Vinkelenhet - Angular unit

Gjennom historien har vinkler blitt målt i mange forskjellige enheter . Disse er kjent som vinkelenheter , med de mest moderne enhetene er graden (°), radianen (rad) og gradianen (grad), selv om mange andre har blitt brukt gjennom historien . Hensikten med denne siden er å samle andre begreper knyttet til vinkelenheten , der ytterligere forklaring kan gis.

Vinkelmåling generelt

Størrelsen på en geometrisk vinkel er vanligvis preget av størrelsen på den minste rotasjonen som kartlegger en av strålene i den andre. Vinkler som har samme størrelse sies å være like , kongruente eller like i mål .

I noen sammenhenger, for eksempel å identifisere et punkt i en sirkel eller beskrive orienteringen til et objekt i to dimensjoner i forhold til en referanseorientering, er vinkler som adskiller seg med et nøyaktig multiplum av en hel sving , ekvivalent. I andre sammenhenger, for eksempel å identifisere et punkt i en spiralkurve , eller å beskrive den kumulative rotasjonen til et objekt i to dimensjoner i forhold til en referanseorientering, er ikke vinkler som er forskjellige med et null-multiplum av en hel sving, ikke likeverdige.

For å måle en vinkel θ tegnes en sirkelbue sentrert i toppunktet på vinkelen (f.eks. Med et par kompasser ). Forholdet mellom lengden s av lysbuen ved radien r av sirkelen er et mål på vinkelen i radianer .

Målingen på vinkelen i en annen vinkelenhet oppnås da ved å multiplisere dens mål i radianer med skaleringsfaktoren k/2 $π$ , hvor k er målet for en fullstendig sving i den valgte enheten (for eksempel 360 for grader eller 400 for gradians ):

{\ displaystyle \ theta = k {\ frac {s} {2 \ pi r}}.}

Verdien av θ defineres således er uavhengig av størrelsen av sirkelen: Hvis lengden av radien endres, og deretter buelengden endres i samme forhold, slik at forholdet r / R er uforandret. (Bevis. Formelen ovenfor kan skrives om som k =θr/s. En sving, for hvilken θ = n enheter, tilsvarer en lysbue som er lik lengden på sirkelens omkrets , som er $2 πr$ , så $s = 2 πr$ . Å erstatte n for θ og $2 πr$ for s i formelen, resulterer i $k = nr / 2 πr = n / 2 π$ .)

Spesielt kan målingen på vinkelen er radian også tolkes som buelengden til den tilsvarende enhetssirkelen:

Vinkeltilsetningspostulat

Vinkeltilsetningspostulatet sier at hvis B er i det indre av vinkelen AOC, da

${\ displaystyle m \ vinkel AOC = m \ vinkel AOB + m \ vinkel BOC}$

Mål for vinkel AOC er summen av mål for vinkel AOB og mål for vinkel BOC. I dette postulatet spiller det ingen rolle i hvilken enhet vinkelen måles - så lenge hver vinkel måles i samme enhet.

Enheter

Definisjon av 1 radian

En radian er vinkelen undertrykket av en sirkelbue som har samme lengde som sirkelens radius. Radian er den avledede mengden av vinkelmåling i SI- systemet. Per definisjon er den dimensjonsløs , selv om den kan spesifiseres som rad for å unngå tvetydighet. Vinkler målt i grader vises med symbolet °. Underinndeling av graden er liten (symbol ′, 1 ′ = 1/60 °) og andre {symbol ″, 1 ″ = 1/3600 °}. En vinkel på 360 ° tilsvarer vinkelen som er senket av en full sirkel, og er lik $2 π$ radianer, eller 400 gradianer.

Andre enheter som brukes til å representere vinkler er oppført i tabellen nedenfor. Disse enhetene er definert slik at antall svinger tilsvarer en full sirkel.

