Spesiell relativitet -Special relativity

Spesiell relativitet
Relativitetsprinsippet Relativitetsteorien
Fundamenter Treghetsreferanseramme Lysets hastighet Maxwells ligninger Lorentz transformasjon
Konsekvenser Tidsutvidelse Lengde sammentrekning Relativistisk masse Masse-energiekvivalens Relativitet av samtidighet Relativistisk dopplereffekt Thomas presesjon Relativistisk disk Bells romskipparadoks Ehrenfest paradoks
Romtid Minkowski romtid Romtid diagram Verdenslinje Lyskjegle
Dynamikk Riktig tid Riktig masse Fire-momentum
Historie Forløpere Galileisk relativitet Galileisk transformasjon Eter-teorier
Mennesker Einstein Sommerfeld Michelson Morley FitzGerald Herglotz Lorentz Poincaré Minkowski Fizeau Abraham Født Planck av Laue Ehrenfest Tolman Dirac
Alternative formuleringer av spesiell relativitet  Fysikkportal  Kategori
v t e

I fysikk er den spesielle relativitetsteorien , eller kort sagt spesiell relativitetsteori , en vitenskapelig teori om forholdet mellom rom og tid . I Albert Einsteins opprinnelige behandling er teorien basert på to postulater :

1. Fysikkens lover er invariante (det vil si identiske) i alle treghetsreferanserammer (det vil si referanserammer uten akselerasjon ).
2. Lyshastigheten i vakuum er den samme for alle observatører, uavhengig av bevegelsen til lyskilden eller observatøren.

Opprinnelse og betydning

Spesiell relativitet ble opprinnelig foreslått av Albert Einstein i en artikkel publisert 26. september 1905 med tittelen " On the Electrodynamics of Moving Bodies ". Inkompatibiliteten til newtonsk mekanikk med Maxwells ligninger for elektromagnetisme og, eksperimentelt, Michelson-Morleys nullresultat (og påfølgende lignende eksperimenter) demonstrerte at den historisk antatte lysende eteren ikke eksisterte. Dette førte til Einsteins utvikling av spesiell relativitet, som korrigerer mekanikk til å håndtere situasjoner som involverer alle bevegelser og spesielt de med en hastighet nær lysets (kjent som relativistiske hastigheter ). I dag er spesiell relativitet bevist å være den mest nøyaktige bevegelsesmodellen uansett hastighet når gravitasjons- og kvanteeffekter er ubetydelige. Likevel er den newtonske modellen fortsatt gyldig som en enkel og nøyaktig tilnærming ved lave hastigheter (i forhold til lysets hastighet), for eksempel dagligdagse bevegelser på jorden.

Spesiell relativitetsteori har et bredt spekter av konsekvenser som er eksperimentelt verifisert. De inkluderer relativiteten til samtidighet , lengdesammentrekning , tidsdilatasjon , formelen for relativistisk hastighetstillegg , den relativistiske dopplereffekten , relativistisk masse , en universell hastighetsgrense , masse-energiekvivalens , kausalitetshastigheten og Thomas-presesjonen . Den har for eksempel erstattet den konvensjonelle forestillingen om en absolutt universell tid med forestillingen om en tid som er avhengig av referanseramme og romlig posisjon. I stedet for et invariant tidsintervall mellom to hendelser, er det et invariant romtidsintervall . Kombinert med andre fysikklover forutsier de to postulatene av spesiell relativitetsteori ekvivalensen av masse og energi , som uttrykt i masse-energi-ekvivalensformelen , der lysets hastighet i et vakuum er. Den forklarer også hvordan fenomenene elektrisitet og magnetisme henger sammen. ${\displaystyle E=mc^{2}}$${\displaystyle c}$

Et definerende trekk ved spesiell relativitet er erstatningen av de galileiske transformasjonene av newtonsk mekanikk med Lorentz-transformasjonene . Tid og rom kan ikke defineres separat fra hverandre (som man tidligere trodde var tilfellet). Snarere er rom og tid sammenvevd i et enkelt kontinuum kjent som "romtid" . Hendelser som inntreffer samtidig for en observatør kan inntreffe til forskjellige tider for en annen.

Inntil Einstein utviklet generell relativitet , og introduserte en buet romtid for å inkludere gravitasjon, ble ikke uttrykket "spesiell relativitet" brukt. En oversettelse som noen ganger brukes er "begrenset relativitetsteori"; "spesiell" betyr egentlig "spesielt tilfelle". Noe av arbeidet til Albert Einstein i spesiell relativitet er bygget på det tidligere arbeidet til Hendrik Lorentz og Henri Poincaré . Teorien ble i hovedsak komplett i 1907.

Teorien er "spesiell" ved at den bare gjelder i det spesielle tilfellet der romtiden er "flat", det vil si at krumningen til romtiden , konsekvensen av energi-momentumtensoren og representerer tyngdekraften , er ubetydelig. For å kunne tilpasse tyngdekraften på riktig måte, formulerte Einstein generell relativitetsteori i 1915. Spesiell relativitetsteori, i motsetning til noen historiske beskrivelser, rommer akselerasjoner så vel som akselererende referanserammer .

Akkurat som den galileiske relativitetsteorien nå er akseptert for å være en tilnærming av spesiell relativitet som er gyldig for lave hastigheter, regnes spesiell relativitet som en tilnærming av generell relativitet som er gyldig for svake gravitasjonsfelt , det vil si i en tilstrekkelig liten skala (f.eks. tidevannskrefter er ubetydelige) og under forhold med fritt fall . Generell relativitetsteori inkorporerer imidlertid ikke-euklidisk geometri for å representere gravitasjonseffekter som romtidens geometriske krumning. Spesiell relativitet er begrenset til den flate romtiden kjent som Minkowski-rommet . Så lenge universet kan modelleres som en pseudo-Riemann-manifold , kan en Lorentz-invariant ramme som følger spesiell relativitet defineres for et tilstrekkelig lite nabolag til hvert punkt i denne buede romtiden .

Galileo Galilei hadde allerede postulert at det ikke er noen absolutt og veldefinert hviletilstand (ingen privilegerte referanserammer ), et prinsipp som nå kalles Galileos relativitetsprinsipp . Einstein utvidet dette prinsippet slik at det sto for lysets konstante hastighet, et fenomen som hadde blitt observert i Michelson–Morley-eksperimentet. Han postulerte også at det gjelder alle fysikkens lover , inkludert både mekanikkens og elektrodynamikkens lover .

Tradisjonell "to postulater" tilnærming til spesiell relativitet

Einstein skjønte to grunnleggende forslag som så ut til å være de mest sikre, uavhengig av den nøyaktige gyldigheten av de (den gang) kjente lovene for enten mekanikk eller elektrodynamikk. Disse forslagene var konstanten til lysets hastighet i et vakuum og uavhengigheten til fysiske lover (spesielt konstanten til lysets hastighet) fra valget av treghetssystem. I sin første presentasjon av spesiell relativitet i 1905 uttrykte han disse postulatene som:

• Relativitetsprinsippet - lovene som tilstandene til fysiske systemer gjennomgår endring av, påvirkes ikke, enten disse tilstandsendringene refereres til det ene eller det andre av to systemer i ensartet oversettelsesbevegelse i forhold til hverandre .
• Prinsippet om invariant lyshastighet – "... lys forplantes alltid i tomt rom med en bestemt hastighet [hastighet] c som er uavhengig av bevegelsestilstanden til det emitterende legemet" (fra forordet). Det vil si at lys i vakuum forplanter seg med hastigheten c (en fast konstant, uavhengig av retning) i minst ett system av treghetskoordinater ("det stasjonære systemet"), uavhengig av lyskildens bevegelsestilstand.

Konstansen til lyshastigheten var motivert av Maxwells teori om elektromagnetisme og mangelen på bevis for den lysende eteren . Det er motstridende bevis på i hvilken grad Einstein ble påvirket av nullresultatet av Michelson-Morley-eksperimentet . I alle fall bidro nullresultatet av Michelson–Morley-eksperimentet til at forestillingen om lyshastighetens konstanthet fikk utbredt og rask aksept.

Utledningen av spesiell relativitet avhenger ikke bare av disse to eksplisitte postulatene, men også av flere stilltiende antakelser ( laget i nesten alle fysikkteorier ), inkludert isotropien og homogeniteten til rommet og uavhengigheten til målestaver og klokker fra deres tidligere historie.

Etter Einsteins opprinnelige presentasjon av spesiell relativitet i 1905, har mange forskjellige sett med postulater blitt foreslått i forskjellige alternative avledninger. Imidlertid forblir det vanligste settet med postulater de som er ansatt av Einstein i hans originale artikkel. En mer matematisk utsagn om relativitetsprinsippet senere laget av Einstein, som introduserer begrepet enkelhet som ikke er nevnt ovenfor, er:

Spesielt relativitetsprinsipp : Hvis et koordinatsystem K velges slik at fysiske lover i forhold til det holder seg i sin enkleste form, gjelder de samme lovene i forhold til et hvilket som helst annet koordinatsystem K′ som beveger seg i jevn oversettelse relativt sett. til K.

Henri Poincaré ga det matematiske rammeverket for relativitetsteori ved å bevise at Lorentz-transformasjoner er en undergruppe av Poincaré-gruppen av symmetritransformasjoner. Einstein hentet senere disse transformasjonene fra sine aksiomer.

Mange av Einsteins artikler presenterer avledninger av Lorentz-transformasjonen basert på disse to prinsippene.

Relativitetsprinsippet

Referanserammer og relativ bevegelse

Referanserammer spiller en avgjørende rolle i relativitetsteorien. Begrepet referanseramme som brukt her er et observasjonsperspektiv i rommet som ikke gjennomgår noen endring i bevegelse (akselerasjon), hvorfra en posisjon kan måles langs 3 romlige akser (altså i hvile eller konstant hastighet). I tillegg har en referanseramme muligheten til å bestemme målinger av tidspunktet for hendelser ved hjelp av en "klokke" (enhver referanseenhet med jevn periodisitet).

En hendelse er en hendelse som kan tildeles et enkelt unikt øyeblikk og sted i rommet i forhold til en referanseramme: det er et "punkt" i romtid . Siden lysets hastighet er konstant i relativitetsteori uavhengig av referanserammen, kan lyspulser brukes til entydig å måle avstander og referere tilbake til tidene da hendelser inntraff på klokken, selv om lyset tar tid å nå klokken etter hendelsen har skjedd.

Eksplosjonen av et fyrverkeri kan for eksempel anses å være en «hendelse». Vi kan spesifisere en hendelse fullstendig ved de fire romtidskoordinatene: Tidspunktet for forekomsten og dens 3-dimensjonale romlige plassering definerer et referansepunkt. La oss kalle denne referanserammen S .

I relativitetsteorien ønsker vi ofte å beregne koordinatene til en hendelse fra forskjellige referanserammer. Ligningene som relaterer målinger gjort i forskjellige rammer kalles transformasjonsligninger .

