Vlasov ligning - Vlasov equation

Den Vlasov ligning er en differensialligning som beskriver tidsutviklingen av fordelingsfunksjonen av plasma som består av ladede partikler med en langtrekkende interaksjonen, f.eks Coulomb . Ligningen ble først foreslått for beskrivelse av plasma av Anatoly Vlasov i 1938 og senere diskutert av ham i detalj i en monografi.

Vanskeligheter med standard kinetisk tilnærming

For det første argumenterer Vlasov for at den kinetiske standardmetoden basert på Boltzmann-ligningen har vanskeligheter når den brukes på en beskrivelse av plasmaet med langdistanse Coulomb-interaksjon . Han nevner følgende problemer som oppstår ved bruk av den kinetiske teorien basert på parkollisjoner på plasmadynamikk:

1. Teorien om parkollisjoner er uenig i oppdagelsen av Rayleigh , Irving Langmuir og Lewi Tonks om naturlige vibrasjoner i elektronplasma.
2. Teori om parkollisjoner er formelt ikke aktuelt for Coulomb -interaksjon på grunn av avvik fra de kinetiske begrepene.
3. Teori om parkollisjoner kan ikke forklare eksperimenter av Harrison Merrill og Harold Webb om avvikende elektronspredning i gassformig plasma.

Vlasov antyder at disse vanskelighetene stammer fra Coulomb-interaksjonens lange rekkevidde. Han starter med den kollisjonsfrie Boltzmann -ligningen (noen ganger kalt Vlasov -ligningen, anakronistisk i denne sammenhengen), i generaliserte koordinater :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)} {\ operatorname {d} t}} = 0,}$

eksplisitt en PDE :

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}}+{\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partial \ mathbf {r}}}+{\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {p}}} = 0,}$

og tilpasset det til et plasma, noe som førte til likningssystemene vist nedenfor. Her er f en generell fordelingsfunksjon for partikler med momentum p ved koordinater r og gitt tid t . Vær oppmerksom på at begrepet er kraften F som virker på partikkelen. ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}}}$

Vlasov - Maxwell ligningssystem (gaussiske enheter)

I stedet for kollisjonsbasert kinetisk beskrivelse for interaksjon av ladede partikler i plasma, bruker Vlasov et selvkonsistent kollektivt felt som er opprettet av de ladede plasmapartiklene. En slik beskrivelse bruker fordelingsfunksjoner og for elektroner og (positive) plasmaioner . Fordelingsfunksjonen for art α beskriver antall partikler av arten α som har omtrent momentum nær posisjonen på tidspunktet t . I stedet for Boltzmann -ligningen ble følgende ligningssystem foreslått for beskrivelse av ladede plasmakomponenter (elektroner og positive ioner): ${\ displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ displaystyle f _ {\ alpha} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ frac {\ partiell f_ {e}} {\ delvis t}}+\ mathbf {v} _ {e} \ cdot \ nabla f_ {e} &-e \ venstre ( \ mathbf {E} +{\ frac {\ mathbf {v_ {e}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ frac {\ partiell f_ {e}} {\ partiell \ mathbf {p}}} = 0 \\ {\ frac {\ partiell f_ {i}} {\ delvis t}}+\ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ nabla f_ {i} &+Z_ {i } e \ venstre (\ mathbf {E} +{\ frac {\ mathbf {v_ {i}}} {c}} \ ganger \ mathbf {B} \ høyre) \ cdot {\ frac {\ delvis f_ {i} } {\ partial \ mathbf {p}}} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = {\ frac {4 \ pi \ mathbf {j}} {c}}+{\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partiell \ mathbf {E}} {\ delvis t}} \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & =-{\ frac {1} {c}} {\ frac { \ delvis \ mathbf {B}} {\ delvis t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 4 \ pi \ rho \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ ende {justert}}}$

${\ displaystyle \ rho = e \ int (Z_ {i} f_ {i} -f_ {e}) d^{3} p, \ quad \ mathbf {j} = e \ int (Z_ {i} f_ {i } \ mathbf {v} _ {i} -f_ {e} \ mathbf {v} _ {e}) d^{3} p, \ quad \ mathbf {v} _ {\ alpha} = {\ frac {\ frac {\ mathbf {p}} {m _ {\ alpha}}} {\ venstre (1+{\ frac {p^{2}} {(m _ {\ alpha} c)^{2}}} \ høyre) ^{1/2}}}}$

