Bifurcation teori - Bifurcation theory

Faseportrett som viser todelingen av salnoden

Bifurcation -teori er den matematiske studien av endringer i den kvalitative eller topologiske strukturen til en gitt familie , for eksempel integrerte kurver for en familie av vektorfelt , og løsningene til en familie av differensialligninger . Vanligvis anvendt på den matematiske studien av dynamiske systemer , skjer en bifurkasjon når en liten jevn endring gjort i parameterverdiene (bifurkasjonsparametrene) i et system forårsaker en plutselig 'kvalitativ' eller topologisk endring i dets oppførsel. Bifurcations forekommer i både kontinuerlige systemer (beskrevet av ODE , DDE eller PDE ) og diskrete systemer (beskrevet av kart). Navnet "bifurcation" ble først introdusert av Henri Poincaré i 1885 i den første artikkelen i matematikk som viser en slik oppførsel. Henri Poincaré navngav også senere forskjellige typer stasjonære punkter og klassifiserte dem med motiv.

Bifurcationstyper

Det er nyttig å dele bifurkasjoner i to hovedklasser:

Lokale bifurkasjoner, som kan analyseres helt gjennom endringer i de lokale stabilitetsegenskapene til likevekt , periodiske baner eller andre invariante sett som parametere krysser kritiske terskler; og
Globale splittelser, som ofte oppstår når større invariante sett av systemet 'kolliderer' med hverandre, eller med likevekt i systemet. De kan ikke oppdages rent ved en stabilitetsanalyse av likevekten (faste punkter).

Lokale splittelser

Period-halvering av splittelser (L) som fører til orden, etterfulgt av periode dobling av splittelser (R) som fører til kaos.

En lokal bifurkasjon skjer når en parameterendring får stabiliteten til en likevekt (eller et fast punkt) til å endres. I kontinuerlige systemer tilsvarer dette den virkelige delen av en egenverdi av en likevekt som går gjennom null. I diskrete systemer (de som er beskrevet av kart i stedet for ODE), tilsvarer dette et fast punkt som har en Floquet -multiplikator med modul lik en. I begge tilfeller er likevekten ikke-hyperbolsk ved bifurkasjonspunktet. De topologiske endringene i faseportretet av systemet kan begrenses til vilkårlig små nabolag i de bifurkerende faste punktene ved å flytte bifurkasjonsparameteren nær bifurkasjonspunktet (derav 'lokalt').

Vurder mer teknisk det kontinuerlige dynamiske systemet beskrevet av ODE

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, \ lambda) \ quad f \ colon \ mathbb {R} ^{n} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^{n} .}

En lokal bifurkasjon skjer når den jakobiske matrisen har en egenverdi med null virkelig del. Hvis egenverdien er lik null, er bifurkasjonen en steady-state bifurcation, men hvis egenverdien er ikke-null, men rent imaginær, er dette en Hopf-bifurcation . ${\ displaystyle (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$ ${\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$

Vurder systemet for diskrete dynamiske systemer

{\ displaystyle x_ {n+1} = f (x_ {n}, \ lambda) \ ,.}

Deretter skjer en lokal bifurkasjon ved hvis matrisen har en egenverdi med modul lik en. Hvis egenverdien er lik en, er bifurkasjonen enten en salnode (ofte kalt fold-bifurkasjon i kart), transkritisk eller pitchfork bifurcation. Hvis egenverdien er lik -1, er det en periodedobling (eller flip) bifurcation, og ellers er det en Hopf-bifurcation. ${\ displaystyle (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$ ${\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$

Eksempler på lokale bifurkasjoner inkluderer:

Sadelnode (fold) bifurkasjon
Transkritisk bifurkasjon
Gaffelbiffering
Period-dobling (flip) bifurcation
Hopf bifurcation
Neimark - Sacker (sekundær Hopf) bifurkasjon

Globale splittelser

Et faseportrett før, ved og etter en homoklinisk bifurkasjon i 2D. Den periodiske bane vokser til den kolliderer med sadelpunktet. På splittelsespunktet har perioden med den periodiske bane vokst til uendelig, og den har blitt en homoklinisk bane . Etter bifurkasjonen er det ikke lenger en periodisk bane. Venstre panel : For små parameterverdier er det et sadelpunkt ved opprinnelsen og en grensesyklus i den første kvadranten. Midtpanel : Etter hvert som bifurkasjonsparameteren øker, vokser grensesyklusen til den nøyaktig krysser sadelpunktet, og gir en bane med uendelig varighet. Høyre panel : Når bifurkasjonsparameteren øker ytterligere, forsvinner grensesyklusen fullstendig.

Globale splittelser oppstår når 'større' invariante sett, for eksempel periodiske baner, kolliderer med likevekt. Dette forårsaker endringer i topologien til banene i faserommet som ikke kan begrenses til et lite nabolag, slik det er med lokale bifurkasjoner. Faktisk strekker endringene i topologi seg til en vilkårlig stor avstand (derav 'global').