Standard konfigurasjon

For å få innsikt i hvordan romtidskoordinatene målt av observatører i ulike referanserammer sammenligner med hverandre, er det nyttig å jobbe med et forenklet oppsett med rammer i en standardkonfigurasjon. Med forsiktighet tillater dette forenkling av matematikken uten tap av generalitet i konklusjonene som er nådd. I fig. 2-1 vises to galileiske referanserammer (dvs. konvensjonelle 3-romsrammer) i relativ bevegelse. Ramme S tilhører en første observatør O, og ramme S′ (uttales "S prime" eller "S dash") tilhører en andre observatør O′.

• X , y , z - aksene til rammen S er orientert parallelt med de respektive grunnede aksene til rammen S'.
• Ramme S′ beveger seg, for enkelhets skyld, i en enkelt retning: x -retningen til ramme S med konstant hastighet v målt i ramme S.
• Opprinnelsen til rammene S og S′ er sammenfallende når tiden t = 0 for ramme S og t ′ = 0 for ramme S′.

Siden det ikke er noen absolutt referanseramme i relativitetsteorien, eksisterer det strengt tatt ikke et konsept om å bevege seg, siden alt kan bevege seg i forhold til en annen referanseramme. I stedet sies at to rammer som beveger seg med samme hastighet i samme retning kommer . Derfor kommer ikke S og S ′ .

Mangel på en absolutt referanseramme

Relativitetsprinsippet , som sier at fysiske lover har samme form i hver treghetsreferanseramme , dateres tilbake til Galileo , og ble innlemmet i newtonsk fysikk. På slutten av 1800-tallet førte imidlertid eksistensen av elektromagnetiske bølger til at noen fysikere antydet at universet var fylt med et stoff de kalte " eter ", som, de postulerte, ville fungere som mediet som disse bølgene, eller vibrasjonene, gjennom. forplantes (i mange henseender ligner måten lyd forplanter seg gjennom luften på). Eteren ble antatt å være en absolutt referanseramme som alle hastigheter kunne måles mot, og kunne betraktes som fast og ubevegelig i forhold til Jorden eller et annet fast referansepunkt. Eteren var ment å være tilstrekkelig elastisk til å støtte elektromagnetiske bølger, mens disse bølgene kunne samhandle med materie, men likevel ikke tilby motstand mot kropper som passerte gjennom den (den ene egenskapen var at den tillot elektromagnetiske bølger å forplante seg). Resultatene av forskjellige eksperimenter, inkludert Michelson–Morley-eksperimentet i 1887 (senere verifisert med mer nøyaktige og nyskapende eksperimenter), førte til teorien om spesiell relativitet, ved å vise at eteren ikke eksisterte. Einsteins løsning var å forkaste forestillingen om en eter og den absolutte hviletilstanden. I relativitetsteori vil enhver referanseramme som beveger seg med jevn bevegelse observere de samme fysikkens lover. Spesielt er lyshastigheten i vakuum alltid målt til å være c , selv når den måles av flere systemer som beveger seg med forskjellige (men konstante) hastigheter.

Relativitet uten det andre postulatet

Ut fra relativitetsprinsippet alene uten å anta konstanten til lyshastigheten (dvs. ved å bruke rommets isotropi og symmetrien implisert av prinsippet om spesiell relativitet) kan det vises at romtidstransformasjonene mellom treghetsrammer enten er euklidiske, galileiske , eller Lorentzian. I det Lorentzianske tilfellet kan man da oppnå relativistisk intervallbevaring og en viss begrenset hastighet. Eksperimenter tyder på at denne hastigheten er lysets hastighet i vakuum.

Lorentz-invarians som den essensielle kjernen i spesiell relativitet

Alternative tilnærminger til spesiell relativitet

Einstein baserte konsekvent utledningen av Lorentz-invarians (den essensielle kjernen i spesiell relativitet) på bare de to grunnleggende prinsippene relativitet og lyshastighetsinvarians. Han skrev:

Den grunnleggende innsikten for den spesielle relativitetsteorien er denne: Forutsetningene relativitet og lyshastighetsinvarians er kompatible hvis relasjoner av en ny type ("Lorentz-transformasjon") er postulert for konvertering av koordinater og tidspunkter for hendelser ... Det universelle prinsippet av den spesielle relativitetsteorien er inneholdt i postulatet: Fysikkens lover er invariante med hensyn til Lorentz-transformasjoner (for overgangen fra ett treghetssystem til et hvilket som helst annet vilkårlig valgt treghetssystem). Dette er et begrensende prinsipp for naturlover ...

Derfor baserer mange moderne behandlinger av spesiell relativitet den på det enkle postulatet om universell Lorentz-kovarians, eller tilsvarende på det enkle postulatet til Minkowski romtid .

I stedet for å betrakte universell Lorentz-kovarians som et avledet prinsipp, anser denne artikkelen det for å være det grunnleggende postulatet til spesiell relativitet. Den tradisjonelle to-postulattilnærmingen til spesiell relativitet er presentert i utallige høyskolelærebøker og populære presentasjoner. Lærebøker som starter med enkeltpostulatet til Minkowski romtid inkluderer de av Taylor og Wheeler og av Callahan. Dette er også tilnærmingen som følges av Wikipedia-artiklene Spacetime og Minkowski diagram .

Lorentz-transformasjon og dens inverse

Definer en hendelse til å ha romtidskoordinater ( t , x , y , z ) i system S og ( t ′, x ′, y ′, z ′) i en referanseramme som beveger seg med en hastighet v i forhold til den rammen, S ′ . Deretter spesifiserer Lorentz-transformasjonen at disse koordinatene er relatert på følgende måte:

hvorer Lorentz-faktoren og c er lysets hastighet i vakuum, og hastigheten v til S ′, i forhold til S , er parallell med x -aksen. For enkelhets skyld er y- og z - koordinatene upåvirket; bare x- og t - koordinatene transformeres. Disse Lorentz-transformasjonene danner en én-parameter gruppe av lineære avbildninger , den parameteren kalles hurtighet .

Å løse de fire transformasjonsligningene ovenfor for de uprimede koordinatene gir den inverse Lorentz-transformasjonen:

Ved å tvinge denne inverse Lorentz-transformasjonen til å falle sammen med Lorentz-transformasjonen fra det primede til det uprimede systemet, viser den ikke-primede rammen å bevege seg med hastigheten v′ = − v , målt i den primede rammen.

Det er ikke noe spesielt med x -aksen. Transformasjonen kan gjelde y - eller z -aksen, eller faktisk i hvilken som helst retning parallelt med bevegelsen (som er forvrengt av γ -faktoren) og vinkelrett; se artikkelen Lorentz-transformasjon for detaljer.

En mengdeinvariant under Lorentz-transformasjoner er kjent som en Lorentz-skalar .

Ved å skrive Lorentz-transformasjonen og dens inverse når det gjelder koordinatforskjeller, der en hendelse har koordinater ( x ₁ , t ₁ ) og ( x ′ ₁ , t ′ ₁ ) , har en annen hendelse koordinater ( x ₂ , t ₂ ) og ( x ) ′ ₂ , t ′ ₂ ) , og forskjellene er definert som

• Ekv. 1:    ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• Ekv. 2:    ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

vi får

• Ekv. 3:    ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta xv\,\Delta t)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta tv\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• Ekv. 4:    ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$ ${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

Hvis vi tar forskjeller i stedet for å ta forskjeller, får vi

• Ekv. 5:    ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• Ekv. 6:    ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$ ${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

Grafisk representasjon av Lorentz-transformasjonen

Romtidsdiagrammer ( Minkowski-diagrammer ) er et ekstremt nyttig hjelpemiddel for å visualisere hvordan koordinater transformeres mellom ulike referanserammer. Selv om det ikke er like lett å utføre eksakte beregninger ved å bruke dem som å direkte påkalle Lorentz-transformasjonene, er deres hovedkraft deres evne til å gi et intuitivt grep om resultatene av et relativistisk scenario.

For å tegne et romtidsdiagram, begynn med å vurdere to galileiske referanserammer, S og S', i standardkonfigurasjon, som vist i fig. 2-1.

Fig. 3-1a. Tegn og aksene til ramme S. Aksen er horisontal og (faktisk ) aksen er vertikal, noe som er det motsatte av den vanlige konvensjonen i kinematikk. Aksen skaleres med en faktor på slik at begge aksene har felles lengdeenheter. I det viste diagrammet er rutenettene plassert med én enhetsavstand fra hverandre. De 45° diagonale linjene representerer verdenslinjene til to fotoner som passerer gjennom origo til en tid . Helningen til disse verdenslinjene er 1 fordi fotonene går frem en enhet i rommet per tidsenhet. To hendelser, og er plottet på denne grafen slik at deres koordinater kan sammenlignes i S- og S-rammer. ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t=0.}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle {\text{B}},}$

Fig. 3-1b. Tegn og aksene til rammen S'. Aksen representerer verdenslinjen til opprinnelsen til S' koordinatsystem målt i ramme S. I denne figuren er både og - aksene vippet fra de uprimede aksene med en vinkel der De primede og uprimede aksene deler en felles opprinnelse fordi rammer S og S' hadde blitt satt opp i standardkonfigurasjon, slik at når${\displaystyle x'}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle v=c/2.}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$${\displaystyle \beta =v/c.}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t'=0.}$

Fig. 3-1c. Enheter i de primete aksene har en annen skala enn enheter i de ikke-primede aksene. Fra Lorentz-transformasjonene observerer vi at koordinater i det primede koordinatsystemet transformeres til i det ikke-primede koordinatsystemet. På samme måte transformeres koordinater i det primete koordinatsystemet til i det uprimede systemet. Tegn rutenett parallelt med aksen gjennom punkter som målt i den ikke-primede rammen, hvor er et heltall. Tegn likeledes rutenett parallelt med aksen gjennom målt i den uprimede rammen. Ved å bruke Pythagoras teorem observerer vi at avstanden mellom enhetene er lik ganger avstanden mellom enhetene, målt i ramme S. Dette forholdet er alltid større enn 1, og til slutt nærmer det seg uendelig som${\displaystyle (x',ct')}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$${\displaystyle (x',ct')}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$${\displaystyle ct'}$${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \beta \to 1.}$

Fig. 3-1d. Siden lysets hastighet er invariant, plotter verdenslinjene til to fotoner som passerer gjennom origo til tider fortsatt som 45° diagonale linjer. De primede koordinatene til og er relatert til de ikke-primede koordinatene gjennom Lorentz-transformasjonene og kan måles omtrentlig fra grafen (forutsatt at den er plottet nøyaktig nok), men den virkelige fordelen med et Minkowski-diagram er at det gir oss en geometrisk visning av scenarioet. For eksempel, i denne figuren, observerer vi at de to tidsliknende separerte hendelsene som hadde forskjellige x-koordinater i den uprimede rammen nå er på samme posisjon i rommet. ${\displaystyle t'=0}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle {\text{B}}}$

Mens den uprimede rammen er tegnet med rom- og tidsakser som møtes i rette vinkler, er den grunnede rammen tegnet med akser som møtes i spisse eller stumpe vinkler. Denne asymmetrien skyldes uunngåelige forvrengninger i hvordan romtidskoordinater kartlegges på et kartesisk plan , men rammene er faktisk likeverdige.

