Dreiemoment - Torque

Dreiemoment
Forholdet mellom kraft F , dreiemoment τ , lineært momentum p og vinkelmoment L i et system som har rotasjon begrenset til bare ett plan (krefter og øyeblikk på grunn av tyngdekraft og friksjon blir ikke vurdert).
Vanlige symboler	${\ displaystyle \ tau}$, M.
SI -enhet	N⋅m
Andre enheter	pound-force-feet , lbf ⋅inch, ozf⋅in
I SI -baseenheter	kg⋅m 2 ⋅s −2
Dimensjon	M L 2 T −2

Del av en serie om
Klassisk mekanikk
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Andre bevegelseslov
Historie Tidslinje Lærebøker
Grener
Grunnleggende
Formuleringer
Kjerneemner
Rotasjon
Forskere
Fysikkportal  Kategori
v t e

I fysikk og mekanikk er dreiemoment rotasjonsekvivalenten til lineær kraft . Det blir også referert til som øyeblikket , kraftmomentet , rotasjonskraften eller vendeffekten , avhengig av studieretningen. Konseptet stammer fra studiene av Archimedes om bruk av spaker . Akkurat som en lineær kraft er et trykk eller et trekk, kan et dreiemoment betraktes som en vri på et objekt rundt en bestemt akse. En annen definisjon av dreiemomentet er produktet av størrelsen av kraften og den vinkelrette avstanden til linjen av virkningen av en kraft fra rotasjonsaksen . Symbolet for dreiemoment er typisk eller τ , den greske bokstaven tau med små bokstaver . Når det refereres til som øyeblikk av kraft, er det som vanligvis betegnes med M . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$

I tre dimensjoner er dreiemomentet en pseudovektor ; for punktpartikler er det gitt av kryssproduktet av posisjonsvektoren ( avstandsvektoren ) og kraftvektoren. Størrelsen på dreiemomentet til et stivt legeme avhenger av tre størrelser: kraften som påføres, spakearmsvektoren som forbinder punktet som dreiemomentet måles til kraftpunktet, og vinkelen mellom kraft- og spakarmvektorene. I symboler:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \, \!}$

${\ displaystyle \ tau = \ | \ mathbf {r} \ | \, \ | \ mathbf {F} \ | \ sin \ theta \, \!}$

hvor

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$er dreiemomentvektoren og er størrelsen på dreiemomentet,${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ er posisjonsvektoren (en vektor fra punktet som dreiemomentet måles til til punktet der kraften påføres),

${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ er kraftvektoren,

${\ displaystyle \ times}$betegner kryssproduktet , som produserer en vektor som er vinkelrett på både r og F etter høyre regel ,

${\ displaystyle \ theta}$ er vinkelen mellom kraftvektoren og spakarmen.

Den SI-enhet for dreiemoment er den newton-meter (N⋅m). For mer om dreiemomentene, se § Enheter .

Definere terminologi

James Thomson , broren til Lord Kelvin , introduserte begrepet dreiemoment i engelsk vitenskapelig litteratur i 1884. Dreiemoment refereres imidlertid til bruk av forskjellige ordforråd avhengig av geografisk beliggenhet og studieretning. Denne artikkelen følger definisjonen som ble brukt i amerikansk fysikk i bruken av ordet dreiemoment . I Storbritannia og i maskinteknikk i USA blir dreiemoment referert til som moment of force , vanligvis forkortet til moment . Disse begrepene er utskiftbare i amerikansk fysikk og britisk fysikkterminologi, i motsetning til i amerikansk maskinteknikk, der begrepet dreiemoment brukes for det nært beslektede "resulterende øyeblikket for et par ".

Dreiemoment og moment i den amerikanske maskintekniske terminologien

I amerikansk maskinteknikk er dreiemoment definert matematisk som hastigheten for endring av vinkelmomentet til et objekt (i fysikk kalles det "nettomoment"). Definisjonen av dreiemoment sier at en eller begge vinkelhastighetene eller treghetsmomentet til et objekt endres. Moment er det generelle begrepet som brukes for tendensen til en eller flere påførte krefter til å rotere et objekt rundt en akse, men ikke nødvendigvis for å endre objektets vinkelmoment (konseptet som kalles dreiemoment i fysikk). For eksempel resulterer en rotasjonskraft på en aksel som forårsaker akselerasjon, for eksempel en borekron som akselererer fra hvile, i et øyeblikk som kalles et dreiemoment . Derimot produserer en sidekraft på en bjelke et øyeblikk (kalles et bøyemoment ), men siden bjelkens vinkelmoment ikke endres, kalles ikke dette bøyemomentet for et dreiemoment . På samme måte med ethvert kraftpar på et objekt som ikke har noen endring i vinkelmomentet, kalles slikt øyeblikk heller ikke et dreiemoment .

