Wave ligning - Wave equation

En puls som går gjennom en streng med faste endepunkter som modellert av bølgelikningen.
Sfæriske bølger som kommer fra en punktkilde.
En løsning på 2D -bølgelikningen

Den bølgeligningen er en annen-ordens lineær differensialligning for beskrivelse av bølger -som de forekommer i klassiske fysikk -f.eks som mekaniske bølger (for eksempel vannbølger, lydbølger og seismiske bølger ) eller lys bølger. Det oppstår på områder som akustikk , elektromagnetikk og væskedynamikk . På grunn av at bølgeligningen i andre orden beskriver superposisjonen til en innkommende bølge og en utgående bølge (dvs. snarere et stående bølgefelt), kalles den også "Toveis bølge ligning" (derimot 1. ordens Enveis bølgeligning beskriver en enkelt bølge med forhåndsdefinert bølgeforplantningsretning og er mye lettere å løse på grunn av 1. ordens derivater).

Historisk sett ble problemet med en vibrerende streng som for et musikkinstrument studert av Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli og Joseph-Louis Lagrange . I 1746 oppdaget d'Alembert den endimensjonale bølgelikningen, og innen ti år oppdaget Euler den tredimensjonale bølgelikningen.

Introduksjon

(Toveis) bølgelikningen er en 2. ordens delvis differensialligning som beskriver bølger. Denne artikkelen fokuserer stort sett på skalarbølgelikningen som beskriver bølger i skalarer ved skalarfunksjoner u = u ( x 1 , x 2 , ..., x n ; t ) i en tidsvariabel t (en variabel som representerer tid) og en eller flere romlige variabler x 1 , x 2 , ..., x n (variable som representerer en posisjon i et rom som er under diskusjon) mens det er vektorbølgeligninger som beskriver bølger i vektorer slik som bølger til elektrisk felt, magnetfelt, og magnetisk vektorpotensial og elastiske bølger . Ved sammenligning med vektorbølgelikninger kan skalarbølgelegningen ses som et spesialtilfelle for vektorbølge -ligningene; i det kartesiske koordinatsystemet er skalarbølgeligningen ligningen som skal oppfylles av hver komponent (for hver koordinatakse, for eksempel x-komponenten for x-aksen) til en vektorbølge uten kilder til bølger i det vurderte domenet ( dvs. et mellomrom og tid). For eksempel, i det kartesiske koordinatsystemet, for som representasjon av en elektrisk vektorfeltbølge i fravær av bølgekilder, må hver koordinataksekomponent ( i = x , y eller z ) tilfredsstille skalarbølgelegningen. Andre løsninger for skalarbølgeligninger u er for fysiske mengder i skalarer som trykk i en væske eller gass, eller forskyvning , i en bestemt retning, av partikler av et vibrerende fast stoff vekk fra hvileposisjonene (likevekt).

Skalarbølgeligningen er

hvor c er en fast ikke-negativ reell koeffisient .

Ved å bruke notasjonene til Newtonsk mekanikk og vektorkalkulus , kan bølgelegningen skrives mer kompakt som

hvor dobbel prikk betegner dobbelt tidsderivat av u , er nabla -operatøren , og 2 = ∇ · ∇ er den (romlige) lapiske operatøren (ikke vektoren Laplacian):

En enda mer kompakt notasjon som noen ganger brukes i fysikk, leser enkelt

der alle operatører kombineres til d'Alembert -operatøren :

En løsning av denne ligningen kan være ganske komplisert, men den kan analyseres som en lineær kombinasjon av enkle løsninger som er sinusformede plane bølger med forskjellige formering og bølgelengder, men alle med samme forplantningshastighet c . Denne analysen er mulig fordi bølgelegningen er lineær ; slik at et multiplum av en løsning også er en løsning, og summen av to løsninger er igjen en løsning. Denne egenskapen kalles superposisjonsprinsippet i fysikk.

Bølgelegningen alene spesifiserer ikke en fysisk løsning; en unik løsning oppnås vanligvis ved å sette et problem med ytterligere betingelser, for eksempel startbetingelser , som foreskriver amplituden og fasen til bølgen. En annen viktig klasse problemer oppstår i lukkede rom spesifisert av grensebetingelser , for hvilke løsningene representerer stående bølger , eller harmoniske , analoge med harmonikken til musikkinstrumenter.

