Smith diagram - Smith chart

Den Smith diagram , oppfunnet av Phillip H. Smith (1905-1987) og uavhengig av Mizuhashi Tosaku, er en grafisk kalkulator eller nomogram utformet for elektro- og elektronikk ingeniører som spesialiserer seg på radiofrekvens (RF) konstruksjon for å hjelpe til å løse problemer med overføringslinjer og matchende kretser. Smith -diagrammet kan brukes til å vise flere parametere samtidig, inkludert impedanser , innløp , refleksjonskoeffisienter , spredningsparametere , støyfigur -sirkler, konstante forsterkningskonturer og områder for ubetinget stabilitet , inkludert mekanisk vibrasjonsanalyse . Smith -diagrammet brukes oftest i eller innenfor enhetsradiusområdet. Resten er imidlertid fortsatt matematisk relevant, og brukes for eksempel i oscillatordesign og stabilitetsanalyse . Selv om bruk av papir -Smith -diagrammer for å løse den komplekse matematikken som er involvert i matchingsproblemer i stor grad har blitt erstattet av programvarebaserte metoder, er Smith -diagrammet fortsatt en veldig nyttig metode for å vise hvordan RF -parametere oppfører seg ved en eller flere frekvenser, et alternativ til å bruke tabellinformasjon . Således inkluderer den fleste RF -kretsanalyseprogramvare et Smith -diagramalternativ for visning av resultater, og alt annet enn de enkleste impedansmåleinstrumentene kan plotte måleresultater på et Smith -diagram. ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$

Et impedans Smith -diagram (uten data plottet)

Oversikt

En nettverksanalysator ( HP 8720A) som viser et Smith -diagram.

Smith -diagrammet er plottet på det komplekse refleksjonskoeffisientplanet i to dimensjoner og skaleres i normalisert impedans (den vanligste), normaliserte adgang eller begge deler, ved å bruke forskjellige farger for å skille mellom dem. Disse er ofte kjent som henholdsvis Z, Y og YZ Smith -diagrammene. Normalisert skalering gjør at Smith -diagrammet kan brukes for problemer som involverer karakteristika eller systemimpedans som er representert av midtpunktet på diagrammet. Den mest brukte normaliseringsimpedansen er 50  ohm . Når et svar er oppnådd gjennom de grafiske konstruksjonene beskrevet nedenfor, er det enkelt å konvertere mellom normalisert impedans (eller normalisert adgang) og den tilsvarende unormaliserte verdien ved å multiplisere med den karakteristiske impedansen (innrømmelse). Refleksjonskoeffisienter kan leses direkte fra diagrammet da de er enhetsløse parametere.

Smith -diagrammet har en skala rundt omkretsen eller periferien som er gradert i bølgelengder og grader . Bølgelengdeskalaen brukes i distribuerte komponentproblemer og representerer avstanden målt langs overføringslinjen som er koblet mellom generatoren eller kilden og belastningen til det aktuelle punktet. Gradsskalaen representerer vinkelen til spenningsrefleksjonskoeffisienten på det tidspunktet. Smith-diagrammet kan også brukes til problemer med matchende elementer og analyse.

Bruk av Smith-diagrammet og tolkningen av resultatene oppnådd ved bruk av det krever en god forståelse av AC-kretsteori og transmisjonslinjeteori, som begge er forutsetninger for RF-ingeniører.

Etter hvert som impedanser og innleggelser endres med frekvens, kan problemer med å bruke Smith -diagrammet bare løses manuelt med én frekvens om gangen, og resultatet representeres av et punkt . Dette er ofte tilstrekkelig for smalbåndsapplikasjoner (vanligvis opptil 5% til 10% båndbredde ), men for bredere båndbredder er det vanligvis nødvendig å anvende Smith -diagrammeteknikker med mer enn én frekvens over driftsfrekvensbåndet. Forutsatt at frekvensene er tilstrekkelig nære, kan de resulterende Smith -kartpunktene forbindes med rette linjer for å skape et lokus .

Et sted med punkter på et Smith -diagram som dekker et frekvensområde kan brukes til å visuelt representere:

• hvor kapasitiv eller induktiv en belastning er over frekvensområdet
• hvor vanskelig matchingen sannsynligvis vil være ved forskjellige frekvenser
• hvor godt matchet en bestemt komponent er.

Nøyaktigheten til Smith -diagrammet er redusert for problemer som involverer et stort område av impedanser eller innleggelser, selv om skaleringen kan forstørres for enkeltområder for å imøtekomme disse.

Matematisk grunnlag

Mest grunnleggende bruk av et impedans Smith -diagram. En bølge beveger seg ned en transmisjonslinje med karakteristisk impedans Z ₀ , terminert ved en belastning med impedans Z- _L og normaliserte impedans Z = Z _L / Z ₀ . Det er en signalrefleksjon med koeffisient Γ. Hvert punkt på Smith -diagrammet representerer samtidig både verdien av z (nederst til venstre) og den tilsvarende verdien av Γ (nederst til høyre), relatert til z = (1 + Γ)/(1 - Γ).