Her er e den elementære ladningen ( ), c er lysets hastighet , m _i er massen til ionet, og representerer et kollektivt, selvkonsistent elektromagnetisk felt som er opprettet i punktet på tidspunktet t av alle plasmapartikler. Den vesentlige forskjellen mellom dette ligningssystemet fra ligninger for partikler i et eksternt elektromagnetisk felt er at det selvkonsistente elektromagnetiske feltet på en kompleks måte avhenger av fordelingsfunksjonene til elektroner og ioner og . ${\ displaystyle e> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$

Vlasov – Poisson -ligningen

Vlasov-Poisson-ligningene er en tilnærming til Vlasov-Maxwell-ligningene i den ikke-relativistiske null-magnetiske feltgrensen:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f _ {\ alpha}} {\ delvis t}}+\ mathbf {v} _ {\ alpha} \ cdot {\ frac {\ delvis f _ {\ alpha}} {\ delvis \ mathbf {x}}}+{\ frac {q _ {\ alpha} \ mathbf {E}} {m _ {\ alpha}}} \ cdot {\ frac {\ partiell f _ {\ alpha}} {\ partiell \ mathbf { v}}} = 0,}$

og Poissons ligning for selvkonsistent elektrisk felt:

${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ phi +\ rho = 0.}$

Her er q _α partikkelens elektriske ladning, m _α er partikkelmassen, er det selvkonsistente elektriske feltet , det selvkonsistente elektriske potensialet og ρ er den elektriske ladningstettheten . ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}$${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t)}$

Vlasov – Poisson-ligninger brukes til å beskrive forskjellige fenomener i plasma, spesielt Landau-demping og fordelingen i et dobbeltlagsplasma , der de nødvendigvis er sterkt ikke- Maxwelliske , og derfor utilgjengelige for væskemodeller.

Momentlikninger

I væskebeskrivelser av plasma (se plasmamodellering og magnetohydrodynamikk (MHD)) tar man ikke hensyn til hastighetsfordelingen. Dette oppnås ved å erstatte med plasmamomenter som talltetthet n , strømningshastighet u og trykk p . De kalles plasmamomenter fordi det n -th -øyeblikket kan bli funnet ved å integrere over hastighet. Disse variablene er bare funksjoner av posisjon og tid, noe som betyr at noe informasjon går tapt. I multifluid -teorien behandles de forskjellige partikkelartene som forskjellige væsker med forskjellige trykk, tettheter og strømningshastigheter. Likningene som regulerer plasmamomentene kalles øyeblikk eller væskeligninger. ${\ displaystyle f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v^{n} f}$

Nedenfor presenteres de to mest brukte momentlikningene (i SI -enheter ). Å avlede øyeblikkslikningene fra Vlasov -ligningen krever ingen forutsetninger om fordelingsfunksjonen.

Kontinuitetsligning

Kontinuitetsligningen beskriver hvordan tettheten endres med tiden. Den kan bli funnet ved integrering av Vlasov -ligningen over hele hastighetsrommet.

${\ displaystyle \ int {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} fd^{3} v = \ int \ left ({\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} f+ (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla _ {r}) f+(\ mathbf {a} \ cdot \ nabla _ {v}) f \ right) d^{3} v = 0}$

Etter noen beregninger ender man opp med

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} n+\ nabla \ cdot (n \ mathbf {u}) = 0.}$

Antall tetthet n , og momentum tetthet n u , er null og første ordens øyeblikk:

${\ displaystyle n = \ int fd^{3} v}$

${\ displaystyle n \ mathbf {u} = \ int \ mathbf {v} fd^{3} v}$

Momentum -ligning

Frekvensen for endring av momentum for en partikkel er gitt av Lorentz -ligningen:

${\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = q (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) }$

Ved å bruke denne ligningen og Vlasov -ligningen, blir momentumligningen for hver væske

${\ displaystyle mn {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ mathbf {u} =-\ nabla \ cdot {\ mathcal {P}} +qn \ mathbf {E} +qn \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}$,

hvor er trykktensoren. Det materiale derivatet er ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} = {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla.}$

Tryktensoren er definert som partikkelmassen ganger kovariansmatrisen til hastigheten:

${\ displaystyle p_ {ij} = m \ int (v_ {i} -u_ {i}) (v_ {j} -u_ {j}) fd^{3} v.}$

Den innfrosne tilnærmingen

Når det gjelder ideell MHD , kan plasma anses å være knyttet til magnetfeltlinjene når visse betingelser er oppfylt. Man sier ofte at magnetfeltlinjene er frosset ned i plasmaet. De innfrosne forholdene kan stammer fra Vlasov-ligningen.

