Topologi -Topology
I matematikk er topologi (fra de greske ordene τόπος , 'sted, plassering' og λόγος , 'studie' ) opptatt av egenskapene til et geometrisk objekt som er bevart under kontinuerlige deformasjoner , som strekking , vridning , krølling og bøyning ; det vil si uten å lukke hull, åpne hull, rive, lime eller gå gjennom seg selv.
Et topologisk rom er et sett utstyrt med en struktur, kalt en topologi , som gjør det mulig å definere kontinuerlig deformasjon av underrom, og mer generelt, alle slags kontinuitet . Euklidiske rom , og mer generelt, metriske rom er eksempler på et topologisk rom, ettersom enhver avstand eller metrikk definerer en topologi. Deformasjonene som vurderes i topologi er homeomorfismer og homotopier . En egenskap som er invariant under slike deformasjoner er en topologisk egenskap . Grunnleggende eksempler på topologiske egenskaper er: dimensjonen , som gjør det mulig å skille mellom en linje og en overflate ; kompakthet , som gjør det mulig å skille mellom en linje og en sirkel; forbundethet , som gjør det mulig å skille en sirkel fra to ikke-skjærende sirkler.
Ideene som ligger til grunn for topologien går tilbake til Gottfried Leibniz , som på 1600-tallet så for seg geometria situs og analyse situs . Leonhard Eulers Seven Bridges of Königsberg -problem og polyederformel er uten tvil feltets første teoremer. Begrepet topologi ble introdusert av Johann Benedict Listing på 1800-tallet, selv om det ikke var før de første tiårene av 1900-tallet at ideen om et topologisk rom ble utviklet.
Motivasjon
Den motiverende innsikten bak topologi er at noen geometriske problemer ikke avhenger av den eksakte formen til de involverte objektene, men heller av måten de er satt sammen. For eksempel har kvadratet og sirkelen mange egenskaper til felles: de er begge endimensjonale objekter (fra et topologisk synspunkt) og skiller begge planet i to deler, delen inne og delen utenfor.
I en av de første artikler i topologi demonstrerte Leonhard Euler at det var umulig å finne en rute gjennom byen Königsberg (nå Kaliningrad ) som ville krysse hver av dens syv broer nøyaktig én gang. Dette resultatet var ikke avhengig av lengden på broene eller avstanden deres fra hverandre, men bare av tilkoblingsegenskaper: hvilke broer koblet til hvilke øyer eller elvebredder. Dette Seven Bridges of Königsberg -problemet førte til grenen av matematikk kjent som grafteori .
På samme måte sier hårete ball-teoremet i algebraisk topologi at "man kan ikke gre håret flatt på en hårete ball uten å lage en cowlick ." Dette faktum er umiddelbart overbevisende for de fleste, selv om de kanskje ikke gjenkjenner det mer formelle utsagnet i teoremet, at det ikke er noe ikke-forsvinnende kontinuerlig tangentvektorfelt på sfæren. Som med broene i Königsberg , er ikke resultatet avhengig av kulens form; det gjelder alle slags glatte blobs, så lenge den ikke har hull.
For å håndtere disse problemene som ikke er avhengige av objektenes eksakte form, må man være klar over hvilke egenskaper disse problemene er avhengige av. Fra dette behovet oppstår forestillingen om homeomorfisme. Umuligheten av å krysse hver bro bare én gang gjelder for ethvert arrangement av broer som er homeomorfe til de i Königsberg, og hårete ballteoremet gjelder for ethvert rom som er homeomorfe til en sfære.
Intuitivt er to rom homeomorfe hvis det ene kan deformeres til det andre uten å kutte eller lime. En tradisjonell vits er at en topolog ikke kan skille et kaffekrus fra en smultring, siden en tilstrekkelig bøyelig smultring kan omformes til en kaffekopp ved å lage en fordypning og gradvis forstørre den, mens hullet krymper til et håndtak.