Navn	nummer på en sving	rotasjonsvinkel	beskrivelse
Sving	1	360 °	Den omdreining , også syklus , full sirkel , omdreining , og rotasjon , er fullstendig sirkulær bevegelse eller måletall (som vil gå tilbake til det samme punkt) med sirkel eller ellipse. En sving forkortes $τ$ , cyc , rev eller rot, avhengig av applikasjonen .. Symbolet $τ$ kan også brukes som en matematisk konstant for å representere 2 $π$ radianer.
Multipler av $π$	2	180 °	De multipler av $π$ (MUL $π$ ) enhet er implementert i RPN vitenskapelig kalkulator WP 43s . Se også: IEEE 754 anbefalte operasjoner
Kvadrant	4	90 °	En kvadrant er også kjent som en rett vinkel . Kvadranten er enheten som brukes i Euclids elementer . På tysk har symbolet ^∟ blitt brukt for å betegne en kvadrant.
Sekstant	6	60 °	Den sekstanten ble apparatet brukt av Babylonians , Graden, Bueminutt og andre av buen er sexagesimal subenheter av Babylon enhet. Det er spesielt enkelt å konstruere med linjal og kompass.
Radian	$2 π$	57 ° 17 ′	Den radian bestemmes av omkretsen av en sirkel som er like lang som radien av sirkelen.
Hexacontade	60	6 °	Den hexacontade er en enhet som brukes av Eratosthenes .
Binær grad	256	1 ° 33'45 "	Den binære graden , også kjent som den binære radianen (eller brad ). Binærgraden brukes i databehandling slik at en vinkel effektivt kan representeres i en enkelt byte (om enn til begrenset presisjon). Andre målinger av vinkelen som brukes i databehandling, kan være basert på å dele en hel sving i 2 ⁿ like deler for andre verdier av n .
Grad	360	1 °	En fordel med denne gamle sexagesimal underenheten er at mange vinkler som er vanlige i enkel geometri måles som et helt antall grader. Brøkdeler av en grad kan skrives med normal desimalnotasjon (f.eks. 3,5 ° i tre og en halv grad), men "minutt" og "andre" sexagesimal underenheter til "grad-minutt-sekund" -systemet er også i bruk, spesielt for geografiske koordinater og innen astronomi og ballistikk
Grad	400	0 ° 54 ′	Den grad , også kalt grade , gradianer eller gon . en rett vinkel er 100 grader. Det er en desimalunderenhet av kvadranten. En kilometer ble historisk definert som en Centi -grad av buen langs en meridian av jorden, så den kilometer er desimal analog til seksagesimalt nautisk mil . Karakteren brukes mest i triangulering .
Bue-minutt	21.600	0 ° 1 ′	Den Bueminutt (eller MOA , arcminute , eller bare minutt ) er1/60av en grad. En nautisk mil ble historisk definert som et minutts bue langs en stor sirkel på jorden.
Andre av buen	1.296.000	0 ° 0′1 ″	Den andre av lysbuen (eller arcsecond , eller bare sekund ) er1/60 av et minutts bue og 1/3600 av en grad.

Tilsvarende tidsbeskrivelser

I astronomi , rett oppstigning og misvisning blir vanligvis målt i vinkel enheter, uttrykt som tid, basert på en 24-timers dag.

Enhet	Symbol	Grad	Radianer	Sirkel	Annen
Time	h	15 °	$π$ ⁄ 12	1 ⁄ 24
Minutt	m	0 ° 15 '	$π$ ⁄ 720	1 ⁄ 1.440	1 ⁄ 60 time
Sekund	s	0 ° 0'15 "	$π$ ⁄ 43200	1 ⁄ 86.400	1 ⁄ 60 minutt

Andre beskrivelser

Tau , antall radianer i en sving (1 omdreining = $τ$ rad), $τ = 2 π$ .
Chi, en gammel kinesisk vinkelmåling.
Diameterdel ( n = 376,99 ...): Diameterdelen (noen ganger brukt i islamsk matematikk) er1/60radian. Én "diameterdel" er omtrent 0,95493 °. Det er omtrent 376.991 diameter deler per omdreining.
Milliradian og avledede definisjoner: Den sanne milliradian defineres en tusendel av en radian, noe som betyr at en rotasjon av en omdreining vil tilsvare nøyaktig 2000π mil (eller ca. 6283,185 mil), og nesten alle omfangs steder for skytevåpen er kalibrert til denne definisjon. I tillegg er det tre andre avledede definisjoner som brukes til artilleri og navigasjon, som omtrent tilsvarer en milliradian. Under disse tre andre definisjonene utgjør en sving nøyaktig 6000, 6300 eller 6400 mil, noe som tilsvarer området fra 0,05625 til 0,06 grader (3,375 til 3,6 minutter). Til sammenligning er den sanne milliradianen omtrent 0,05729578 grader (3,43775 minutter). Én " NATO mil" er definert som1/6400av en sirkel. Akkurat som med den sanne milliradianen, utnytter hver av de andre definisjonene mils nyttige egenskapen til subtensjoner, dvs. at verdien til en milliradian omtrent tilsvarer vinkelen som er nedsenket med en bredde på 1 meter sett fra 1 km unna (2 $π$ /6400 = 0.0009817… ≈ 1/1000).
Akhnam og zam. I gamle Arabia ble en sving delt inn i 32 Akhnam, og hver akhnam ble delt inn i 7 zam, slik at en sving var 224 zam.