Konsekvenser avledet fra Lorentz-transformasjonen

Konsekvensene av spesiell relativitet kan utledes fra Lorentz-transformasjonsligningene . Disse transformasjonene, og dermed spesiell relativitet, fører til andre fysiske spådommer enn de fra newtonsk mekanikk ved alle relative hastigheter, og mest uttalt når relative hastigheter blir sammenlignbare med lysets hastighet. Lysets hastighet er så mye større enn noe de fleste mennesker møter at noen av effektene som er forutsagt av relativitetsteorien i utgangspunktet er kontraintuitive .

Invariant intervall

I galileisk relativitetsteori er lengde ( ) og tidsmessig separasjon mellom to hendelser ( ) uavhengige invarianter, hvis verdier ikke endres når de observeres fra forskjellige referanserammer. ${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle \Delta t}$

I spesiell relativitet, genererer imidlertid sammenvevingen av romlige og tidsmessige koordinater konseptet om et invariant intervall , betegnet som :${\displaystyle \Delta s^{2}}$

Sammenvevingen av rom og tid opphever de implisitt antatte begrepene om absolutt samtidighet og synkronisering på tvers av ikke-comoving rammer.

Formen for å være forskjellen mellom den kvadrerte tidsforløpet og den kvadrerte romlige avstanden, demonstrerer en grunnleggende avvik mellom euklidiske og romtidsavstander. Invariansen til dette intervallet er en egenskap ved den generelle Lorentz-transformasjonen (også kalt Poincaré-transformasjonen ), noe som gjør den til en isometri av romtid. Den generelle Lorentz-transformasjonen utvider standard Lorentz-transformasjonen (som omhandler translasjoner uten rotasjon, det vil si Lorentz-forsterkninger , i x-retningen) med alle andre translasjoner , refleksjoner og rotasjoner mellom en hvilken som helst kartesisk treghetsramme. ${\displaystyle \Delta s^{2},}$

I analysen av forenklede scenarier, for eksempel romtidsdiagrammer, brukes ofte en form for redusert dimensjonalitet av det invariante intervallet:

Å demonstrere at intervallet er invariant er enkelt for tilfellet med redusert dimensjonalitet og med rammer i standardkonfigurasjon:

Verdien av er derfor uavhengig av rammen den måles i. ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

Når man vurderer den fysiske betydningen av , er det tre tilfeller å merke seg: ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

• Δs ² > 0: I dette tilfellet er de to hendelsene atskilt med mer tid enn rom, og de sies derfor å være tidsliknende atskilt. Dette innebærer at og gitt Lorentz-transformasjonen er det tydelig at det eksisterer en mindre enn for hvilken (spesielt ). Med andre ord, gitt to hendelser som er tidsliknende atskilt, er det mulig å finne en ramme der de to hendelsene skjer på samme sted. I denne rammen, separasjonen i tid, kalles den riktige tiden .${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|<c,}$${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta xv\,\Delta t),}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta x'=0}$${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$${\displaystyle \Delta s/c,}$
• Δs ² < 0: I dette tilfellet er de to hendelsene atskilt med mer rom enn tid, og de sies derfor å være romlignende atskilt. Dette innebærer at og gitt Lorentz-transformasjonen eksisterer det en mindre enn for hvilken (spesielt ). Med andre ord, gitt to hendelser som er romlignende atskilt, er det mulig å finne en ramme der de to hendelsene skjer samtidig. I denne rammen kalles separasjonen i rommet riktig avstand , eller riktig lengde . For verdier større enn og mindre enn tegnet på endringer, noe som betyr at den tidsmessige rekkefølgen av romlignende separerte hendelser endres avhengig av rammen som hendelsene vises i. Den tidsmessige rekkefølgen av tidsliknende separerte hendelser er imidlertid absolutt, siden den eneste måten som kan være større enn hvis${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|>c,}$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta tv\Delta x/c^{2}),}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta t'=0}$${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}},}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x,}$${\displaystyle \Delta t'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle v>c.}$
• Δs ² = 0: I dette tilfellet sies de to hendelsene å være lettlignende atskilt. Dette innebærer at og dette forholdet er rammeuavhengig på grunn av invariansen til. Fra dette observerer vi at lysets hastighet er i hver treghetsramme. Med andre ord, med utgangspunkt i antakelsen om universell Lorentz-kovarians, er lysets konstante hastighet et avledet resultat, snarere enn et postulat som i to-postulatformuleringen av den spesielle teorien.${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|=c,}$${\displaystyle s^{2}.}$${\displaystyle c}$

Relativitet av samtidighet

Tenk på to hendelser som skjer på to forskjellige steder som skjer samtidig i referanserammen til en treghetsobservatør. De kan forekomme ikke-samtidig i referanserammen til en annen treghetsobservatør (mangel på absolutt samtidighet ).

Fra ligning 3 (den fremre Lorentz-transformasjonen når det gjelder koordinatforskjeller)

Det er klart at de to hendelsene som er samtidige i ramme S (tilfredsstiller Δ t = 0 ), ikke nødvendigvis er samtidige i en annen treghetsramme S ′ (tilfredsstiller Δ t ′ = 0 ). Bare hvis disse hendelsene i tillegg er samlokale i ramme S (tilfredsstiller Δ x = 0 ), vil de være samtidige i en annen ramme S ′.

Sagnac -effekten kan betraktes som en manifestasjon av relativiteten til samtidighet. Siden relativitet av simultanitet er en førsteordens effekt i , er instrumenter basert på Sagnac-effekten for deres drift, slik som ringlasergyroskoper og fiberoptiske gyroskoper , i stand til ekstreme følsomhetsnivåer. ${\displaystyle v}$

Tidsutvidelse

Tidsforløpet mellom to hendelser er ikke invariant fra en observatør til en annen, men er avhengig av de relative hastighetene til observatørenes referanserammer (f.eks. tvillingparadokset som gjelder en tvilling som flyr av gårde i et romskip som reiser nær lysets hastighet og vender tilbake for å oppdage at den ikke-reisende tvillingsøsken har blitt mye eldre, paradokset er at vi med konstant hastighet ikke er i stand til å skjelne hvilken tvilling som er ikke-reisende og hvilken tvilling som reiser).

Anta at en klokke står i ro i det uprimede systemet S . Plasseringen av klokken på to forskjellige haker karakteriseres da med Δ x = 0 . For å finne forholdet mellom tidene mellom disse hakene målt i begge systemene, kan ligning 3 brukes til å finne:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ for tilfredsstillende arrangementer ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

Dette viser at tiden (Δ t ′) mellom de to tikkene sett i rammen som klokken beveger seg i ( S ′), er lengre enn tiden (Δ t ) mellom disse tikkene målt i hvilerammen til klokke ( S ). Tidsutvidelse forklarer en rekke fysiske fenomener; for eksempel er levetiden til høyhastighetsmyoner skapt ved kollisjon av kosmiske stråler med partikler i jordens ytre atmosfære og beveger seg mot overflaten lengre enn levetiden til sakte bevegelige myoner, skapt og forfallende i et laboratorium .

Lengde sammentrekning

Dimensjonene (f.eks. lengde) til et objekt målt av en observatør kan være mindre enn resultatene av målinger av samme objekt gjort av en annen observatør (f.eks. innebærer stigeparadokset en lang stige som beveger seg nær lysets hastighet og holdes innesluttet i en mindre garasje).

Anta på samme måte at en målestav er i ro og innrettet langs x - aksen i det uprimede systemet S . I dette systemet er lengden på denne stangen skrevet som Δ x . For å måle lengden på denne stangen i systemet S ′, der stangen beveger seg, må avstandene x ′ til endepunktene til stangen måles samtidig i det systemet S ′. Målingen er med andre ord karakterisert ved Δ t ′ = 0 , som kan kombineres med ligning 4 for å finne forholdet mellom lengdene Δ x og Δ x ′:

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  for tilfredsstillende arrangementer ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

Dette viser at lengden (Δ x ′) på stangen målt i rammen den beveger seg i ( S ′), er kortere enn lengden (Δ x ) i sin egen hvileramme ( S ).

Tidsutvidelse og lengdesammentrekning er ikke bare tilsynekomster. Tidsutvidelse er eksplisitt knyttet til vår måte å måle tidsintervaller mellom hendelser som skjer på samme sted i et gitt koordinatsystem (kalt «samlokale» hendelser). Disse tidsintervallene (som kan måles og faktisk måles eksperimentelt av relevante observatører) er forskjellige i et annet koordinatsystem som beveger seg i forhold til det første, med mindre hendelsene, i tillegg til å være samlokale, også er samtidige. Tilsvarende forholder lengdekontraksjon seg til våre målte avstander mellom adskilte, men samtidige hendelser i et gitt koordinatsystem valgt. Hvis disse hendelsene ikke er samlokale, men er atskilt med avstand (rom), vil de ikke inntreffe i samme romlige avstand fra hverandre sett fra et annet bevegelig koordinatsystem.

Lorentz transformasjon av hastigheter

Tenk på to rammer S og S′ i standardkonfigurasjon. En partikkel i S beveger seg i x-retningen med hastighetsvektor Hva er dens hastighet i rammen S′ ? ${\displaystyle \mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u'} }$

Vi kan skrive

$${\displaystyle \mathbf {|u|} =u=dx/dt\,.}$$

( 7 )

$${\displaystyle \mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\,.}$$

( 8 )

Å erstatte uttrykk for og fra ligning 5 til ligning 8 , etterfulgt av enkle matematiske manipulasjoner og tilbake-substitusjon fra ligning 7 gir Lorentz-transformasjonen av hastigheten til : ${\displaystyle dx'}$${\displaystyle dt'}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u'}$

$${\displaystyle u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2 }}}\right)}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)\ venstre({\frac {dx}{dt}}\right)}}={\frac {uv}{1-uv/c^{2}}}.}$$

( 9 )

Den omvendte relasjonen oppnås ved å bytte ut de primede og uprimede symbolene og erstatte med${\displaystyle v}$${\displaystyle -v\ .}$

$${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.}$$

( 10 )

For ikke justert langs x-aksen, skriver vi: ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ u_{2},\ u_{3})=(dx/dt,\ dy/dt,\ dz/dt)\ .}$$

( 11 )

$${\displaystyle \mathbf {u'} =(u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}')=(dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/ dt')\ .}$$

( 12 )

De fremadrettede og inverse transformasjonene for dette tilfellet er:

$${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}'={\frac { u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}'={\frac {u_{3}}{\ gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ .}$$

( 13 )

$${\displaystyle u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}={\frac { u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}={\frac {u_{3}'} {\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ .}$$

( 14 )

Ligning 10 og ligning 14 kan tolkes som å gi resultanten av de to hastighetene,og de erstatter formelensom er gyldig i galileisk relativitet. Tolket på en slik måte, blir de ofte referert til som de relativistiske hastighetsaddisjonsformlene (eller komposisjonsformlene) , gyldige for de tre aksene til S og S′ som er på linje med hverandre (men ikke nødvendigvis i standardkonfigurasjon). ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u'} ,}$${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$

Vi legger merke til følgende punkter:

• Hvis et objekt (f.eks. et foton ) beveget seg med lysets hastighet i en ramme (dvs. u = ± c eller u′ = ± c ), så ville det også beveget seg med lysets hastighet i en hvilken som helst annen ramme, beveger seg på | v | < c .
• Den resulterende hastigheten til to hastigheter med størrelse mindre enn c er alltid en hastighet med størrelse mindre enn c .
• Hvis begge | u | og | v | (og da også | u′ | og | v′ |) er små i forhold til lysets hastighet (det vil si f.eks. | u/c| ≪ 1 ), så gjenvinnes de intuitive galileiske transformasjonene fra transformasjonsligningene for spesiell relativitet
• Å feste en ramme til et foton ( å ri på en lysstråle som Einstein anser) krever spesiell behandling av transformasjonene.