Definisjon og forhold til vinkelmoment

En partikkel er plassert i posisjon r i forhold til rotasjonsaksen. Når en kraft F påføres partikkel, bare den perpendikulære komponent F _⊥ frembringer et dreiemoment. Dette dreiemomentet τ  =  r  ×  F har størrelsen τ  = | r | | F _⊥ | = | r | | F | sin θ og blir rettet utover fra siden.

En kraft som påføres vinkelrett på en spak multiplisert med avstanden fra spakens støttepunkt (lengden på spakarmen ) er dens dreiemoment. En kraft på tre newton påført to meter fra støttepunktet, for eksempel, utøver samme dreiemoment som en kraft på ett newton som påføres seks meter fra støttepunktet. Dreiemomentets retning kan bestemmes ved å bruke regelen til høyre håndgrep : hvis fingrene på høyre hånd er krøllet fra spaken til armen til kraftens retning, peker tommelen i retning av dreiemomentet.

Mer generelt kan dreiemomentet på en punktpartikkel (som har posisjonen r i en referanseramme) defineres som tverrproduktet :

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F},}$

hvor r er partikkels posisjonsvektor i forhold til punktum, og F er kraften som virker på partikkelen. Størrelsen τ på dreiemomentet er gitt av

${\ displaystyle \ tau = rF \ sin \ theta, \!}$

hvor r er avstanden fra rotasjonsaksen til partikkelen, F er størrelsen på den påførte kraften, og θ er vinkelen mellom posisjons- og kraftvektorene. Alternativt,

${\ displaystyle \ tau = rF _ {\ perp},}$

hvor F _⊥ er mengden kraft rettet vinkelrett på posisjonen til partikkelen. Enhver kraft rettet parallelt med partikkelens posisjonsvektor gir ikke et dreiemoment.

Det følger av egenskapene av kryssproduktet som den momentvektor er vinkelrett til både posisjon og kraft -vektorer. Derimot er momentvektor definerer plan i hvilket posisjon og kraft vektorer ligge. Den resulterende dreiemomentvektorretningen bestemmes av regelen til høyre.

Nettet dreiemoment på en kropp bestemmer endringshastigheten til kroppens vinkelmoment ,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}$

hvor L er vinkelmomentvektoren og t er tiden.

For bevegelse av en punktpartikkel,

${\ displaystyle \ mathbf {L} = I {\ boldsymbol {\ omega}},}$

der jeg er treghetsmomentet og ω er pseudovektoren for vinkelhastigheten i bane . Det følger at

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (I {\ boldsymbol {\ omega}})} {\ mathrm {d} t}} = I {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d } t}}+{\ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} t}} {\ boldsymbol {\ omega}} = I {\ boldsymbol {\ alpha}}+{\ frac {\ mathrm {d} (mr^{2})} {\ mathrm {d} t}} {\ boldsymbol {\ omega}} = I {\ boldsymbol {\ alpha}}+2rp_ {||} {\ boldsymbol {\ omega }},}$

hvor α er vinkelakselerasjonen til partikkelen, og p _|| er den radielle komponenten i dens lineære momentum . Denne ligningen er rotasjonsanalogen til Newtons andre lov for punktpartikler, og er gyldig for alle typer baner. Vær oppmerksom på at selv om kraft og akselerasjon alltid er parallelle og direkte proporsjonale, trenger dreiemomentet τ ikke å være parallelt eller direkte proporsjonalt med vinkelakselerasjonen α . Dette stammer fra det faktum at selv om masse alltid er bevart, er treghetsmomentet generelt ikke det.

Bevis på likhet med definisjoner

Definisjonen av vinkelmoment for en enkeltpunktspartikkel er:

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times {\ boldsymbol {p}}}$

hvor p er partikkelens lineære momentum og r er posisjonsvektoren fra opprinnelsen. Tidsavledningen til dette er:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {p} }} {\ mathrm {d} t}}+{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ boldsymbol {p}}.}$

Dette resultatet kan enkelt bevises ved å dele vektorene i komponenter og anvende produktregelen . Bruker nå definisjonen av kraft (om massen er konstant eller ikke) og definisjonen av hastighet${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {p}}} {\ mathrm {d} t}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} +\ mathbf {v} \ times {\ fet symbol {p}}.}$

Tverrproduktet av momentum med tilhørende hastighet er null fordi hastighet og momentum er parallelle, så det andre begrepet forsvinner. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Per definisjon, dreiemoment τ = r x F . Derfor er dreiemoment på en partikkel lik det første derivatet av dets vinkelmoment med hensyn til tid.

