Tensorfelt - Tensor field

I matematikk og fysikk , en tensor felt tildeler en tensor for hvert punkt av en matematisk plass (vanligvis en euklidsk rom eller manifold ). Tensorfelt brukes i differensialgeometri , algebraisk geometri , generell relativitet , i analysen av stress og belastning i materialer og i en rekke anvendelser innen fysikk . Ettersom en tensor er en generalisering av en skalar (et rent tall som representerer en verdi, for eksempel hastighet) og en vektor (et rent tall pluss en retning, som hastighet), er et tensorfelt en generalisering av et skalarfelt eller vektorfelt som tilordner henholdsvis en skalar eller vektor til hvert romrom.

Mange matematiske strukturer kalt "tensorer" er tensorfelt. For eksempel, den Riemann krumn tensor er ikke en tensor, som navnet tilsier, men en tensor felt : Den er oppkalt etter Bernhard Riemann , og tilknytter en tensor for hvert punkt av en Riemannisk manifold , som er et topologisk plass .

Geometrisk introduksjon

Intuitivt visualiseres et vektorfelt best som en "pil" festet til hvert punkt i en region, med variabel lengde og retning. Ett eksempel på et vektorfelt på et buet rom er et værkart som viser horisontal vindhastighet på hvert punkt på jordoverflaten.

Den generelle ideen om tensorfelt kombinerer kravet om rikere geometri - for eksempel en ellipsoid som varierer fra punkt til punkt, når det gjelder en metrisk tensor - med ideen om at vi ikke vil at vår forestilling skal avhenge av den spesifikke metoden for kartlegge overflaten. Den bør eksistere uavhengig av breddegrad og lengdegrad, eller hvilken som helst spesiell "kartografisk projeksjon" vi bruker for å introdusere numeriske koordinater.

Via koordinatoverganger

Etter Schouten (1951) og McConnell (1957) er konseptet med en tensor avhengig av et konsept om en referanseramme (eller koordinatsystem ), som kan være fikset (i forhold til en bakgrunnsreferanseramme), men generelt kan det tillates å variere innenfor noen klasse transformasjoner av disse koordinatsystemene.

For eksempel, koordinater som hører til den n -dimensjonale reelle koordinatrommet kan bli utsatt for vilkårlige transformasjoner : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle x^{k} \ mapsto A_ {j}^{k} x^{j}+a^{k}}$

(med n -dimensjonale indekser, summering underforstått ). En kovariant vektor, eller kuvektor, er et system av funksjoner som transformeres under denne affine transformasjonen av regelen ${\ displaystyle v_ {k}}$

${\ displaystyle v_ {k} \ mapsto v_ {i} A_ {k}^{i}.}$

Listen over kartesiske koordinatbasisvektorer transformeres som en kuvektor, siden under affin transformasjonen . En kontravariant vektor er et system av funksjoner til koordinatene som under en slik affin transformasjon gjennomgår en transformasjon ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ mapsto A_ {k}^{i} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle v^{k}}$

${\ displaystyle v^{k} \ mapsto (A^{-1}) _ {j}^{k} v^{j}.}$

Dette er nettopp kravet som trengs for å sikre at mengden er et invariant objekt som ikke er avhengig av det valgte koordinatsystemet. Mer generelt har en tensor av valens ( p , q ) p nede indekser og q ovenpå indekser, med transformasjonsloven som ${\ displaystyle v^{k} \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ displaystyle {T_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}}^{j_ {1} \ cdots j_ {q}} \ mapsto A_ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots A_ {i_ {p}}^{i '_ {p}} {T_ {i' _ {1} \ cdots i '_ {p}}}^{j' _ {1} \ cdots j '_ { q}} (A^{-1}) _ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots (A^{-1}) _ {j' _ {q}}^{j_ { q}}.}$

Konseptet med et tensorfelt kan oppnås ved å spesialisere de tillatte koordinattransformasjonene for å være jevne (eller differensierbare , analytiske osv.). Et kovektorfelt er en funksjon av koordinatene som transformeres av jakobianeren av overgangsfunksjonene (i den gitte klassen). På samme måte transformeres et kontravariant vektorfelt av det inverse Jacobian. ${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle v^{k}}$

Tensorbunter

En tensorbunt er en fiberbunt der fiberen er et tensorprodukt av et hvilket som helst antall kopier av tangensrommet og/eller cotangent -rommet til basisrommet , som er en manifold. Som sådan er fiberen et vektorrom og tensorbunten er en spesiell type vektorgruppe .