Homeomorfisme kan betraktes som den mest grunnleggende topologiske ekvivalensen . En annen er homotopi-ekvivalens . Dette er vanskeligere å beskrive uten å bli teknisk, men den essensielle oppfatningen er at to objekter er homotopi-ekvivalente hvis de begge er et resultat av å "klemme" et større objekt.
Historie
Topologi, som en veldefinert matematisk disiplin, har sin opprinnelse i den tidlige delen av det tjuende århundre, men noen isolerte resultater kan spores tilbake flere århundrer. Blant disse er visse spørsmål i geometri undersøkt av Leonhard Euler . Hans papir fra 1736 om de syv broene i Königsberg blir sett på som en av de første praktiske anvendelsene av topologi. Den 14. november 1750 skrev Euler til en venn at han hadde innsett viktigheten av kantene på et polyeder . Dette førte til hans polyederformel , V − E + F = 2 (hvor V , E , og F henholdsvis indikerer antall toppunkter, kanter og flater til polyederet). Noen myndigheter ser på denne analysen som det første teoremet, som signaliserer topologiens fødsel.
Ytterligere bidrag ble gitt av Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann og Enrico Betti . Listing introduserte begrepet "Topologie" i Vorstudien zur Topologie , skrevet på hans morsmål tysk, i 1847, etter å ha brukt ordet i ti år i korrespondanse før det først dukket opp på trykk. Den engelske formen "topology" ble brukt i 1883 i Listings nekrolog i tidsskriftet Nature for å skille "kvalitativ geometri fra den vanlige geometrien der kvantitative relasjoner hovedsakelig behandles".
Arbeidet deres ble korrigert, konsolidert og kraftig utvidet av Henri Poincaré . I 1895 publiserte han sin banebrytende artikkel om Analysis Situs , som introduserte konseptene som nå er kjent som homotopi og homologi , som nå anses som en del av algebraisk topologi .
Manifold | Euler num | Orienterbarhet | Betti tall | Torsjonskoeffisient (1-dim) | ||
---|---|---|---|---|---|---|
b 0 | b 1 | b 2 | ||||
Kule | 2 | Orienterbar | 1 | 0 | 1 | ingen |
Torus | 0 | Orienterbar | 1 | 2 | 1 | ingen |
2-hulls torus | −2 | Orienterbar | 1 | 4 | 1 | ingen |
g -hullet torus ( slekt g ) | 2-2 g | Orienterbar | 1 | 2 g | 1 | ingen |
Projektivt plan | 1 | Ikke-orienterbar | 1 | 0 | 0 | 2 |
Klein flaske | 0 | Ikke-orienterbar | 1 | 1 | 0 | 2 |
Kule med c krysskapsler ( c > 0 ) | 2 − c | Ikke-orienterbar | 1 | c - 1 | 0 | 2 |
2-manifold med g- hull og c krysslokk ( c > 0 ) |
2 - (2 g + c ) | Ikke-orienterbar | 1 | (2 g + c ) − 1 | 0 | 2 |
Ved å forene arbeidet med funksjonsrom til Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli og andre, introduserte Maurice Fréchet det metriske rommet i 1906. Et metrisk rom regnes nå som et spesialtilfelle av et generelt topologisk rom, med evt. gitt topologisk rom kan potensielt gi opphav til mange distinkte metriske rom. I 1914 laget Felix Hausdorff begrepet "topologisk rom" og ga definisjonen for det som nå kalles et Hausdorff-rom . For tiden er et topologisk rom en liten generalisering av Hausdorff-rom, gitt i 1922 av Kazimierz Kuratowski .
Moderne topologi avhenger sterkt av ideene om settteori, utviklet av Georg Cantor på den senere delen av 1800-tallet. I tillegg til å etablere de grunnleggende ideene til settteori, vurderte Cantor punktsett i det euklidiske rommet som en del av studiet av Fourier-seriene . For videre utvikling, se punktsetttopologi og algebraisk topologi.
