Stråleformeringsmetode - Beam propagation method

Den bjelke forplantning metode ( BPM ) er en tilnærming teknikk for simulering av forplantning av lys i langsomt varierende optiske bølgeledere . Det er hovedsakelig den samme som den såkalte parabolske ligning (PE) -metoden i undervannsakustikk . Både BPM og PE ble først introdusert på 1970 -tallet. Når en bølge forplanter seg langs en bølgeleder for en stor avstand (større sammenlignet med bølgelengden), er streng numerisk simulering vanskelig. BPM er avhengig av omtrentlige differensialligninger som også kalles enveismodellene. Disse enveis-modeller omfatter bare en første orden -derivat i den variable z (for bølgelederens akse), og de kan løses som "initial" value problem. Det "første" verdiproblemet involverer ikke tid, det er snarere for den romlige variabelen z.

Den originale BPM og PE ble avledet fra den langsomt varierende konvolutttilnærmingen, og de er de såkalte paraksiale enveismodellene. Siden den gang har en rekke forbedrede enveismodeller blitt introdusert. De kommer fra en enveismodell som involverer en kvadratrotoperatør. De oppnås ved å bruke rasjonelle tilnærminger til kvadratrotoperatoren. Etter at en enveismodell er oppnådd, må man fortsatt løse den ved å diskretisere variabelen z. Imidlertid er det mulig å slå sammen de to trinnene (rasjonell tilnærming til kvadratrotoperatoren og diskretisering av z) til ett trinn. Man kan nemlig finne rasjonelle tilnærminger til den såkalte enveis-propagatoren (kvadratrotoperatorens eksponensial) direkte. De rasjonelle tilnærmingene er ikke trivielle. Standard diagonale Padé-tilnærminger har problemer med de såkalte flyktige modusene. Disse flyktige modusene bør forfalle raskt i z, men de diagonale Padé -tilnærmingene vil feilaktig forplante dem som forplantningsmoduser langs bølgelederen. Modifiserte rasjonelle tilnærminger som kan undertrykke de flyktige modusene er nå tilgjengelige. BPM-nøyaktigheten kan forbedres ytterligere hvis du bruker den energibesparende enveismodellen eller en-spredt enveismodellen.

Prinsipper

BPM er generelt formulert som en løsning på Helmholtz-ligningen i et tidsharmonisk tilfelle,

{\ displaystyle (\ nabla^{2}+k_ {0}^{2} n^{2}) \ psi = 0}

med feltet skrevet som,

{\ displaystyle E (x, y, z, t) = \ psi (x, y) \ exp (-j \ omega t)}

.

Nå er den romlige avhengigheten til dette feltet skrevet i henhold til en TE eller TM polarisering

{\ displaystyle \ psi (x, y) = A (x, y) \ exp (+jk_ {o} \ nu y)}

,

med konvolutten

{\ displaystyle A (x, y)}

etter en sakte varierende tilnærming,

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^{2} (A (x, y))} {\ delvis y ^{2}}} = 0}

Nå følger løsningen når den erstattes i Helmholtz -ligningen,

{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partiell^{2}} {\ delvis x^{2}}}+k_ {0}^{2} (n^{2}-\ nu^{2}) \ høyre] A (x, y) = \ pm 2jk_ {0} \ nu {\ frac {\ delvis A_ {k} (x, y)} {\ delvis y}}}

Med sikte på å beregne feltet på alle punkter i rommet for alle tider, trenger vi bare å beregne funksjonen for alt rom, og så er vi i stand til å rekonstruere . Siden løsningen er for den tidsharmoniske Helmholtz-ligningen, trenger vi bare å beregne den over en tidsperiode. Vi kan visualisere feltene langs forplantningsretningen eller bølgeledermodusene i tverrsnittet. ${\ displaystyle A (x, y)}$ ${\ displaystyle \ psi (x, y)}$

Numeriske metoder

Både romlige domenemetoder og frekvens (spektrale) domenemetoder er tilgjengelige for den numeriske løsningen av den diskretiserte hovedligningen. Ved diskretisering til et rutenett (ved bruk av forskjellige sentraliserte forskjeller , Crank Nicolson-metoden , FFT-BPM etc.) og feltverdier omorganisert på årsakssammenheng, beregnes feltutviklingen gjennom iterasjon, langs forplantningsretningen. Den romlige domenemetoden beregner feltet i neste trinn (i forplantningsretningen) ved å løse en lineær ligning, mens spektraldomenemetodene bruker de kraftige fremover/inverse DFT -algoritmene. Spektrale domenemetoder har fordelen av stabilitet selv i nærvær av ikke -linearitet (fra brytningsindeks eller middels egenskaper), mens romlige domenemetoder muligens kan bli numerisk ustabile.

applikasjoner

BPM er en rask og enkel metode for å løse felt i integrerte optiske enheter. Det brukes vanligvis bare for å løse intensitet og moduser i formede (bøyde, koniske, avsluttede) bølgelederstrukturer, i motsetning til spredningsproblemer. Disse strukturene består vanligvis av isotropiske optiske materialer, men BPM har også blitt utvidet til å være anvendelig for å simulere spredning av lys i generelle anisotrope materialer som flytende krystaller . Dette gjør det mulig å analysere f.eks. Polarisasjonsrotasjonen av lys i anisotrope materialer, avstembarheten til en retningskobling basert på flytende krystaller eller lysdiffraksjonen i LCD -piksler.

Begrensninger for BPM

Stråleformeringsmetoden er avhengig av tilnærmingen til sakte varierende konvolutt , og er unøyaktig for modellering av diskret eller raskt varierende strukturer. Grunnleggende implementeringer er også unøyaktige for modellering av strukturer der lys forplanter seg i store vinkler og for enheter med høy brytningsindekskontrast, som for eksempel finnes i silisiumfotonikk . Avanserte implementeringer reduserer imidlertid noen av disse begrensningene, slik at BPM kan brukes til å modellere mange av disse tilfellene nøyaktig, inkludert mange silisiumfotoniske strukturer.

BPM-metoden kan brukes til å modellere toveis forplantning, men refleksjonene må implementeres iterativt som kan føre til konvergensproblemer.

Se også

Referanser

^ Clifford R. Pollock, Michal. Lipson (2003), Integrated Photonics , Springer, ISBN 978-1-4020-7635-0
^ Okamoto K. 2000 Fundamentals of Optical Waveguides (San Diego, CA: Academic)
^ EE290F: BPM -kurs -lysbilder, Devang Parekh, University of Berkeley, CA

[1] Clifford R. Pollock, Michal. Lipson (2003), Integrated Photonics , Springer, ISBN 978-1-4020-7635-0

[2] Okamoto K. 2000 Fundamentals of Optical Waveguides (San Diego, CA: Academic)

[3] EE290F: BPM -kurs -lysbilder, Devang Parekh, University of Berkeley, CA

Languages

In other projects