Vektoren bunt er et naturlig inntrykk av "vektorrommet avhengig kontinuerlig (eller glatt) på parameters" - parametrene blir punktene til en manifold M . For eksempel kan et vektorrom med én dimensjon avhengig av en vinkel se ut som en Möbius -stripe eller alternativt som en sylinder . Gitt en vektorbunt V over M , kalles det tilsvarende feltkonseptet en seksjon av bunten: for m som varierer over M , er et valg av vektor

v _m i V _m ,

hvor V _m er vektorrommet "at" m .

Siden tensor -produktkonseptet er uavhengig av ethvert valg av grunnlag, er det rutinemessig å ta tensorproduktet av to vektorgrupper på M. Fra og med tangentbunten (pakken med tangensrom ) overføres hele apparatet forklart ved komponentfri behandling av tensorer på en rutinemessig måte-igjen uavhengig av koordinater, som nevnt i innledningen.

Vi kan derfor gi en definisjon av tensorfelt , nemlig som en seksjon av noen tensorbunt . (Det er vektorbunter som ikke er tensorbunter: Möbius -båndet for eksempel.) Dette er da garantert geometrisk innhold, siden alt er gjort på en iboende måte. Nærmere bestemt tilordner et tensorfelt til et gitt punkt i manifolden en tensor i rommet

${\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V^{*} \ otimes \ cdots \ otimes V^{*},}$

hvor V er tangensrommet på det punktet og V ^∗ er cotangent -rommet . Se også tangentbunt og cotangentbunt .

Gitt to tensorbunter E → M og F → M , kan et lineært kart A : Γ ( E ) → Γ ( F ) fra rommet til seksjoner av E til seksjoner av F betraktes som seg selv som et tensorsnitt av hvis og bare hvis det tilfredsstiller A ( fs ) = fA ( r ), for hver seksjon er i Γ ( E ) og hver jevn funksjon f på M . Således er en tensorseksjon ikke bare et lineært kart over seksjoners vektrom , men et C ^∞ ( M ) -linjært kart på modulen av seksjoner. Denne egenskapen brukes for eksempel for å kontrollere at selv om Lie -derivatet og kovariantderivatet ikke er tensorer, er torsjon og krumningstensorer bygget fra dem. ${\ displaystyle \ scriptstyle E^{*} \ otimes F}$

Notasjon

Notasjonen for tensorfelt kan noen ganger være forvirrende lik notasjonen for tensorrom. Dermed kan tangentbunten TM = T ( M ) noen ganger skrives som

${\ displaystyle T_ {0}^{1} (M) = T (M) = TM}$

å understreke at tangentbunten er rekkevidden plass av de (1,0) tensor felt (dvs. vektorfelt) på manifolden M . Dette bør ikke forveksles med den veldig like notasjonen

${\ displaystyle T_ {0}^{1} (V)}$;

i sistnevnte tilfelle har vi bare en tensor plass, mens i det førstnevnte, har vi en tensor plass definert for hvert punkt i manifolden M .

Curly (Manus) bokstaver blir noen ganger brukt for å betegne settet av uendelig-differensierbare tensor felt på M . Og dermed,

${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n}^{m} (M)}$

er delene av ( m , n ) tensor-bunten på M som er uendelig differensierbare. Et tensorfelt er et element i dette settet.

Den C- ^∞ ( M ) modul forklaring

Det er en annen mer abstrakt (men ofte nyttig) måte å karakterisere tensorfelt på en mangfoldig M , som gjør tensorfelt til ærlige tensorer (dvs. enkelt flerlinjære kartlegginger), men av en annen type (selv om dette vanligvis ikke er grunnen til at man ofte sier " tensor "når man virkelig betyr" tensorfelt "). Først kan vi betrakte settet med alle glatte (C ^∞ ) vektorfelt på M , (se avsnittet om notasjon ovenfor) som et enkelt mellomrom - en modul over ringen av glatte funksjoner, C ^∞ ( M ), med punktvis skalar multiplikasjon. Forestillingene om multilinearitet og tensorprodukter strekker seg lett til moduler over enhver kommutativ ring . ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

Som et motiverende eksempel kan du tenke på plassen til glatte kovektorfelt ( 1-former ), også en modul over glatte funksjoner. Disse virker på glatte vektorfelt for å gi jevne funksjoner ved punktvis evaluering, nemlig gitt et kuvektorfelt ω og et vektorfelt X , definerer vi ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$

( ω ( X )) ( p ) = ω ( p ) ( X ( p )).

På grunn av den involverte punktvise beskaffenheten, er virkningen av ω på X et C ^∞ ( M )-lineært kart, det vil si

( ω ( fX )) ( p ) = f ( p ) ω ( p ) ( X ( p )) = ( fω ) ( p ) ( X ( p )) = ( fω ( X )) ( p )

for enhver p i M og glatt funksjon f . Dermed kan vi betrakte kovektorfelt ikke bare som deler av cotangent -bunten, men også lineære tilordninger av vektorfelt til funksjoner. Ved den dobbelt-dobbelte konstruksjonen kan vektorfelt på samme måte uttrykkes som tilordninger av kuvektorfelt til funksjoner (vi kan starte "innfødt" med kuvektorfelt og jobbe opp derfra).