Hvis flere krefter påføres, leser Newtons andre lov i stedet F _net = m a , og det følger det

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {\ mathrm {net}} = { \ boldsymbol {\ tau}} _ {\ mathrm {net}}.}$

Dette er et generelt bevis for punktpartikler.

Beviset kan generaliseres til et system med punktpartikler ved å bruke ovennevnte bevis på hver av punktpartiklene og deretter summere over alle punktpartiklene. På samme måte kan beviset generaliseres til en kontinuerlig masse ved å bruke ovennevnte bevis på hvert punkt i massen, og deretter integrere over hele massen.

Enheter

Dreiemoment har den dimensjon av kraften ganger avstanden , symbolsk T ^-2 L ² M . Selv om de grunnleggende dimensjonene er de samme som for energi eller arbeid , foreslår offisiell SI -litteratur å bruke enheten newtonmeter (N⋅m) og aldri joule . Enhetens newtonmeter er riktig angitt N⋅m.

De tradisjonelle keiserlige og amerikanske vanlige enhetene for dreiemoment er pundfoten (lbf-ft), eller for små verdier pundtommen (lbf-in). I USA blir dreiemoment oftest referert til som fot-pund (angitt som enten lb-ft eller ft-lb) og inch-pund (betegnet som in-lb). Utøvere er avhengige av kontekst og bindestrek i forkortelsen for å vite at disse refererer til dreiemoment og ikke til energi eller massemoment (som symbolikken ft-lb på riktig måte ville tilsi).

Spesielle saker og andre fakta

Momentarmformel

Momentarmdiagram

Et veldig nyttig spesialtilfelle, ofte gitt som definisjon av dreiemoment i andre felt enn fysikk, er som følger:

${\ displaystyle \ tau = ({\ text {moment arm}}) ({\ text {force}}).}$

Konstruksjonen av "momentarmen" er vist i figuren til høyre, sammen med vektorene r og F nevnt ovenfor. Problemet med denne definisjonen er at den ikke gir dreiemomentets retning, men bare størrelsen, og derfor er den vanskelig å bruke i tredimensjonale tilfeller. Hvis kraften er vinkelrett på forskyvningsvektoren r , vil momentarmen være lik avstanden til sentrum, og dreiemoment vil være et maksimum for den gitte kraften. Ligningen for størrelsen på et dreiemoment som stammer fra en vinkelrett kraft:

${\ displaystyle \ tau = ({\ tekst {avstand til sentrum}}) ({\ tekst {kraft}}).}$

For eksempel, hvis en person plasserer en kraft på 10 N ved terminalenden av en skiftenøkkel som er 0,5 m lang (eller en kraft på 10 N nøyaktig 0,5 m fra vridningspunktet til en skiftenøkkel av en hvilken som helst lengde), vil dreiemomentet være 5 N⋅m - forutsatt at personen beveger skiftenøkkelen ved å utøve kraft i bevegelsesplanet og vinkelrett på skiftenøkkelen.

Dreiemomentet forårsaket av de to motsatte kreftene F _g og - F _g forårsaker en endring i vinkelmomentet L i retningen til dreiemomentet. Dette får toppen til å gå foran .

Statisk likevekt

For at et objekt skal være i statisk likevekt , må ikke bare summen av kreftene være null, men også summen av dreiemomentene (momentene) om et hvilket som helst punkt. For en todimensjonal situasjon med horisontale og vertikale krefter er summen av kravene to likninger: Σ H = 0 og Σ V = 0, og dreiemomentet en tredje ligning: Σ τ = 0. Det vil si å løse statisk bestemme likevektsproblemer i todimensjoner, brukes tre ligninger.