Faktisk og normalisert impedans og adgang

En overføringslinje med en karakteristisk impedans på kan universelt anses å ha en karakteristisk innrømmelse av hvor ${\ displaystyle Z_ {0} \,}$${\ displaystyle Y_ {0} \,}$

${\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {1} {Z_ {0}}} \,}$

Enhver impedans, uttrykt i ohm, kan normaliseres ved å dele den med den karakteristiske impedansen, så den normaliserte impedansen ved bruk av små bokstaver z _T er gitt av ${\ displaystyle Z _ {\ text {T}} \,}$

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {Z _ {\ text {T}}} {Z_ {0}}} \,}$

Tilsvarende for normalisert opptak

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {Y _ {\ text {T}}} {Y_ {0}}} \,}$

Den SI-enhet av impedans er den ohm med symbolet av det øvre skall greske bokstaven omega (Ω) og SI-enhet for opptak er det siemens med symbolet av en stor bokstav S. Normalisert impedans og normaliserte admittans er dimensjonsløse . Faktiske impedanser og adgang må normaliseres før du bruker dem på et Smith -diagram. Når resultatet er oppnådd, kan det bli de-normalisert for å få det faktiske resultatet.

Normalisert impedans Smith -diagram

Overføringslinjer avsluttet med en åpen krets (øverst) og en kortslutning (nederst). En puls reflekterer perfekt av begge disse avslutningene, men tegnet på den reflekterte spenningen er motsatt i de to tilfellene. Svarte prikker representerer elektroner, og piler viser det elektriske feltet.

Ved å bruke overføringslinjeteori, hvis en overføringslinje avsluttes i en impedans ( ) som skiller seg fra dens karakteristiske impedans ( ), vil det bli dannet en stående bølge på linjen som omfatter resultatet av både hendelsen eller f eller ( og r) bøyde eller reverserte ( ) bølger. Bruke kompleks eksponentiell notasjon: ${\ displaystyle Z _ {\ text {T}} \,}$${\ displaystyle Z_ {0} \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {F}} \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {R}} \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} = A \ exp (j \ omega t) \ exp (+\ gamma \ ell) ~ \,}$ og

${\ displaystyle V _ {\ text {R}} = B \ exp (j \ omega t) \ exp (-\ gamma \ ell) \,}$

hvor

${\ displaystyle \ exp (j \ omega t) \,}$er den tidsmessige delen av bølgen

${\ displaystyle \ exp (\ pm \ gamma \ ell) \,}$ er den romlige delen av bølgen og

${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f \,}$ hvor

${\ displaystyle \ omega \,}$er vinkelfrekvensen i radianer per sekund (rad/s)

${\ displaystyle f \,}$er frekvensen i hertz (Hz)

${\ displaystyle t \,}$ er tiden i sekunder

${\ displaystyle A \,}$og er konstanter${\ displaystyle B \,}$

${\ displaystyle \ ell \,}$ er avstanden målt langs overføringslinjen fra lasten mot generatoren i meter (m)

Også

${\ displaystyle \ gamma = \ alpha +j \ beta \,}$er forplantningskonstanten som har enheter 1/m

hvor

${\ displaystyle \ alpha \,}$er dempningskonstanten i nepere per meter (Np/m)

${\ displaystyle \ beta \,}$er fasekonstanten i radianer per meter (rad/m)

Smith -diagrammet brukes med en frekvens ( ) om gangen, og bare for ett øyeblikk ( ) om gangen, så den tidsmessige delen av fasen ( ) er fast. Alle termer multipliseres faktisk med dette for å oppnå den øyeblikkelige fasen , men det er konvensjonelt og forstås å utelate det. Derfor, ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ exp (j \ omega t) \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} = A \ exp (+\ gamma \ ell) \,}$ og

${\ displaystyle V _ {\ text {R}} = B \ exp (-\ gamma \ ell) \,}$

hvor og er henholdsvis forover- og reversspenningsamplituden ved belastningen. ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle B \,}$

Variasjonen av kompleks refleksjonskoeffisient med posisjon langs linjen

Når vi ser mot en last gjennom en lengde på tapsfri overføringslinje, endres impedansen etter hvert som den blå sirkelen øker. (Denne impedansen er preget av refleksjonskoeffisienten .) Den blå sirkelen, sentrert i impedans Smith -diagrammet, kalles noen ganger en SWR -sirkel (kort for konstant stående bølgeforhold ).${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {reflect}}/V _ {\ text {incident}}}$

Den komplekse spenning refleksjonskoeffisienten er definert som forholdet mellom den reflekterte bølgen og hendelsen (eller fremover). Derfor, ${\ displaystyle \ Gamma \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {V _ {\ text {R}}} {V _ {\ text {F}}}} = {\ frac {B \ exp (-\ gamma \ ell)} {A \ exp (+\ gamma \ ell)}} = C \ exp (-2 \ gamma \ ell) \,}$

hvor C også er en konstant.

