Trinnrespons - Step response

Et typisk trinnrespons for et andre ordresystem, som illustrerer overskudd , etterfulgt av ringing , alt avtar innen en avregningstid .

Den sprangrespons av et system i en gitt utgangstilstand består av tidsutviklingen av sine utganger når dens styreinnganger er Unit trinnfunksjoner . I elektronisk konstruksjon og kontrollteori er trinnrespons tidsoppførselen til utgangene til et generelt system når inngangene endres fra null til en på veldig kort tid. Konseptet kan utvides til den abstrakte matematiske forestillingen om et dynamisk system ved hjelp av en evolusjonsparameter .

Fra et praktisk synspunkt er det viktig å vite hvordan systemet reagerer på en plutselig inngang, fordi store og muligens raske avvik fra langvarig stabil tilstand kan ha ekstreme effekter på selve komponenten og på andre deler av det samlede systemet, avhengig av denne komponenten. I tillegg kan det overordnede systemet ikke fungere før komponentens utgang har lagt seg til en eller annen nærhet til sin endelige tilstand, noe som forsinker den totale systemresponsen. Formelt gir kunnskap om trinnresponsen til et dynamisk system informasjon om stabiliteten til et slikt system, og om dets evne til å nå en stasjonær tilstand når man starter fra et annet.

Formell matematisk beskrivelse

Figur 4: Black box-representasjon av et dynamisk system, dets inngang og trinnrespons.

Denne delen gir en formell matematisk definisjon av trinnrespons når det gjelder det abstrakte matematiske konseptet til et dynamisk system : alle notasjoner og antakelser som kreves for følgende beskrivelse er oppført her. ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}$

• ${\ displaystyle t \ in T}$er evolusjonsparameteren til systemet, kalt " tid " for enkelhets skyld,
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} | _ {t} \ i M}$er tilstanden til systemet på det tidspunktet , kalt "output" for enkelhets skyld,${\ displaystyle t}$
• ${\ displaystyle \ Phi: T \ ganger M \ til M}$er den dynamisk system evolusjon funksjon ,
• ${\ displaystyle \ Phi (0, {\ boldsymbol {x}}) = {\ boldsymbol {x}} _ {0} \ i M}$er det dynamiske systemets starttilstand ,
• ${\ displaystyle H (t)}$er Heaviside trinnfunksjon

Ikke-lineært dynamisk system

For et generelt dynamisk system er trinnresponsen definert som følger:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} | _ {t} = \ Phi _ {\ {H (t) \}} \ left (t, {{\ boldsymbol {x}} _ {0}} \ right) .}$

Det er evolusjonsfunksjonen når kontrollinngangene (eller kildeuttrykket eller tvangsinngangene ) er Heaviside-funksjoner: notasjonen understreker dette konseptet som viser H ( t ) som et abonnement.

Lineært dynamisk system

For en lineær tid-invariant (LTI) svart boks, la for notasjonell bekvemmelighet: trinnresponsen kan oppnås ved konvolusjon av Heaviside trinnfunksjonskontroll og impulsresponsen h ( t ) av selve systemet ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ equiv S}$

${\ displaystyle a (t) = (h * H) (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (\ tau) H (t- \ tau) \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {t} h (\ tau) \, d \ tau.}$

som for et LTI-system tilsvarer bare å integrere sistnevnte. Omvendt, for et LTI-system, gir derivatet av trinnresponsen impulsresponsen:

${\ displaystyle h (t) = {\ frac {d} {dt}} \, a (t).}$

Imidlertid er disse enkle forholdene ikke sanne for et ikke-lineært eller tidsvariant-system .

Tidsdomene versus frekvensdomene

I stedet for frekvensrespons kan systemytelsen spesifiseres i form av parametere som beskriver tidsavhengighet av respons. Trinnresponsen kan beskrives av følgende størrelser relatert til dens tidsoppførsel ,

• overskudd
• stige tid
• avregningstid
• ringer

Når det gjelder lineære dynamiske systemer, kan mye utledes om systemet fra disse karakteristikkene. Nedenfor presenteres trinnresponsen til en enkel to-polet forsterker, og noen av disse begrepene er illustrert.