Bølgelegningen er det enkleste eksempelet på en hyperbolsk differensialligning . Den og dens modifikasjoner spiller grunnleggende roller i kontinuummekanikk , kvantemekanikk , plasmafysikk , generell relativitet , geofysikk og mange andre vitenskapelige og tekniske disipliner.

Wave -ligning i en romdimensjon

Den franske forskeren Jean-Baptiste le Rond d'Alembert oppdaget bølgelikningen i en romdimensjon.

Bølgelegningen i en romdimensjon kan skrives som følger:

Denne ligningen beskrives vanligvis som å ha bare en romdimensjon x , fordi den eneste andre uavhengige variabelen er tiden t . Likevel kan den avhengige variabelen u representere en andre romdimensjon, hvis for eksempel forskyvningen u finner sted i y -retning, som for en streng som er plassert i xy –planet .

Avledning av bølgelikningen

Bølgelegningen i en romdimensjon kan avledes i en rekke forskjellige fysiske innstillinger. Mest kjent kan den utledes for en streng som vibrerer i et todimensjonalt plan, hvor hvert av elementene trekkes i motsatte retninger av spenningskraften .

En annen fysisk setting for avledning av bølgelikningen i en romdimensjon benytter Hookes lov . I teorien om elastisitet er Hooke's Law en tilnærming for visse materialer, og sier at mengden som et materielt legeme deformeres med ( belastningen ) er lineært relatert til kraften som forårsaker deformasjonen ( spenningen ).

Fra Hookes lov

Bølgelegningen i det endimensjonale tilfellet kan avledes fra Hookes lov på følgende måte: forestill deg en rekke små vekter av masse m forbundet med massefrie fjærer med lengde h . Fjærene har en fjærkonstantk :

Array of masses.svg

Her måler den avhengige variabelen u ( x ) avstanden fra likevekten til massen som ligger på x , slik at u ( x ) i hovedsak måler størrelsen på en forstyrrelse (dvs. belastning) som beveger seg i et elastisk materiale. Kreftene som utøves på massen m på stedet x + h er:

Bevegelsesligningen for vekten på stedet x + h er gitt ved å likestille disse to kreftene:

der tidsavhengigheten til u ( x ) er blitt gjort eksplisitt.

Hvis vekten består av N -vekter fordelt jevnt over lengden L = Nh av total masse M = Nm , og den totale fjærkonstanten til matrisen K = k / N, kan vi skrive ligningen ovenfor som:

Å ta grensen N → ∞, h → 0 og anta jevnhet man får:

som er fra definisjonen av et andre derivat . KL 2 / M er kvadratet for forplantningshastigheten i dette spesielle tilfellet.

1-d stående bølge som en superposisjon av to bølger som beveger seg i motsatte retninger

Stresspuls i en bar

I tilfelle en spenningspuls som forplanter seg i lengderetningen gjennom en stang, fungerer stangen omtrent som et uendelig antall fjærer i serie og kan tas som en forlengelse av ligningen som er avledet for Hookes lov. En ensartet stang, dvs. med konstant tverrsnitt, laget av et lineært elastisk materiale har en stivhet K gitt av

Hvor A er tverrsnittsarealet og E er Youngs modul for materialet. Bølgelikningen blir

AL er lik volumet på stangen og derfor

hvor ρ er materialets tetthet. Bølgelegningen reduseres til

Hastigheten til en spenningsbølge i en stolpe er derfor E / ρ .

Generell løsning

Algebraisk tilnærming

Den endimensjonale bølgelegningen er uvanlig for en delvis differensialligning ved at en relativt enkel generell løsning kan bli funnet. Definere nye variabler:

endrer bølgelikningen til

som fører til den generelle løsningen

eller tilsvarende:

Med andre ord, løsninger av 1D bølgeligningen er summer av en høyre kjørefunksjon F og en venstre kjørefunksjon G . "Reise" betyr at formen til disse individuelle vilkårlige funksjonene med hensyn til x forblir konstant, men funksjonene blir oversatt til venstre og høyre med tiden med hastigheten c . Dette ble avledet av Jean le Rond d'Alembert .

En annen måte å komme frem til dette resultatet på er å merke seg at bølgelikningen kan "faktoriseres" i to enveis bølgelikninger :

Som et resultat, hvis vi definerer v slik,

deretter

Fra dette må v ha formen G ( x + ct ) , og av dette kan den riktige formen for hele løsningen u utledes. Ved siden av den matematiske nedbrytningen av 2. ordens bølgeligning kan enveis bølgelikningen også direkte avledes av impedansen.