For en jevn overføringslinje (som er konstant) varierer den komplekse refleksjonskoeffisienten til en stående bølge i henhold til posisjonen på linjen. Hvis linjen er tap ( er ikke-null) representeres dette på Smith-diagrammet av en spiralbane . I de fleste Smith -diagramproblemer kan tap imidlertid antas å være ubetydelige ( ), og oppgaven med å løse dem er sterkt forenklet. For den tapsfrie saken blir derfor uttrykket for kompleks refleksjonskoeffisient ${\ displaystyle \ gamma \,}$${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ alpha = 0 \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ text {L}} \ exp (-2j \ beta \ ell) \,}$

hvor er refleksjonskoeffisienten ved lasten, og er linjelengden fra lasten til stedet der refleksjonskoeffisienten måles. Fasekonstanten kan også skrives som ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ text {L}} \,}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle \ beta \,}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \,}$

hvor er bølgelengden innenfor overføringslinjen ved testfrekvensen. ${\ displaystyle \ lambda \,}$

Derfor,

${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ text {L}} \ exp \ left ({\ frac {-4j \ pi} {\ lambda}} \ ell \ right) \,}$

Denne ligningen viser at for en stående bølge gjentar den komplekse refleksjonskoeffisienten og impedansen hver halve bølgelengde langs overføringslinjen. Den komplekse refleksjonskoeffisienten blir vanligvis ganske enkelt referert til som refleksjonskoeffisient. Den ytre omkretsskalaen til Smith -diagrammet representerer avstanden fra generatoren til lasten som skaleres i bølgelengder og er derfor skalert fra null til 0,50.

Variasjonen av normalisert impedans med posisjon langs linjen

Hvis og er spenningen over og strømmen som går inn i avslutningen på henholdsvis slutten av overføringslinjen, da ${\ displaystyle V \,}$${\ displaystyle I \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}}+V _ {\ text {R}} = V \,}$ og

${\ displaystyle V _ {\ text {F}}-V _ {\ text {R}} = Z_ {0} I \,}$.

Ved å dele disse ligningene og erstatte både spenningsrefleksjonskoeffisienten

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {V _ {\ text {R}}} {V _ {\ text {F}}}} \,}$

og den normaliserte impedansen til avslutningen representert ved små bokstaver z , subscript T

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {V} {Z_ {0} I}} \,}$

gir resultatet:

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {1+ \ Gamma} {1- \ Gamma}} \,}$.

Alternativt når det gjelder refleksjonskoeffisienten

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {z _ {\ text {T}}-1} {z _ {\ text {T}}+1}} \,}$

Dette er ligningene som brukes til å konstruere Z Smith -diagrammet. Matematisk sett og er relatert via en Möbius -transformasjon . ${\ displaystyle \ Gamma \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} \,}$

Begge og er uttrykt i komplekse tall uten enheter. De endres begge med frekvens, så for en bestemt måling må frekvensen den ble utført angis sammen med den karakteristiske impedansen. ${\ displaystyle \ Gamma \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} \,}$

${\ displaystyle \ Gamma \,}$kan uttrykkes i størrelse og vinkel på et polardiagram . Enhver faktisk refleksjonskoeffisient må ha en størrelse mindre enn eller lik enhet, så ved testfrekvensen kan dette uttrykkes med et punkt inne i en sirkel av enhetsradius. Smith -diagrammet er faktisk konstruert på et slikt polardiagram. Smith -diagrammet skalering er utformet på en slik måte at refleksjonskoeffisienten kan konverteres til normalisert impedans eller omvendt. Ved bruk av Smith -diagrammet kan den normaliserte impedansen oppnås med nevneverdig nøyaktighet ved å plotte punktet som representerer refleksjonskoeffisienten som behandler Smith -diagrammet som et polardiagram og deretter lese verdien direkte ved hjelp av den karakteristiske Smith -diagrammet skalering. Denne teknikken er et grafisk alternativ til å erstatte verdiene i ligningene.

Ved å erstatte uttrykket med hvordan refleksjonskoeffisienten endres langs en uovertruffen tapsfri overføringslinje

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {B \ exp (-\ gamma \ ell)} {A \ exp (\ gamma \ ell)}} = {\ frac {B \ exp (-j \ beta \ ell)} {A \ exp (j \ beta \ ell)}} \,}$

for tapsfritt tilfelle, inn i ligningen for normalisert impedans når det gjelder refleksjonskoeffisient

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {1+ \ Gamma} {1- \ Gamma}} \,}$.

og bruker Eulers formel

${\ displaystyle \ exp (j \ theta) = \ cos \ theta +j \ sin \ theta \,}$

gir impedans-versjon transmisjonslinje-ligningen for det tapsfrie tilfellet:

${\ displaystyle Z _ {\ text {in}} = Z_ {0} {\ frac {Z _ {\ text {L}}+jZ_ {0} \ tan (\ beta \ ell)} {Z_ {0}+jZ_ { \ text {L}} \ tan (\ beta \ ell)}} \,}$

hvor er impedansen 'sett' ved inngangen til en tapsfri overføringslinje med lengde , avsluttet med en impedans${\ displaystyle Z _ {\ text {in}} \,}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} \,}$

Versjoner av overføringslinjelikningen kan avledes på samme måte for tilfellet med tap av tap og for tilfeller med impedans og tap.