Det er ikke noe spesielt med x - retningen i standardkonfigurasjonen. Ovennevnte formalisme gjelder for enhver retning; og tre ortogonale retninger tillater å håndtere alle retninger i rommet ved å dekomponere hastighetsvektorene til deres komponenter i disse retningene. Se Formel for hastighetstillegg for detaljer.

Thomas rotasjon

Sammensetningen av to ikke-kollineære Lorentz-forsterkninger (dvs. to ikke-kollineære Lorentz-transformasjoner, som ingen av dem involverer rotasjon) resulterer i en Lorentz-transformasjon som ikke er en ren boost, men er sammensetningen av en boost og en rotasjon.

Thomas-rotasjon er et resultat av relativiteten til samtidighet. I fig. 4-2a stiger en stang av lengde i hvilerammen (dvs. med en riktig lengde på ) vertikalt langs y-aksen i bakkerammen. ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

I fig. 4-2b er den samme stangen observert fra rammen til en rakett som beveger seg i hastighet til høyre. Hvis vi forestiller oss to klokker plassert på venstre og høyre ende av stangen som er synkronisert i rammen av stangen, får samtidighetsrelasjonen observatøren i rakettrammen til å observere (ikke se ) klokken i høyre ende av stangen som fremført i tid av og stangen blir tilsvarende observert som skråstilt. ${\displaystyle v}$${\displaystyle Lv/c^{2},}$

I motsetning til andreordens relativistiske effekter som lengdesammentrekning eller tidsutvidelse, blir denne effekten ganske betydelig selv ved ganske lave hastigheter. For eksempel kan dette sees i spinn av bevegelige partikler , der Thomas-presesjon er en relativistisk korreksjon som gjelder spinn av en elementær partikkel eller rotasjon av et makroskopisk gyroskop , som relaterer vinkelhastigheten til spinnet til en partikkel etter en krumlinjet bane til vinkelhastigheten til banebevegelsen.

Thomas-rotasjon gir oppløsningen til det velkjente «meterstokk og hull-paradokset».

Årsakssammenheng og forbud mot bevegelse raskere enn lys

I fig. 4-3 er tidsintervallet mellom hendelsene A ("årsaken") og B ("effekten") 'tidslignende'; det vil si at det er en referanseramme der hendelser A og B oppstår på samme sted i rommet , bare atskilt ved å skje på forskjellige tidspunkter. Hvis A går foran B i den rammen, går A foran B i alle rammer som er tilgjengelige med en Lorentz-transformasjon. Det er mulig for materie (eller informasjon) å reise (under lyshastighet) fra plasseringen til A, med start på tidspunktet for A, til plasseringen av B, og ankommer til tidspunktet for B, slik at det kan være en årsakssammenheng ( med A årsaken og B effekten).

Intervallet AC i diagrammet er 'romlignende'; det vil si at det er en referanseramme der hendelser A og C skjer samtidig, kun atskilt i rommet. Det er også rammer der A går foran C (som vist) og rammer der C går foran A. Imidlertid er det ingen rammer tilgjengelige med en Lorentz-transformasjon, der hendelser A og C oppstår på samme sted. Hvis det var mulig for et årsak-virkningsforhold å eksistere mellom hendelser A og C, ville det oppstå kausalitetsparadokser.

For eksempel, hvis signaler kunne sendes raskere enn lys, så kan signaler sendes inn i avsenderens fortid (observatør B i diagrammene). En rekke årsaksparadokser kunne da konstrueres.

Se på romtidsdiagrammene i fig. 4-4. A og B står ved siden av et jernbanespor, når et høyhastighetstog passerer forbi, med C i den siste vognen på toget og D i den fremste vognen. Verdenslinjene til A og B er vertikale ( ct ), noe som skiller den stasjonære posisjonen til disse observatørene på bakken, mens verdenslinjene til C og D vippes forover ( ct′ ), og reflekterer den raske bevegelsen til observatørene C og D stasjonære i toget deres, sett fra bakken.

1. Fig. 4-4a. Hendelsen "B sender en melding til D", når den ledende bilen passerer, er opphavet til Ds ramme. D sender meldingen langs toget til C i bakerste vogn, ved hjelp av en fiktiv «øyeblikkelig kommunikator». Verdenslinjen til denne meldingen er den fete røde pilen langs aksen, som er en linje med samtidighet i de primede rammene til C og D. I den (uprimede) bakkerammen kommer signalet tidligere enn det ble sendt.${\displaystyle -x'}$
2. Fig. 4-4b. Hendelsen "C sender meldingen til A", som står ved jernbaneskinnene, er opphavet til rammene deres. Nå sender A meldingen langs sporene til B via en "øyeblikkelig kommunikator". Verdenslinjen til denne meldingen er den blå fettpilen, langs aksen, som er en samtidighetslinje for rammene til A og B. Som sett fra romtidsdiagrammet vil B motta meldingen før den har sendt den ut, et brudd på kausalitet.${\displaystyle +x}$

Det er ikke nødvendig at signaler er øyeblikkelige for å bryte kausaliteten. Selv om signalet fra D til C var litt grunnere enn aksen (og signalet fra A til B litt brattere enn aksen), ville det fortsatt være mulig for B å motta meldingen før han hadde sendt den. Ved å øke hastigheten på toget til nær lyshastigheter, kan aksene og presses veldig nær den stiplede linjen som representerer lysets hastighet. Med dette modifiserte oppsettet kan det demonstreres at selv signaler bare litt raskere enn lysets hastighet vil resultere i kausalitetsbrudd. ${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle x'}$

Derfor, hvis kausalitet skal bevares, er en av konsekvensene av spesiell relativitet at ingen informasjonssignaler eller materielle objekter kan reise raskere enn lys i vakuum.

Dette er ikke å si at alle raskere enn lyshastigheter er umulige. Ulike trivielle situasjoner kan beskrives der noen "ting" (ikke faktisk materie eller energi) beveger seg raskere enn lys. For eksempel kan stedet der strålen til et søkelys treffer bunnen av en sky bevege seg raskere enn lyset når søkelyset snus raskt (selv om dette ikke bryter med kausalitet eller noe annet relativistisk fenomen).

Optiske effekter

Draeffekter

I 1850 fastslo Hippolyte Fizeau og Léon Foucault uavhengig at lys beveger seg langsommere i vann enn i luft, og validerte dermed en prediksjon av Fresnels bølgeteori om lys og ugyldiggjorde den tilsvarende prediksjonen til Newtons korpuskulære teori . Lysets hastighet ble målt i stille vann. Hva ville være lysets hastighet i rennende vann?

I 1851 utførte Fizeau et eksperiment for å svare på dette spørsmålet, en forenklet fremstilling av dette er illustrert i fig. 5-1. En lysstråle deles av en stråledeler, og de delte strålene føres i motsatte retninger gjennom et rør med rennende vann. De er rekombinert for å danne interferenskanter, noe som indikerer en forskjell i optisk banelengde, som en observatør kan se. Eksperimentet viste at trekking av lyset av det rennende vannet forårsaket en forskyvning av frynsene, noe som viste at vannets bevegelse hadde påvirket lysets hastighet.

I følge teoriene som var rådende på den tiden, ville lys som beveger seg gjennom et medium i bevegelse være en enkel sum av hastigheten gjennom mediet pluss mediets hastighet . I motsetning til forventning fant Fizeau at selv om lys så ut til å bli dratt av vannet, var størrelsen på slepet mye lavere enn forventet. Hvis er lysets hastighet i stille vann, og er hastigheten til vannet, og er den vannbårne lyshastigheten i laboratorierammen med vannstrømmen som legger til eller trekker fra lysets hastighet, så ${\displaystyle u'=c/n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u_{\pm }}$

Fizeaus resultater, selv om de var i samsvar med Fresnels tidligere hypotese om delvis eterdraging , var ekstremt foruroligende for datidens fysikere. Blant annet betydde tilstedeværelsen av en brytningsindeksledd at, siden avhenger av bølgelengde, må eteren være i stand til å opprettholde forskjellige bevegelser samtidig. En rekke teoretiske forklaringer ble foreslått for å forklare Fresnels dragkoeffisient som var helt i strid med hverandre. Selv før Michelson–Morley-eksperimentet var Fizeaus eksperimentelle resultater blant en rekke observasjoner som skapte en kritisk situasjon for å forklare optikken til bevegelige kropper. ${\displaystyle n}$

Fra et synspunkt av spesiell relativitet er Fizeaus resultat ikke annet enn en tilnærming til ligning 10 , den relativistiske formelen for sammensetning av hastigheter.

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$ ${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right )\ca }$ ${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

Relativistisk aberrasjon av lys

På grunn av den endelige lyshastigheten, hvis de relative bevegelsene til en kilde og mottaker inkluderer en tverrgående komponent, vil retningen som lyset kommer til mottakeren fra bli forskjøvet fra den geometriske posisjonen i rommet til kilden i forhold til mottakeren. Den klassiske beregningen av forskyvningen har to former og gir forskjellige spådommer avhengig av om mottakeren, kilden eller begge er i bevegelse i forhold til mediet. (1) Hvis mottakeren er i bevegelse, vil forskyvningen være konsekvensen av lysaberrasjonen . Innfallsvinkelen til strålen i forhold til mottakeren vil kunne beregnes fra vektorsummen av mottakerens bevegelser og hastigheten til det innfallende lyset. (2) Hvis kilden er i bevegelse, vil forskyvningen være konsekvensen av lys-tidskorrigering . Forskyvningen av den tilsynelatende posisjonen til kilden fra dens geometriske posisjon vil være et resultat av kildens bevegelse i løpet av tiden lyset bruker på å nå mottakeren.