Abelprisen 2022 ble tildelt Dennis Sullivan "for hans banebrytende bidrag til topologi i sin videste forstand, og spesielt dens algebraiske, geometriske og dynamiske aspekter".
Begreper
Topologier på sett
Begrepet topologi refererer også til en spesifikk matematisk idé sentralt i matematikkområdet kalt topologi. Uformelt beskriver en topologi hvordan elementer i et sett forholder seg romlig til hverandre. Det samme settet kan ha forskjellige topologier. For eksempel kan den virkelige linjen , det komplekse planet og Cantor-settet betraktes som det samme settet med forskjellige topologier.
Formelt sett, la X være en mengde og la τ være en familie av delmengder av X . Da kalles τ en topologi på X hvis:
- Både det tomme settet og X er elementer av τ .
- Enhver forening av elementer av τ er et element av τ .
- Ethvert skjæringspunkt av endelig mange elementer av τ er et element av τ .
Hvis τ er en topologi på X , kalles paret ( X , τ ) et topologisk rom. Notasjonen X τ kan brukes for å betegne et sett X utstyrt med den spesielle topologien τ . Per definisjon er hver topologi et π -system .
Medlemmene av τ kalles åpne mengder i X . En delmengde av X sies å være lukket hvis komplementet er i τ (det vil si at komplementet er åpent). En delmengde av X kan være åpen, lukket, begge (et clopen-sett ) eller ingen av delene. Det tomme settet og selve X er alltid både lukket og åpen. En åpen delmengde av X som inneholder et punkt x kalles et nabolag til x .
Kontinuerlige funksjoner og homeomorfismer
En funksjon eller kart fra ett topologisk rom til et annet kalles kontinuerlig hvis det inverse bildet av et åpent sett er åpent. Hvis funksjonen kartlegger de reelle tallene til de reelle tallene (begge mellomrom med standard topologi), så er denne definisjonen av kontinuerlig ekvivalent med definisjonen av kontinuerlig i kalkulus . Hvis en kontinuerlig funksjon er en-til-en og på , og hvis inversen av funksjonen også er kontinuerlig, kalles funksjonen en homeomorfisme og domenet til funksjonen sies å være homeomorf til området. En annen måte å si dette på er at funksjonen har en naturlig utvidelse til topologien. Hvis to rom er homeomorfe, har de identiske topologiske egenskaper, og anses topologisk like. Terningen og sfæren er homeomorfe, det samme er kaffekoppen og smultringen. Imidlertid er sfæren ikke homeomorf til smultringen.
Manifolder
Mens topologiske rom kan være ekstremt varierte og eksotiske, fokuserer mange områder av topologi på den mer kjente klassen av rom kjent som manifolder. En manifold er et topologisk rom som ligner euklidisk rom nær hvert punkt. Mer presist har hvert punkt i en n -dimensjonal manifold et nabolag som er homeomorf til det euklidiske rommet med dimensjon n . Linjer og sirkler , men ikke åttetallet , er endimensjonale manifolder. Todimensjonale manifolder kalles også overflater , selv om ikke alle overflater er manifolder. Eksempler inkluderer planet , sfæren og torusen, som alle kan realiseres uten selvskjæring i tre dimensjoner, og Klein-flasken og det virkelige projektive planet , som ikke kan (det vil si at alle deres erkjennelser er overflater som ikke er mangfoldige) .
Emner
Generell topologi
Generell topologi er grenen av topologi som omhandler de grunnleggende settteoretiske definisjoner og konstruksjoner som brukes i topologi. Det er grunnlaget for de fleste andre grener av topologi, inkludert differensiell topologi, geometrisk topologi og algebraisk topologi. Et annet navn for generell topologi er punktsett-topologi.
