Trapes -Trapezoid

Trapes (AmE) Trapes (BrE)
Trapes eller trapes
Type	firkant
Kanter og topper	4
Område	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}h}$
Egenskaper	konveks

På engelsk utenfor Nord-Amerika omtales en konveks firkant i euklidisk geometri , med minst ett par parallelle sider, som et trapes ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ); på amerikansk og kanadisk engelsk blir dette vanligvis referert til som en trapes ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ). De parallelle sidene kalles baseneav trapesen. De to andre sidene kalles bena (eller sidesidene ) hvis de ikke er parallelle; ellers er trapeset et parallellogram, og det er to par baser). En scalene trapes er en trapes uten sider av samme mål, i motsetning til de spesielle tilfellene nedenfor.

Etymologi og trapes vs trapes

Den antikke greske matematikeren Euclid definerte fem typer firkanter, hvorav fire hadde to sett med parallelle sider (kjent på engelsk som kvadrat, rektangel, rombe og romboid) og den siste ikke hadde to sett med parallelle sider - en τραπέζια ( trapesi bokstavelig talt " et bord", selv fra τετράς ( tetrás ), "fire" + πέζα ( péza ), "en fot; ende, kant, kant").

To typer trapesier ble introdusert av Proclus (412 til 485 e.Kr.) i hans kommentar til den første boken av Euklids elementer :

• ett par parallelle sider - et trapes (τραπέζιον), delt inn i likebente (like ben) og skala (ulik) trapeser
• ingen parallelle sider – trapes (τραπεζοειδή, trapezoeidé , bokstavelig talt trapeslignende ( εἶδος betyr "likner"), på samme måte som kuboid betyr terninglignende og romboid betyr rombelignende )

Alle europeiske språk følger Procluss struktur som engelsk frem til slutten av 1700-tallet, inntil en innflytelsesrik matematisk ordbok utgitt av Charles Hutton i 1795 støttet uten forklaring en transponering av begrepene. Denne feilen ble rettet på britisk engelsk i ca 1875, men ble beholdt på amerikansk engelsk inn i moderne tid.

Type	Bilde	Original terminologi			Moderne terminologi
		Euklid (definisjon 22)	Proclus (definisjoner 30-34, siterer Posidonius)	Euklid / Proclus definisjon	Britisk engelsk (og europeiske språk)	amerikansk engelsk
Parallelogram		ῥόμβος (romboer)		likesidet, men ikke rettvinklet	Rombe		Trapez oid (inkludert)
		ῥομβοειδὲς (romboider)		motsatte sider og vinkler lik hverandre, men ikke likesidet eller rettvinklet	Rhomboid (i daglig tale parallellogram)
Ikke-parallelogram		τραπέζια (trapesi)	τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( trapez ion isoskelés )	To parallelle sider, og en symmetrilinje	Trapes ium	Trapez oid (eksklusiv)
			τραπέζιον σκαληνὸν ( trapez ion skalinón )	To parallelle sider, og ingen symmetrilinje
			τραπέζοειδὲς ( trapez oides )	Ingen parallelle sider	Trapez oid	Trapes ium

Denne artikkelen bruker begrepet trapes i den forstand som er gjeldende i USA og Canada. Formen kalles ofte en uregelmessig firkant.

Inkluderende vs eksklusiv definisjon

Det er en viss uenighet om parallellogrammer , som har to par parallelle sider, skal betraktes som trapeser. Noen definerer en trapes som en firkant som bare har ett par parallelle sider (den eksklusive definisjonen), og ekskluderer dermed parallellogrammer. Andre definerer en trapes som en firkant med minst ett par parallelle sider (den inkluderende definisjonen), noe som gjør parallellogrammet til en spesiell type trapes. Sistnevnte definisjon er i samsvar med dens bruk i høyere matematikk som kalkulus . Denne artikkelen bruker den inkluderende definisjonen og vurderer parallellogrammer som spesielle tilfeller av en trapes. Dette er også forfektet i taksonomien til firkanter .

Under den inkluderende definisjonen er alle parallellogrammer (inkludert romber , rektangler og firkanter ) trapeser. Rektangler har speilsymmetri på midtkantene; romber har speilsymmetri på toppunkter, mens firkanter har speilsymmetri på både midtkanter og toppunkter.

Spesielle tilfeller

En rett trapes (også kalt rettvinklet trapes ) har to tilstøtende rette vinkler . Høyre trapeser brukes i trapesregelen for å estimere arealer under en kurve.