Smith-diagrammets grafiske ekvivalent for å bruke transmisjonslinjeligningen er å normalisere , plotte det resulterende punktet på et Z Smith-diagram og tegne en sirkel gjennom det punktet sentrert i Smith-diagrammet. Stien langs sirkelbuen representerer hvordan impedansen endres mens den beveger seg langs overføringslinjen. I dette tilfellet må omkretsen (bølgelengden) skaleres, og husk at dette er bølgelengden i overføringslinjen og kan avvike fra ledig plassbølgelengde. ${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} \,}$

Regioner av Z Smith -diagrammet

Hvis et polardiagram er kartlagt på et kartesisk koordinatsystem, er det konvensjonelt å måle vinkler i forhold til den positive x -aksen ved å bruke retning mot klokken for positive vinkler. Størrelsen på et komplekst tall er lengden på en rett linje trukket fra opprinnelsen til punktet som representerer det. Smith-diagrammet bruker den samme konvensjonen, og bemerker at i det normaliserte impedansplanet strekker den positive x-aksen seg fra midten av Smith-diagrammet til punktet . Området over x -aksen representerer induktive impedanser (positive imaginære deler) og området under x -aksen representerer kapasitive impedanser (negative imaginære deler). ${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = 1 \ pm j0 \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = \ infty \ pm j \ infty \,}$

Hvis avslutningen er perfekt tilpasset, vil refleksjonskoeffisienten være null, representert effektivt av en sirkel med nullradius eller faktisk et punkt i midten av Smith -diagrammet. Hvis avslutningen var en perfekt åpen krets eller kortslutning, ville størrelsen på refleksjonskoeffisienten være enhet, all kraft ville bli reflektert og punktet ville ligge på et tidspunkt på enhetens omkrets.

Sirkler med konstant normalisert motstand og konstant normalisert reaktans

Den normaliserte impedans Smith -diagrammet består av to familier av sirkler: sirkler med konstant normalisert motstand og sirkler med konstant normalisert reaktans. I det komplekse refleksjonskoeffisientplanet inntar Smith -diagrammet en sirkel av enhetsradius sentrert ved opprinnelsen. I kartesiske koordinater passerte derfor sirkelen gjennom punktene (+1,0) og (-1,0) på x -aksen og punktene (0,+1) og (0, -1) på y -aksen .

Siden begge og er komplekse tall, kan de generelt skrives som: ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle z \,}$

${\ displaystyle z = a+jb \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = c+jd \,}$

med a , b , c og d reelle tall.

Substituerer disse til ligningen relatert til normalisert impedans og kompleks refleksjonskoeffisient:

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {z-1} {z+1}} \,}$

gir følgende resultat:

${\ displaystyle \ Gamma = c+jd = \ venstre [{\ frac {a^{2}+b^{2} -1} {(a+1)^{2}+b^{2}}} \ høyre]+j \ venstre [{\ frac {2b} {(a+1)^{2}+b^{2}}} \ høyre] \,}$.

Dette er ligningen som beskriver hvordan den komplekse refleksjonskoeffisienten endres med den normaliserte impedansen og kan brukes til å konstruere begge sirkelfamilier.

Den Y- Smith diagram

Den Y- Smith diagrammet er konstruert på en lignende måte til den Z- Smith diagrammet tilfelle, men ved å uttrykke verdier for spenning refleksjonskoeffisienten i form av normaliserte admittans i stedet for normalisert impedans. Den normaliserte inngangen y _T er gjensidig for den normaliserte impedansen z _T , så

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {z _ {\ text {T}}}} \,}$

Derfor:

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1- \ Gamma} {1+ \ Gamma}} \,}$

og

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {1-y _ {\ text {T}}} {1+y _ {\ text {T}}}} \,}$

Den Y- Smith diagram vises som den normaliserte impedans type, men med den grafiske skalerings dreid 180 °, uforandret den numeriske skalering.

Området over x -aksen representerer kapasitive innleggelser og området under x -aksen representerer induktive innleggelser. Kapasitive innleggelser har positive imaginære deler og induktive innleggelser har negative imaginære deler.

Igjen, hvis avslutningen er perfekt tilpasset, vil refleksjonskoeffisienten være null, representert ved en 'sirkel' med nullradius eller faktisk et punkt i midten av Smith -diagrammet. Hvis avslutningen var en perfekt åpen eller kortslutning, ville størrelsen på spenningsrefleksjonskoeffisienten være enhet, all kraft ville bli reflektert og punktet ville ligge på et tidspunkt på enhetsomkretssirkelen til Smith -diagrammet.

Praktiske eksempler

Eksempelpunkter plottet på det normaliserte impedans Smith -diagrammet

Et punkt med en refleksjonskoeffisient magnitude 0,63 og vinkel 60 ° representert i polær form som , er vist som punkt P ₁ på Smith -diagrammet. For å plotte dette kan man bruke den omkretslige (refleksjonskoeffisienten) vinkelskalaen for å finne gradueringen og en linjal for å tegne en linje som går gjennom dette og midten av Smith -diagrammet. Lengden på linjen vil deretter bli skalert til P ₁ forutsatt at Smith -kartets radius er enhet. For eksempel, hvis den faktiske radiusen målt fra papiret var 100 mm, ville lengden OP ₁ være 63 mm. ${\ displaystyle 0.63 \ vinkel 60^{\ circ} \,}$${\ displaystyle \ vinkel 60^{\ circ} \,}$

Tabellen nedenfor gir noen lignende eksempler på punkter som er plottet på Z Smith -diagrammet. For hver er refleksjonskoeffisienten gitt i polær form sammen med den tilsvarende normaliserte impedansen i rektangulær form. Konverteringen kan leses direkte fra Smith -diagrammet eller ved å erstatte ligningen.