Det grunnleggende studieobjektet er topologiske rom , som er sett utstyrt med en topologi , det vil si en familie av delmengder , kalt åpne sett , som er lukket under endelige skjæringer og (endelige eller uendelige) fagforeninger . De grunnleggende begrepene for topologi, som kontinuitet , kompakthet og tilknytning , kan defineres i form av åpne sett. Intuitivt tar kontinuerlige funksjoner nærliggende punkter til nærliggende punkter. Kompakte sett er de som kan dekkes av endelig mange sett av vilkårlig liten størrelse. Sammenkoblede sett er sett som ikke kan deles i to deler som er langt fra hverandre. Ordene i nærheten , vilkårlig små og langt fra hverandre kan alle gjøres presise ved å bruke åpne sett. Flere topologier kan defineres på et gitt rom. Å endre en topologi består i å endre samlingen av åpne sett. Dette endrer hvilke funksjoner som er kontinuerlige og hvilke delsett som er kompakte eller tilkoblede.
Metriske rom er en viktig klasse av topologiske rom der avstanden mellom to punkter er definert av en funksjon kalt metrikk . I et metrisk rom er et åpent sett en forening av åpne disker, der en åpen disk med radius r sentrert ved x er settet av alle punkter hvis avstand til x er mindre enn r . Mange vanlige rom er topologiske rom hvis topologi kan defineres av en metrikk. Dette er tilfellet for den reelle linjen , det komplekse planet , reelle og komplekse vektorrom og euklidiske rom . Å ha en metrikk forenkler mange bevis.
Algebraisk topologi
Algebraisk topologi er en gren av matematikken som bruker verktøy fra algebra for å studere topologiske rom. Det grunnleggende målet er å finne algebraiske invarianter som klassifiserer topologiske rom opp til homeomorfisme, men vanligvis klassifiserer de fleste opp til homotopi-ekvivalens.
De viktigste av disse invariantene er homotopigrupper , homologi og kohomologi .
Selv om algebraisk topologi først og fremst bruker algebra for å studere topologiske problemer, er det noen ganger også mulig å bruke topologi for å løse algebraiske problemer. Algebraisk topologi, for eksempel, gir mulighet for et praktisk bevis på at enhver undergruppe av en fri gruppe igjen er en fri gruppe.
Differensiell topologi
Differensiell topologi er feltet som omhandler differensierbare funksjoner på differensierbare manifolder . Det er nært knyttet til differensialgeometri og sammen utgjør de den geometriske teorien om differensierbare manifolder.
Mer spesifikt vurderer differensiell topologi egenskapene og strukturene som bare krever en jevn struktur på en manifold for å bli definert. Glatte manifolder er "mykere" enn manifolder med ekstra geometriske strukturer, som kan fungere som hindringer for visse typer ekvivalenser og deformasjoner som eksisterer i differensialtopologi. For eksempel er volum og Riemannsk krumning invarianter som kan skille forskjellige geometriske strukturer på den samme glatte manifolden - det vil si at man jevnt kan "flate ut" visse manifolder, men det kan kreve å forvrenge rommet og påvirke krumningen eller volumet.
Geometrisk topologi
Geometrisk topologi er en gren av topologi som først og fremst fokuserer på lavdimensjonale manifolder (det vil si rom med dimensjonene 2, 3 og 4) og deres interaksjon med geometri, men den inkluderer også noe høyere dimensjonal topologi. Noen eksempler på emner i geometrisk topologi er orienterbarhet , håndtaksdekomponeringer , lokal flathet , krølling og det plane og høyere dimensjonale Schönflies-teoremet .
I høydimensjonal topologi er karakteristiske klasser en grunnleggende invariant, og kirurgiteori er en nøkkelteori.
Lavdimensjonal topologi er sterkt geometrisk, som reflektert i uniformiseringsteoremet i 2 dimensjoner – hver overflate tillater en konstant krumningsmetrikk; geometrisk har den en av 3 mulige geometrier: positiv krumning /sfærisk, null krumning/flat og negativ krumning/hyperbolsk – og geometriseringsformodningen ( nå teoremet) i 3 dimensjoner – hver 3-manifold kan kuttes i stykker, hver av som har en av åtte mulige geometrier.
