Oversettelse av axes - Translation of axes
I matematikk er en oversettelse av akser i to dimensjoner en kartlegging fra et xy - kartesisk koordinatsystem til et x'y ' - kartesisk koordinatsystem der x' aksen er parallell med x -aksen og k enheter unna, og y ' aksen er parallell med y -aksen og h enheter unna. Dette betyr at opprinnelsen O ' til det nye koordinatsystemet har koordinater ( h , k ) i det opprinnelige systemet. De positive x- og y -retningene er de samme som de positive x- og y -retningene. Et punkt P har koordinater ( x , y ) i forhold til det opprinnelige systemet og koordinater ( x ' , y' ) med hensyn til det nye systemet, hvor
-
og
( 1 )
eller tilsvarende
-
og
( 2 )
I det nye koordinatsystemet vil punktet P synes å ha blitt oversatt i motsatt retning. For eksempel, hvis xy -systemet er oversatt en avstand h til høyre og en avstand k oppover, ser det ut til at P har blitt oversatt en avstand h til venstre og en avstand k nedover i x'y '-systemet . En oversettelse av akser i mer enn to dimensjoner er definert på samme måte. En oversettelse av akser er en stiv transformasjon , men ikke et lineært kart . (Se Affine -transformasjon .)
Motivasjon
Koordinering systemer er avgjørende for å studere ligninger av kurvene ved hjelp av fremgangsmåtene ifølge analytisk geometri . For å bruke metoden for koordinatgeometri, plasseres aksene i en praktisk posisjon med hensyn til kurven som vurderes. For eksempel, for å studere ligningene for ellipser og hyperboler , er fokiene vanligvis plassert på en av aksene og ligger symmetrisk med hensyn til opprinnelsen. Hvis kurven (hyperbola, parabel , ellipse, etc.) ikke er beleilig plassert i forhold til aksene, bør koordinatsystemet endres for å plassere kurven på et praktisk og kjent sted og orientering. Prosessen med å gjøre denne endringen kalles en transformasjon av koordinater .
Løsningene på mange problemer kan forenkles ved å oversette koordinataksene for å få nye aksler parallelle med de originale.
Oversettelse av kjeglesnitt
Gjennom en endring av koordinater kan ligningen av en kjeglesnitt settes inn i en standardform , som vanligvis er lettere å jobbe med. For den mest generelle ligningen for andre grad er det alltid mulig å utføre en rotasjon av akser på en slik måte at i det nye systemet har ligningen form
-
( og ikke begge null);
( 3 )
det vil si at det ikke er et xy -begrep . Deretter kan en oversettelse av akser redusere en ligning av formen ( 3 ) til en ligning av samme form, men med nye variabler ( x ' , y' ) som koordinater, og med D og E begge lik null (med visse unntak) - for eksempel paraboler). Hovedverktøyet i denne prosessen er "å fullføre kvadratet." I eksemplene som følger, antas det at en rotasjon av akser allerede er utført.
Eksempel 1
Gitt ligningen
ved å bruke en oversettelse av akser, avgjøre om ligusets lokus er en parabel, ellipse eller hyperbola. Bestem fokus (eller fokus), hjørner (eller toppunkt) og eksentrisitet .
Løsning: For å fullføre firkanten i x og y , skriv ligningen i skjemaet
Fullfør rutene og få
Definere
- og
Det vil si at oversettelsen i ligninger ( 2 ) er laget med Likningen i det nye koordinatsystemet er
-
( 4 )
Del ligning ( 4 ) med 225 for å oppnå
som er gjenkjennelig som en ellipse med I x'y '-systemet har vi: sentrum ; hjørner ; foci
I xy -systemet, bruk relasjonene for å få: center ; hjørner ; foci ; eksentrisitet
Generalisering til flere dimensjoner
For et xyz -kartesisk koordinatsystem i tre dimensjoner, anta at et andre kartesisk koordinatsystem blir introdusert, med aksene x ' , y' og z ' så plassert at x' -aksen er parallell med x -aksen og h enheter fra den, den y ' akse er parallell med y- aksen og k enheter fra den, og den z' aksen er parallell med z -aksen og l heter fra det. Et punkt P i rommet vil ha koordinater i begge systemene. Hvis koordinatene er ( x , y , z ) i det originale systemet og ( x ' , y' , z ' ) i det andre systemet, vil ligningene
-
( 5 )
holde. Likninger ( 5 ) definerer en oversettelse av akser i tre dimensjoner der ( h , k , l ) er xyz -koordinatene til den nye opprinnelsen. En oversettelse av akser i et begrenset antall dimensjoner er definert på samme måte.
Oversettelse av kvadriske overflater
I tre-mellomrom har den mest generelle ligningen for andre grad i x , y og z formen
-
( 6 )
hvor mengdene er positive eller negative tall eller null. Punktene i rommet som tilfredsstiller en slik ligning ligger alle på en overflate . Enhver graders ligning som ikke reduseres til en sylinder, et plan, en linje eller et punkt, tilsvarer en overflate som kalles kvadrisk.
Som i tilfelle av plananalytisk geometri, kan metoden for oversettelse av akser brukes for å forenkle andengradsligninger, og derved tydeliggjøre arten til visse kvadriske overflater. Hovedverktøyet i denne prosessen er "å fullføre firkanten."
Eksempel 2
Bruk en oversettelse av koordinater for å identifisere den kvadriske overflaten
Løsning: Skriv ligningen i skjemaet
Fullfør firkanten for å få
Introduser oversettelsen av koordinater
Overflatets ligning tar form
som er gjenkjennelig som ligningen til en ellipsoid .
Se også
Merknader
- ^ Anton (1987 , s. 107)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 315)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 585–588)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 314–315)
- ^ Anton (1987 , s. 107)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 322)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 316)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 316–317)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 585–586)
- ^ Anton (1987 , s. 107)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 579)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 586)
- ^ Protter & Morrey (1970 , s. 586)
Referanser
- Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5. utg.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
- Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2. utg.), Reading: Addison-Wesley , LCCN 76087042