum av momentumramme der momentum summerer seg til null.

Ved å ta denne formelen til pålydende, ser vi at i relativitet er masse ganske enkelt energi med et annet navn (og målt i forskjellige enheter). I 1927 bemerket Einstein om spesiell relativitet, "Under denne teorien er ikke masse en uforanderlig størrelse, men en størrelse avhengig av (og faktisk identisk med) mengden energi."

Lukkede (isolerte) systemer

I et "helt lukket" system (dvs. isolert system ) blir den totale energien, den totale momentum og dermed den totale invariante massen bevart. Einsteins formel for endring i masse oversetter til sin enkleste Δ E = Δ mc 2- form, imidlertid bare i ikke-lukkede systemer der energi får slippe ut (for eksempel som varme og lys), og dermed blir varianten masse redusert. Einsteins ligning viser at slike systemer må miste masse, i henhold til formelen ovenfor, i forhold til energien de mister til omgivelsene. Omvendt, hvis man kan måle forskjellene i masse mellom et system før det gjennomgår en reaksjon som frigjør varme og lys, og systemet etter reaksjonen når varme og lys har rømt, kan man anslå mengden energi som slipper ut av systemet.

Kjemiske og kjernefysiske reaksjoner

I både kjernefysiske og kjemiske reaksjoner representerer slik energi forskjellen i bindingsenergier til elektroner i atomer (for kjemi) eller mellom nukleoner i kjerner (i atomreaksjoner). I begge tilfeller måler masseforskjellen mellom reaktanter og (avkjølte) produkter massen av varme og lys som vil unnslippe reaksjonen, og gir dermed (ved bruk av ligningen) ekvivalent energi av varme og lys som kan avgis hvis reaksjonen fortsetter .

I kjemi er masseforskjellene knyttet til den utsendte energien rundt 10–9 av molekylmassen. I atomreaksjoner er imidlertid energiene så store at de er forbundet med masseforskjeller, som kan estimeres på forhånd, hvis produktene og reaktantene er veid (atomer kan veies indirekte ved å bruke atommasser, som alltid er de samme for hvert nuklid ). Dermed blir Einsteins formel viktig når man har målt massene av forskjellige atomkjerner. Ved å se på forskjellen i masser, kan man forutsi hvilke kjerner som har lagret energi som kan frigjøres ved visse kjernefysiske reaksjoner , og gir viktig informasjon som var nyttig i utviklingen av kjernekraft og følgelig atombomben . Historisk sett var for eksempel Lise Meitner i stand til å bruke masseforskjellene i kjerner til å anslå at det var nok energi tilgjengelig for å gjøre kjernefysisjon til en gunstig prosess. Implikasjonene av denne spesielle formen for Einsteins formel har dermed gjort den til en av de mest kjente ligningene innen all vitenskap.

Senter for momentumramme

Ligningen E  =  m 0 c 2 gjelder bare for isolerte systemer i sentrum av momentumrammen . Det har blitt misforstått populært å bety at masse kan omdannes til energi, hvoretter massen forsvinner. Imidlertid inkluderer populære forklaringer på ligningen som brukes på systemer åpne (ikke-isolerte) systemer som varme og lys får slippe unna, når de ellers ville ha bidratt til massen ( invariant masse ) av systemet.

Historisk sett har forvirring om at masse blir "konvertert" til energi blitt hjulpet av forvirring mellom masse og " materie ", der materie er definert som fermionpartikler . I en slik definisjon regnes ikke elektromagnetisk stråling og kinetisk energi (eller varme) som "materie". I noen situasjoner kan materie faktisk konverteres til ikke-materielle energiformer (se ovenfor), men i alle disse situasjonene beholder materien og ikke-materielle energiformene fortsatt sin opprinnelige masse.

For isolerte systemer (lukket for all masse og energiutveksling) forsvinner masse aldri i sentrum av momentumrammen, fordi energi ikke kan forsvinne. I stedet betyr denne ligningen i kontekst bare at når noen energi tilføres eller rømmer fra et system i sentrum av momentum-rammen, måles systemet som å ha fått eller mistet masse, i forhold til tilført energi eller fjernet. Således, i teorien, hvis en atombombe ble plassert i en eske som var sterk nok til å holde eksplosjonen og detonert på en skala, ville massen av dette lukkede systemet ikke endret seg, og skalaen ville ikke bevege seg. Først når et åpent "vindu" ble åpnet i den supersterke plasmafylte boksen, og lys og varme fikk slippe ut i en stråle, og bombekomponentene ble avkjølt, ville systemet miste massen knyttet til energien til sprengning. I en 21 kiloton bombe, for eksempel, blir det omtrent et gram lys og varme. Hvis denne varmen og lyset fikk slippe unna, ville restene av bomben miste et gram masse etter hvert som den ble avkjølt. I dette tankeeksperimentet bærer lyset og varmen bort gram-massen, og vil derfor legge dette gram-massen i objektene som absorberer dem.