En spiss trapes har to tilstøtende spisse vinkler på sin lengre basekant , mens en stump trapes har en spiss og en stump vinkel på hver base .

En likebenet trapes er en trapes hvor grunnvinklene har samme mål. Som en konsekvens er de to bena også like lange og har refleksjonssymmetri . Dette er mulig for akutte trapeser eller høyre trapeser (rektangler).

Et parallellogram er en trapes med to par parallelle sider. Et parallellogram har sentral 2-fold rotasjonssymmetri (eller punktrefleksjonssymmetri ). Det er mulig for stumpe trapeser eller høyre trapeser (rektangler).

En tangentiell trapes er en trapes som har en insirkel .

En Saccheri-firekant ligner på en trapes i det hyperbolske planet, med to tilstøtende rette vinkler, mens det er et rektangel i det euklidiske planet. En Lambert-firkant i det hyperbolske planet har 3 rette vinkler.

Tilstand for eksistens

Fire lengder a , c , b , d kan utgjøre de påfølgende sidene av en ikke-parallellogram trapes med a og b parallelle bare når

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

Firkanten er et parallellogram når , men det er en eks-tangensiell firkant (som ikke er en trapes) når . ${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

Karakteriseringer

Gitt en konveks firkant, er følgende egenskaper ekvivalente, og hver antyder at firkanten er en trapes:

• Den har to tilstøtende vinkler som er supplerende , det vil si at de legger opp til 180 grader .
• Vinkelen mellom en side og en diagonal er lik vinkelen mellom motsatt side og samme diagonal.
• Diagonalene skjærer hverandre i innbyrdes samme forhold (dette forholdet er det samme som mellom lengdene på de parallelle sidene).
• Diagonalene kutter firkanten i fire trekanter hvorav ett motstående par har like store arealer.
• Produktet av arealene til de to trekantene dannet av en diagonal er lik produktet av arealene til de to trekantene dannet av den andre diagonalen.
• Arealene S og T til to motstående trekanter av de fire trekantene dannet av diagonalene tilfredsstiller ligningen

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

hvor K er arealet av firkanten.

• Midtpunktene til to motsatte sider og skjæringspunktet mellom diagonalene er kollineære .
• Vinklene i firkanten ABCD tilfredsstiller${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Cosinusene til to tilstøtende vinkler summerer til 0, det samme gjør cosinusene til de to andre vinklene.
• Kotangensene til to tilstøtende vinkler summerer til 0, det samme gjør kotangensene til de to andre tilstøtende vinklene.
• En bimedian deler firkanten i to firkanter med like store arealer.
• To ganger lengden av bimedianen som forbinder midtpunktene til to motsatte sider, er lik summen av lengdene til de andre sidene.

I tillegg er følgende egenskaper ekvivalente, og hver innebærer at motsatte sider a og b er parallelle:

• De påfølgende sidene a , c , b , d og diagonalene p , q tilfredsstiller ligningen

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• Avstanden v mellom midtpunktene til diagonalene tilfredsstiller ligningen

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

Midtsegment og høyde

Midtsegmentet (også kalt median eller midtlinje) til en trapes er segmentet som forbinder benas midtpunkter . Den er parallell med basene. Lengden m er lik gjennomsnittet av lengdene til basene a og b i trapesen,

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

Midtsegmentet til en trapes er en av de to bimedianene (den andre bimedianen deler trapesen i like områder).

Høyden (eller høyden) er den vinkelrette avstanden mellom basene. I tilfelle de to basene har forskjellige lengder ( a ≠ b ), kan høyden til en trapes h bestemmes av lengden på dens fire sider ved å bruke formelen

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}{2| ba|}}}$

hvor c og d er lengdene på bena.

Område

Arealet K av en trapes er gitt ved

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

der a og b er lengdene til de parallelle sidene, h er høyden (den vinkelrette avstanden mellom disse sidene), og m er det aritmetiske gjennomsnittet av lengdene til de to parallelle sidene. I 499 e.Kr. brukte Aryabhata , en stor matematiker - astronom fra den klassiske tidsalderen for indisk matematikk og indisk astronomi , denne metoden i Aryabhatiya (avsnitt 2.8). Dette gir som et spesialtilfelle den velkjente formelen for arealet av en trekant , ved å betrakte en trekant som en degenerert trapes der en av de parallelle sidene har krympet til et punkt.