Eksempler på globale splittelser inkluderer:

Homoclinic forgreningen i hvilken en grense syklus kolliderer med et sadelpunkt . Homokliniske bifurkasjoner kan forekomme superkritisk eller subkritisk. Varianten ovenfor er den "lille" eller "type I" homokliniske bifurkasjonen. I 2D er det også den "store" eller "type II" homokliniske bifurkasjonen der den homokliniske bane "fanger" de andre endene av de ustabile og stabile manifoldene på salen. I tre eller flere dimensjoner kan det forekomme høyere kodimensjonsbifurkasjoner, noe som gir komplisert, muligens kaotisk dynamikk.
Heteroklinisk bifurkasjon der en grensesyklus kolliderer med to eller flere sadelpunkter; de involverer en heteroklinisk syklus . Heterokliniske bifurkasjoner er av to typer: resonansbifurkasjoner og tverrgående bifurkasjoner. Begge typer bifurkasjon vil resultere i endring av stabiliteten i den heterokliniske syklusen. Ved en resonansbifurkasjon endres stabiliteten i syklusen når en algebraisk tilstand på egenverdiene til likevekten i syklusen er tilfredsstilt. Dette er vanligvis ledsaget av fødsel eller død av en periodisk bane . En tverrgående bifurkasjon av en heteroklinisk syklus er forårsaket når den virkelige delen av en tverrgående egenverdi av en av likevektene i syklusen går gjennom null. Dette vil også forårsake en endring i stabiliteten til den heterokliniske syklusen.
Uendelig periode-splittelse der en stabil node og sadelpunkt samtidig oppstår på en grensesyklus. Når grensen for en parameter nærmer seg en viss kritisk verdi, reduseres svingningshastigheten og perioden nærmer seg uendelig. Den uendelige perioden bifurkasjon skjer ved denne kritiske verdien. Utover den kritiske verdien kommer de to faste punktene kontinuerlig fra hverandre på grensesyklusen for å forstyrre svingningen og danne to sadelpunkter .
Blå himmelkatastrofe der en grensesyklus kolliderer med en ikke -hyperbolsk syklus.

Globale splittelser kan også involvere mer kompliserte sett som kaotiske tiltrekkere (f.eks. Kriser ).

Kodimensjon av en bifurkasjon

Den codimension av en forgrening er det antall parametere som må varieres for avgreningen skal inntreffe. Dette tilsvarer kodimensjonen av parametersettet som bifurkasjonen skjer innenfor hele parameterområdet. Saddle-node bifurcations og Hopf bifurcations er de eneste generiske lokale bifurkasjonene som virkelig er kodimensjon-en (de andre har alle høyere kodimensjon). Imidlertid blir transkritiske og høydeforbrenninger også ofte betraktet som kodimensjon-en, fordi de normale formene kan skrives med bare en parameter.

Et eksempel på en godt studert kodimensjon-to-bifurkasjon er Bogdanov-Takens bifurcation .

Søknader i semiklassisk og kvantefysikk

Bifurcation -teori har blitt brukt for å koble kvantesystemer til dynamikken i deres klassiske analoger i atomsystemer, molekylære systemer og resonant tunneldioder . Bifurcation -teori har også blitt brukt på studiet av laserdynamikk og en rekke teoretiske eksempler som er vanskelig å få tilgang til eksperimentelt, for eksempel sparket topp og koblede kvantebrønner. Den dominerende årsaken til koblingen mellom kvantesystemer og bifurkasjoner i de klassiske bevegelsesligningene er at ved splittelser blir signaturen til klassiske baner stor, slik Martin Gutzwiller påpeker i sitt klassiske verk om kvantekaos . Mange typer bifurkasjoner har blitt studert med hensyn til koblinger mellom klassisk og kvantedynamikk, inkludert bifodering av salnoder, Hopf -bifurcasjoner, navlestrenging, fordobling av perioder, fordeling av rekonstruksjoner, tangentbifurkasjoner og splittelser.

Se også

Merknader

Referanser

Afrajmovich, VS; Arnold, VI ; et al. (1994). Bifurcationsteori og katastrofeteori . ISBN 978-3-540-65379-0.
Guardia, M .; Martinez-Seara, M .; Teixeira, MA (2011). Generiske bifurkasjoner av lav kodimensjon av plane Filippov Systems . "Journal of differential equations", Febrer 2011, bind. 250, nrm. 4, s. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016
Wiggins, Stephen (1988). Globale splittelser og kaos: Analytiske metoder . New York: Springer. ISBN 978-0-387-96775-2.

Eksterne linker

Ikke -lineær dynamikk
Bifurcations and Two Dimensional Flows av Elmer G. Wiens
Introduksjon til Bifurcation -teori av John David Crawford

Languages

In other projects