For et innledende verdiproblem kan de vilkårlige funksjonene F og G bestemmes for å tilfredsstille innledende betingelser:

Resultatet er d'Alemberts formel :

I klassisk forstand hvis f ( x ) ∈ C k og g ( x ) ∈ C k −1u ( t , x ) ∈ C k . Bølgeformene F og G kan imidlertid også være generaliserte funksjoner, for eksempel delta-funksjonen. I så fall kan løsningen tolkes som en impuls som beveger seg til høyre eller venstre.

Den grunnleggende bølgelikningen er en lineær differensialligning, og den vil derfor følge superposisjonsprinsippet . Dette betyr at nettoforskyvningen forårsaket av to eller flere bølger er summen av forskyvningene som ville blitt forårsaket av hver bølge individuelt. I tillegg kan oppførselen til en bølge analyseres ved å dele bølgen opp i komponenter, f.eks. Bryter Fouriertransformen en bølge til sinusformede komponenter.

Egenmoder for flybølge

En annen måte å løse den endimensjonale bølgelegningen på er å først analysere frekvensens egenmoder . En såkalt eigenmode er en løsning som oscillerer i gang med en veldefinert konstant vinkelfrekvens ω , slik at den tidsmessige delen av bølgefunksjonen skjer i form e - iωt = cos ( wt ) - i sin ( cot ) , og amplituden er en funksjon f ( x ) av den romlige variabelen x , som gir en separasjon av variabler for bølgefunksjonen:

Dette gir en vanlig differensialligning for den romlige delen f ( x ) :

Derfor:

som nettopp er en egenverdi -ligning for f ( x ) , derav navnet egenmodus. Den har den velkjente plan bølge løsninger

med bølgetall k = ω / c .

Den totale bølgefunksjonen for denne egenmodus er da den lineære kombinasjonen

hvor komplekse tall A, B generelt avhenger av eventuelle innledende og grensebetingelser for problemet.

Eigenmoder er nyttige for å konstruere en fullstendig løsning på bølgelegningen, fordi hver av dem utvikler seg i tid trivielt med fasefaktoren . slik at en full løsning kan dekomponeres til en egenmodusutvidelse

eller når det gjelder planbølgene,

som er nøyaktig i samme form som i den algebraiske tilnærmingen. Funksjoner s ± ( ω ) er kjent som Fourier -komponenten og bestemmes av start- og grensebetingelser. Dette er en såkalt frekvens-domenemetode , alternativ til direkte tidsdomene forplantninger, for eksempel FDTD- metoden, for bølgepakken u ( x , t ) , som er komplett for å representere bølger i fravær av tidsutvidelser. Fullstendigheten til Fourier -ekspansjonen for å representere bølger i nærvær av tidsutvidelser har blitt utfordret av chirp -bølgeløsninger som muliggjør tidsvariasjon av ω . Chirp -bølgeløsningene virker spesielt underforstått av svært store, men tidligere uforklarlige radarrester i flyby -anomalien , og skiller seg fra de sinusformede løsningene ved å motta på hvilken som helst avstand bare ved proporsjonalt skiftede frekvenser og tidsutvidelser, som tilsvarer tidligere kvitringstilstander i kilden.

Skalarbølge -ligning i tre romdimensjoner

Sveitsisk matematiker og fysiker Leonhard Euler (f. 1707) oppdaget bølgelikningen i tre romdimensjoner.

En løsning på initialverdiproblemet for bølgelikningen i tre romdimensjoner kan fås fra den tilsvarende løsningen for en sfærisk bølge. Resultatet kan da også brukes til å oppnå den samme løsningen i to romdimensjoner.

Sfæriske bølger

Bølgelikningen kan løses ved hjelp av teknikken for separasjon av variabler . For å få en løsning med konstante frekvenser, la oss først Fourier-transformere bølgelegningen i tid som

Så vi får,

Dette er Helmholtz -ligningen og kan løses ved å separere variabler. Hvis sfæriske koordinater brukes til å beskrive et problem, blir løsningen på den vinklede delen av Helmholtz -ligningen gitt av sfæriske harmoniske og den radielle ligningen blir nå

Her er kω / c og den komplette løsningen nå gitt av

hvor h(1)
l
( kr )
og h(2)
l
( kr )
er de sfæriske Hankel -funksjonene .