Netto kraft kontra dreiemoment

Når nettokraften på systemet er null, er dreiemomentet målt fra et hvilket som helst punkt i rommet det samme. For eksempel er dreiemomentet på en strømførende sløyfe i et jevnt magnetfelt det samme uavhengig av referansepunktet ditt. Hvis nettokraft er ikke null, og er dreiemomentet måles fra , da dreiemomentet måles fra IS ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {2} = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {1}+(\ mathbf {r} _ {1}-\ mathbf {r} _ {2}) \ times \ mathbf {F}}$$

Maskinmoment

Dreiemomentkurve på en motorsykkel ("BMW K 1200 R 2005"). Den horisontale aksen viser hastigheten (i omdreininger ) som veivakselen snur, og den vertikale aksen er dreiemomentet (i newtonmeter ) som motoren er i stand til å gi ved denne hastigheten.

Dreiemoment er en del av den grunnleggende spesifikasjonen til en motor : motorens effekt er uttrykt som dreiemomentet multiplisert med aksens rotasjonshastighet. Forbrenningsmotorer gir nyttig dreiemoment bare over et begrenset rotasjonshastighet (vanligvis fra rundt 1000–6 000 o / min for en liten bil). Man kan måle den varierende dreiemomentutgangen over dette området med et dynamometer , og vise det som en dreiemomentkurve.

Dampmotorer og elektriske motorer har en tendens til å produsere maksimalt dreiemoment nær null omdreininger, med dreiemomentet redusert når rotasjonshastigheten stiger (på grunn av økende friksjon og andre begrensninger). Stempeldampmotorer og elektriske motorer kan begynne tunge laster fra null omdreininger uten en clutch .

Forholdet mellom dreiemoment, kraft og energi

Hvis en kraft får lov til å virke gjennom en avstand, utfører den mekanisk arbeid . På samme måte, hvis dreiemoment får lov til å virke gjennom en rotasjonsavstand, gjør det arbeid. Matematisk, for rotasjon rundt en fast akse gjennom massesenteret , kan verket W uttrykkes som

${\ displaystyle W = \ int _ {\ theta _ {1}}^{\ theta _ {2}} \ tau \ \ mathrm {d} \ theta,}$

hvor τ er dreiemoment, og θ ₁ og θ ₂ representerer (henholdsvis) kroppens innledende og siste vinkelposisjoner .

Bevis

Arbeidet utført av en variabel kraft som virker over en endelig lineær forskyvning er gitt ved å integrere kraften i forhold til en elementær lineær forskyvning${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {s}}$

${\ displaystyle W = \ int _ {s_ {1}}^{s_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s}}$

Imidlertid er den uendelige lineære forskyvningen relatert til en tilsvarende vinkelforskyvning og radiusvektoren som ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {s}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {s} = \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}}$

Erstatning i uttrykket ovenfor for arbeid gir

${\ displaystyle W = \ int _ {s_ {1}}^{s_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}}$

Uttrykket er et skalært trippelprodukt gitt av . Et alternativt uttrykk for det samme skalare trippelproduktet er ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ left [\ mathbf {F} \, \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \, \ mathbf {r} \ right]}$

${\ displaystyle \ left [\ mathbf {F} \, \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \, \ mathbf {r} \ right] = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}}$

Men i henhold til definisjonen av dreiemoment,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$

Tilsvarende substitusjon i uttrykket for arbeid gir,

${\ displaystyle W = \ int _ {s_ {1}}^{s_ {2}} {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}}$

Siden parameteren for integrasjon er blitt endret fra lineær forskyvning til vinkelforskyvning, endres også grensene for integrasjonen tilsvarende, noe som gir

${\ displaystyle W = \ int _ {\ theta _ {1}}^{\ theta _ {2}} {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}}$

Hvis dreiemomentet og vinkelforskyvningen er i samme retning, reduseres skalarproduktet til et produkt av størrelser; dvs. å gi ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} = \ left | {\ boldsymbol {\ tau}} \ right | \ left | \ mathrm {d} { \ boldsymbol {\ theta}} \ right | \ cos 0 = \ tau \, \ mathrm {d} \ theta}$

${\ displaystyle W = \ int _ {\ theta _ {1}}^{\ theta _ {2}} \ tau \, \ mathrm {d} \ theta}$

Det følger av arbeid-energi teoremet at W representerer også endring i rotasjonsbevegelsesenergi E _r i kroppen, gitt av

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {r}} = {\ tfrac {1} {2}} I \ omega ^{2},}$

der jeg er kroppens treghet og ω er dens vinkelhastighet .