I LTI-systemer er funksjonen som har den bratteste svinghastigheten som ikke skaper overskudd eller ringing, den Gaussiske funksjonen. Dette er fordi det er den eneste funksjonen hvis Fourier-transform har samme form.

Tilbakemeldingsforsterkere

Figur 1: Ideell negativ tilbakemeldingsmodell; open loop gain er A _OL og tilbakemeldingsfaktor er β.

Denne delen beskriver trinnresponsen til en enkel negativ tilbakemeldingsforsterker vist i Figur 1. Tilbakemeldingsforsterkeren består av en hovedforsterker med åpen sløyfe med forsterkning A _OL og en tilbakemeldingssløyfe styrt av en tilbakemeldingsfaktor β. Denne tilbakemeldingsforsterkeren analyseres for å bestemme hvordan dens trinnrespons avhenger av tidskonstantene som styrer responsen til hovedforsterkeren, og av mengden tilbakemelding som brukes.

En negativ tilbakemeldingsforsterker har gevinst gitt av (se negativ tilbakemeldingsforsterker ):

${\ displaystyle A_ {FB} = {\ frac {A_ {OL}} {1+ \ beta A_ {OL}}},}$

hvor A _OL = forsterkning med åpen sløyfe , A _FB = forsterkning med lukket sløyfe (forsterkningen med negativ tilbakemelding til stede) og β = tilbakemeldingsfaktor .

Med en dominerende pol

I mange tilfeller kan den forreste forsterkeren være tilstrekkelig godt modellert i form av en enkelt dominerende pol av tidskonstanten τ, slik at den, som en åpen-løkke gevinst gitt av:

${\ displaystyle A_ {OL} = {\ frac {A_ {0}} {1 + j \ omega \ tau}},}$

med nullfrekvensforsterkning A ₀ og vinkelfrekvens ω = 2π f . Denne forsterkeren har enhets trinnrespons

${\ displaystyle S_ {OL} (t) = A_ {0} (1-e ^ {- t / \ tau})}$,

en eksponentiell tilnærming fra 0 mot den nye likevektsverdien på A ₀ .

Enpolet forsterkerens overføringsfunksjon fører til forsterkning med lukket sløyfe:

${\ displaystyle A_ {FB} = {\ frac {A_ {0}} {1+ \ beta A_ {0}}} \; \ cdot \; \ {\ frac {1} {1 + j \ omega {\ frac {\ tau} {1+ \ beta A_ {0}}}}}.}$

Denne lukkede forsterkningen har samme form som forsterkningen med åpen sløyfe: et enpolet filter. Dens trinnrespons er av samme form: et eksponentielt forfall mot den nye likevektsverdien. Men tidskonstanten for trinnfunksjonen med lukket sløyfe er τ / (1 + β A ₀ ), så den er raskere enn forsterkerens respons med en faktor på 1 + β A ₀ :

${\ displaystyle S_ {FB} (t) = {\ frac {A_ {0}} {1+ \ beta A_ {0}}} \ left (1-e ^ {- t (1+ \ beta A_ {0}) ) / \ tau} \ høyre),}$

Når tilbakemeldingsfaktoren β økes, vil trinnresponsen bli raskere, til den opprinnelige antagelsen om en dominerende pol ikke lenger er nøyaktig. Hvis det er en andre pol, er det nødvendig med en to-polet analyse når lukkede tidskonstanter nærmer seg tidskonstanten til den andre polen.

To-polet forsterkere

I tilfelle at open-loop forsterkningen har to poler (to tidskonstanter , τ ₁ , τ ₂ ), er trinnresponsen litt mer komplisert. Forsterkningen med åpen sløyfe er gitt av:

${\ displaystyle A_ {OL} = {\ frac {A_ {0}} {(1 + j \ omega \ tau _ {1}) (1 + j \ omega \ tau _ {2})}},}$

med nullfrekvensforsterkning A ₀ og vinkelfrekvens ω = 2 πf .