Eksempel

For å få en bedre forståelse av arten til disse sfæriske bølgene, la oss gå tilbake og se på saken når l = 0 . I dette tilfellet er det ingen vinkelavhengighet, og amplituden avhenger bare av den radielle avstanden, dvs. Ψ ( r , t ) → u ( r , t ) . I dette tilfellet reduseres bølgelegningen til

Denne ligningen kan skrives om som

hvor mengden ru tilfredsstiller den endimensjonale bølgelikningen. Derfor er det løsninger i skjemaet

hvor F og G er generelle løsninger på den endimensjonale bølgelikningen, og kan tolkes som henholdsvis en utgående eller innkommende sfærisk bølge. Slike bølger genereres av en punktkilde , og de muliggjør skarpe signaler hvis form bare endres av en reduksjon i amplitude når r øker (se en illustrasjon av en sfærisk bølge øverst til høyre). Slike bølger eksisterer bare i tilfeller av plass med merkelige dimensjoner.

For fysiske eksempler på ikke-sfæriske bølgeløsninger til 3D-bølgelikningen som har vinkelavhengighet, se dipolstråling .

Monokromatisk sfærisk bølge

Skjærende av sfæriske bølgefronter, med en bølgelengde på 10 enheter, som forplanter seg fra en punktkilde.

Selv om ordet "monokromatisk" ikke akkurat er nøyaktig siden det refererer til lys eller elektromagnetisk stråling med veldefinert frekvens, skal ånden oppdage egenmodus for bølgelikningen i tre dimensjoner. Etter avledningen i den forrige delen om egenbølgemetoder for flybølger , hvis vi igjen begrenser løsningene våre til sfæriske bølger som svinger i tid med veldefinert konstant vinkelfrekvens ω , så har den transformerte funksjonen ru ( r , t ) rett og slett plane bølgeløsninger,

eller

Fra dette kan vi observere at toppintensiteten til den sfæriske bølgesvingningen, karakterisert som kvadratbølgeamplituden

faller med hastigheten proporsjonal med 1/ r 2 , et eksempel på invers-square-loven .

Løsning av et generelt problem med opprinnelig verdi

Bølgelegningen er lineær i u, og den blir ikke endret av oversettelser i rom og tid. Derfor kan vi generere et stort utvalg av løsninger ved å oversette og summere sfæriske bølger. La φ ( ξ , η , ζ ) være en vilkårlig funksjon av tre uavhengige variabler, og la den sfæriske bølgeformen F være en delta -funksjon: det vil si at F er en svak grense for kontinuerlige funksjoner hvis integral er enhet, men hvis støtte (området der funksjonen er ikke-null) krymper til opprinnelsen. La en familie av sfæriske bølger ha sentrum ved ( ξ , η , ζ ) , og la r være den radielle avstanden fra det punktet. Og dermed

Hvis u er en superposisjon av slike bølger med vektingsfunksjon φ , så

nevneren 4 πc er en bekvemmelighet.

Fra definisjonen av deltafunksjonen kan u også skrives som

hvor α , β , og γ er koordinater på enhetskule S , og ω er flateelementet på S . Dette resultatet har tolkningen at u ( t , x ) er t ganger middelverdien av φ på en sfære med radius ct sentrert til x :

Det følger at

Middelverdien er en jevn funksjon av t , og dermed if

deretter

Disse formlene gir løsningen på problemet med startverdien for bølgelegningen. De viser at løsningen på et gitt punkt P , gitt ( t , x , y , z ) avhenger bare av dataene på kule med radius ct som er gjennomskåret av den lyskjegle som trekkes bakover fra P . Det er ikke avhengig av data om det indre av denne sfæren. Således er det indre av sfæren en lacuna for løsningen. Dette fenomenet kalles Huygens 'prinsipp . Det er sant for oddetall i romdimensjon, hvor integrasjonen for en dimensjon utføres over grensen til et intervall med hensyn til Dirac -mål. Den er ikke fornøyd med jevne romdimensjoner. Fenomenet lacunas har blitt grundig undersøkt i Atiyah , Bott og Gårding (1970, 1973).