2-dimensjonal topologi kan studeres som kompleks geometri i én variabel ( Riemann- overflater er komplekse kurver) – ved uniformiseringsteoremet er hver konform klasse av metrikk ekvivalent med en unik kompleks, og 4-dimensjonal topologi kan studeres fra punktet syn på kompleks geometri i to variabler (komplekse overflater), men ikke hver 4-manifold innrømmer en kompleks struktur.
Generaliseringer
Noen ganger må man bruke topologiverktøyene, men et "sett med punkter" er ikke tilgjengelig. I meningsløs topologi betrakter man i stedet gitteret av åpne sett som den grunnleggende forestillingen om teorien, mens Grothendieck-topologier er strukturer definert på vilkårlige kategorier som tillater definisjonen av skiver på disse kategoriene, og med det definisjonen av generelle kohomologiteorier.
applikasjoner
Biologi
Topologi har blitt brukt til å studere ulike biologiske systemer, inkludert molekyler og nanostruktur (f.eks. membranobjekter). Spesielt har kretstopologi og knuteteori blitt mye brukt for å klassifisere og sammenligne topologien til foldede proteiner og nukleinsyrer. Kretstopologi klassifiserer foldede molekylære kjeder basert på det parvise arrangementet av deres intrakjedekontakter og kjedekryssinger. Knotteori , en gren av topologi, brukes i biologi for å studere effekten av visse enzymer på DNA. Disse enzymene kutter, vrir og kobler sammen DNA-et igjen, noe som forårsaker knotting med observerbare effekter som langsommere elektroforese . Topologi brukes også i evolusjonsbiologi for å representere forholdet mellom fenotype og genotype . Fenotypiske former som ser ganske forskjellige ut, kan separeres med bare noen få mutasjoner avhengig av hvordan genetiske endringer kartlegges til fenotypiske endringer under utvikling. I nevrovitenskap har topologiske størrelser som Euler-karakteristikken og Betti-tallet blitt brukt for å måle kompleksiteten til aktivitetsmønstre i nevrale nettverk.
Datavitenskap
Topologisk dataanalyse bruker teknikker fra algebraisk topologi for å bestemme storskalastrukturen til et sett (for eksempel å bestemme om en sky av punkter er sfærisk eller toroidformet ). Hovedmetoden som brukes av topologisk dataanalyse er å:
- Erstatt et sett med datapunkter med en familie av enkle komplekser , indeksert av en nærhetsparameter.
- Analyser disse topologiske kompleksene via algebraisk topologi - spesifikt via teorien om vedvarende homologi .
- Kod den vedvarende homologien til et datasett i form av en parameterisert versjon av et Betti-nummer , som kalles en strekkode.
Flere grener av programmeringsspråkssemantikk , for eksempel domeneteori , er formalisert ved hjelp av topologi. I denne sammenhengen karakteriserer Steve Vickers , som bygger på arbeid av Samson Abramsky og Michael B. Smyth , topologiske rom som boolske eller Heyting-algebraer over åpne sett, som karakteriseres som halvavgjørbare (tilsvarende, endelig observerbare) egenskaper.
Fysikk
Topologi er relevant for fysikk innen områder som kondensert materiefysikk , kvantefeltteori og fysisk kosmologi .
Den topologiske avhengigheten av mekaniske egenskaper i faste stoffer er av interesse i disipliner av maskinteknikk og materialvitenskap . Elektriske og mekaniske egenskaper avhenger av arrangementet og nettverksstrukturene til molekyler og elementære enheter i materialer. Trykkstyrken til krøllete topologier studeres i forsøk på å forstå den høye styrken til vekten til slike strukturer som for det meste er tomt rom . Topologi er av ytterligere betydning i kontaktmekanikk der avhengigheten av stivhet og friksjon på dimensjonaliteten til overflatestrukturer er gjenstand for interesse med anvendelser i flerkroppsfysikk.