Den klassiske forklaringen mislyktes i eksperimentell test. Siden aberrasjonsvinkelen avhenger av forholdet mellom hastigheten til mottakeren og hastigheten til det innfallende lyset, bør passasje av det innfallende lyset gjennom et brytningsmedium endre aberrasjonsvinkelen. I 1810 brukte Arago dette forventede fenomenet i et mislykket forsøk på å måle lysets hastighet, og i 1870 testet George Airy hypotesen ved hjelp av et vannfylt teleskop, og fant ut at den målte aberrasjonen mot forventning var identisk med den målte aberrasjonen. med et luftfylt teleskop. Et "tungt" forsøk på å forklare disse resultatene brukte hypotesen om delvis eter-drag, men var uforenlig med resultatene av Michelson-Morley-eksperimentet , som tilsynelatende krevde fullstendig eter-drag.

Forutsatt treghetsrammer, er det relativistiske uttrykket for aberrasjon av lys anvendelig for både mottakerens bevegelses- og kildebevegelseshus. En rekke trigonometrisk ekvivalente formler er publisert. Uttrykt i form av variablene i fig. 5-2 inkluderer disse

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$   ELLER    ELLER${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$      ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {cv}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

Relativistisk dopplereffekt

Relativistisk langsgående dopplereffekt

Den klassiske Doppler-effekten avhenger av om kilden, mottakeren eller begge er i bevegelse i forhold til mediet. Den relativistiske Doppler-effekten er uavhengig av hvilket som helst medium. Ikke desto mindre kan relativistisk dopplerskifte for det langsgående tilfellet, med kilde og mottaker som beveger seg direkte mot eller bort fra hverandre, utledes som om det var det klassiske fenomenet, men modifisert ved å legge til et tidsutvidelsesledd , og det er behandlingen beskrevet her.

Anta at mottakeren og kilden beveger seg bort fra hverandre med en relativ hastighet målt av en observatør på mottakeren eller kilden (tegnkonvensjonen som er vedtatt her er at den er negativ hvis mottakeren og kilden beveger seg mot hverandre). Anta at kilden er stasjonær i mediet. Deretter ${\displaystyle v\,}$${\displaystyle v}$

hvor er lydens hastighet. ${\displaystyle c_{s}}$

For lys, og med mottakeren som beveger seg med relativistiske hastigheter, blir klokkene på mottakeren tidsutvidet i forhold til klokkene ved kilden. Mottakeren vil måle den mottatte frekvensen

hvor

• ${\displaystyle \beta =v/c}$  og
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$er Lorentz-faktoren .

Et identisk uttrykk for relativistisk dopplerskifte oppnås når analysen utføres i referanserammen til mottakeren med en bevegelig kilde.

Tverrgående dopplereffekt

Den tverrgående Doppler-effekten er en av de viktigste nye spådommene til den spesielle relativitetsteorien.

Klassisk kan man forvente at hvis kilde og mottaker beveger seg på tvers i forhold til hverandre uten noen langsgående komponent til deres relative bevegelser, at det ikke skal være noe dopplerskifte i lyset som kommer til mottakeren.

Spesiell relativitet forutsier noe annet. Fig. 5-3 illustrerer to vanlige varianter av dette scenariet. Begge variantene kan analyseres ved hjelp av enkle tidsutvidelsesargumenter. I fig. 5-3a observerer mottakeren lys fra kilden som blåforskyvet med en faktor på . I fig. 5-3b er lyset rødforskyvet med samme faktor. ${\displaystyle \gamma }$

Måling versus visuelt utseende

Tidsutvidelse og lengdekontraksjon er ikke optiske illusjoner, men genuine effekter. Målinger av disse effektene er ikke en artefakt av Doppler-skifte , og de er heller ikke et resultat av å forsømme å ta hensyn til tiden det tar lys å reise fra en hendelse til en observatør.

Forskere gjør et grunnleggende skille mellom måling eller observasjon på den ene siden, versus visuelt utseende , eller hva man ser . Den målte formen til et objekt er et hypotetisk øyeblikksbilde av alle objektets punkter slik de eksisterer på et enkelt tidspunkt. Det visuelle utseendet til et objekt påvirkes imidlertid av den varierende tiden det tar for lys å bevege seg fra forskjellige punkter på objektet til øyet.

I mange år hadde ikke skillet mellom de to vært generelt verdsatt, og det hadde generelt vært antatt at et lengdekontraktert objekt som passerte en observatør faktisk faktisk ville bli sett på som lengdekontraktert. I 1959 påpekte James Terrell og Roger Penrose uavhengig av hverandre at differensielle tidsforsinkelseseffekter i signaler som når observatøren fra de forskjellige delene av et objekt i bevegelse, resulterer i at et raskt bevegende objekts visuelle utseende er ganske forskjellig fra dets målte form. For eksempel vil et objekt som trekker seg tilbake virke sammentrukket, et objekt som nærmer seg vil virke langstrakt, og et objekt som passerer vil ha et skjevt utseende som har blitt sammenlignet med en rotasjon. En kule i bevegelse beholder den sirkulære omrisset, selv om overflaten av kulen og bildene på den vil virke forvrengt.

Fig. 5-4 illustrerer en kube sett fra en avstand på fire ganger lengden på sidene. Ved høye hastigheter virker sidene av kuben som er vinkelrett på bevegelsesretningen hyperbolske i form. Kuben er faktisk ikke rotert. Det tar heller lengre tid for lys fra baksiden av kuben å nå ens øyne sammenlignet med lys fra forsiden, i løpet av denne tiden har kuben flyttet seg til høyre. Denne illusjonen har blitt kjent som Terrell-rotasjon eller Terrell-Penrose-effekten .

Et annet eksempel der det visuelle utseendet er i strid med målingen kommer fra observasjonen av tilsynelatende superluminal bevegelse i forskjellige radiogalakser , BL Lac-objekter , kvasarer og andre astronomiske objekter som sender ut relativistiske hastighetsstråler av materie i smale vinkler i forhold til betrakteren. En tilsynelatende optisk illusjon resulterer som gir inntrykk av raskere enn lys reise. I fig. 5-5 strømmer galaksen M87 ut en høyhastighetsstråle av subatomære partikler nesten direkte mot oss, men Penrose-Terrell-rotasjon får strålen til å se ut til å bevege seg sideveis på samme måte som utseendet til kuben i fig. 5-4 er strukket ut.

Dynamikk

Seksjonskonsekvenser avledet fra Lorentz-transformasjonen omhandlet strengt tatt kinematikk , studiet av bevegelsen til punkter, kropper og kroppssystemer uten å ta hensyn til kreftene som forårsaket bevegelsen. Denne delen diskuterer masser, krefter, energi og så videre, og krever som sådan vurdering av fysiske effekter utover de som omfattes av selve Lorentz-transformasjonen.

Ekvivalens av masse og energi

Etter hvert som et objekts hastighet nærmer seg lysets hastighet fra en observatørs synspunkt, øker dens relativistiske masse , noe som gjør det vanskeligere og vanskeligere å akselerere det fra observatørens referanseramme.

Energiinnholdet til en gjenstand i hvile med masse m er lik mc ² . Bevaring av energi innebærer at i enhver reaksjon må en reduksjon av summen av partikkelmassene ledsages av en økning i kinetiske energier til partiklene etter reaksjonen. På samme måte kan massen til et objekt økes ved å ta inn kinetiske energier.

I tillegg til papirene referert ovenfor – som gir avledninger av Lorentz-transformasjonen og beskriver grunnlaget for spesiell relativitet – skrev Einstein også minst fire artikler som ga heuristiske argumenter for ekvivalens (og transmuterbarhet) av masse og energi, for E = mc ² .

Masse-energi-ekvivalens er en konsekvens av spesiell relativitet. Energien og momentumet, som er atskilt i newtonsk mekanikk, danner en fire-vektor i relativitetsteorien, og denne relaterer tidskomponenten (energien) til romkomponentene (momentumet) på en ikke-triviell måte. For et objekt i hvile er energi-momentum fire-vektoren ( E / c , 0, 0, 0) : den har en tidskomponent som er energien, og tre romkomponenter som er null. Ved å endre rammer med en Lorentz-transformasjon i x-retningen med en liten verdi av hastigheten v, blir energimomentum fire-vektor ( E / c , Ev / c ² , 0, 0) . Momentumet er lik energien multiplisert med hastigheten delt på c ² . Som sådan er den newtonske massen til et objekt, som er forholdet mellom momentumet og hastigheten for langsomme hastigheter, lik E / c ² .

Energien og momentumet er egenskapene til materie og stråling, og det er umulig å utlede at de danner en firevektor bare fra de to grunnleggende postulatene til spesiell relativitet alene, fordi disse ikke snakker om materie eller stråling, de snakker bare om rom og tid. Utledningen krever derfor noen ekstra fysiske resonnementer. I sin artikkel fra 1905 brukte Einstein tilleggsprinsippene som Newtonsk mekanikk bør holde for langsomme hastigheter, slik at det er en energiskalar og en trevektormomentum ved langsomme hastigheter, og at bevaringsloven for energi og momentum er nøyaktig sann i relativitetsteorien. . Videre antok han at lysets energi transformeres av den samme Doppler-forskyvningsfaktoren som dens frekvens, noe han tidligere hadde vist å være sant basert på Maxwells ligninger. Den første av Einsteins artikler om dette emnet var "Avhenger tregheten til en kropp av dens energiinnhold?" i 1905. Selv om Einsteins argument i denne artikkelen nesten er universelt akseptert av fysikere som riktig, ja til og med selvinnlysende, har mange forfattere gjennom årene antydet at det er feil. Andre forfattere antyder at argumentet bare var inkonklusive fordi det var avhengig av noen implisitte antakelser.

Einstein erkjente kontroversen om utledningen hans i sin undersøkelsesartikkel fra 1907 om spesiell relativitet. Der bemerker han at det er problematisk å stole på Maxwells ligninger for det heuristiske masse-energi-argumentet. Argumentasjonen i hans artikkel fra 1905 kan utføres med emisjon av masseløse partikler, men Maxwell-ligningene brukes implisitt for å gjøre det åpenbart at spesielt utslipp av lys bare kan oppnås ved å gjøre arbeid. For å sende ut elektromagnetiske bølger, trenger du bare å riste en ladet partikkel, og dette fungerer tydeligvis slik at utslippet er av energi.

Hvor langt kan man reise fra jorden?