Noen eksempler på punkter plottet på det normaliserte impedans Smith -diagrammet

Punktidentitet	Refleksjonskoeffisient (polær form)	Normalisert impedans (rektangulær form)
P 1 (induktiv)	${\ displaystyle 0.63 \ vinkel 60^{\ circ} \,}$	${\ displaystyle 0.80+j1.40 \,}$
P 2 (induktiv)	${\ displaystyle 0.73 \ vinkel 125^{\ circ} \,}$	${\ displaystyle 0,20+j0,50 \,}$
P 3 (kapasitiv)	${\ displaystyle 0.44 \ vinkel -116^{\ circ} \,}$	${\ displaystyle 0.50-j0.50 \,}$

Jobber med både Z Smith -diagrammet og Y Smith -diagrammene

I RF -kretser og matchingsproblemer er det noen ganger mer praktisk å jobbe med innganger (som representerer konduktanser og mottagelser ), og noen ganger er det mer praktisk å jobbe med impedanser (som representerer motstander og reaktanser ). Løse et typisk tilpasningsproblem, vil ofte kreve flere endringer mellom de to typer av Smith diagram, ved hjelp av normaliserte impedans for serieelementer og normaliserte admittanser for parallelle elementer. For disse kan det brukes en dobbel (normalisert) impedans og innrømmelse Smith -diagram. Alternativt kan den ene typen brukes og skaleringen konverteres til den andre når det er nødvendig. For å bytte fra normalisert impedans til normalisert adgang eller omvendt, flyttes punktet som representerer verdien av refleksjonskoeffisienten under vurdering nøyaktig 180 grader i samme radius. For eksempel har punktet Pl i eksemplet som representerer en refleksjonskoeffisient på en normalisert impedans på . For å grafisk endre dette til det ekvivalente normaliserte adgangspunktet, si Q1, tegnes en linje med en linjal fra P1 gjennom Smith -diagrammet til Q1, en lik radius i motsatt retning. Dette tilsvarer å flytte punktet gjennom en sirkelbane på nøyaktig 180 grader. Å lese verdien fra Smith -diagrammet for første kvartal, huske at skaleringen nå er i normalisert adgang, gir . Utfører beregningen ${\ displaystyle 0.63 \ vinkel 60^{\ circ} \,}$${\ displaystyle z_ {P} = 0,80+j1.40 \,}$${\ displaystyle y_ {P} = 0.30-j0.54 \,}$

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {z _ {\ text {T}}}} \,}$

bekrefter dette manuelt.

Når en transformasjon fra impedans til innrømmelse er utført, endres skaleringen til normalisert adgang inntil en senere transformasjon tilbake til normalisert impedans utføres.

Tabellen nedenfor viser eksempler på normaliserte impedanser og deres ekvivalente normaliserte opptak oppnådd ved rotasjon av punktet 180 °. Igjen, disse kan oppnås enten ved beregning eller ved bruk av et Smith -diagram som vist, og konvertere mellom normaliserte impedans- og normaliserte adgangsfly.

Verdier av refleksjonskoeffisient som normaliserte impedanser og tilsvarende normaliserte innleggelser

Normalisert impedansfly	Normalisert adgangsfly
P 1 ( ) ${\ displaystyle z = 0.80+j1.40 \,}$	Q 1 ( ) ${\ displaystyle y = 0.30-j0.54 \,}$
P 10 ( ) ${\ displaystyle z = 0.10+j0.22 \,}$	Q 10 ( ) ${\ displaystyle y = 1.80-j3.90 \,}$

Verdier av kompleks refleksjonskoeffisient avbildet på det normaliserte impedans Smith -diagrammet og deres ekvivalenter på det normale normaliserte Smith -diagrammet

Valg av Smith -diagramtype og komponenttype

Valget om du vil bruke Z Smith -diagrammet eller Y Smith -diagrammet for en bestemt beregning avhenger av hvilken som er mer praktisk. Impedanser i serier og innganger parallelt legger til mens impedanser i parallell og innleggelser i serier er relatert til en gjensidig ligning. Hvis er ekvivalentimpedansen til serieimpedanser og er ekvivalentimpedansen til parallelle impedanser, da ${\ displaystyle Z _ {\ text {TS}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {TP}}}$

${\ displaystyle Z _ {\ text {TS}} = Z_ {1}+Z_ {2}+Z_ {3}+... \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {\ text {TP}}}} = {\ frac {1} {Z_ {1}}}+{\ frac {1} {Z_ {2}}}+{ \ frac {1} {Z_ {3}}}+... \,}$

For innleggelser er det motsatte sant, det vil si

${\ displaystyle Y _ {\ text {TP}} = Y_ {1}+Y_ {2}+Y_ {3}+... \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Y _ {\ text {TS}}}} = {\ frac {1} {Y_ {1}}}+{\ frac {1} {Y_ {2}}}+{ \ frac {1} {Y_ {3}}}+... \,}$

Å håndtere gjensidige , spesielt i komplekse tall, er mer tidkrevende og feilutsatt enn å bruke lineær tillegg. Generelt jobber derfor de fleste RF -ingeniører i planet der kretstopografien støtter lineær tillegg. Tabellen nedenfor gir de komplekse uttrykkene for impedans (reell og normalisert) og adgang (ekte og normalisert) for hvert av de tre grunnleggende passive kretselementene : motstand, induktans og kapasitans. Ved å bruke bare den karakteristiske impedansen (eller den karakteristiske adgangen) og testfrekvensen kan en ekvivalent krets bli funnet og omvendt.