Vinklet momentum

I relativistisk mekanikk, det tidsvarierende massemomentet

og orbital 3-vinkelmoment

av en punktlignende partikkel kombineres til en fire-dimensjonal bivektor når det gjelder 4-posisjon X og 4-momentum P av partikkelen:

der ∧ betegner det utvendige produktet . Denne tensoren er additiv: det totale vinkelmomentet i et system er summen av vinkelmomentensoren for hver bestanddel i systemet. Så for en samling av diskrete partikler summerer man vinkelmomenttensoren over partiklene, eller integrerer tettheten til vinkelmomentet i omfanget av en kontinuerlig massefordeling.

Hver av de seks komponentene danner en konservert mengde når den aggregeres med de tilsvarende komponentene for andre objekter og felt.

Makt

I spesiell relativitet holder ikke Newtons andre lov i formen F = m a , men den gjør det hvis den uttrykkes som

hvor p = γ ( v ) m 0 v er momentum som definert ovenfor og m 0 er den invariante massen . Dermed er kraften gitt av

Følgelig, i noen gamle tekster, blir γ ( v ) 3 m 0 referert til som den langsgående massen , og γ ( v ) m 0 blir referert til som den tverrgående massen , som er numerisk den samme som den relativistiske massen . Se masse i spesiell relativitet .

Hvis man inverterer dette for å beregne akselerasjon fra kraft, får man

Kraften beskrevet i denne seksjonen er den klassiske 3D-kraften som ikke er en firevektor . Denne 3D-kraften er det rette begrepet makt siden det er kraften som adlyder Newtons tredje bevegelseslov . Det må ikke forveksles med den såkalte fire-kraft som bare er 3-D-kraft i comoving rammen av objektet transformeres som om det var en fire-vektor. Imidlertid er densiteten av 3-D-kraft (lineær moment som overføres pr enhet med fire volum ) er en fire-vektor ( tetthet av vekt 1) i kombinasjon med den negative verdi av tettheten av effekten som overføres.

Dreiemoment

Dreiemomentet som virker på en punktlignende partikkel er definert som derivatet av vinkelmomentensoren gitt ovenfor med hensyn til riktig tid:

eller i tensorkomponenter:

hvor F er den 4d kraft som virker på partikkelen ved arrangementet X . Som med vinkelmoment er dreiemoment additiv, så for et utvidet objekt summerer eller integrerer man fordelingen av masse.

Kinetisk energi

Den arbeids energi teoremet sier endringen i kinetisk energi er lik det arbeidet som gjøres på kroppen. I spesiell relativitet:

Hvis kroppen var i utgangstilstand, så v 0  = 0 og γ 0 ( v 0 ) = 1, og i slutttilstanden har den hastighet v 1  =  v , innstilling γ 1 ( v 1 ) = γ ( v ), den kinetiske energien er da;

et resultat som kan oppnås direkte ved å trekke restenergien m 0 c 2 fra den totale relativistiske energien γ ( v ) m 0 c 2 .

Newtonsk grense

Lorentz -faktoren γ ( v ) kan utvides til en Taylor -serie eller binomial serie for ( v / c ) 2 <1, og få:

og konsekvent

For hastigheter som er mye mindre enn lysets, kan man neglisjere begrepene med c 2 og høyere i nevneren. Disse formlene reduserer deretter til standarddefinisjonene av Newtonsk kinetisk energi og momentum. Dette er som det skal være, for spesiell relativitet må stemme overens med newtonsk mekanikk ved lave hastigheter.

Se også

Referanser

Merknader

Videre lesning

Generelt omfang og spesiell/generell relativitet
Elektromagnetisme og spesiell relativitet
  • GAG Bennet (1974). Elektrisitet og moderne fysikk (2. utg.). Edward Arnold (Storbritannia). ISBN 0-7131-2459-8.
  • IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (2008). Elektromagnetisme (2. utg.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
  • DJ Griffiths (2007). Introduksjon til elektrodynamikk (3. utg.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
Klassisk mekanikk og spesiell relativitet
Generell relativitet