Overføringsfunksjon - Transfer function

I engineering er en overføringsfunksjon (også kjent som systemfunksjon eller nettverksfunksjon ) av et system, delsystem eller komponent en matematisk funksjon som teoretisk modellerer systemets utgang for hver mulig inngang. De er mye brukt i elektronikk og kontrollsystemer . I noen enkle tilfeller er denne funksjonen en todimensjonal graf over en uavhengig skalarinngang versus den avhengige skalarutgangen, kalt en overføringskurve eller karakteristisk kurve . Overføringsfunksjoner for komponenter brukes til å designe og analysere systemer som er satt sammen av komponenter, spesielt ved bruk av blokkdiagramteknikk , innen elektronikk og kontrollteori .

Dimensjonene og enhetene til overføringsfunksjonen modellerer enhetens utgangssvar for en rekke mulige innganger. For eksempel kan overføringsfunksjonen til en toports elektronisk krets som en forsterker være en todimensjonal graf over skalarspenningen ved utgangen som en funksjon av skalarspenningen som er påført inngangen; overføringsfunksjonen til en elektromekanisk aktuator kan være den mekaniske forskyvningen av den bevegelige armen som en funksjon av elektrisk strøm som tilføres enheten; overføringsfunksjonen til en fotodetektor kan være utgangsspenningen som en funksjon av lysintensiteten til innfallende lys av en gitt bølgelengde .

Begrepet "overføringsfunksjon" brukes også i frekvensdomeneanalysen av systemer ved bruk av transformasjonsmetoder som Laplace -transformasjonen ; her betyr det amplituden til utgangen som en funksjon av frekvensen til inngangssignalet. For eksempel er overføringsfunksjonen til et elektronisk filter spenningsamplituden ved utgangen som en funksjon av frekvensen til en sinusbølge med konstant amplitude påført inngangen. For optiske avbildningsinnretninger, den optiske overføringsfunksjonen er den Fourier-transformerte av punktspredefunksjonen (og dermed en funksjon av romlig frekvens ).

Lineære tidsinvariante systemer

Overføringsfunksjoner brukes ofte i analysen av systemer som single-input single-output filtre innen signalbehandling , kommunikasjonsteori og kontrollteori . Begrepet brukes ofte utelukkende for å referere til lineære time-invariant (LTI) systemer. De fleste virkelige systemer har ikke-lineære inngangs-/utgangskarakteristikker, men mange systemer, når de drives innenfor nominelle parametere (ikke "overdrevet"), har atferd nær nok til lineær at LTI-systemteorien er en akseptabel representasjon av input/output-oppførselen.

Beskrivelsene nedenfor er gitt i form av en kompleks variabel , som gir en kort forklaring. I mange applikasjoner er det tilstrekkelig å definere (dermed ), noe som reduserer Laplace -transformasjonene med komplekse argumenter til Fourier -transformasjoner med ekte argument ω. Søknadene der dette er vanlig, er applikasjoner der det bare er interesse for steady-state-respons fra et LTI-system, ikke den flyktige opp- og av-atferden eller stabilitetsproblemer. Det er vanligvis tilfellet for signalbehandling og kommunikasjonsteori . ${\ displaystyle s = \ sigma +j \ cdot \ omega}$${\ displaystyle \ sigma = 0}$${\ displaystyle s = j \ cdot \ omega}$

For inngangssignal og -utgang for kontinuerlig tid er således overføringsfunksjonen den lineære kartleggingen av Laplace-transformasjonen av inngangen , til Laplace-transformasjonen av utgangen : ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle H (s)}$${\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}$${\ displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}}$

${\ displaystyle Y (s) = H (s) \; X (s)}$

eller

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}} { {\ mathcal {L}} \ venstre \ {x (t) \ høyre \}}}}$.

I diskrete tidssystemer håndteres forholdet mellom et inngangssignal og utgang ved bruk av z-transformasjonen , og deretter skrives overføringsfunksjonen på samme måte som dette blir ofte referert til som pulsoverføringsfunksjonen. ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}}}$

Direkte avledning fra differensialligninger

Tenk på en lineær differensialligning med konstante koeffisienter

${\ displaystyle L [u] = {\ frac {d^{n} u} {dt^{n}}}+a_ {1} {\ frac {d^{n-1} u} {dt^{n -1}}}+\ dotsb+a_ {n-1} {\ frac {du} {dt}}+a_ {n} u = r (t)}$

hvor u og r er passende jevne funksjoner av t , og L er operatøren definert på det relevante funksjonsområdet, som forvandler u til r . Den slags ligning kan brukes til å begrense utgangsfunksjonen u i form av tvinge funksjonen r . Overføringsfunksjonen kan brukes til å definere en operator som fungerer som en høyre invers av L , noe som betyr at . ${\ displaystyle F [r] = u}$${\ displaystyle L [F [r]] = r}$

Oppløsninger av den homogene , med konstant koeffisient differensialligningen kan finnes ved å prøve . Denne substitusjonen gir det karakteristiske polynomet${\ displaystyle L [u] = 0}$${\ displaystyle u = e^{\ lambda t}}$