Positive og negative vinkler

Selv om definisjonen av måling av en vinkel ikke støtter begrepet negativ vinkel, er det ofte nyttig å innføre en konvensjon som tillater positive og negative vinkelverdier å representere orienteringer, og rotasjoner i motsatte retninger i forhold til noen referanse.

I et todimensjonalt kartesisk koordinatsystem defineres en vinkel vanligvis av de to sidene, med toppunktet i utgangspunktet. Den første siden er på den positive x-aksen , mens den andre side (dvs. den terminale side ) er definert ved tiltaket fra den første side i radianer grader, eller omdreininger. Vanligvis representerer positive vinkler rotasjoner mot den positive y-aksen , og negative vinkler representerer rotasjoner mot den negative y-aksen. Når kartesiske koordinater er representert av standardposisjon , definert av x-aksen mot høyre og y-aksen oppover, er positive rotasjoner mot klokken , og negative rotasjoner med klokken .

I mange sammenhenger en vinkel på - θ er effektivt tilsvarer en vinkel på "en hel omdreining minus θ ". For eksempel er en retning representert som -45 ° effektivt ekvivalent med en retning representert som 360 ° - 45 ° eller 315 °. En rotasjon på -45 ° ville imidlertid ikke være den samme som en rotasjon på 315 °.

I tredimensjonal geometri har "med urviseren" og "mot urviseren" ingen absolutt betydning, så retningen av positive og negative vinkler må defineres i forhold til noen referanse, som typisk er en vektor som går gjennom vinkelens toppunkt, og som er vinkelrett på planet der vinklens stråler ligger.

I navigasjon , lagrene er målt i forhold til nord. Etter konvensjon, sett ovenfra, er lagervinkelen positiv med klokken, slik at en peiling på 45 ° tilsvarer en nordøstlig retning. Negative lagre brukes ikke i navigasjon, så en nord-vest orientering tilsvarer en peiling på 315 °.

Alternative måter å måle størrelsen på en vinkel på

Det er flere alternativer for å måle størrelsen på en vinkel med den tilsvarende rotasjonsvinkelen. Den grad av en skråning eller stigning , er lik tangens til den vinkel, eller noen ganger (sjelden) den sinus . Graderinger uttrykkes ofte i prosent. For svært små verdier (mindre enn 5%) er karakteren av en skråning omtrent målet på en vinkel i radianer.

I rasjonell geometri er spredningen mellom to linjer definert ved sinusfeltet for vinkelen mellom linjene. Siden sinusen til en vinkel og sinusen til den supplerende vinkelen er den samme, fører enhver rotasjonsvinkel som kartlegger en av linjene inn i den andre til den samme verdien av spredningen mellom linjene.

Astronomiske tilnærminger

Astronomer måler vinkelseparasjon av objekter i grader fra observasjonspunktet.

0,5 ° er omtrent bredden på solen eller månen.
1 ° er omtrent bredden på en lillefinger i armlengdes avstand.
10 ° er omtrent bredden på en lukket knyttneve i armlengdes avstand.
20 ° er omtrent bredden på et håndspenn i armlengdes avstand.

Disse målingene avhenger helt klart av det enkelte motivet, og det ovennevnte skal bare behandles som grove tommelfingerregler .

Målinger som ikke er vinkelenheter

Ikke alle vinkelmålinger er vinkelenheter, for en vinkelmåling er det definisjonen at vinkeladdisjonspostulatet holder.

Noen vinkelmålinger der vinkeltilleggspostulatet ikke holder inkluderer:

Languages

In other projects