Analyse

Den topolede forsterkerens overføringsfunksjon fører til lukket sløyfeforsterkning:

${\ displaystyle A_ {FB} = {\ frac {A_ {0}} {1+ \ beta A_ {0}}} \; \ cdot \; \ {\ frac {1} {1 + j \ omega {\ frac {\ tau _ {1} + \ tau _ {2}} {1+ \ beta A_ {0}}} + (j \ omega) ^ {2} {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ { 2}} {1+ \ beta A_ {0}}}}}.}$

Figur 2: Konjugerte polplasser for en to-polet tilbakemeldingsforsterker; Re ( s ) er den virkelige aksen og Im ( s ) er den imaginære aksen.

Tidsavhengigheten til forsterkeren er lett å oppdage ved å bytte variabler til s = j ω, hvorpå forsterkningen blir:

${\ displaystyle A_ {FB} = {\ frac {A_ {0}} {\ tau _ {1} \ tau _ {2}}} \; \ cdot \; {\ frac {1} {s ^ {2} + s \ left ({\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}} \ høyre) + {\ frac {1+ \ beta A_ { 0}} {\ tau _ {1} \ tau _ {2}}}}}$

Polene til dette uttrykket (det vil si nevnerenes nuller) forekommer ved:

${\ displaystyle 2s = - \ left ({\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}} \ right) \ pm {\ sqrt {\ venstre ({\ frac {1} {\ tau _ {1}}} - {\ frac {1} {\ tau _ {2}}} \ høyre) ^ {2} - {\ frac {4 \ beta A_ { 0}} {\ tau _ {1} \ tau _ {2}}}},}$

som viser for store nok verdier av βA ₀ kvadratroten blir kvadratroten til et negativt tall, det vil si kvadratroten blir imaginær, og polposisjonene er komplekse konjugerte tall, enten s ₊ eller s _- ; se figur 2:

${\ displaystyle s _ {\ pm} = - \ rho \ pm j \ mu,}$

med

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}} \Ikke sant),}$

og

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{\ frac {4 \ beta A_ {0}} {\ tau _ {1} \ tau _ {2}}} - \ left ({\ frac {1} {\ tau _ {1}}} - {\ frac {1} {\ tau _ {2}}} \ høyre) ^ {2}}}.}$

Ved hjelp av polarkoordinater med størrelsen på radius til røttene gitt av | s | (Figur 2):

${\ displaystyle | s | = | s _ {\ pm} | = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + \ mu ^ {2}}},}$

og vinkelkoordinaten φ er gitt av:

${\ displaystyle \ cos \ phi = {\ frac {\ rho} {| s |}}, \ sin \ phi = {\ frac {\ mu} {| s |}}.}$

Tabeller med Laplace-transformasjoner viser at tidsresponsen til et slikt system består av kombinasjoner av de to funksjonene:

${\ displaystyle e ^ {- \ rho t} \ sin (\ mu t) \ quad {\ text {and}} \ quad e ^ {- \ rho t} \ cos (\ mu t),}$

det vil si at løsningene er dempet svingninger i tide. Spesielt er enhets trinnresponsen til systemet:

${\ displaystyle S (t) = \ left ({\ frac {A_ {0}} {1+ \ beta A_ {0}}} \ right) \ left (1-e ^ {- \ rho t} \ {\ frac {\ sin \ left (\ mu t + \ phi \ right)} {\ sin \ phi}} \ right) \,}$

som forenkler til

${\ displaystyle S (t) = 1-e ^ {- \ rho t} \ {\ frac {\ sin \ left (\ mu t + \ phi \ right)} {\ sin \ phi}}}$

når A ₀ har en tendens til uendelig og tilbakemeldingsfaktoren β er en.

Legg merke til at dempingen av responsen er satt av ρ, det vil si av tidskonstantene til den åpne sløyfeforsterkeren. I motsetning til dette er svingningsfrekvensen satt av μ, det vil si av tilbakemeldingsparameteren gjennom β A ₀ . Fordi ρ er en sum av gjensidige tidskonstanter, er det interessant å legge merke til at ρ er dominert av den kortere av de to.

Resultater

Figur 3: trinnrespons av en lineær to-polet tilbakemeldingsforsterker; tiden er i enheter på 1 / ρ , det vil si når det gjelder tidskonstantene til A _OL ; kurver er tegnet for tre verdier av mu  =  μ , som styres av  β .