${\ displaystyle p_ {L} (\ lambda) = \ lambda ^{n} +a_ {1} \ lambda ^{n-1} +\ dotsb +a_ {n-1} \ lambda +a_ {n} \, }$

Det inhomogene tilfellet kan lett løses hvis inndatafunksjonen r også har formen . I så fall finner du det hvis vi definerer ved å erstatte${\ displaystyle r (t) = e^{st}}$${\ displaystyle u = H (s) e^{st}}$${\ displaystyle L [H (s) e^{st}] = e^{st}}$

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {p_ {L} (s)}} \ qquad {\ text {wherever}} \ quad p_ {L} (s) \ neq 0.}$

Å ta det som definisjonen av overføringsfunksjonen krever nøye disambiguering mellom komplekse vs reelle verdier, som tradisjonelt påvirkes av tolkningen av abs (H (s)) som gevinsten og -atan (H (s)) som faseforsinkelsen . Andre definisjoner av overføringsfunksjonen brukes: for eksempel${\ displaystyle 1/p_ {L} (ik).}$

Gevinst, forbigående oppførsel og stabilitet

En generell sinusformet inngang til et frekvenssystem kan skrives . Responsen til et system på en sinusformet inngang som begynner på tidspunktet vil bestå av summen av steady-state-responsen og en forbigående respons. Steady-state-responsen er systemets utgang i grensen for uendelig tid, og den forbigående responsen er forskjellen mellom responsen og steady-state-responsen (Den tilsvarer den homogene løsningen av differensiallikningen ovenfor.) Overføringsfunksjonen for et LTI -system kan skrives som produktet: ${\ displaystyle \ omega _ {0}/(2 \ pi)}$${\ displaystyle \ exp (j \ omega _ {0} t)}$${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle H (s) = \ prod _ {i = 1}^{N} {\ frac {1} {s-s_ {P_ {i}}}}}}$

hvor s _{P i} er N -røttene til det karakteristiske polynomet og vil derfor være polene i overføringsfunksjonen. Vurdere saken på en overføring funksjon med et enkelt pol der . Laplace -transformasjonen av en generell sinusoid av enhetsamplitude vil være . Laplace -transformasjonen av utgangen vil være og den tidsmessige outputen vil være den inverse Laplace -transformasjonen til den funksjonen: ${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {s-s_ {P}}}}$${\ displaystyle s_ {P} = \ sigma _ {P}+j \ omega _ {P}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {sj \ omega _ {i}}}}$${\ displaystyle {\ frac {H (s)} {(sj \ omega _ {0})}}}$

${\ displaystyle g (t) = {\ frac {e^{j \, \ omega _ {0} \, t} -e^{(\ sigma _ {P}+j \, \ omega _ {P}) t}} {-\ sigma _ {P}+j (\ omega _ {0}-\ omega _ {P})}}}$

Det andre uttrykket i telleren er den forbigående responsen, og i grensen for uendelig tid vil den avvike til uendelig hvis σ _P er positiv. For at et system skal være stabilt, må dets overføringsfunksjon ikke ha noen poler hvis virkelige deler er positive. Hvis overføringsfunksjonen er strengt stabil, vil de virkelige delene av alle polene være negative, og den forbigående atferden vil ha en tendens til å null i grensen for uendelig tid. Steady-state-utgangen vil være:

${\ displaystyle g (\ infty) = {\ frac {e^{j \, \ omega _ {0} \, t}} {-\ sigma _ {P}+j (\ omega _ {0}-\ omega _ {P})}}}}$

Den frekvensrespons (eller "gevinst") G av systemet er definert som den absolutte verdi av forholdet mellom utgangsamplituden til steady-state inngangsamplituden:

${\ displaystyle G (\ omega _ {i}) = \ left | {\ frac {1} {-\ sigma _ {P}+j (\ omega _ {0}-\ omega _ {P})}}} \ høyre | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma _ {P}^{2}+(\ omega _ {P}-\ omega _ {0})^{2}}}}}$

som bare er den absolutte verdien av overføringsfunksjonen evaluert til . Dette resultatet kan vises for å være gyldig for et hvilket som helst antall overføringsfunksjonspoler. ${\ displaystyle H (s)}$${\ displaystyle j \ omega _ {i}}$

Signal Prosessering

La være inngangen til et generelt lineært tidsinvariant system , og være utgangen, og den bilaterale Laplace-transformasjonen av og være ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} X (s) & = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x (t) e^{-st} \, dt, \\ Y (s) & = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {-\ infty}^{\ infty} y (t) e^{-st} \, dt. \ end { justert}}}$

Deretter er utgangen relatert til inngangen av overføringsfunksjonen som ${\ displaystyle H (s)}$

${\ displaystyle Y (s) = H (s) X (s)}$

og selve overføringsfunksjonen er derfor

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}$

Spesielt hvis et komplekst harmonisk signal med en sinusformet komponent med amplitude , vinkelfrekvens og fase , hvor arg er argumentet${\ displaystyle | X |}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ arg (X)}$