I en fullstendig parallell med konstruksjonen av vanlige enkelttensorer (ikke tensorfelt!) På M som flelinjære kart på vektorer og kuvektorer, kan vi betrakte generelle ( k , l ) tensorfelt på M som C ^∞ ( M ) -flerlinjekart definert på l kopier av og k kopier av til C ^∞ ( M ). ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$

Nå, gitt enhver vilkårlig kartlegging T fra et produkt av k kopier av og l kopier av til C ^∞ ( M ), viser det seg at det stammer fra et tensorfelt på M hvis og bare hvis det er flerlinjet over C ^∞ ( M ) . Dermed uttrykker denne typen multilinearitet implisitt det faktum at vi virkelig har å gjøre med et punktvis definert objekt, dvs. et tensorfelt, i motsetning til en funksjon som, selv når den evalueres på et enkelt punkt, avhenger av alle verdiene til vektorfelt og 1-former samtidig. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}^{*} (M)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (M)}$

En hyppig eksempel anvendelse av denne generelle regelen viser at Levi-Civita forbindelse , som er en avbildning av glatte vektorfelt som tar et par av vektorfelt til et vektorfelt, ikke definerer en tensor felt på M . Dette er fordi det bare er R -lineært i Y (i stedet for full C ^∞ ( M ) -linearitet, tilfredsstiller det Leibniz -regelen, )). Likevel må det understrekes at selv om det ikke er et tensorfelt, kvalifiserer det fortsatt som et geometrisk objekt med en komponentfri tolkning. ${\ displaystyle (X, Y) \ mapsto \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y+f \ nabla _ {X} Y}$

applikasjoner

Krumningstensoren diskuteres i differensialgeometri og stressenergi -tensoren er viktig i fysikken, og disse to tensorene er relatert til Einsteins teori om generell relativitetsteori .

I elektromagnetisme kombineres de elektriske og magnetiske feltene til et elektromagnetisk tensorfelt .

Det er verdt å merke seg at differensialformer , som brukes for å definere integrasjon på manifolder, er en type tensorfelt.

Tensorberegning

I teoretisk fysikk og andre felt gir differensialligninger i form av tensorfelt en veldig generell måte å uttrykke relasjoner som både er geometriske i naturen (garantert av tensor -naturen) og konvensjonelt knyttet til differensialberegning . Selv for å formulere slike ligninger krever en ny oppfatning, det kovariante derivatet . Dette håndterer formuleringen av variasjon av et tensorfelt langs et vektorfelt . Den opprinnelige absolutte differensialberegningen , som senere ble kalt tensor calculus , førte til isolering av det geometriske forbindelsesbegrepet .

Vridning av en linjebunt

En utvidelse av tensor feltet ideen inneholder en ekstra ledningsbunten L på M . Hvis W er tensorprodukt bunt av V med L , og W er en bunt av vektorrom med akkurat det samme dimensjon som V . Dette gjør det mulig å definere begrepet tensortetthet , en "vridd" type tensorfelt. En tensortetthet er det spesielle tilfellet der L er bunten av tettheter på en manifold , nemlig determinantbunten til cotangent -bunten . (For å være strengt nøyaktig, bør man også bruke den absolutte verdien på overgangsfunksjonene - dette gjør liten forskjell for en orienterbar manifold .) For en mer tradisjonell forklaring, se tensortetthetsartikkelen .

Et trekk ved den bunt av tettheter (på nytt antas orienterbarhet) L er som L ^s er godt definert for reelt tall verdier av s ; dette kan leses av overgangsfunksjonene, som tar strengt positive reelle verdier. Dette betyr for eksempel at vi kan ta en halv tetthet , tilfellet der s = ½. Generelt kan vi ta deler av W , tensorproduktet til V med L ^s , og vurdere tensortetthetsfelt med vekt s .

Halvtetthet brukes på områder som å definere integrale operatører på manifolder og geometrisk kvantisering .

Den flate saken

Når M er et euklidisk rom og alle feltene er tatt for å være invariante av oversettelser av vektorene til M , kommer vi tilbake til en situasjon der et tensorfelt er synonymt med en tensor 'som sitter ved opprinnelsen'. Dette gjør ingen stor skade, og brukes ofte i applikasjoner. Anvendt på tensor tettheter, det gjør gjøre en forskjell. Tetthetsbunten kan ikke seriøst defineres "på et tidspunkt"; og derfor er en begrensning av den moderne matematiske behandlingen av tensorer at tensortettheter er definert på en rundkjøring.