Strøm er et verk per enhet tid , gitt av

${\ displaystyle P = {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}},}$

der P er kraft, τ er dreiemoment, ω er vinkelhastigheten og representerer skalarproduktet . ${\ displaystyle \ cdot}$

Algebraisk kan ligningen omorganiseres for å beregne dreiemoment for en gitt vinkelhastighet og effekt. Vær oppmerksom på at effekten injisert av dreiemomentet bare avhenger av den momentane vinkelhastigheten - ikke av om vinkelhastigheten øker, reduseres eller forblir konstant mens dreiemomentet påføres (dette tilsvarer det lineære tilfellet der kraften injiseres av en kraft avhenger bare av øyeblikkelig hastighet - ikke av den resulterende akselerasjonen, hvis noen).

I praksis kan dette forholdet observeres på sykler : Sykler består vanligvis av to veihjul, for- og bakhjul (referert til som tannhjul ) som har en sirkulær kjede og en girsmekanisme hvis sykkelen gir flere girforhold til brukes (dvs. sykkel med flere hastigheter ), som alle er festet til rammen . En syklist , personen som sykler, gir inngangskraft ved å snu pedaler og derved sveive det fremre tannhjulet (ofte referert til som kjedehjul ). Inngangseffekten levert av syklisten er lik produktet av kadens (dvs. antall pedal omdreininger per minutt) og dreiemomentet på spindelen av sykkelens krank . Sykkelenes drivverk overfører inngangskraften til veihjulet , som igjen overfører den mottatte kraften til veien som sykkelens utgangseffekt. Avhengig av sykkelens girforhold , blir et (dreiemoment, omdreininger) _inngangspar konvertert til et (dreiemoment, turtall) _utgangspar . Ved å bruke et større bakgir, eller ved å bytte til et lavere gir i flerhastighetssykler, reduseres vinkelhastigheten på veihjulene mens dreiemomentet økes, hvorav produktet (dvs. kraften) ikke endres.

Konsekvente enheter må brukes. For metriske SI -enheter er effekten watt , dreiemomentet er newtonmeter og vinkelhastigheten er radianer per sekund (ikke o / min og ikke omdreininger per sekund).

Enheten newtonmeter er også dimensjonalt ekvivalent med joule , som er energienheten. Når det gjelder dreiemoment, er enheten imidlertid tilordnet en vektor , mens den for energi er tilordnet en skalar . Dette betyr at dimensjonsekvivalensen til newtonmeteret og joule kan brukes i det første, men ikke i det siste tilfellet. Dette problemet tas opp i orienteringsanalyse som behandler radianer som en baseenhet i stedet for en dimensjonsløs enhet.

Konvertering til andre enheter

En konverteringsfaktor kan være nødvendig når du bruker forskjellige kraftenheter eller dreiemomenter. For eksempel, hvis rotasjonshastighet (omdreininger per tid) brukes i stedet for vinkelhastighet (radianer per gang), multipliserer vi med en faktor 2 π radianer per omdreining. I de følgende formlene er P kraft, τ er dreiemoment og ν ( gresk bokstav nu ) er rotasjonshastighet.

${\ displaystyle P = \ tau \ cdot 2 \ pi \ cdot \ nu}$

Viser enheter:

${\ displaystyle P ({\ rm {W}}) = \ tau {\ rm {(N \ cdot m)}} \ cdot 2 \ pi {\ rm {(rad/rev)}} \ cdot \ nu {\ rm {(rev/sek)}}}$

Deling med 60 sekunder per minutt gir oss følgende.

${\ displaystyle P ({\ rm {W}}) = {\ frac {\ tau {\ rm {(N \ cdot m)}} \ cdot 2 \ pi {\ rm {(rad/rev)}} \ cdot \ nu {\ rm {(rpm)}}} {60}}}$

hvor rotasjonshastigheten er i omdreininger per minutt (rpm).

Noen mennesker (f.eks. Amerikanske bilingeniører) bruker hestekrefter (mekanisk) for kraft, fot-pund (lbf⋅ft) for dreiemoment og turtall for rotasjonshastighet. Dette resulterer i at formelen endres til:

${\ displaystyle P ({\ rm {hp}}) = {\ frac {\ tau {\ rm {(lbf \ cdot ft)}} \ cdot 2 \ pi {\ rm {(rad/rev)}} \ cdot \ nu ({\ rm {rpm}})} {33 000}}.}$

Konstanten under (i fot-pund per minutt) endres med definisjonen av hestekrefter; for eksempel, ved bruk av metriske hestekrefter, blir det omtrent 32.550.

Bruk av andre enheter (f.eks. BTU per time for strøm) vil kreve en annen tilpasset konverteringsfaktor.