Den indiske matematikeren Bhāskara I fra 700-tallet utledet følgende formel for arealet til en trapes med påfølgende sider a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$

hvor a og b er parallelle og b > a . Denne formelen kan tas med i en mer symmetrisk versjon

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd) (ab-c+d)}}.}$

Når en av de parallelle sidene har krympet til et punkt (si a = 0), reduseres denne formelen til Herons formel for arealet av en trekant.

En annen ekvivalent formel for området, som ligner mer på Herons formel, er

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}},}$

hvor er halvperimeteren til trapesen. (Denne formelen ligner på Brahmaguptas formel , men den skiller seg fra den ved at en trapes kanskje ikke er syklisk (innskrevet i en sirkel). Formelen er også et spesialtilfelle av Bretschneiders formel for en generell firkant ). ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Av Bretschneiders formel følger det det

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2 }b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\venstre({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{ 2}-b^{2}}{4}}\høyre)^{2}}}.}$

Linjen som forbinder midtpunktene til de parallelle sidene, halverer området.

Diagonaler

Lengden på diagonalene er

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}}$

der a er den korte basen, b er den lange basen, og c og d er de trapesformede bena.

Hvis trapesen er delt inn i fire trekanter med diagonalene AC og BD (som vist til høyre), som skjærer hverandre ved O , så er arealet av AOD lik arealet til BOC , og produktet av arealene til AOD og BOC er likt til AOB og COD . Forholdet mellom arealene til hvert par av tilstøtende trekanter er det samme som mellom lengdene på de parallelle sidene. ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

La trapesen ha toppunktene A , B , C og D i rekkefølge og ha parallelle sider AB og DC . La E være skjæringspunktet mellom diagonalene, og la F være på siden DA og G være på siden BC slik at FEG er parallell med AB og CD . Da er FG det harmoniske gjennomsnittet av AB og DC :

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right ).}$

Linjen som går gjennom både skjæringspunktet til de utvidede ikke-parallelle sidene og skjæringspunktet til diagonalene, halverer hver base.

Andre eiendommer

Områdesenteret (massesenter for en jevn lamina ) ligger langs linjestykket som forbinder midtpunktene til de parallelle sidene, i en vinkelrett avstand x fra den lengre siden b gitt av

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

Områdets sentrum deler dette segmentet i forholdet (når tatt fra kortsiden til langsiden)

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Hvis vinkelhalveringslinjene til vinklene A og B skjærer ved P , og vinkelhalveringslinjene til vinklene C og D skjærer ved Q , så

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

applikasjoner

Arkitektur

I arkitektur brukes ordet for å referere til symmetriske dører, vinduer og bygninger bygget bredere ved bunnen, avsmalnende mot toppen, i egyptisk stil. Hvis disse har rette sider og skarpe kantete hjørner, er formene deres vanligvis likebenede trapeser . Dette var standard stilen for dører og vinduer til inkaene .

Geometri

Problemet med kryssede stiger er problemet med å finne avstanden mellom de parallelle sidene til en høyre trapes, gitt de diagonale lengdene og avstanden fra det vinkelrette benet til det diagonale skjæringspunktet.

Biologi

I morfologi , taksonomi og andre beskrivende disipliner der en term for slike former er nødvendig, er termer som trapes eller trapesform ofte nyttige i beskrivelser av bestemte organer eller former.

Datateknikk

I datateknikk, spesielt digital logikk og dataarkitektur, brukes trapeser vanligvis for å symbolisere multipleksorer . Multipleksere er logiske elementer som velger mellom flere elementer og produserer en enkelt utgang basert på et valgt signal. Typiske design vil bruke trapeser uten spesifikt å oppgi at de er multipleksere, da de er universelt ekvivalente.

Se også

• Høflig tall , også kjent som et trapesformet tall
• Wedge , et polyeder definert av to trekanter og tre trapesformede flater.

Referanser

Videre lesning

• D. Fraivert, A. Sigler og M. Stupel: Vanlige egenskaper for trapeser og konvekse firkanter

Eksterne linker

• Trapesium ved Encyclopedia of Mathematics .
• Weisstein, Eric W. "Høyre trapes" . MathWorld .
• Trapesdefinisjon   Areal av en trapes   Median av en trapes Med interaktive animasjoner
• Trapes (Nord-Amerika) på elsy.at: Animert kurs (konstruksjon, omkrets, område)
• Trapesformet regel om numeriske metoder for stengel undergraduate
• Autar Kaw og E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications , (2008)