Uttrykk for impedans og inntak
normalisert med impedans Z ₀ eller tillatelse Y ₀

Elementtype	Impedans ( Z eller z ) eller reaktans ( X eller x )		Admissance ( Y eller y ) eller Susceptance ( B eller b )
	Ekte ( ) ${\ displaystyle \ Omega \,}$	Normalisert (ingen enhet)	Ekte (S)	Normalisert (ingen enhet)
Motstand ( R )	${\ displaystyle Z = R \,}$	${\ displaystyle z = {\ frac {R} {Z_ {0}}} = RY_ {0} \,}$	${\ displaystyle Y = G = {\ frac {1} {R}} \,}$	${\ displaystyle y = g = {\ frac {1} {RY_ {0}}} = {\ frac {Z_ {0}} {R}} \,}$
Induktans ( L )	${\ displaystyle Z = jX _ {\ text {L}} = j \ omega L \,}$	${\ displaystyle z = jx _ {\ text {L}} = j {\ frac {\ omega L} {Z_ {0}}} = j \ omega LY_ {0} \,}$	${\ displaystyle Y = -jB _ {\ text {L}} = {\ frac {-j} {\ omega L}}}$	${\ displaystyle y = -jb _ {\ text {L}} = {\ frac {-j} {\ omega LY_ {0}}} = {\ frac {-jZ_ {0}} {\ omega L}} \, }$
Kapasitans ( C )	${\ displaystyle Z = -jX _ {\ text {C}} = {\ frac {-j} {\ omega C}} \,}$	${\ displaystyle z = -jx _ {\ text {C}} = {\ frac {-j} {\ omega CZ_ {0}}} = {\ frac {-jY_ {0}} {\ omega C}} \, }$	${\ displaystyle Y = jB _ {\ text {C}} = j \ omega C \,}$	${\ displaystyle y = jb _ {\ text {C}} = j {\ frac {\ omega C} {Y_ {0}}} = j \ omega CZ_ {0} \,}$

Bruke Smith -diagrammet til å løse konjugerte matchingsproblemer med distribuerte komponenter

Distribuert matching blir mulig og er noen ganger nødvendig når den fysiske størrelsen på matchende komponenter er mer enn omtrent 5% av en bølgelengde ved driftsfrekvensen. Her blir den elektriske oppførselen til mange klumpede komponenter ganske uforutsigbar. Dette skjer i mikrobølge kretser og når høy effekt krever store komponenter i kortbølge, FM og TV -kringkasting,

For distribuerte komponenter må effekten på refleksjonskoeffisienten og impedansen for å bevege seg langs transmisjonslinjen tillates for bruk av den ytre omkretsskalaen til Smith -diagrammet som er kalibrert i bølgelengder.

Følgende eksempel viser hvordan en overføringslinje, avsluttet med en vilkårlig belastning, kan matches på en frekvens enten med en serie eller parallell reaktiv komponent i hvert tilfelle koblet til nøyaktige posisjoner.

Smith-diagramkonstruksjon for noen distribuert overføringslinjematching

Anta en tapsfri luftavstands transmisjonslinje med karakteristisk impedans , som opererer med en frekvens på 800 MHz, avsluttes med en krets som består av en 17,5 motstand i serie med en 6,5 nanohenry (6,5 nH) induktor. Hvordan kan linjen matches? ${\ displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Fra tabellen ovenfor er reaktansen til induktoren som utgjør en del av avslutningen ved 800 MHz

${\ displaystyle Z_ {L} = j \ omega L = j2 \ pi fL = j32.7 \ \ Omega \,}$

så impedansen til kombinasjonen ( ) er gitt av ${\ displaystyle Z_ {T}}$

${\ displaystyle Z_ {T} = 17.5+j32.7 \ \ Omega \,}$

og den normaliserte impedansen ( ) er ${\ displaystyle z_ {T}}$

${\ displaystyle z_ {T} = {\ frac {Z_ {T}} {Z_ {0}}} = 0,35+j0,65 \,}$

Dette er plottet på Z Smith -diagrammet ved punkt P ₂₀ . Linjen OP ₂₀ forlenges til bølgelengdeskalaen der den krysser på punktet . Siden overføringslinjen er tapsfri, trekkes en sirkel sentrert i midten av Smith -diagrammet gjennom punktet P _{20 for} å representere banen til refleksjonskoeffisienten med konstant størrelse på grunn av avslutningen. På punkt P ₂₁ krysser sirkelen med enhetssirkelen for konstant normalisert motstand kl ${\ displaystyle L_ {1} = 0.098 \ lambda \,}$

${\ displaystyle z_ {P21} = 1,00+j1,52 \,}$.