Vi introduserer skalaene T, L og V for henholdsvis tid, distanse og hastighet. De representerer størrelsen på de forskjellige parameterne som gir store endringer i . Med det store mener vi det ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t}} T \ sim f \ quad \ venstre | {\ frac {\ delvis f} {\ delvis \ mathbf {r}}} \ høyre | L \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {v}}} \ høyre | V \ sim f.}$

Vi skriver da

${\ displaystyle t ^{\ prime} = {\ frac {t} {T}} \ quad \ mathbf {r} ^{\ prime} = {\ frac {\ mathbf {r}} {L}} \ quad \ mathbf {v} ^{\ prime} = {\ frac {\ mathbf {v}} {V}}.}$

Vlasov -ligningen kan nå skrives

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t ^{\ prime}}}+{\ frac {V} {L}} \ mathbf {v} ^{ \ prime} \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ delvis \ mathbf {r} ^{\ prime}}} +{\ frac {q} {mV}} (\ mathbf {E} +V \ mathbf { v} ^{\ prime} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {v} ^{\ prime}}} = 0.}$

Så langt er det ikke gjort tilnærminger. For å kunne fortsette vi satt , der er gyro frekvens og R er gyroradius . Ved å dividere med ω _g , får vi ${\ displaystyle V = R \ omega _ {g}}$${\ displaystyle \ omega _ {g} = qB/m}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {g} T}} {\ frac {\ partiell f} {\ delvis t^{\ prime}}}+{\ frac {R} {L}} \ mathbf {v} ^{\ prime} \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {r} ^{\ prime}}}+\ venstre ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB }}+\ mathbf {v} ^{\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {v} ^{\ prime}}} = 0}$

Hvis og , vil de to første begrepene være mye mindre enn siden og på grunn av definisjonene av T, L og V ovenfor. Siden det siste begrepet er av størrelsesorden , kan vi neglisjere de to første begrepene og skrive ${\ displaystyle 1/\ omega _ {g} \ ll T}$${\ displaystyle R \ ll L}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ delvis f/\ delvis t^{\ prime} \ sim f, v^{\ prime} \ lesssim 1}$${\ displaystyle \ delvis f/\ delvis \ mathbf {r} ^{\ prime} \ sim f}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB}}+\ mathbf {v} ^{\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ delvis \ mathbf {v} ^{\ prime}}} \ ca 0 \ Høyre pil (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ delvis \ mathbf {v}}} \ ca 0}$

Denne ligningen kan dekomponeres til et felt justert og en vinkelrett del:

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ |} {\ frac {\ partiell f} {\ delvis \ mathbf {v} _ {\ |}}}+(\ mathbf {E} _ {\ perp}+\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ ca 0}$

Det neste trinnet er å skrive , hvor ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0}+\ Delta \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ times \ mathbf {B} =-\ mathbf {E} _ {\ perp}}$

Det vil snart bli klart hvorfor dette gjøres. Med denne substitusjonen får vi

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ |} {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {v} _ {\ |}}}+(\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ ganger \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ delvis f} {\ delvis \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ ca 0}$

Hvis det parallelle elektriske feltet er lite,

${\ displaystyle (\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ partiell f} {\ partiell \ mathbf {v} _ {\ perp}}}} \ ca. 0}$

Denne ligningen betyr at fordelingen er gyrotrop. Gjennomsnittshastigheten til en gyrotropisk fordeling er null. Derfor er identisk med gjennomsnittshastigheten, u , og vi har ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} +\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ ca 0}$

For å oppsummere må gyroperioden og gyroradiusen være mye mindre enn de typiske tider og lengder som gir store endringer i distribusjonsfunksjonen. Gyroradiusen estimeres ofte ved å erstatte V med termisk hastighet eller Alfvén -hastigheten . I sistnevnte tilfelle kalles R ofte treghetslengden. Innfrosne forhold må evalueres for hver partikkelart separat. Fordi elektroner har mye mindre gyroperiode og gyroradius enn ioner, vil de innfrosne forholdene oftere være oppfylt.

Se også

• Liste over plasmafysikkartikler
• Fokker - Planck ligning

Referanser

Videre lesning

• Vlasov, AA (1961). "Teori om mange partikler og dens anvendelse på plasma". New York . Bibcode : 1961temc.book ..... V .