Avledning

For en roterende gjenstand, den lineære avstanden dekket ved omkretsen av dreie er produktet av radius med vinkelen dekket. Det vil si: lineær avstand = radius × vinkelavstand. Og per definisjon, lineær avstand = lineær hastighet × tid = radius × vinkelhastighet × tid.

Ved definisjonen av dreiemoment: dreiemoment = radius × kraft. Vi kan omorganisere dette for å bestemme kraft = dreiemoment ÷ radius. Disse to verdiene kan erstattes med definisjonen av makt :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {power}} & = {\ frac {{\ text {force}} \ cdot {\ text {lineær avstand}}} {\ text {time}}} \\ [6pt] & = {\ frac {\ left ({\ dfrac {\ text {torque}} {r}} \ right) \ cdot (r \ cdot {\ text {vinkelhastighet}} \ cdot t)} {t }} \\ [6pt] & = {\ tekst {dreiemoment}} \ cdot {\ tekst {vinkelhastighet}}. \ Ende {justert}}}$

Radiusen r og tiden t har falt ut av ligningen. Vinkelhastigheten må imidlertid være i radianer per tidsenhet, av det antatte direkte forholdet mellom lineær hastighet og vinkelhastighet i begynnelsen av avledningen. Hvis rotasjonshastigheten måles i omdreininger per tidsenhet, økes den lineære hastigheten og avstanden proporsjonalt med 2 π i ovennevnte avledning for å gi:

${\ displaystyle {\ text {power}} = {\ text {dreiemoment}} \ cdot 2 \ pi \ cdot {\ text {rotasjonshastighet}}. \,}$

Hvis dreiemomentet er i newtonmeter og rotasjonshastigheten i omdreininger per sekund, gir ligningen ovenfor effekt i newtonmeter per sekund eller watt. Hvis keiserlige enheter brukes, og hvis dreiemomentet er i pund-kraftfot og rotasjonshastighet i omdreininger per minutt, gir ligningen ovenfor kraft i fotpund-kraft per minutt. Hestekreftformen til ligningen blir deretter avledet ved å bruke konverteringsfaktoren 33.000 ft⋅lbf/min per hestekrefter:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {power}} & = {\ text {torque}} \ cdot 2 \ pi \ cdot {\ text {rotational speed}} \ cdot {\ frac {{\ text { ft}} \ cdot {\ text {lbf}}} {\ text {min}}} \ cdot {\ frac {\ text {hestekrefter}} {33 000 \ cdot {\ frac {{\ text {ft}} \ cdot {\ text {lbf}}} {\ text {min}}}}} \\ [6pt] og \ ca {\ frac {{\ text {dreiemoment}} \ cdot {\ text {RPM}}} {5,252} } \ end {align}}}$

fordi ${\ displaystyle 5252.113122 \ approx {\ frac {33,000} {2 \ pi}}. \,}$

Øyeblikkets prinsipp

Moments Principle, også kjent som Varignons teorem (for ikke å forveksle med den geometriske teoremet med samme navn) sier at summen av dreiemomenter på grunn av flere krefter påført et enkelt punkt er lik dreiemomentet på grunn av summen (resulterende ) av styrkene. Matematisk følger dette av:

${\ displaystyle (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {1})+(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {2})+\ cdots = \ mathbf {r} \ ganger (\ mathbf {F} _ {1}+\ mathbf {F} _ {2}+\ cdots).}$

Av dette følger det at hvis en svingbar stråle med null masse er balansert med to motsatte krefter da:

${\ displaystyle (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {1}) = (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} _ {2}).}$

Momentmultiplikator

Dreiemomentet kan multipliseres via tre metoder: ved å plassere støttepunktet slik at lengden på en spak økes; ved å bruke en lengre spak; eller ved bruk av et hastighetsreduserende gir eller girkasse . En slik mekanisme multipliserer dreiemoment, ettersom rotasjonshastigheten reduseres.

Se også

Referanser

Eksterne linker

• "Hestekrefter og dreiemoment" En artikkel som viser hvordan kraft, dreiemoment og gir gir innvirkning på kjøretøyets ytelse.
• "Torque vs. Horsepower: Yet Another Argument" Et bilperspektiv
• Dreiemoment og vinkelmoment i sirkulær bevegelse på prosjekt PHYSNET .
• En interaktiv simulering av dreiemoment
• Omformer for dreiemoment
• En følelse av dreiemoment En interaktiv størrelsesorden.