Skjermet Poisson-ligning - Screened Poisson equation

I fysikk er den skjermede Poisson-ligningen en Poisson-ligning , som oppstår i (for eksempel) Klein – Gordon-ligningen , elektrisk feltscreening i plasmaer og ikke-lokal granulær flyt i granulærstrøm .

Uttalelse av ligningen

Ligningen er

${\ displaystyle \ left [\ Delta - \ lambda ^ {2} \ right] u (\ mathbf {r}) = - f (\ mathbf {r}),}$

hvor er Laplace-operatoren , λ er en konstant som uttrykker "screening", f er en vilkårlig funksjon av posisjon (kjent som "kilde-funksjonen") og u er funksjonen som skal bestemmes. ${\ displaystyle \ Delta}$

I det homogene tilfellet (f = 0) er den screenede Poisson-ligningen den samme som den tidsuavhengige Klein – Gordon-ligningen . I det inhomogene tilfellet er den skjermede Poisson-ligningen veldig lik den inhomogene Helmholtz-ligningen , den eneste forskjellen er tegnet innenfor parentesene.

Løsninger

Tre dimensjoner

Uten tap av generalitet vil vi ta λ som ikke-negativt. Når λ er null , reduseres ligningen til Poissons ligning . Derfor, når λ er veldig liten, nærmer løsningen seg den av den uskjermede Poisson-ligningen, som i dimensjon er en overstilling av 1 / r- funksjoner vektet av kildefunksjonen f : ${\ displaystyle n = 3}$

${\ displaystyle u (\ mathbf {r}) _ {({\ text {Poisson}})} = \ iiint \ mathrm {d} ^ {3} r '{\ frac {f (\ mathbf {r}') } {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}}.}$

På den annen side, når λ er ekstremt stor, u nærmer verdien f / λ² , som går til null som λ går mot uendelig. Som vi skal se, oppfører løsningen for mellomverdier av λ seg som en superposisjon av skjermede (eller dempede) 1 / r- funksjoner, med λ som oppfører seg som styrken på skjermen.

Den screenede Poisson-ligningen kan løses for generell f ved å bruke metoden til Green's funksjoner . Green-funksjonen G er definert av

${\ displaystyle \ left [\ Delta - \ lambda ^ {2} \ right] G (\ mathbf {r}) = - \ delta ^ {3} (\ mathbf {r}),}$

hvor δ ³ er en deltafunksjon med masseenhet konsentrert ved opprinnelsen av R- ³ .

Forutsatt at u og dets derivater forsvinner ved store r , kan vi utføre en kontinuerlig Fourier-transformasjon i romlige koordinater:

${\ displaystyle G (\ mathbf {k}) = \ iiint \ mathrm {d} ^ {3} r \; G (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r }}}$

der integralen er tatt over all plass. Det er da greit å vise det

${\ displaystyle \ left [k ^ {2} + \ lambda ^ {2} \ right] G (\ mathbf {k}) = 1.}$

Greenes funksjon i r er derfor gitt av den inverse Fourier-transformasjonen,

${\ displaystyle G (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \; \ iiint \ mathrm {d} ^ {3} \! k \; {\ frac {e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}} {k ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}$

Denne integralen kan evalueres ved hjelp av sfæriske koordinater i k- space. Integrasjonen over vinkelkoordinatene er grei, og integralen reduseres til en over det radiale bølgetallet : ${\ displaystyle k_ {r}}$

${\ displaystyle G (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {2 \ pi ^ {2} r}} \; \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} k_ { r} \; {\ frac {k_ {r} \, \ sin k_ {r} r} {k_ {r} ^ {2} + \ lambda ^ {2}}}.}$

Dette kan evalueres ved hjelp av konturintegrasjon . Resultatet er:

${\ displaystyle G (\ mathbf {r}) = {\ frac {e ^ {- \ lambda r}} {4 \ pi r}}.}$

Løsningen på hele problemet er gitt av

${\ displaystyle u (\ mathbf {r}) = \ int \ mathrm {d} ^ {3} r'G (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') f (\ mathbf {r}') = \ int \ mathrm {d} ^ {3} r '{\ frac {e ^ {- \ lambda | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} f (\ mathbf {r}').}$

Som nevnt ovenfor er dette en overposisjon av screenede 1 / r- funksjoner, vektet av kildefunksjonen f og med λ som virker som styrken for screening. Den screenede 1 / r- funksjonen blir ofte oppdaget i fysikken som et screenet Coulomb-potensial, også kalt et " Yukawa-potensial ".

To dimensjoner

I to dimensjoner: Når det gjelder magnetisert plasma, er den screenede Poisson-ligningen kvasi-2D:

${\ displaystyle \ left (\ Delta _ {\ perp} - {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ right) u (\ mathbf {r} _ {\ perp}) = - f (\ mathbf {r} _ {\ perp})}$

med og med magnetfeltet og er (ion) Larmor-radiusen . Den todimensjonale Fourier-transformasjonen av den tilknyttede Green-funksjonen er: ${\ displaystyle \ Delta _ {\ perp} = \ nabla \ cdot \ nabla _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ perp} = \ nabla - {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ cdot \ nabla}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle G (\ mathbf {k _ {\ perp}}) = \ iint d ^ {2} r ~ G (\ mathbf {r} _ {\ perp}) e ^ {- i \ mathbf {k} _ { \ perp} \ cdot \ mathbf {r} _ {\ perp}}.}$

Den 2D-screenede Poisson-ligningen gir:

${\ displaystyle \ left (k _ {\ perp} ^ {2} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ right) G (\ mathbf {k} _ {\ perp}) = 1}$ .

Den Greens funksjon er derfor gitt ved den inverse Fourier-transformasjon :

${\ displaystyle G (\ mathbf {r} _ {\ perp}) = {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} \; \ iint \ mathrm {d} ^ {2} \! k \ ; {\ frac {e ^ {i \ mathbf {k} _ {\ perp} \ cdot \ mathbf {r} _ {\ perp}}} {k _ {\ perp} ^ {2} + 1 / \ rho ^ { 2}}}.}$

Denne integralen kan beregnes ved hjelp av polare koordinater i k-space :

${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ perp} = (k_ {r} \ cos (\ theta), k_ {r} \ sin (\ theta))}$

Integrasjonen over vinkelkoordinaten gir en Bessel-funksjon , og integralen reduseres til en over det radiale bølgetallet : ${\ displaystyle k_ {r}}$

${\ displaystyle G (\ mathbf {r} _ {\ perp}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \; \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} k_ { r} \; {\ frac {k_ {r} \, J_ {0} (k_ {r} r _ {\ perp})} {k_ {r} ^ {2} + 1 / \ rho ^ {2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} K_ {0} (r _ {\ perp} \, / \, \ rho).}$

Se også

• Yukawa-interaksjon

Referanser