${\ displaystyle x (t) = Xe^{j \ omega t} = | X | e^{j (\ omega t+\ arg (X))}}}$

hvor ${\ displaystyle X = | X | e^{j \ arg (X)}}$

er inngang til et lineært tidsinvariant system, så er den tilsvarende komponenten i utgangen:

${\ displaystyle {\ begin {justert} y (t) & = Ye^{j \ omega t} = | Y | e^{j (\ omega t+\ arg (Y))}, \\ Y & = | Y | e^{j \ arg (Y)}. \ end {justert}}}$

Vær oppmerksom på at inngangsfrekvensen i et lineært tidsinvariant system ikke har endret seg, bare amplituden og fasevinkelen til sinusformet har blitt endret av systemet. Den frekvensrespons beskriver denne endringen for hver frekvens i form av gevinst : ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle H (j \ omega)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (j \ omega) |}$

og faseskift :

${\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ arg (Y)-\ arg (X) = \ arg (H (j \ omega)).}$

Den faseforsinkelse (dvs. det frekvensavhengige mengden av forsinkelse som innføres til sinuskurven ved overføringsfunksjonen) er:

${\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) =-{\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}}.}$

Den gruppeforsinkelse (dvs. det frekvensavhengige mengden av forsinkelse som innføres til innhyllningskurven av sinuskurven ved overføringsfunksjonen) er funnet ved å beregne den deriverte av faseforskyvning i forhold til vinkelfrekvensen , ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) =-{\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}.}$

Overføringsfunksjonen kan også vises ved hjelp av Fourier -transformasjonen, som bare er et spesielt tilfelle av den bilaterale Laplace -transformasjonen for saken hvor . ${\ displaystyle s = j \ omega}$

Vanlige familier med overføringsfunksjoner

Selv om et hvilket som helst LTI -system kan beskrives med en eller annen overføringsfunksjon, er det visse "familier" av spesielle overføringsfunksjoner som ofte brukes.

Noen vanlige overføringsfunksjonsfamilier og deres spesielle egenskaper er:

• Butterworth -filter  - maksimalt flatt i passbånd og stoppbånd for den gitte ordren
• Chebyshev -filter (type I)  - maksimalt flatt i stoppbånd, skarpere cutoff enn et Butterworth -filter av samme rekkefølge
• Chebyshev -filter (Type II)  - maksimalt flatt i passbånd, skarpere cutoff enn et Butterworth -filter av samme rekkefølge
• Bessel -filter  - beste pulsrespons for en gitt rekkefølge fordi den ikke har noen gruppeforsinkelse
• Elliptisk filter  - skarpeste cutoff (smaleste overgang mellom passbånd og stoppbånd) for den gitte rekkefølgen
• Optimal "L" filter
• Gaussisk filter  - minimum gruppeforsinkelse; gir ingen overskridelse til en trinnfunksjon
• Timeglassfilter
• Hevet-cosinus-filter

Kontrollteknikk

I kontrollteknikk og kontrollteori er overføringsfunksjonen avledet ved bruk av Laplace -transformasjonen .

Overføringsfunksjonen var det viktigste verktøyet som ble brukt i klassisk kontrollteknikk. Imidlertid har det vist seg å være uhåndterlig for analyse av multiple-input multiple-output (MIMO) systemer , og har i stor grad blitt erstattet av statlige romrepresentasjoner for slike systemer. Til tross for dette kan en overføringsmatrise alltid oppnås for ethvert lineært system for å analysere dens dynamikk og andre egenskaper: hvert element i en overføringsmatrise er en overføringsfunksjon som relaterer en bestemt inngangsvariabel til en utgangsvariabel.

En nyttig representasjon som bygger bro mellom statsrom og overføringsfunksjonsmetoder ble foreslått av Howard H. Rosenbrock og blir referert til som Rosenbrock systemmatrise .

Optikk

I optikk indikerer modulasjonsoverføringsfunksjon evnen til optisk kontrastoverføring.

Når du for eksempel observerer en serie med svart-hvitt-lys frynser tegnet med en spesifikk romlig frekvens, kan bildekvaliteten forfalle. Hvite utkant blekner mens de svarte blir lysere.

Modulasjonsoverføringsfunksjonen i en bestemt romlig frekvens er definert av

${\ displaystyle \ mathrm {MTF} (f) = {\ frac {M (\ mathrm {image})} {M (\ mathrm {source})}}},}$

hvor modulasjon (M) beregnes ut fra følgende bilde eller lysstyrke:

${\ displaystyle M = {\ frac {L _ {\ max} -L _ {\ min}} {L _ {\ max}+L _ {\ min}}}.}$

Imaging

I bildebehandling brukes overføringsfunksjoner til å beskrive forholdet mellom scenelyset, bildesignalet og det viste lyset.

Ikke-lineære systemer

Overføringsfunksjoner eksisterer ikke riktig for mange ikke-lineære systemer . For eksempel eksisterer de ikke for avslapningsoscillatorer ; Imidlertid kan beskrivende funksjoner noen ganger brukes til å tilnærme slike ikke-lineære tidsinvariante systemer.

Se også

Referanser

Eksterne linker

• ECE 209: Gjennomgang av kretser som LTI -systemer - Kort primer om matematisk analyse av (elektriske) LTI -systemer.