Skalarbølge -ligning i to romdimensjoner

I to romdimensjoner er bølgelegningen

Vi kan bruke den tredimensjonale teorien for å løse dette problemet hvis vi betrakter u som en funksjon i tre dimensjoner som er uavhengig av den tredje dimensjonen. Hvis

da blir den tredimensjonale løsningsformelen

hvor α og β er de to første koordinatene på enhetssfæren, og d ω er arealelementet på sfæren. Denne integralen kan skrives om som en dobbel integral over platen D med senter ( x , y ) og radius ct :

Det er tydelig at løsningen ved ( t , x , y ) ikke bare avhenger av dataene på lyskjeglen hvor

men også på data som er indre for den kjeglen.

Skalarbølgeligning i generell dimensjon og Kirchhoffs formler

Vi ønsker å finne løsninger på u tt - Δ u = 0 for u  : R n × (0, ∞) → R med u ( x , 0) = g ( x ) og u t ( x , 0) = h ( x ) . Se Evans for mer informasjon.

Merkelige dimensjoner

Anta at n ≥ 3 er et oddetall og gC m +1 ( R n ) , hC m ( R n ) for m = ( n + 1)/2 . La γ n = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( n - 2) og la

deretter

uC 2 ( R n × [0, ∞))
u tt - Δ u = 0 i R n × (0, ∞)

Til og med dimensjoner

Anta at n ≥ 2 er et jevnt heltall og gC m +1 ( R n ) , hC m ( R n ) , for m = ( n + 2)/2 . La γ n = 2 × 4 × ⋯ × n og la

deretter

uC 2 ( R n × [0, ∞))
u tt - Δ u = 0 i R n × (0, ∞)

Problemer med grenser

En romdimensjon

Sturm - Liouville -formuleringen

En fleksibel streng som er strukket mellom to punkter x = 0 og x = L tilfredsstiller bølgelegningen for t > 0 og 0 < x < L . På grensen poeng, u kan tilfredsstille en rekke grensebetingelser. Et generelt skjema som passer for applikasjoner er

der a og b er ikke-negative. Tilfellet der u må forsvinne ved et endepunkt er grensen for denne tilstanden når den respektive a eller b nærmer seg uendelig. Metoden for separasjon av variabler består i å lete etter løsninger på dette problemet i den spesielle formen

En konsekvens er at

Den egenverdi λ må bestemmes slik at det er en ikke-triviell løsning av grenseverdi problem

Dette er et spesielt tilfelle av det generelle problemet med Sturm - Liouville -teorien . Hvis a og b er positive, er egenverdiene alle positive, og løsningene er trigonometriske funksjoner. En løsning som tilfredsstiller kvadratintegrerbare startbetingelser for u og u t, kan fås ved utvidelse av disse funksjonene i den aktuelle trigonometriske serien.

Undersøkelse ved hjelp av numeriske metoder

Når man tilnærmer den kontinuerlige strengen med et begrenset antall likevektige massepunkter, får man følgende fysiske modell:

Figur 1: Tre påfølgende massepunkter av den diskrete modellen for en streng

Hvis hvert massepunkt har massen m , er spenningen til strengen f , separasjonen mellom massepunktene er Δ x og u i , i = 1,…, n er forskyvningen av disse n punktene fra deres likevektspunkter (dvs. deres stilling på en rett linje mellom de to festepunkter i strengen) den vertikale komponenten av kraften mot punktet i + 1 er

 

 

 

 

( 1 )

og den vertikale komponenten av kraften mot punkt i - 1 er

 

 

 

 

( 2 )

Tar summen av disse to kreftene og deler med massen m man får for den vertikale bevegelsen:

 

 

 

 

( 3 )

Som massetettheten er

dette kan skrives

 

 

 

 

( 4 )

Bølgelikningen oppnås ved å la Δ x → 0 i så fall u i ( t ) har formen u ( x , t ) hvor u ( x , t ) er en kontinuerlig funksjon av to variabler,··u ihar formen 2 u /∂ t 2 og

Men den diskrete formuleringen ( 3 ) av tilstandsligningen med et begrenset antall massepunkt er akkurat den passende for en numerisk forplantning av strengbevegelsen. Grensetilstanden

hvor L er lengden på strengen tar i den diskrete formuleringen formen som for de ytterste punktene u 1 og u n er bevegelsesligningene

 

 

 

 

( 5 )

og

 

 

 

 

( 6 )

mens for 1 < i < n

 

 

 

 

( 7 )

hvor c = f / ρ .

Hvis strengen er tilnærmet med 100 diskrete massepunkter, får man de 100 koblede andreordens differensialligninger ( 5 ), ( 6 ) og ( 7 ) eller tilsvarende 200 koblede førsteordens differensialligninger.