Siden man ikke kan reise raskere enn lyset, kan man konkludere med at et menneske aldri kan reise lenger fra Jorden enn 40 lysår hvis den reisende er aktiv mellom 20 og 60 år. Man skulle lett tro at en reisende aldri ville kunne nå mer enn de svært få solsystemene som eksisterer innenfor grensen på 20–40 lysår fra jorden. Men det ville være en feilslutning. På grunn av tidsutvidelse kan et hypotetisk romskip reise tusenvis av lysår i løpet av pilotens 40 aktive år. Hvis det kunne bygges et romskip som akselererer med konstant 1 g , vil det etter litt mindre enn et år reise med nesten lysets hastighet sett fra jorden. Dette er beskrevet av:

der v ( t ) er hastigheten på et tidspunkt t , a er akselerasjonen på 1 g og t er tiden målt av mennesker på jorden. Derfor, etter ett år med akselerasjon med 9,81 m/s ² , vil romskipet reise med v = 0,77 c i forhold til Jorden. Tidsutvidelse vil øke den reisendes levetid sett fra jordens referanseramme til 2,7 år, men levetiden målt av en klokke som reiser med dem vil ikke endres. Under reisen vil mennesker på jorden oppleve mer tid enn de gjør. En 5-årig rundtur for den reisende vil ta 6,5 ​​jordår og dekke en avstand på over 6 lysår. En 20-årig rundtur for dem (5 år akselererende, 5 nedbremsende, to ganger hver) vil lande dem tilbake på jorden etter å ha reist i 335 jordår og en avstand på 331 lysår. En hel 40-årig reise ved 1 g vil dukke opp på jorden for å vare 58 000 år og dekke en avstand på 55 000 lysår. En 40-årig reise ved 1,1 g vil ta 148 000 jordår og dekke omtrent 140 000 lysår. En enveis 28 år (14 år akselererende, 14 retarderende målt med astronautens klokke) tur med 1 g akselerasjon kan nå 2 000 000 lysår til Andromedagalaksen. Den samme tidsutvidelsen er grunnen til at en myon som reiser nær c er observert å reise mye lenger enn c ganger halveringstiden (når den er i ro).

Relativitet og samlende elektromagnetisme

Teoretisk undersøkelse innen klassisk elektromagnetisme førte til oppdagelsen av bølgeutbredelse. Ligninger som generaliserte de elektromagnetiske effektene fant at begrenset forplantningshastighet til E- og B - feltene krevde viss oppførsel på ladede partikler. Den generelle studien av bevegelige ladninger danner Liénard–Wiechert-potensialet , som er et skritt mot spesiell relativitet.

Lorentz-transformasjonen av det elektriske feltet til en bevegelig ladning til en ikke-bevegelig observatørs referanseramme resulterer i utseendet til et matematisk begrep som vanligvis kalles magnetfeltet . Motsatt forsvinner magnetfeltet generert av en bevegelig ladning og blir et rent elektrostatisk felt i en kommende referanseramme. Maxwells ligninger er dermed ganske enkelt en empirisk tilpasning til spesielle relativistiske effekter i en klassisk modell av universet. Ettersom elektriske og magnetiske felt er referanserammeavhengige og dermed flettet sammen, snakker man om elektromagnetiske felt. Spesiell relativitet gir transformasjonsreglene for hvordan et elektromagnetisk felt i en treghetsramme vises i en annen treghetsramme.

Maxwells ligninger i 3D-formen er allerede i samsvar med det fysiske innholdet i spesiell relativitet, selv om de er lettere å manipulere i en åpenbart kovariant form, det vil si på tensorkalkulus -språket .

relativitetsteorier og kvantemekanikk

Spesiell relativitet kan kombineres med kvantemekanikk for å danne relativistisk kvantemekanikk og kvanteelektrodynamikk . Hvordan generell relativitet og kvantemekanikk kan forenes er et av de uløste problemene i fysikk ; kvantetyngdekraft og en " teori om alt ", som krever en forening inkludert generell relativitetsteori også, er aktive og pågående områder i teoretisk forskning.

Den tidlige Bohr – Sommerfeld atommodellen forklarte den fine strukturen til alkalimetallatomer ved å bruke både spesiell relativitet og den foreløpige kunnskapen om datidens kvantemekanikk .

I 1928 konstruerte Paul Dirac en innflytelsesrik relativistisk bølgeligning , nå kjent som Dirac-ligningen til hans ære, som er fullt kompatibel både med spesiell relativitet og med den endelige versjonen av kvanteteorien som eksisterte etter 1926. Denne ligningen beskrev ikke bare den iboende vinkelen. momentum av elektronene kalt spin , det førte også til prediksjonen av antipartikkelen til elektronet ( positronet ), og fin struktur kunne bare forklares fullstendig med spesiell relativitet. Det var det første grunnlaget for relativistisk kvantemekanikk .

På den annen side fører eksistensen av antipartikler til den konklusjon at relativistisk kvantemekanikk ikke er nok for en mer nøyaktig og fullstendig teori om partikkelinteraksjoner. I stedet blir en teori om partikler tolket som kvantiserte felt, kalt kvantefeltteori , nødvendig; der partikler kan skapes og ødelegges gjennom rom og tid.

Status

Spesiell relativitet i Minkowski-romtiden er nøyaktig bare når den absolutte verdien av gravitasjonspotensialet er mye mindre enn c ² i området av interesse. I et sterkt gravitasjonsfelt må man bruke generell relativitet . Generell relativitet blir spesiell relativitet ved grensen av et svakt felt. I svært små skalaer, for eksempel ved Planck-lengden og under, må kvanteeffekter tas i betraktning som resulterer i kvantetyngdekraft . Imidlertid, i makroskopiske skalaer og i fravær av sterke gravitasjonsfelt, testes spesiell relativitet eksperimentelt med ekstremt høy grad av nøyaktighet (10 ⁻²⁰ ) og dermed akseptert av fysikkmiljøet. Eksperimentelle resultater som ser ut til å motsi det, er ikke reproduserbare og antas derfor mye å skyldes eksperimentelle feil.

Spesiell relativitetsteori er matematisk selvkonsistent, og den er en organisk del av alle moderne fysiske teorier, spesielt kvantefeltteori , strengteori og generell relativitetsteori (i det begrensende tilfellet med ubetydelige gravitasjonsfelt).

Newtonsk mekanikk følger matematisk av spesiell relativitet ved små hastigheter (sammenlignet med lysets hastighet) - dermed kan newtonsk mekanikk betraktes som en spesiell relativitetsteori for sakte bevegelige legemer. Se klassisk mekanikk for en mer detaljert diskusjon.

Flere eksperimenter som gikk før Einsteins artikkel fra 1905 tolkes nå som bevis for relativitet. Av disse er det kjent at Einstein var klar over Fizeau-eksperimentet før 1905, og historikere har konkludert med at Einstein i det minste var klar over Michelson-Morley-eksperimentet så tidlig som i 1899 til tross for påstander han kom med i sine senere år om at det ikke spilte noen rolle i hans utvikling av teorien.

• Fizeau -eksperimentet (1851, gjentatt av Michelson og Morley i 1886) målte lyshastigheten i bevegelige medier, med resultater som stemmer overens med relativistisk tillegg av kolineære hastigheter.
• Det berømte Michelson–Morley-eksperimentet (1881, 1887) ga ytterligere støtte til postulatet om at det ikke var mulig å oppdage en absolutt referansehastighet. Det skal her sies at det, i motsetning til mange alternative påstander, sa lite om invariansen av lyshastigheten med hensyn til kilden og observatørens hastighet, da både kilden og observatøren reiste sammen med samme hastighet til enhver tid.
• Trouton -Noble-eksperimentet (1903) viste at dreiemomentet på en kondensator er uavhengig av posisjon og treghetsreferanseramme.
• Eksperimentene til Rayleigh og Brace ( 1902, 1904) viste at lengdesammentrekning ikke fører til dobbeltbrytning for en medbevegende observatør, i samsvar med relativitetsprinsippet.

Partikkelakseleratorer akselererer og måler rutinemessig egenskapene til partikler som beveger seg nær lysets hastighet, der deres oppførsel er helt i samsvar med relativitetsteorien og inkonsistent med den tidligere newtonske mekanikken . Disse maskinene ville rett og slett ikke virket hvis de ikke var konstruert i henhold til relativistiske prinsipper. I tillegg har et betydelig antall moderne eksperimenter blitt utført for å teste spesiell relativitet. Noen eksempler:

• Tester av relativistisk energi og momentum - tester den begrensende hastigheten til partikler
• Ives–Stilwell-eksperiment – ​​tester relativistisk dopplereffekt og tidsutvidelse
• Eksperimentell testing av tidsdilatasjon – relativistiske effekter på en hurtiggående partikkels halveringstid
• Kennedy–Thorndike-eksperiment - tidsutvidelse i samsvar med Lorentz-transformasjoner
• Hughes-Drever-eksperiment - tester isotropi av rom og masse
• Moderne søk etter Lorentz-brudd – ulike moderne tester
• Eksperimenter for å teste emisjonsteori viste at lysets hastighet er uavhengig av senderens hastighet.
• Eksperimenter for å teste etermotstandshypotesen – ingen "eterstrømhindringer".

Teknisk diskusjon av romtid

Geometri av romtid

Sammenligning mellom flatt euklidisk rom og Minkowski-rom

Spesiell relativitetsteori bruker et "flat" 4-dimensjonalt Minkowski-rom - et eksempel på en romtid . Minkowski romtid ser ut til å være veldig lik det standard 3-dimensjonale euklidiske rommet , men det er en avgjørende forskjell med hensyn til tid.

I 3D-rom er differensialen til avstand (linjeelement) ds definert av

hvor d x = ( dx ₁ , dx ₂ , dx ₃ ) er differensialene til de tre romlige dimensjonene. I Minkowski-geometri er det en ekstra dimensjon med koordinat X ⁰ utledet fra tid, slik at avstandsdifferensialen oppfyller

hvor d X = ( dX ₀ , dX ₁ , dX ₂ , dX ₃ ) er differensialene til de fire romtidsdimensjonene. Dette antyder en dyp teoretisk innsikt: spesiell relativitet er ganske enkelt en rotasjonssymmetri av vår romtid, analogt med rotasjonssymmetrien til det euklidiske rom (se fig. 10-1). Akkurat som euklidisk rom bruker en euklidisk metrikk , så bruker romtid en Minkowski-metrikk .I utgangspunktet kan spesiell relativitet angis som invariansen til ethvert romtidsintervall (det vil si 4D-avstanden mellom to hendelser) når det sees fra en hvilken som helst treghetsreferanseramme . Alle ligninger og effekter av spesiell relativitet kan utledes fra denne rotasjonssymmetrien ( Poincaré-gruppen ) til Minkowski romtid.

Den faktiske formen for ds ovenfor avhenger av metrikken og av valgene for X ⁰ - koordinaten. For å få tidskoordinaten til å se ut som romkoordinatene, kan den behandles som imaginær : X ₀ = ict (dette kalles en Wick-rotasjon ). I følge Misner, Thorne og Wheeler (1971, §2.3), vil den dypere forståelsen av både spesiell og generell relativitet til syvende og sist komme fra studiet av Minkowski-metrikken (beskrevet nedenfor) og å ta X ⁰ = ct , snarere enn en "forkledd "Euklidisk metrikk som bruker ict som tidskoordinat.