Figur 3 viser tidsresponsen til en enhetstrinninngang for tre verdier av parameteren μ. Det kan sees at frekvensen av svingning øker med μ, men svingningene er inneholdt mellom de to asymptotene satt av eksponensialene [1 - exp (- ρt )] og [1 + exp (−ρt)]. Disse asymptotene bestemmes av ρ og derfor av tidskonstantene til den åpne sløyfeforsterkeren, uavhengig av tilbakemelding.

Fenomenet svingning om den endelige verdien kalles ringing . Den oversvingning er det maksimale sving ovenfor sluttverdi, og øker tydelig med μ. Likeledes er undershooten minimumsvingen under sluttverdien, og igjen øker med μ. Den innsvingningstiden er tiden for avganger fra sluttverdi for å synke under en viss bestemt nivå, for eksempel 10% av sluttverdien.

Avhengigheten av avregningstid på μ er ikke åpenbar, og tilnærmingen av et topolet system er sannsynligvis ikke nøyaktig nok til å gjøre noen virkelige konklusjoner om tilbakemeldingsavhengighet av avregningstid. Imidlertid påvirker asymptotene [1 - exp (- ρt )] og [1 + exp (- ρt ) tydelig setningstid , og de styres av tidskonstantene til den åpne sløyfeforsterkeren, spesielt den kortere av de to gangene konstanter. Det antyder at en spesifikasjon om avsetningstid må oppfylles ved passende utforming av open-loop forsterkeren.

De to viktigste konklusjonene fra denne analysen er:

1. Tilbakemelding styrer svingningsamplituden om sluttverdien for en gitt forsterker med åpen sløyfe og gitte verdier av tidskonstanter med åpen sløyfe, τ ₁ og τ ₂ .
2. Åpen sløyfeforsterker bestemmer avsetningstid. Den angir tidsskalaen til figur 3, og jo raskere den åpne sløyfeforsterkeren er, desto raskere blir denne tidsskalaen.

Som en side kan det bemerkes at avvik fra den virkelige verden fra denne lineære topolede modellen skyldes to store komplikasjoner: For det første har virkelige forsterkere mer enn to poler, samt nuller; og for det andre er virkelige forsterkere ikke-lineære, så trinnresponsen deres endres med signalamplitude.

Figur 4: trinnrespons for tre verdier av α. Topp: α = 4; Senter: α = 2; Bunn: α = 0,5. Når α reduseres, reduseres polseparasjonen, og overskuddet øker.

Kontroll av overskudd

Hvordan overskridelse kan styres av passende parametervalg blir diskutert videre.

Ved å bruke ligningene ovenfor kan mengden overskridelse bli funnet ved å differensiere trinnresponsen og finne den maksimale verdien. Resultatet for maksimal trinnrespons S _max er:

${\ displaystyle S _ {\ max} = 1 + \ exp \ left (- \ pi {\ frac {\ rho} {\ mu}} \ right).}$

Den endelige verdien av trinnresponsen er 1, så den eksponentielle er selve overskuddet. Det er klart overskuddet er null hvis μ = 0, som er betingelsen:

${\ displaystyle {\ frac {4 \ beta A_ {0}} {\ tau _ {1} \ tau _ {2}}} = \ left ({\ frac {1} {\ tau _ {1}}} - {\ frac {1} {\ tau _ {2}}} \ høyre) ^ {2}.}$

Dette kvadratiske løses for forholdet mellom tidskonstanter ved å sette x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 med resultatet

${\ displaystyle x = {\ sqrt {\ beta A_ {0}}} + {\ sqrt {\ beta A_ {0} +1}}.}$

Fordi β A ₀ ≫ 1, kan 1 i kvadratroten slippes, og resultatet er

${\ displaystyle {\ frac {\ tau _ {1}} {\ tau _ {2}}} = 4 \ beta A_ {0}.}$

Med ord må den første tidskonstanten være mye større enn den andre. For å være mer eventyrlystne enn et design som ikke tillater overskridelse, kan vi introdusere en faktor α i forholdet ovenfor:

${\ displaystyle {\ frac {\ tau _ {1}} {\ tau _ {2}}} = \ alpha \ beta A_ {0},}$

og la α innstilles etter hvor mye overskridelse som er akseptabelt.