Formere disse frem til tiden

ved bruk av en 8. trinns flertrinnsmetode finnes de 6 tilstandene som vises i figur 2:

Figur 2: Strengen ved 6 påfølgende epoker, den første (rød) tilsvarer den første tiden med strengen i hvile
Figur 3: Strengen ved 6 påfølgende epoker
Figur 4: Strengen ved 6 påfølgende epoker
Figur 5: Strengen ved 6 påfølgende epoker
Figur 6: Strengen ved 6 påfølgende epoker
Figur 7: Strengen ved 6 påfølgende epoker

Den røde kurven er begynnelsestilstanden på tidspunktet null der strengen "slippes fri" i en forhåndsdefinert form med alle . Den blå kurven er tilstanden på tidspunktet, dvs. etter en tid som tilsvarer tiden en bølge som beveger seg med den nominelle bølgehastigheten c = f / ρ ville trenge for en fjerdedel av strengens lengde.

Figur 3 viser formen på strengen til tider . Bølgen beveger seg i retning rett med hastigheten c = f / ρ uten å være aktivt begrenset av grensebetingelsene ved strengens to ytterpunkter. Formen på bølgen er konstant, dvs. kurven er faktisk av formen f ( x - ct ) .

Figur 4 viser formen på strengen til tider . Begrensningen på høyre ekstrem begynner å forstyrre bevegelsen og forhindrer at bølgen hever enden av strengen.

Figur 5 viser strengens form på tidspunktene når bevegelsesretningen reverseres. De røde, grønne og blå kurvene er tilstandene til tider mens de 3 svarte kurvene til tider tilsvarer tilstandene med bølgen som begynner å bevege seg tilbake mot venstre.

Figur 6 og figur 7 viser endelig formen på strengen til tider og . Bølgen beveger seg nå mot venstre, og begrensningene ved endepunktene er ikke lenger aktive. Når endelig den andre ekstremen av strengen, vil retningen igjen reverseres på en måte som ligner det som vises i figur 6.

Flere romdimensjoner

En løsning av bølgelikningen i to dimensjoner med en null-forskyvning grensetilstand langs hele ytterkanten.

Den endimensjonale begynnelsesgrenseverditeorien kan utvides til et vilkårlig antall romdimensjoner. Vurdere et domene D i m -dimensjonale x plass, med ramme B . Da skal bølgelegningen oppfylles hvis x er i D og t > 0 . På grensen til D skal løsningen u tilfredsstille

hvor n er den enhet utover normal til B , og en er en ikke-negativ funksjon som er definert på B . Tilfellet der u forsvinner på B er et begrensende tilfelle for en uendelig nærhet. De første forholdene er

der f og g er som definert i D . Dette problemet kan løses ved å utvide f og g i egenfunksjonene til laplacian i D , som tilfredsstiller grensebetingelsene. Dermed tilfredsstiller egenfunksjonen v

i D , og

B .

I tilfellet av to dimensjoner plass, kan egenfunksjonene tolkes som de vibrasjonsmodi av et trommeskinn strukket over grensen B . Hvis B er en sirkel, har disse egenfunksjonene en vinkelkomponent som er en trigonometrisk funksjon av polarvinkelen multipl multiplisert med en Bessel -funksjon (av heltall rekkefølge) for den radielle komponenten. Ytterligere detaljer er i Helmholtz -ligningen .

Hvis grensen er en kule i tre romdimensjoner, er vinkelkomponentene til egenfunksjonene sfæriske harmoniske , og de radielle komponentene er Bessel-funksjoner av et heltalls rekkefølge.

Inhomogen bølge -ligning i én dimensjon

Den inhomogene bølgelegningen i en dimensjon er følgende:

med innledende betingelser gitt av

Funksjonen s ( x , t ) kalles ofte kildefunksjonen fordi den i praksis beskriver effekten av bølgekildene på mediet som bærer dem. Fysiske eksempler på kildefunksjoner inkluderer kraften som driver en bølge på en streng, eller ladningen eller strømtettheten i Lorenz -måleren for elektromagnetisme .