En topologisk kvantefeltteori (eller topologisk feltteori eller TQFT) er en kvantefeltteori som beregner topologiske invarianter .
Selv om TQFT-er ble oppfunnet av fysikere, er de også av matematisk interesse, og er relatert til blant annet knuteteori , teorien om firemanifolder i algebraisk topologi og til teorien om modulrom i algebraisk geometri. Donaldson , Jones , Witten og Kontsevich har alle vunnet Fields-medaljer for arbeid relatert til topologisk feltteori.
Den topologiske klassifiseringen av Calabi – Yau-manifolder har viktige implikasjoner i strengteori , ettersom forskjellige manifolder kan opprettholde forskjellige typer strenger.
I kosmologi kan topologi brukes til å beskrive universets generelle form . Dette forskningsområdet er ofte kjent som romtidstopologi .
I kondensert materiale kommer en relevant anvendelse til topologisk fysikk fra muligheten til å oppnå enveisstrøm, som er en strøm beskyttet mot tilbakespredning. Det ble først oppdaget i elektronikk med den berømte kvante Hall-effekten , og deretter generalisert i andre områder av fysikk, for eksempel i fotonikk av FDM Haldane .
Robotikk
De mulige posisjonene til en robot kan beskrives med en manifold kalt konfigurasjonsrom . I området bevegelsesplanlegging finner man stier mellom to punkter i konfigurasjonsrommet. Disse banene representerer en bevegelse av robotens ledd og andre deler til ønsket positur.
Spill og gåter
Tangleling-puslespill er basert på topologiske aspekter ved puslespillets former og komponenter.
Fiberkunst
For å skape en kontinuerlig sammenføyning av deler i en modulær konstruksjon, er det nødvendig å lage en ubrutt bane i en rekkefølge som omgir hver del og krysser hver kant kun én gang. Denne prosessen er en anvendelse av den Euleriske banen .
Se også
- Karakteriseringer av kategorien topologiske rom
- Ekvivariant topologi
- Liste over algebraiske topologi-emner
- Liste over eksempler i generell topologi
- Liste over generelle topologi-emner
- Liste over geometriske topologi-emner
- Liste over topologi-emner
- Publikasjoner i topologi
- Topoisomer
- Topologi ordliste
- Topologisk Galois-teori
- Topologisk geometri
- Topologisk rekkefølge
Referanser
Sitater
Bibliografi
- Aleksandrov, PS (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", i Aleksandrov, AD; Kolmogorov, AN; Lavrent'ev, MA (red.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2. utgave), The MIT Press
- Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
- Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton University Press
Videre lesning
- Ryszard Engelking , General Topology , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, desember 1989, ISBN 3-88538-006-4 .
- Bourbaki ; Elements of Mathematics: General Topology , Addison–Wesley (1966).
- Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". I James, IM (red.). Topologiens historie . Nord-Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
- Kelley, John L. (1975). Generell topologi . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
- Brown, Ronald (2006). Topologi og gruppeoider . Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.(Gir en godt motivert, geometrisk redegjørelse for generell topologi, og viser bruken av groupoider for å diskutere van Kampens teorem , dekke rom og banerom .)
- Wacław Sierpiński , General Topology , Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
- Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius' fantastiske band i matematikk, spill, litteratur, kunst, teknologi og kosmologi . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.(Gir en populær introduksjon til topologi og geometri)
- Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2. utgave), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1
Eksterne linker
- "Topologi, generelt" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Elementær topologi: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
- Topologi hos Curlie
- The Topological Zoo på The Geometry Center .
- Topologiatlas
- Topologikurs Forelesningsnotater Aisling McCluskey og Brian McMaster, Topology Atlas.
- Topologiordliste
- Moskva 1935: Topologi beveger seg mot Amerika , et historisk essay av Hassler Whitney .