Noen forfattere bruker X ⁰ = t , med faktorer på c andre steder for å kompensere; for eksempel er romlige koordinater delt med c eller faktorer på c ^±2 er inkludert i den metriske tensoren. Disse tallrike konvensjonene kan erstattes ved å bruke naturlige enheter der c = 1 . Da har rom og tid ekvivalente enheter, og ingen faktorer av c vises noe sted.

3D romtid

Hvis vi reduserer de romlige dimensjonene til 2, slik at vi kan representere fysikken i et 3D-rom

vi ser at nullgeodesikken ligger langs en dual-cone (se fig. 10-2) definert av ligningen;

eller rett og slett

 som er ligningen til en sirkel med radius  c dt .

4D romtid

Hvis vi utvider dette til tre romlige dimensjoner, er nullgeodesikken den 4-dimensjonale kjeglen:

så

Som illustrert i fig. 10-3 kan nullgeodesikken visualiseres som et sett med kontinuerlige konsentriske kuler med radier =  c dt .

Denne null-dobbeltkjeglen representerer "siktelinjen" til et punkt i rommet. Det vil si, når vi ser på stjernene og sier "Lyset fra den stjernen som jeg mottar er X år gammel", ser vi nedover denne siktlinjen: en null geodesisk. Vi ser på en hendelse et stykke unna og en tid d/c i fortiden. Av denne grunn er null-dobbeltkjeglen også kjent som "lyskjeglen". (Punkten nederst til venstre på fig. 10-2 representerer stjernen, opprinnelsen representerer observatøren, og linjen representerer den null geodesiske "siktelinjen".) ${\textstyle d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$

Kjeglen i − t - området er informasjonen som punktet 'mottar', mens kjeglen i + t -delen er informasjonen som punktet 'sender'.

Geometrien til Minkowski-rommet kan avbildes ved hjelp av Minkowski-diagrammer , som også er nyttige for å forstå mange av tankeeksperimentene i spesiell relativitet.

Merk at i 4d romtid blir begrepet massesenter mer komplisert, se massesenter (relativistisk) .

Fysikk i romtid

Transformasjoner av fysiske størrelser mellom referanserammer

Ovenfor illustrerer Lorentz-transformasjonen for tidskoordinaten og tre romkoordinater at de er sammenvevd. Dette gjelder mer generelt: visse par av "tidslignende" og "romlignende" størrelser kombineres naturlig på lik linje under den samme Lorentz-transformasjonen.

Lorentz-transformasjonen i standardkonfigurasjonen ovenfor, det vil si for et løft i x -retningen, kan omformes til matriseform som følger:

I newtonsk mekanikk er størrelser som har størrelse og retning matematisk beskrevet som 3d-vektorer i det euklidiske rom, og generelt er de parametrisert av tid. I spesiell relativitetsteori utvides denne forestillingen ved å legge den passende tidslignende mengden til en romlignende vektormengde, og vi har 4d vektorer, eller " fire vektorer ", i Minkowski romtid. Komponentene til vektorer er skrevet ved hjelp av tensorindeksnotasjon , da dette har mange fordeler. Notasjonen gjør det klart at ligningene er tydelig samvariante under Poincaré-gruppen , og omgår dermed de kjedelige beregningene for å sjekke dette faktum. Når vi konstruerer slike ligninger, finner vi ofte at ligninger som tidligere ble antatt å være urelaterte, faktisk er nært forbundet og er en del av den samme tensorligningen. Å gjenkjenne andre fysiske størrelser som tensorer forenkler deres transformasjonslover. Gjennomgående er øvre indekser (superskript) kontravariante indekser snarere enn eksponenter, bortsett fra når de indikerer en firkant (dette bør være klart fra konteksten), og nedre indekser (nedskrevne) er kovariante indekser. For enkelhets skyld og konsistens med de tidligere ligningene, vil kartesiske koordinater bli brukt.

Det enkleste eksemplet på en fire-vektor er posisjonen til en hendelse i romtid, som utgjør en tidslignende komponent ct og romlignende komponent x = ( x , y , z ) , i en kontravariant posisjon fire vektor med komponenter:

hvor vi definerer X ⁰ = ct slik at tidskoordinaten har samme avstandsdimensjon som de andre romlige dimensjonene; slik at rom og tid behandles likt. Nå kan transformasjonen av de kontravariante komponentene til posisjon 4-vektoren skrives kompakt som:

hvor det er en underforstått summering på fra 0 til 3, og er en matrise . ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

Mer generelt transformeres alle motstridende komponenter i en fire-vektor fra en ramme til en annen ramme ved en Lorentz-transformasjon : ${\displaystyle T^{\nu }}$

Eksempler på andre 4-vektorer inkluderer fire-hastigheten definert som den deriverte av posisjon 4-vektoren med hensyn til riktig tid : ${\displaystyle U^{\mu },}$

hvor Lorentz-faktoren er:

Den relativistiske energien og det relativistiske momentumet til et objekt er henholdsvis de tidslignende og romlignende komponentene i en kontravariant fire momentumvektor : ${\displaystyle E=\gamma (v)mc^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m\mathbf {v} }$

hvor m er den invariante massen .

Fire-akselerasjonen er den riktige tidsderiverte av 4-hastighet:

Transformasjonsreglene for tredimensjonale hastigheter og akselerasjoner er veldig vanskelige; selv ovenfor i standardkonfigurasjon er hastighetsligningene ganske kompliserte på grunn av deres ikke-linearitet. På den annen side er transformasjonen av fire -hastighet og fire - akselerasjon enklere ved hjelp av Lorentz-transformasjonsmatrisen.

Firegradienten til et skalarfelt φ transformerer kovariant i stedet for kontravariant:

som er transponeringen av:

bare i kartesiske koordinater. Det er den kovariante deriverte som transformeres i manifest kovarians, i kartesiske koordinater skjer dette for å redusere til de partielle deriverte, men ikke i andre koordinater.

Mer generelt, co -variantkomponentene til en 4-vektor transformasjon i henhold til den inverse Lorentz-transformasjonen:

hvor er den gjensidige matrisen til . ${\displaystyle \Lambda _{\mu '}{}^{\nu }}$${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

Postulatene til spesiell relativitet begrenser den nøyaktige formen Lorentz-transformasjonsmatrisene har.

Mer generelt er de fleste fysiske størrelser best beskrevet som (komponenter av) tensorer . Så for å transformere fra en ramme til en annen bruker vi den velkjente tensortransformasjonsloven

hvor er den gjensidige matrisen til . Alle tensorer transformeres etter denne regelen. ${\displaystyle \Lambda _{\chi '}{}^{\psi }}$${\displaystyle \Lambda ^{\chi '}{}_{\psi }}$

Et eksempel på en firedimensjonal annenordens antisymmetrisk tensor er det relativistiske vinkelmomentet , som har seks komponenter: tre er det klassiske vinkelmomentet , og de tre andre er relatert til økningen av systemets massesenter. Den deriverte av det relativistiske vinkelmomentet med hensyn til riktig tid er det relativistiske dreiemomentet, også annenordens antisymmetrisk tensor .

Den elektromagnetiske felttensoren er et annet antisymmetrisk tensorfelt av andre orden , med seks komponenter: tre for det elektriske feltet og ytterligere tre for magnetfeltet . Det er også spenning-energi-tensoren for det elektromagnetiske feltet, nemlig den elektromagnetiske spenning-energi-tensoren .

Metrisk

Den metriske tensoren lar en definere det indre produktet av to vektorer, som igjen lar en tilordne en størrelse til vektoren. Gitt den firedimensjonale naturen til romtid har Minkowski-metrikken η komponenter (gyldige med passende valgte koordinater) som kan ordnes i en 4 × 4 matrise:

som er lik dens gjensidige, , i disse rammene. Gjennomgående bruker vi tegnene som ovenfor, forskjellige forfattere bruker forskjellige konvensjoner – se Minkowski metriske alternative tegn. ${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }}$

Poincaré-gruppen er den mest generelle gruppen av transformasjoner som bevarer Minkowski-metrikken:

$${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_ {\beta }}$$

og dette er den fysiske symmetrien som ligger til grunn for spesiell relativitet.

Metrikken kan brukes til å heve og senke indekser på vektorer og tensorer. Invarianter kan konstrueres ved å bruke metrikken, det indre produktet av en 4-vektor T med en annen 4-vektor S er:

$${\displaystyle T^{\alpha }S_{\alpha }=T^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }S^{\beta }=T_{\alpha }\eta ^{\alpha \beta }S_{\beta }={\tekst{invariant skalar}}}$$

Invariant betyr at den tar samme verdi i alle treghetsrammer, fordi den er en skalar (0 rang tensor), og derfor vises ingen Λ i dens trivielle transformasjon. Størrelsen på 4-vektoren T er den positive kvadratroten av det indre produktet med seg selv:

$${\displaystyle |\mathbf {T} |={\sqrt {T^{\alpha }T_{\alpha }}}}$$

Man kan utvide denne ideen til tensorer av høyere orden, for en andreordens tensor kan vi danne invariantene:

$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\alpha },T^{\alpha } {}_{\beta }T^{\beta }{}_{\gamma }T^{\gamma }{}_{\alpha }={\text{invariante skalarer}},}$$

tilsvarende for høyere ordens tensorer. Invariante uttrykk, spesielt indre produkter av 4-vektorer med seg selv, gir ligninger som er nyttige for beregninger, fordi man ikke trenger å utføre Lorentz-transformasjoner for å bestemme invariantene.

Relativistisk kinematikk og invarians

Koordinatdifferensialene transformerer også kontravariant:

$${\displaystyle dX^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu}dX^{\nu }}$$

så den kvadratiske lengden av differensialen til posisjonen fire-vektor dX ^μ konstruert ved hjelp av

$${\displaystyle d\mathbf {X} ^{2}=dX^{\mu }\,dX_{\mu }=\eta _{\mu \nu}\,dX^{\mu }\,dX^{ \nu }=-(cdt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$$

er en invariant. Legg merke til at når linjeelementet d X ² er negativt , er √ − d X ² differensialen til riktig tid , mens når d X ² er positiv, er √ d X ² differensial av riktig avstand .

4-hastigheten U ^μ har en invariant form:

$${\displaystyle \mathbf {U} ^{2}=\eta _{\nu \mu}U^{\nu}U^{\mu }=-c^{2}\,,}$$

som betyr at alle hastighetsfirevektorer har en størrelse på c . Dette er et uttrykk for det faktum at det ikke er noe slikt som å være i koordinert hvile i relativitetsteorien: i det minste beveger du deg alltid fremover gjennom tiden. Å differensiere ligningen ovenfor med τ gir:

$${\displaystyle 2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.}$$

Så i spesiell relativitet er akselerasjonsfirevektoren og hastighetsfirevektoren ortogonale.