En metode for å løse det opprinnelige verdiproblemet (med startverdiene som angitt ovenfor) er å dra fordel av en spesiell egenskap ved bølgelikningen i et oddetall av romdimensjoner, nemlig at løsningene respekterer årsakssammenheng. Det vil si at for et hvilket som helst punkt ( x i , t i ) , avhenger verdien av u ( x i , t i ) bare av verdiene til f ( x i + ct i ) og f ( x i - ct i ) og verdier for funksjonen g ( x ) mellom ( x i - ct i ) og ( x i + ct i ) . Dette kan sees i d'Alemberts formel , angitt ovenfor, hvor disse mengdene er de eneste som vises i den. Fysisk, hvis den maksimale forplantningshastigheten er c , kan ingen del av bølgen som ikke kan forplante seg til et gitt punkt på et gitt tidspunkt påvirke amplituden på samme tidspunkt og tidspunkt.

Når det gjelder å finne en løsning, betyr denne kausalitetsegenskapen at for et gitt punkt på linjen som vurderes, er det eneste området som må vurderes, området som omfatter alle punktene som kan kausalt påvirke punktet som skal vurderes. Betegner området som påvirker tilfeldig punkt ( x i , t i ) som R- C . Anta at vi integrerer den inhomogene bølgelikningen over denne regionen.

For å forenkle dette sterkt, kan vi bruke Grønns teorem for å forenkle venstre side for å få følgende:

Venstre side er nå summen av tre linjeintegraler langs grensene til årsakssammenheng. Disse viser seg å være ganske enkle å beregne

I det ovenstående forsvinner begrepet som skal integreres med hensyn til tid fordi tidsintervallet som er involvert er null, og dermed d t = 0 .

For de to andre sidene av regionen er det verdt å merke seg at x ± ct er en konstant, nemlig x i ± ct i , der tegnet er valgt riktig. Ved å bruke dette kan vi få forholdet d x ± c  d t = 0 , igjen velge det riktige tegnet:

Og på samme måte for det siste grensesegmentet:

Å legge de tre resultatene sammen og sette dem tilbake i det opprinnelige integralet:

Løsningen for u ( x i , t i ) kommer vi frem til

I den siste ligningen av sekvensen har grensene for integralet over kildefunksjonen blitt gjort eksplisitte. Når man ser på denne løsningen, som er gyldig for alle valg ( x i , t i ) som er kompatibel med bølgelegningen, er det klart at de to første begrepene ganske enkelt er d'Alemberts formel, som nevnt ovenfor som løsningen på den homogene bølgelikningen i en dimensjon. Forskjellen er i det tredje uttrykket, integralen over kilden.

Andre koordinatsystemer

I tre dimensjoner kan bølgelegningen, når den skrives i elliptiske sylindriske koordinater , løses ved separasjon av variabler, noe som fører til Mathieu -differensialligningen .

Ytterligere generaliseringer

Elastiske bølger

Den elastiske bølgelikningen (også kjent som Navier - Cauchy -ligningen ) i tre dimensjoner beskriver forplantningen av bølger i et isotrop homogent elastisk medium. De fleste faste materialer er elastiske, så denne ligningen beskriver slike fenomener som seismiske bølgerjorden og ultralydbølger som brukes til å oppdage feil i materialer. Selv om den er lineær, har denne ligningen en mer kompleks form enn ligningene gitt ovenfor, da den må ta hensyn til både langsgående og tverrgående bevegelse:

hvor:

  • λ og μ er de såkalte Lamé-parameterne som beskriver de elastiske egenskapene til mediet,
  • ρ er tettheten,
  • f er kildefunksjonen (drivkraft),
  • og u er forskyvningsvektoren.

Ved å bruke ∇ × (∇ × u ) = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∇ ⋅ ∇ u = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∆ u kan den elastiske bølgelegningen skrives om til den mer vanlige formen for Navier - Cauchy -ligningen.

Merk at i den elastiske bølgeligning, både kraft og forskyvning er vektor mengder. Dermed er denne ligningen noen ganger kjent som vektorbølge -ligningen. Som et hjelpemiddel for å forstå vil leseren observere at hvis f og ∇ ⋅ u settes til null, blir dette (effektivt) Maxwells ligning for forplantning av det elektriske feltet E , som bare har tverrgående bølger.

Spredningsforhold

I dispersive bølgefenomener varierer bølgeutbredelsens hastighet med bølgelengden til bølgen, noe som reflekteres av et spredningsforhold

hvor ω er vinkelfrekvensen og k er bølgevektoren som beskriver planbølgeløsninger . For lysbølger er spredningsforholdet ω = ± c | k | , men generelt blir den konstante hastigheten c erstattet av en variabel fasehastighet :

Se også

Merknader

Referanser

Eksterne linker