Figur 4 illustrerer prosedyren. Sammenligning av toppanelet (α = 4) med det nedre panelet (α = 0,5) viser lavere verdier for α øker responsraten, men øker overskridelse. Saken α = 2 (midtpanel) er den maksimalt flate designen som ikke viser noen topp i Bode-forsterkningen vs. frekvensplottet . Denne designen har tommelfingerregelen innebygd sikkerhetsmargin for å håndtere ikke-ideelle virkeligheter som flere poler (eller nuller), ikke-linearitet (signalamplitudeavhengighet) og produksjonsvariasjoner, noe som kan føre til for mye overskridelse. Justeringen av polseparasjonen (det vil si innstilling α) er gjenstand for frekvenskompensasjon , og en slik metode er polsplitting .

Kontroll av avregningstid

Amplituden for ringing i trinnresponsen i figur 3 styres av dempingsfaktoren exp (- ρt ). Det vil si hvis vi spesifiserer noe akseptabelt trinnresponsavvik fra sluttverdien, si Δ, det vil si:

${\ displaystyle S (t) \ leq 1+ \ Delta,}$

denne tilstanden er oppfylt uavhengig av verdien av β A _OL forutsatt at tiden er lengre enn sedimenteringstiden, si t _S , gitt av:

${\ displaystyle \ Delta = e ^ {- \ rho t_ {S}} {\ text {eller}} t_ {S} = {\ frac {\ ln {\ frac {1} {\ Delta}}} {\ rho }} = \ tau _ {2} {\ frac {2 \ ln {\ frac {1} {\ Delta}}} {1 + {\ frac {\ tau _ {2}} {\ tau _ {1}} }}} \ ca 2 \ tau _ {2} \ ln {\ frac {1} {\ Delta}},}$

hvor τ ₁  ≫ τ ₂ er anvendelig på grunn av overskuddskontrolltilstanden, noe som gjør τ ₁  =  αβA _OL τ ₂ . Ofte blir referansetidens tilstand referert til ved å si at setningsperioden er omvendt proporsjonal med enhetsforsterkningsbåndbredden, fordi 1 / (2 π  τ ₂ ) er nær denne båndbredden for en forsterker med typisk dominerende polkompensasjon . Dette resultatet er imidlertid mer presist enn denne tommelfingerregelen . Som et eksempel på denne formelen, hvis Δ = 1 / m ⁴ = 1,8%, er innstillingstiden tilstanden t _S  = 8  τ ₂ .

Generelt setter kontroll av overskridelse tidskonstantforholdet, og avsetningstid t _S setter τ ₂ .

Systemidentifikasjon ved hjelp av trinnrespons: System med to virkelige poler

Trinnrespons av systemet med . Mål det viktige punktet , og .${\ displaystyle x (t) = 1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle t_ {25}}$${\ displaystyle t_ {75}}$

Denne metoden bruker viktige punkter i trinnresponsen. Det er ikke nødvendig å gjette tangenter til tiltakene Signal. Ligningene er avledet ved bruk av numeriske simuleringer, og bestemmer noen signifikante forhold og passende parametere for ikke-lineære ligninger. Se også.

Her er trinnene:

• Mål systemets trinnrespons av systemet med et inngangstrinnsignal .${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle x (t)}$
• Bestem tidsforskjellene og hvor trinnresponsen når 25% og 75% av utdataverdien for steady state.${\ displaystyle t_ {25}}$${\ displaystyle t_ {75}}$
• Bestem systemet steady-state gain med${\ displaystyle k = A_ {0}}$${\ displaystyle k = \ lim _ {t \ to \ infty} {\ dfrac {y (t)} {x (t)}}}$
• Regne ut
  $${\ displaystyle r = {\ dfrac {t_ {25}} {t_ {75}}}}$$

  
  $${\ displaystyle P = -18.56075 \, r + {\ dfrac {0.57311} {r-0.20747}} + 4.16423}$$

  
  $${\ displaystyle X = 14.2797 \, r ^ {3} -9.3891 \, r ^ {2} +0.25437 \, r + 1.32148}$$

