Atiyah algebroid - Atiyah algebroid

I matematikk , den Atiyahs algebroid , eller Atiyahs sekvens , av et hoved -bundle ${\ displaystyle G}$ over en manifold , der er en Lie gruppe , er den Lie algebroid av måleren groupoid av . Eksplisitt er det gitt av følgende korte eksakte sekvens av vektorbunter over : ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle 0 \ til P \ ganger _ {G} {\ mathfrak {g}} \ til TP / G \ til TM \ til 0.}

Den er oppkalt etter Michael Atiyah , som introduserte konstruksjonen for å studere eksistens teorien om komplekse analytiske forbindelser . Det spiller et avgjørende eksempel i integrerbarheten til (transitive) Lie-algebroider, og den har anvendelser innen måleinstrument og geometrisk mekanikk .

Definisjoner

Som en sekvens

For en hvilken som helst fiberbunt over en manifold , definerer differensialen til projeksjonen en kort nøyaktig sekvens ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle d \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi: P \ til M}$

{\ displaystyle 0 \ til VP \ til TP {\ xrightarrow {d \ pi}} \ pi ^ {*} TM \ til 0}

av vektorbunter over , hvor den vertikale bunten er kjernen til . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle VP}$ ${\ displaystyle d \ pi}$

Hvis er en hovedbunt, fungerer gruppen på vektorpakkene i denne sekvensen. Dessuten, siden den vertikale bunten er isomorf til den trivielle vektorpakken , hvor er Lie-algebraen til , er dens kvotient av den diagonale handlingen den tilstøtende bunten . Avslutningsvis gir kvotienten av den nøyaktige sekvensen ovenfor en kort nøyaktig sekvens ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle VP}$ ${\ displaystyle P \ times {\ mathfrak {g}} \ to P}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P \ times _ {G} {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle 0 \ til P \ ganger _ {G} {\ mathfrak {g}} \ til TP / G \ til TM \ til 0}

av vektorbunter over , som kalles Atiyah-sekvensen av . ${\ displaystyle P / G \ cong M}$

{\ displaystyle P}

Som en Lie algebroid

Husk at en hvilken som helst hoved -bundle har en tilhørende

Lie groupoid , kalt dens måler groupoid , hvis formål er punkter , og hvis morphisms er elementer av kvotienten av den diagonale virkningen av , med kilde og mål gitt av de to projeksjoner av . Per definisjon er det Atiyahs algebroid av er Lie algebroid av sin måler groupoid. ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle P \ til M}

${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle P \ times P}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle P}

${\ displaystyle A \ til M}$

Det følger at mens ankerkartet er gitt av differensialet , som er -variant. Sist, kjernen til ankeret er isomorf akkurat til . ${\ displaystyle A = TP / G}$ ${\ displaystyle A \ til TM}$ ${\ displaystyle d \ pi: TP \ til TM}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P \ times _ {G} {\ mathfrak {g}}}$

Atiyah-sekvensen gir en kort eksakt sekvens av -moduler ved å ta plass i

seksjoner av vektorpakkene . Mer presist, er delene av Atiyahs algebroid av det Lie algebra av -invariant vektorfelt på henhold Lie brakett , som er en forlengelse av Lie algebra av vektorfelt på ved -invariant vertikale vektorfelt. I algebraisk eller analytisk sammenheng er det ofte praktisk å se på Atiyah-sekvensen som en nøyaktig sekvens av skiver av lokale deler av vektorpakker. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle G}$

Eksempler

den Atyah algebroid av de viktigste -bundle er Lie algebra ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G \ to *}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to *}$
den Atyah algebroid av hoved -bundle er tangenten algebroid ${\ displaystyle \ {e \}}$ ${\ displaystyle M \ til M}$ ${\ displaystyle TM \ til M}$
gitt en transitiv -aksjon på , Atyah algebroid av hovedbunten , med strukturgruppe isotropigruppen av handlingen på et vilkårlig punkt, er handlingsalgebroid ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle G \ til M}$ ${\ displaystyle H \ subseteq G}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ ganger M \ til M}$
Atyah algebroid av rammebunten til en vektorpakke er den generelle lineære algebroid (noen ganger også kalt Atiyah algebroid av ) ${\ displaystyle E \ til M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Der} (E) \ til M}$ ${\ displaystyle E}$

Eiendommer

Transitivitet og integrerbarhet

Atiyah algebroid av en rektor -bundle er alltid ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P \ til M}$

transitive (så dens unike bane er hele og dens isotropi Lie algebra-bunt er den tilknyttede bunten ) ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle P \ times _ {G} {\ mathfrak {g}}}$
integrerbar (til måleren groupoid av

) ${\ displaystyle P}$

Merk at disse to egenskapene er uavhengige. Integrable Lie-algebroider trenger ikke være transitive; omvendt er ikke transitive Lie-algebroider (ofte kalt abstrakte Atiyah-sekvenser ) nødvendigvis integrerbare.

Mens alle transitive Lie groupoid er isomorfe til noen gauge groupoid, er ikke alle transitive Lie-algebroider Atiyah-algebroider av noen hovedbunt. Integrering er den avgjørende egenskapen for å skille mellom de to begrepene: en transitiv Lie algebroid er integrerbar hvis og bare hvis den er isomorf til Atiyah algebroid av en eller annen hovedbunt.

Forhold til forbindelser

Høyre splitting av Atiyah-sekvensen til en hovedbunt er i korrespondanse med hovedforbindelser på . Tilsvarende tilsvarer krumningene til slike forbindelser de to formene som er definert av ${\ displaystyle \ sigma: TM \ til A}$ ${\ displaystyle P \ til M}$ ${\ displaystyle P \ til M}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ sigma} \ in \ Omega ^ {2} (M, P [{\ mathfrak {g}}])}$

{\ displaystyle \ Omega _ {\ sigma} (X, Y): = [\ sigma (X), \ sigma (Y)] _ {A} - \ sigma ([X, Y] _ {{\ mathfrak {X }} (M)})}

Morfismer

Enhver morfisme av hovedbunter induserer en Lie algebroid morfisme mellom de respektive Atiyah-algebroider. ${\ displaystyle \ phi: P \ til P '}$ ${\ displaystyle d \ phi: TP / G \ til TP / G '}$

Referanser

Michael F. Atiyah (1957), "Komplekse analytiske forbindelser i fiberbunter", Trans. Amer. Matte. Soc. , 85 : 181–207, doi : 10.1090 / s0002-9947-1957-0086359-5.
Janusz Grabowski; Alexei Kotov & Norbert Poncin (2011), "Geometric struktures encoded in the lie structure of an Atiyah algebroid", Transformation Groups , 16 : 137–160, arXiv : 0905.1226 , doi : 10.1007 / s00031-011-9126-9, tilgjengelig som arXiv: 0905.1226 .
Kirill Mackenzie (1987), Lie groupoids og Lie algebroids in different geometry , London Mathematical Society lecture notes, 124 , CUP, ISBN 978-0-521-34882-9.
Kirill Mackenzie (2005), General theory of lie groupoids and lie algebroids , London Mathematical Society lecture notes, 213 , CUP, ISBN 978-0-521-49928-6.
Tom Mestdag & Bavo Langerock (2005), "A Lie algebroid framework for non-holonomic systems", J. Phys. A: Matematikk. Gen. , 38 : 1097–1111, arXiv : math / 0410460 , Bibcode : 2005JPhA ... 38.1097M , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 38/5/011.

Languages

In other projects