Forlengelsen av linjen OP ₂₁ krysser bølgelengdeskalaen på , derfor er avstanden fra avslutningen til dette punktet på linjen gitt av ${\ displaystyle L_ {2} = 0,177 \ lambda \,}$

${\ displaystyle L_ {2} -L_ {1} = 0.177 \ lambda -0.098 \ lambda = 0.079 \ lambda \,}$

Siden overføringslinjen er i luftavstand, er bølgelengden ved 800 MHz i linjen den samme som i ledig plass og er gitt av

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {f}} \,}$

hvor er hastigheten til elektromagnetisk stråling i ledig plass og er frekvensen i hertz. Resultatet gir posisjonen til den matchende komponenten 29,6 mm fra lasten. ${\ displaystyle c \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle \ lambda = 375 \ \ mathrm {mm} \,}$

Den konjugerte kampen for impedansen ved P ₂₁ ( ) er ${\ displaystyle z_ {match} \,}$

${\ displaystyle z_ {match} =-j (1.52), \!}$

Siden Smith -diagrammet fortsatt er i det normaliserte impedansplanet, er det nødvendig med en seriekondensator fra tabellen ovenfor${\ displaystyle C_ {m} \,}$

${\ displaystyle z_ {match} =-j1.52 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {m} Z_ {0}}} = {\ frac {-j} {2 \ pi fC_ {m} Z_ {0}}} \,}$

Omorganisering, vi får

${\ displaystyle C_ {m} = {\ frac {1} {(1.52) \ omega Z_ {0}}} = {\ frac {1} {(1.52) (2 \ pi f) Z_ {0}}}}$.

Erstatning av kjente verdier gir

${\ displaystyle C_ {m} = 2.6 \ \ mathrm {pF} \,}$

For å matche avslutningen ved 800 MHz, må en seriekondensator på 2,6 pF plasseres i serie med overføringslinjen i en avstand på 29,6 mm fra avslutningen.

En alternativ shunt -kamp kan beregnes etter å ha utført en Smith -diagramtransformasjon fra normalisert impedans til normalisert adgang. Punkt Q ₂₀ er ekvivalent med P _20, men uttrykt som en normalisert adgang. Leser fra Smith -diagrammet skalering, husker at dette nå er en normalisert adgang gir

${\ displaystyle y_ {Q20} = 0.65-j1.20 \,}$

(Denne verdien brukes faktisk ikke). Utvidelsen av linjen OQ ₂₀ til bølgelengdeskalaen gir imidlertid . Det tidligste tidspunktet der en shuntkonjugatkamp kunne introduseres, beveger seg mot generatoren, ville være ved Q ₂₁ , samme posisjon som forrige P ₂₁ , men denne gangen representerer en normalisert adgang gitt av ${\ displaystyle L_ {3} = 0.152 \ lambda \,}$

${\ displaystyle y_ {Q21} = 1,00+j1,52 \,}$.

Avstanden langs overføringslinjen er i dette tilfellet

${\ displaystyle L_ {2} +L_ {3} = 0.177 \ lambda +0.152 \ lambda = 0.329 \ lambda \,}$

som konverterer til 123 mm.

Den konjugerte matchende komponenten må ha en normalisert adgang ( ) på ${\ displaystyle y_ {match}}$

${\ displaystyle y_ {match} =-j1.52 \,}$.

Fra tabellen kan det ses at en negativ innleggelse ville kreve en induktor, parallelt koblet til overføringslinjen. Hvis verdien er , så ${\ displaystyle L_ {m} \,}$

${\ displaystyle -j1.52 = {\ frac {-j} {\ omega L_ {m} Y_ {0}}} = {\ frac {-jZ_ {0}} {2 \ pi fL_ {m}}} \ ,}$

Dette gir resultatet

${\ displaystyle L_ {m} = 6,5 \ \ mathrm {nH} \,}$

En passende induktiv shuntmatching vil derfor være en 6,5 nH induktor parallelt med linjen plassert på 123 mm fra lasten.

Bruke Smith-diagrammet til å analysere kretser med klumpede elementer

Analysen av klumpede elementkomponenter antar at bølgelengden ved operasjonsfrekvensen er mye større enn dimensjonene til komponentene selv. Smith -diagrammet kan brukes til å analysere slike kretser, i hvilket tilfelle bevegelsene rundt diagrammet genereres av (normaliserte) impedanser og innløp av komponentene ved operasjonsfrekvensen. I dette tilfellet brukes ikke bølgelengden på Smith -omkretsen. Følgende krets vil bli analysert ved hjelp av et Smith -diagram med en driftsfrekvens på 100 MHz. Ved denne frekvensen er ledig bølgelengde 3 m. Komponentdimensjonene i seg selv vil være i størrelsesorden millimeter, så antagelsen om klumpede komponenter vil være gyldig. Til tross for at det ikke er noen overføringslinje som sådan, må en systemimpedans fortsatt defineres for å muliggjøre normaliserings- og de-normaliseringsberegninger, og er et godt valg her som . Hvis det var veldig forskjellige motstandsverdier, kan en verdi nærmere disse være et bedre valg. ${\ displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega \,}$${\ displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

