Resten - Remainder

Aritmetiske operasjoner v t e

Tillegg (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,+\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \,+\ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \,+\, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \,+\, {\ text {addend}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Subtraksjon ( -) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,-\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \,-\ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {difference}}}$ Multiplikasjon (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ ganger \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Divisjon (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {nevner}}}} \ end {matrise}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {fraction}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Eksponentiering ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}}^{\ text {eksponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ n rot (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Logaritme (logg) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {anti-logaritme}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {logaritme}}}$

I matematikk er resten mengden "til overs" etter å ha utført noen beregninger. I aritmetikk , er den gjenværende hele tall "overs" etter å dividere en helt tall med en annen for å fremstille et helt tall kvotient ( heltallsdeling ). I algebra av polynomer er resten polynomet "til overs" etter å ha delt et polynom med et annet. Den modul-handling er den operasjon som frembringer en slik rest når det gis et utbytte og divisor.

Alternativt er resten også det som er igjen etter å ha trukket fra et tall fra et annet, selv om dette mer presist kalles differansen . Denne bruken finnes i noen elementære lærebøker; i folkemunde erstattes det av uttrykket "resten" som i "Gi meg to dollar tilbake og behold resten." Imidlertid brukes begrepet "resten" fortsatt i denne forstand når en funksjon tilnærmes av en serieutvidelse , der feiluttrykket ("resten") omtales som det resterende uttrykket .

Heltall divisjon

Gitt et heltall a og et ikke-null heltall d , kan det vises at det finnes unike heltall q og r , slik at a = qd  +  r og 0 ≤  r  <| d | . Tallet q kalles kvotienten , mens r kalles resten .

(For bevis på dette resultatet, se euklidisk divisjon . For algoritmer som beskriver hvordan du beregner resten, se divisjonsalgoritme .)

Resten, som definert ovenfor, kalles den minst positive resten eller ganske enkelt resten . Heltallet a er enten et multiplum av d , eller ligger i intervallet mellom påfølgende multipler av d , nemlig q⋅d og ( q + 1) d (for positive q ).

I noen tilfeller er det praktisk å utføre divisjonen slik at a er så nær et integrert multiplum av d som mulig, det vil si at vi kan skrive

a = k⋅d + s , med | s | ≤ | d /2 | for et helt tall k .

I dette tilfelle s er kalt den minste absolutte resten . Som med kvotienten og resten er k og s unikt bestemt, bortsett fra i tilfellet der d = 2 n og s = ± n . For dette unntaket har vi:

a = k⋅d + n = ( k + 1) d - n .

En unik rest kan oppnås i dette tilfellet på en eller annen måte - for eksempel å alltid ta den positive verdien av s .

Eksempler

I divisjonen 43 med 5 har vi:

43 = 8 × 5 + 3,

så 3 er den minst positive resten. Vi har også det:

43 = 9 × 5 - 2,

og −2 er den minst absolutte resten. I divisjonen 82 med 5 har vi:

82 = 16 × 5 + 2

Disse definisjonene er også gyldige hvis d er negativ, for eksempel i divisjonen 43 med −5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

og 3 er den minst positive resten, mens,

43 = (−9) × (−5) + (−2)

og −2 er den minste absolutte resten.

I divisjonen 42 med 5 har vi:

42 = 8 × 5 + 2,

og siden 2 <5/2 er 2 både den minst positive resten og den minst absolutte resten.

I disse eksemplene er den (negative) minst absolutte resten oppnådd fra den minst positive resten ved å trekke fra 5, som er d . Dette holder generelt. Når man deler med d , er begge restene positive og derfor like, eller så har de motsatte tegn. Hvis den positive resten er r ₁ , og den negative er r ₂ , da

r ₁ = r ₂ + d .

For flytende tall

Når en og d er tall med flytende komma , med d som ikke er null, en kan deles ved d uten rest, med kvotienten blir en annen desimaltall. Hvis kvoten er begrenset til å være et heltall, er imidlertid konseptet med resten fortsatt nødvendig. Det kan bevises at det eksisterer en unik heltallskvotient q og en unik flytpunktsr r slik at a  =  qd  +  r med 0 ≤  r  <| d |.

Å utvide definisjonen av resten for flytende tall, som beskrevet ovenfor, er ikke av teoretisk betydning i matematikk; Imidlertid implementerer mange programmeringsspråk denne definisjonen, se modulo -drift .

I programmeringsspråk

Selv om det ikke er noen vanskeligheter i definisjonene, er det implementeringsproblemer som oppstår når negative tall er involvert i beregning av rester. Ulike programmeringsspråk har vedtatt forskjellige konvensjoner. For eksempel:

• Pascal velger resultatet av mod -operasjonen positivt, men lar ikke d være negativ eller null (så a = ( a div d ) × d + a mod d er ikke alltid gyldig).

• C99 velger resten med samme tegn som utbytte a . (Før C99 tillot C -språket andre valg.)

• Perl , Python (bare moderne versjoner) velger resten med samme tegn som divisoren d .

• Haskell og Scheme tilbyr to funksjoner, resten og modulo - Common Lisp og PL/I har mod og rem , mens Fortran har mod og modulo ; i hvert tilfelle er førstnevnte enig i sign med utbyttet, og sistnevnte med deler.

Polynom divisjon

Euklidisk inndeling av polynom er veldig lik euklidisk inndeling av heltall og fører til polynomrester. Eksistensen er basert på følgende teorem: Gitt to univariate polynom a ( x ) og b ( x ) (hvor b ( x ) er et polynom uten null) definert over et felt (spesielt realene eller komplekse tall ), det finnes to polynomer q ( x ) ( kvoten ) og r ( x ) ( resten ) som tilfredsstiller:

${\ displaystyle a (x) = b (x) q (x)+r (x)}$

hvor

${\ displaystyle \ deg (r (x)) <\ deg (b (x)),}$

hvor "deg (...)" angir graden av polynomet (graden av det konstante polynomet hvis verdi alltid er 0 kan defineres til å være negativ, slik at denne gradbetingelsen alltid vil være gyldig når dette er resten). Videre er q ( x ) og r ( x ) unikt bestemt av disse forholdene.

Dette skiller seg fra den euklidiske inndelingen av heltall ved at graden for tilstanden erstattes av grensene for resten r (ikke-negativ og mindre enn divisoren, som sikrer at r er unik.) Likheten mellom euklidisk divisjon for heltall og det for polynomer motiverer søket etter den mest generelle algebraiske innstillingen der euklidisk divisjon er gyldig. Ringene som det finnes en slik teorem for, kalles euklidiske domener , men i denne generaliteten er ikke unikheten til kvotienten og resten garantert.

Polynom divisjon fører til et resultat kjent som polynom restsetningen : Hvis et polynom f ( x ) er delt med x - k , er resten konstanten r = f ( k ).

Se også

Merknader

Referanser

• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History , Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rotman, Joseph J. (2006), Et første kurs i abstrakt algebra med applikasjoner (3. utg.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, bind 2 , New York: Dover, ISBN 0486204308

Videre lesning

• Davenport, Harold (1999). Den høyere aritmetikken: en introduksjon til tallteorien . Cambridge, Storbritannia: Cambridge University Press. s. 25. ISBN 0-521-63446-6.
• Katz, Victor, red. (2007). Matematikken i Egypt, Mesopotamia, Kina, India og islam: en kildebok . Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
• Schwartzman, Steven (1994). "resten (substantiv)" . Matematikkens ord: en etymologisk ordbok med matematiske termer brukt på engelsk . Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
• Zuckerman, Martin M. Aritmetikk: En grei tilnærming . Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.