  
• Bestem de to tidskonstantene
  $${\ displaystyle \ tau _ {2} = T_ {2} = {\ dfrac {t_ {75} -t_ {25}} {X \, (1 + 1 / P)}}}$$

  
  $${\ displaystyle \ tau _ {1} = T_ {1} = {\ dfrac {T_ {2}} {P}}}$$

  
• Beregn overføringsfunksjonen til det identifiserte systemet innen Laplace-domenet
  $${\ displaystyle G (s) = {\ dfrac {k} {(1 + s \, T_ {1}) \ cdot (1 + s \, T_ {2})}}}$$

  

Fasemargin

Figur 5: Bode gain plot for å finne fasemargin; skalaer er logaritmiske, så merkede separasjoner er multiplikasjonsfaktorer. For eksempel er f _{0 dB} = βA ₀ × f ₁ .

Deretter er valget av polforhold τ ₁ / τ ₂ relatert til fasemargen til tilbakemeldingsforsterkeren. Fremgangsmåten beskrevet i Bode-plottartikkelen følges. Figur 5 er Bode-forsterkningsplottet for den topolede forsterkeren i frekvensområdet opp til den andre polposisjonen. Antagelsen bak figur 5 er at frekvensen f _{0 dB} ligger mellom den laveste polen ved f ₁  = 1 / (2πτ ₁ ) og den andre polen ved f ₂  = 1 / (2πτ ₂ ). Som angitt i figur 5, er denne tilstanden oppfylt for verdier av α ≥ 1.

Ved å bruke figur 5 blir frekvensen (betegnet med f _{0 dB} ) funnet der sløyfeforsterkningen β A ₀ tilfredsstiller enhetsforsterkningen eller 0 dB-tilstanden, som definert av:

${\ displaystyle | \ beta A _ {\ text {OL}} (f _ {\ text {0 db}}) | = 1.}$

Skråningen til gevinstplottet nedover er (20 dB / tiår); for hver faktor med ti økninger i frekvens, faller forsterkningen med samme faktor:

${\ displaystyle f _ {\ text {0 dB}} = \ beta A_ {0} f_ {1}.}$

Fasemargen er fasens avgang ved f _{0 dB} fra -180 °. Dermed er marginen:

${\ displaystyle \ phi _ {m} = 180 ^ {\ circ} - \ arctan (f _ {\ text {0 dB}} / f_ {1}) - \ arctan (f _ {\ text {0 dB}} / f_ {2}).}$

Fordi f _{0 dB} / f ₁ =  βA ₀  ≫ 1, er betegnelsen i f ₁ 90 °. Det gjør fasemargen:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ phi _ {m} & = 90 ^ {\ circ} - \ arctan (f _ {\ text {0 dB}} / f_ {2}) \\ & = 90 ^ {\ circ} - \ arctan {\ frac {\ beta A_ {0} f_ {1}} {\ alpha \ beta A_ {0} f_ {1}}} \\ & = 90 ^ {\ circ} - \ arctan {\ frac {1} {\ alpha}} = \ arctan \ alpha \,. \ end {align}}}$

Spesielt for tilfelle α = 1, φ _m = 45 °, og for α = 2, φ _m = 63,4 °. Sansen anbefaler α = 3, φ _m = 71,6 ° som en "god sikkerhetsstilling til å begynne med".

Hvis α økes ved å forkorte τ ₂ , innstillingstiden t _S også er forkortet. Hvis α økes ved å forlenge τ ₁ , blir setetiden t _S lite endret. Oftere endres både τ ₁ og τ ₂ , for eksempel hvis teknikken med polspaltning brukes.

Som en side, for en forsterker med flere enn to poler, diagrammet på figur 5 fremdeles kan gjøres for å passe Bode-plottene ved å gjøre f ₂ en passende parameter, referert til som en "ekvivalent annen pol" -stilling.

Se også

• Impulsrespons
• Overshoot (signal)
• Pole splitting
• Stigetid
• Oppgjørstid
• Tidskonstant

Referanser og merknader

Videre lesning

Eksterne linker

• Kuo power point lysbilder; Kapittel 7 spesielt