En krets med elementer som kan analyseres ved hjelp av et Smith-diagram

Smith -diagram med grafisk konstruksjon for analyse av en klumpet krets

Analysen starter med et Z Smith -diagram som bare ser på R ₁ uten at andre komponenter er tilstede. På samme måte som systemimpedansen, representeres dette av et punkt i midten av Smith -diagrammet. Den første transformasjonen er OP ₁ langs linjen med konstant normalisert motstand i dette tilfellet tillegg av en normalisert reaktans på - j 0,80, tilsvarende en seriekondensator på 40 pF. Punkter med suffiks P er i Z -planet og punkter med suffiks Q er i Y -planet. Derfor er transformasjonene P ₁ til Q ₁ og P ₃ til Q ₃ fra Z Smith -diagrammet til Y Smith -diagrammet, og transformasjonen Q ₂ til P ₂ er fra Y Smith -diagrammet til Z Smith -diagrammet. Tabellen nedenfor viser trinnene som er tatt for å arbeide gjennom de resterende komponentene og transformasjonene, og til slutt gå tilbake til midten av Smith -diagrammet og en perfekt 50 ohm -match. ${\ displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Smith-diagrammet trinn for å analysere en klumpet elementkrets

Transformasjon	Fly	x eller y Normalisert verdi	Kapasitans/induktans	Formel å løse	Resultat
${\ displaystyle O \ rightarrow P_ {1} \,}$	${\ displaystyle Z \,}$	${\ displaystyle -j0.80 \,}$	Kapasitans (serie)	${\ displaystyle -j0.80 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {1} Z_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {1} = 40 \ \ mathrm {pF} \,}$
${\ displaystyle Q_ {1} \ rightarrow Q_ {2} \,}$	${\ displaystyle Y \,}$	${\ displaystyle -j1.49 \,}$	Induktans (Shunt)	${\ displaystyle -j1.49 = {\ frac {-j} {\ omega L_ {1} Y_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle L_ {1} = 53 \ \ mathrm {nH} \,}$
${\ displaystyle P_ {2} \ rightarrow P_ {3} \,}$	Z	${\ displaystyle -j0.23 \,}$	Kapasitans (serie)	${\ displaystyle -j0.23 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {2} Z_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {2} = 138 \ \ mathrm {pF} \,}$
${\ displaystyle Q_ {3} \ rightarrow O \,}$	Y	${\ displaystyle +j1.14 \,}$	Kapasitans (Shunt)	${\ displaystyle +j1.14 = {\ frac {j \ omega C_ {3}} {Y_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {3} = 36 \ \ mathrm {pF} \,}$

3D Smith -diagram

3D Smith -kartrepresentasjon

Et generalisert 3D Smith -diagram basert på det utvidede komplekse planet ( Riemann -sfære ) og inversiv geometri ble foreslått i 2011. Diagrammet forener den passive og aktive kretsdesignen på små og store sirkler på overflaten av en enhetskule ved hjelp av det stereografiske konformale kartet over refleksjonskoeffisientens generaliserte plan. Med tanke på poenget i det uendelige, inneholder plassen i det nye diagrammet alle mulige belastninger. Nordpolen er det perfekte matchingspunktet, mens sørpolen er det perfekte mismatch -punktet. 3D Smith -diagrammet har blitt utvidet ytterligere utenfor den sfæriske overflaten, for å plotte forskjellige skalarparametere som gruppeforsinkelse, kvalitetsfaktorer eller frekvensorientering. Frekvensorienteringsvisualiseringen (med eller mot klokken) gjør det mulig å skille mellom en negativ kapasitans og en positiv induktor hvis refleksjonskoeffisienter er de samme når de plottes på et 2D Smith-diagram, men hvis orientering divergerer når frekvensen øker.

Referanser

Videre lesning

• For en tidlig representasjon av denne grafiske fremstillingen før de ble kalt 'Smith Charts', se Campbell, GA (1911). "Cisoidale svingninger". Prosedyrer fra American Institute of Electrical Engineers . 30 (1–6): 789–824. doi : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 ., Spesielt, fig. 13 på s. 810.

Eksterne linker

• "Matematisk konstruksjon og egenskaper til Smith Chart" . allaboutcircuits.com . tekniske artikler.
• "Smith Chart og Impedance Matching Tutorial med eksempler" . antenna-theory.com .
• "Mizuhashi-Smith-diagrammet" . www.linkclub.or.jp/~morikuni . Arkivert fra originalen 2013-03-03.
• "Excel Smith -diagram" . excelhero.com . August 2010. Ikke-kommersiell, interaktiv Smith-diagram som ser best ut i Excel 2007+.
• "SimSmith" . ae6ty.com .Ikke-kommersiell, tilgjengelig for Windows, Mac og Linux. Mange opplæringsvideoer fra Smith -diagrammet. Ingen kretsstørrelsesbegrensninger. Ikke begrenset til stigekretser.
• "Smith v3" . fritz.dellsperger.net . Arkivert fra originalen 2015-03-04. Kommersielt og gratis Smith -diagram for Windows
• "QuickSmith" . github.com/niyeradori .Gratis nettbasert Smith Chart Educational -verktøy tilgjengelig på GitHub .
• "3D Smith -diagramverktøy" . 3dsmithchart.com . 2D og 3D Smith -kart generalisert verktøy for aktive og passive kretser (gratis for akademia/utdanning).