Relativistisk dynamikk og invarians

Den invariante størrelsen på momentum 4-vektoren genererer energi-moment-relasjonen :

$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu}P_{\mu }P_{\nu}=-\venstre({\frac {E}{c}}\right) ^{2}+p^{2}.}$$

Vi kan finne ut hva denne invarianten er ved først å argumentere for at siden den er en skalar, spiller det ingen rolle i hvilken referanseramme vi beregner den, og deretter ved å transformere til en ramme der det totale momentumet er null.

$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=-\left({\frac {E_{\text{rest}}}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2} .}$$

Vi ser at hvileenergien er en uavhengig invariant. En hvileenergi kan beregnes selv for partikler og systemer i bevegelse, ved å oversette til en ramme der momentum er null.

Hvileenergien er relatert til massen i henhold til den berømte ligningen diskutert ovenfor:

$${\displaystyle E_{\text{rest}}=mc^{2}.}$$

Massen av systemer målt i deres senter av momentum rammen (der total fart er null) er gitt av den totale energien til systemet i denne rammen. Den er kanskje ikke lik summen av individuelle systemmasser målt i andre rammer.

For å bruke Newtons tredje bevegelseslov må begge kreftene defineres som hastigheten på endring av momentum i forhold til samme tidskoordinat. Det vil si at den krever 3D-kraften definert ovenfor. Dessverre er det ingen tensor i 4D som inneholder komponentene til 3D-kraftvektoren blant komponentene.

Hvis en partikkel ikke beveger seg ved c , kan man transformere 3D-kraften fra partikkelens referanseramme i bevegelse til observatørens referanseramme. Dette gir en 4-vektor kalt firekraften . Det er endringshastigheten til ovennevnte energimomentum fire-vektor med hensyn til riktig tid. Den kovariante versjonen av firekraften er:

$${\displaystyle F_{\nu }={\frac {dP_{\nu }}{d\tau }}=mA_{\nu }}$$

I hvilerammen til objektet er tidskomponenten til de fire kraftene null med mindre den " invariante massen " til objektet endres (dette krever et ikke-lukket system der energi/masse blir direkte lagt til eller fjernet fra objektet ) i så fall er det det negative av den hastigheten for masseendring, ganger c . Generelt er imidlertid ikke komponentene til de fire kraftene lik komponentene til trekraften, fordi de tre kraftene er definert av hastigheten for endring av momentum med hensyn til koordinattiden, det vil si dp / dt mens fire kraft er definert av hastigheten på endring av momentum med hensyn til riktig tid, det vil si dp / dτ .

I et kontinuerlig medium kombineres 3D - krafttettheten med krafttettheten for å danne en kovariant 4-vektor. Den romlige delen er resultatet av å dele kraften på en liten celle (i 3-rom) med volumet til den cellen. Tidskomponenten er −1/ c ganger kraften som overføres til den cellen delt på volumet til cellen. Dette vil bli brukt nedenfor i avsnittet om elektromagnetisme.

Se også

• Personer :
  • Max Planck
  • Hermann Minkowski
  • Max von Laue
  • Arnold Sommerfeld
  • Max Born
• Relativitet :
  • Historie om spesiell relativitet
  • Dobbelt spesiell relativitet
  • Bondi k-regning
  • Einstein-synkronisering
  • Rietdijk – Putnam argument
  • Spesiell relativitet (alternative formuleringer)
  • Relativitetsprioritetstvist
• Fysikk :
  • Einsteins tankeeksperimenter
  • fysisk kosmologi
  • Relativistiske Euler-ligninger
  • Lorentz eter teori
  • Bevegelig magnet og lederproblem
  • Form bølger
  • Relativistisk varmeledning
  • Relativistisk disk
  • Født stivhet
  • Født koordinater
• Matematikk :
  • Lorentz-gruppen
  • Relativitet i APS-formalismen
• Filosofi :
  • aktualitet
  • konvensjonalisme
• Paradokser :
  • Ehrenfest paradoks
  • Bells romskipparadoks
  • Hastighetssammensetning paradoks
  • Fyrparadoks

Notater

Hoved kilde

Referanser

Videre lesning

Lærebøker

• Einstein, Albert (1920). Relativitet: Den spesielle og generelle teorien .
• Einstein, Albert (1996). Betydningen av relativitet . Fin kommunikasjon. ISBN  1-56731-136-9
• Logunov, Anatoly A. (2005). Henri Poincaré and the Relativity Theory (overs. fra russisk av G. Pontocorvo og VO Soloviev, redigert av VA Petrov). Nauka, Moskva.
• Charles Misner , Kip Thorne og John Archibald Wheeler (1971) Gravitasjon . WH Freeman & Co. ISBN  0-7167-0334-3
• Post, EJ, 1997 (1962) Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics . Dover Publikasjoner.
• Wolfgang Rindler (1991). Introduction to Special Relativity (2. utg.), Oxford University Press. ISBN  978-0-19-853952-0 ; ISBN  0-19-853952-5
• Harvey R. Brown (2005). Fysisk relativitet: rom-tidsstruktur fra et dynamisk perspektiv, Oxford University Press, ISBN  0-19-927583-1 ; ISBN  978-0-19-927583-0
• Qadir, Asghar (1989). Relativitet: En introduksjon til spesialteorien . Singapore: World Scientific Publications . s. 128. Bibcode : 1989rist.book.....Q . ISBN 978-9971-5-0612-4.
• French, AP (1968). Special Relativity (MIT Introductory Physics) (1. utg.). WW Norton & Company. ISBN 978-0393097931.
• Silberstein, Ludwik (1914). Relativitetsteorien .
• Lawrence Sklar (1977). Rom, tid og romtid . University of California Press. ISBN 978-0-520-03174-6.
• Lawrence Sklar (1992). Fysikkens filosofi . Westview Press. ISBN 978-0-8133-0625-4.
• Sergey Stepanov (2018). Relativistisk verden . De Gruyter. ISBN 9783110515879.
• Taylor, Edwin og John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics (2. utgave). WH Freeman & Co. ISBN  0-7167-2327-1 .
• Tipler, Paul og Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4. utgave). WH Freeman & Co. ISBN  0-7167-4345-0 .

Tidsskriftartikler

• Alvager, T.; Farley, FJM; Kjellman, J.; Wallin, L.; et al. (1964). "Test av det andre postulatet for spesiell relativitet i GeV-regionen". Fysikkbokstaver . 12 (3): 260–262. Bibcode : 1964PhL....12..260A . doi : 10.1016/0031-9163(64)91095-9 .
• Darrigol, Olivier (2004). "Mysteriet med Poincaré-Einstein-forbindelsen". Isis . 95 (4): 614–26. doi : 10.1086/430652 . PMID  16011297 . S2CID  26997100 .
• Ulv, Peter; Petit, Gerard (1997). "Satellitttest av spesiell relativitet ved bruk av Global Positioning System". Fysisk gjennomgang A . 56 (6): 4405–09. Bibcode : 1997PhRvA..56.4405W . doi : 10.1103/PhysRevA.56.4405 .
• Special Relativity Scholarpedia
• Rindler, Wolfgang (2011). "Spesiell relativitet: Kinematikk" . Scholarpedia . 6 (2): 8520. Bibcode : 2011SchpJ...6.8520R . doi : 10.4249/scholarpedia.8520 .

Eksterne linker

Originale verk

• Zur Elektrodynamik bewegter Körper Einsteins originale verk på tysk, Annalen der Physik , Bern 1905
• On the Electrodynamics of Moving Bodies Engelsk oversettelse som publisert i boken The Principle of Relativity fra 1923 .

Spesiell relativitetsteori for et generelt publikum (ingen matematisk kunnskap nødvendig)

• Einstein Light En prisvinnende , ikke-teknisk introduksjon (filmklipp og demonstrasjoner) støttet av dusinvis av sider med ytterligere forklaringer og animasjoner, på nivåer med eller uten matematikk.
• Einstein Online Introduksjon til relativitetsteori, fra Max Planck Institute for Gravitational Physics.
• Lyd: Cain/Gay (2006) – Astronomy Cast . Einsteins teori om spesiell relativitet

Spesiell relativitet forklart (ved hjelp av enkel eller mer avansert matematikk)

• Bondi K-Calculus – En enkel introduksjon til den spesielle relativitetsteorien.
• Greg Egans grunnlag .
• The Hogg Notes on Special Relativity En god introduksjon til spesiell relativitetsteori på lavere nivå, ved hjelp av kalkulus.
• Relativitetskalkulator: Spesiell relativitet – En algebraisk og integral kalkulusderivering for E = mc ² .
• MathPages – Reflections on Relativity En komplett nettbok om relativitet med en omfattende bibliografi.
• Special Relativity En introduksjon til spesiell relativitetsteori på lavere nivå.
• Relativitet: den spesielle og generelle teorien ved Project Gutenberg , avAlbert Einstein
• Special Relativity Lecture Notes er en standard introduksjon til spesiell relativitetsteori som inneholder illustrerende forklaringer basert på tegninger og romtidsdiagrammer fra Virginia Polytechnic Institute og State University.
• Forstå spesiell relativitetsteorien Spesiell relativitetsteori på en lett forståelig måte.
• An Introduction to the Special Theory of Relativity (1964) av Robert Katz, "en introduksjon ... som er tilgjengelig for enhver student som har hatt en introduksjon til generell fysikk og litt bekjentskap med kalkulus" (130 s.; pdf-format) .
• Forelesningsnotater om spesiell relativitet ved JD Cresser Institutt for fysikk Macquarie University.
• SpecialRelativity.net – En oversikt med visualiseringer og minimal matematikk.
• Relativitet 4-ever? Problemet med superluminal bevegelse diskuteres på en underholdende måte.

Visualisering

• Raytracing Special Relativity Software visualiserer flere scenarier under påvirkning av spesiell relativitet.
• Sanntidsrelativitet Det australske nasjonale universitetet. Relativistiske visuelle effekter opplevd gjennom et interaktivt program.
• Romtidsreiser En rekke visualiseringer av relativistiske effekter, fra relativistisk bevegelse til sorte hull.
• Gjennom Einsteins øyne The Australian National University. Relativistiske visuelle effekter forklart med filmer og bilder.
• Warp Special Relativity Simulator Et dataprogram for å vise effekten av å reise nær lysets hastighet.
• Animasjonsklipp på YouTube som visualiserer Lorentz-transformasjonen.
• Originale interaktive FLASH-animasjoner fra John de Pillis som illustrerer Lorentz og galileiske rammer, tog- og tunnelparadoks, tvillingparadokset, bølgeutbredelse, klokkesynkronisering, etc.
• lightspeed Et OpenGL-basert program utviklet for å illustrere effekten av spesiell relativitet på utseendet til objekter i bevegelse.
• Animasjon som viser stjernene nær jorden, sett fra et romfartøy som akselererer raskt til lyshastighet.