Sykler og kjederegler

Som en avansert forklaring på tensorkonseptet , kan man tolke kjederegelen i det mangevariable tilfellet, slik det brukes for å koordinere endringer, også som kravet om selvkonsistente begreper om tensor som gir opphav til tensorfelt.

Abstrakt kan vi identifisere kjederegelen som en 1- syklus . Det gir den konsistensen som kreves for å definere tangentbunten på en iboende måte. De andre vektorgruppene med tensorer har sammenlignbare cocycles, som kommer fra å bruke funksjonelle egenskaper til tensorkonstruksjoner på selve kjederegelen; det er derfor de også er iboende (les, 'naturlige') konsepter.

Det som vanligvis omtales som den 'klassiske' tilnærmingen til tensorer prøver å lese dette bakover - og er derfor en heuristisk, post hoc -tilnærming fremfor virkelig en grunnleggende. Implisitt i å definere tensorer ved hvordan de transformerer under en koordinatendring er den slags selvkonsistens som syklusen uttrykker. Konstruksjonen av tensortettheter er en 'vridning' på syklusnivået. Geometri har ikke vært i tvil om geometriske natur tensor mengder ; denne typen nedstigningsargument begrunner abstrakt hele teorien.

Generaliseringer

Tensortetthet

Konseptet med et tensorfelt kan generaliseres ved å vurdere objekter som transformerer annerledes. Et objekt som transformeres som et vanlig tensorfelt under koordinattransformasjoner, bortsett fra at det også multipliseres med determinanten for jakobianeren for den inverse koordinattransformasjonen til w th -effekten, kalles en tensortetthet med vekt w . Uvanlig kan man på språket til flerlinjær algebra tenke på tensortettheter som flercirkede kart som tar sine verdier i en tetthetsbunt som det (1 -dimensjonale) rommet til n -former (hvor n er dimensjonen til rommet), som motsetning til å ta sine verdier på bare R . Høyere "vekter" tilsvarer da bare å ta flere tensorprodukter med denne plassen i serien.

Et spesielt tilfelle er skalartettheten. Skalar 1-tettheter er spesielt viktige fordi det er fornuftig å definere integralen over en manifold. De vises for eksempel i Einstein - Hilbert -handlingen i generell relativitet. Det vanligste eksemplet på en skalær 1-tetthet er volumelementet , som i nærvær av en metrisk tensor g er kvadratroten til dens determinant i koordinater, angitt . Den metriske tensoren er en kovariant tensor av rekkefølge 2, og derfor skaleres determinanten etter kvadratet i koordinatovergangen: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ det g}}}$

${\ displaystyle \ det (g ') = \ left (\ det {\ frac {\ partiell x} {\ delvis x'}} \ høyre)^{2} \ det (g),}$

som er transformasjonsloven for en skalartetthet av vekt +2.

Mer generelt er enhver tensortetthet produktet av en vanlig tensor med en skalartetthet av passende vekt. På språket til vektorgrupper er determinantbunten til tangentbunten en linjebunt som kan brukes til å 'vri' andre bunter w ganger. Selv om lokalt den mer generelle transformasjonsloven faktisk kan brukes til å gjenkjenne disse tensorene, er det et globalt spørsmål som dukker opp, som gjenspeiler at man i transformasjonsloven kan skrive enten den jakobiske determinanten eller dens absolutte verdi. Ikke-integrerte krefter i de (positive) overgangsfunksjonene til tetthetsbunten er fornuftige, slik at vekten av en tetthet, i den forstand, ikke er begrenset til heltallsverdier. Å begrense endringer av koordinater med positiv jakobsk determinant er mulig på orienterbare manifolder , fordi det er en konsekvent global måte å eliminere minustegnene på; men ellers er linjebunten med tettheter og linjebunten med n -former forskjellige. For mer om den inneboende betydningen, se tetthet på en manifold .

Se også

• Jet -pakke
• Ricci calculus  -Tensorindeksnotasjon for tensorbaserte beregninger
• Spinorfelt

Merknader

Referanser

• Frankel, T. (2012), The Geometry of Physics (3. utgave) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Open University], RJA (2010), relativitet, gravitasjon og kosmologi , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Encyclopaedia of Physics (2. utgave) , VHC Publishers.
• McConnell, AJ (1957), Applications of Tensor Analysis , Dover Publications, ISBN 9780486145020.
• McMahon, D. (2006), Relativity DeMystified , McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-145545-0.
• C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Gravitation , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0CS1 -vedlikehold: flere navn: forfatterliste ( lenke ).
• Parker, CB (1994), McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. utgave) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
• Schouten, Jan Arnoldus (1951), Tensoranalyse for fysikere , Oxford University Press.
• Steenrod, Norman (5. april 1999). Topologien til fiberpakker . Princeton Mathematical Series. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .