Kvantekaos - Quantum chaos

Kvantekaos er fysikkfeltet som prøver å bygge bro over kvantemekanikkens og klassiske mekanikkteorier . Figuren viser hovedideene som kjører i hver retning.

Kvantekaos er en gren av fysikken som studerer hvordan kaotiske klassiske dynamiske systemer kan beskrives i forhold til kvanteteori. Det primære spørsmålet som kvantekaos søker å svare på er: "Hva er forholdet mellom kvantemekanikk og klassisk kaos ?" De korrespondanse prinsippet tilstander som klassisk mekanikk er den klassiske grense av kvantemekanikken, spesielt i den grense som forholdet mellom Plancks konstant til virkningen av systemet har en tendens til null. Hvis dette er sant, må det være kvantemekanismer som ligger til grunn for klassisk kaos (selv om dette kanskje ikke er en fruktbar måte å undersøke klassisk kaos på). Hvis kvantemekanikk ikke demonstrerer en eksponentiell følsomhet for utgangsbetingelser, hvordan kan eksponensiell følsomhet for utgangsforhold oppstå i klassisk kaos, som må være korrespondanseprinsippet for kvantemekanikken?

I forsøket på å takle det grunnleggende spørsmålet om kvantekaos har flere tilnærminger blitt benyttet:

Utvikling av metoder for å løse kvanteproblemer der forstyrrelsen ikke kan betraktes som liten i forstyrrelsesteorien og hvor kvantetallene er store.
Korrelerer statistiske beskrivelser av egenverdier (energinivåer) med den klassiske oppførselen til det samme Hamiltonian (systemet).
Semiklassiske metoder som periodisk bane teori som forbinder de klassiske banene til det dynamiske systemet med kvanteegenskaper.
Direkte anvendelse av korrespondanseprinsippet.

Historie

Eksperimentell tilbakefallsspektre av litium i et elektrisk felt som viser fødsel av kvantegjenfall som tilsvarer bifurkasjoner av klassiske baner.

I løpet av den første halvdel av det tyvende århundre ble det kaotiske oppførselen i mekanikk gjenkjent (som i det tre-legeme problem i himmel mekanikk ), men ikke godt forstått. Grunnlaget for moderne kvantemekanikk ble lagt i den perioden, og i det vesentlige utelatt spørsmålet om kvanteklassisk korrespondanse i systemer hvis klassiske grense viser kaos.

Tilnærminger

Sammenligning av eksperimentelle og teoretiske tilbakefallsspektre av litium i et elektrisk felt med en skalert energi på .

{\ displaystyle \ epsilon = -3.0}

Spørsmål relatert til korrespondanseprinsippet dukker opp i mange forskjellige grener av fysikken, alt fra kjernefysisk til atom- , molekylær- og faststoffysikk , og til og med til akustikk , mikrobølger og optikk . Imidlertid er klassisk-kvante korrespondanse i kaosteori ikke alltid mulig. Dermed har noen versjoner av den klassiske sommerfugleffekten ikke motstykker i kvantemekanikken.

Viktige observasjoner er ofte forbundet med klassisk kaotiske kvantesystemer er spektrale nivå frastøtning , dynamisk lokalisering i tidsutviklingen (f.eks ionisasjons rater atomer), og forbedret stasjonære bølge intensiteter i regioner av plass hvor klassiske dynamiske oppviser bare ustabile baner (som i spredning ). I den semiklassiske tilnærmingen til kvantekaos identifiseres fenomener i spektroskopi ved å analysere den statistiske fordelingen av spektrallinjer og ved å koble spektral periodiciteter med klassiske baner. Andre fenomener dukker opp i tidsutviklingen til et kvantesystem, eller som svar på ulike typer eksterne krefter. I noen sammenhenger, for eksempel akustikk eller mikrobølger, er bølgemønstre direkte observerbare og viser uregelmessige amplitudefordelinger .

Kvantekaos omhandler vanligvis systemer hvis egenskaper må beregnes ved hjelp av enten numeriske teknikker eller tilnærmingsskjemaer (se f.eks. Dyson-serien ). Enkle og nøyaktige løsninger utelukkes av det faktum at systemets bestanddeler enten påvirker hverandre på en kompleks måte, eller er avhengig av tidsmessig varierende ytre krefter.

Kvantemekanikk i ikke-forstyrrende regimer

Beregnet vanlige (ikke-kaotiske) Rydberg- atomenerginivåspektre av hydrogen i et elektrisk felt nær n = 15. Merk at energinivåer kan krysse på grunn av underliggende symmetrier av dynamisk bevegelse.

Beregnede kaotiske Rydberg- atomenerginivåspektre av litium i et elektrisk felt nær n = 15. Merk at energinivåer ikke kan krysse på grunn av at den ioniske kjernen (og den resulterende kvantefeilen) bryter symmetrier av dynamisk bevegelse.

For konservative systemer er målet for kvantemekanikk i ikke-forstyrrende regimer å finne egenverdiene og egenvektorene til en Hamilton av formen.

{\ displaystyle H = H_ {s} + \ varepsilon H_ {ns}, \,}

hvor kan skilles i noe koordinatsystem, kan ikke skilles i koordinatsystemet der det skilles, og er en parameter som ikke kan betraktes som liten. Fysikere har historisk nærmet seg problemer av denne art ved å prøve å finne koordinatsystemet der den ikke-separerbare Hamilton er minste, og deretter behandle den ikke-separerbare Hamilton som en forstyrrelse. ${\ displaystyle H_ {s}}$ ${\ displaystyle H_ {ns}}$ ${\ displaystyle H_ {s}}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Å finne bevegelseskonstanter slik at denne separasjonen kan utføres kan være en vanskelig (noen ganger umulig) analytisk oppgave. Å løse det klassiske problemet kan gi verdifull innsikt i å løse kvanteproblemet. Hvis det er vanlige klassiske løsninger av den samme Hamiltonianen, er det (i det minste) omtrentlige bevegelseskonstanter, og ved å løse det klassiske problemet får vi ledetråder hvordan vi finner dem.

Andre tilnærminger har blitt utviklet de siste årene. Den ene er å uttrykke Hamilton i forskjellige koordinatsystemer i forskjellige romregioner, og minimere den ikke-separerbare delen av Hamilton i hver region. Bølgefunksjoner oppnås i disse regionene, og egenverdier oppnås ved å matche grensebetingelser.

En annen tilnærming er numerisk matrisediagonalisering. Hvis den Hamiltoniske matrisen beregnes på et fullstendig grunnlag, oppnås egenverdier og egenvektorer ved å diagonalisere matrisen. Imidlertid er alle komplette basissett uendelige, og vi må kutte grunnlaget og fremdeles oppnå nøyaktige resultater. Disse teknikkene går ut på å velge et avkortet grunnlag som nøyaktige bølgefunksjoner kan konstrueres fra. Beregningstiden som kreves for å diagonalisere en matriseskala som hvor matrisens dimensjon er, så det er viktig å velge det minste mulig grunnlaget som de relevante bølgefunksjonene kan konstrueres fra. Det er også praktisk å velge et grunnlag der matrisen er sparsom og / eller matriseelementene er gitt ved enkle algebraiske uttrykk fordi beregningsmatriseelementer også kan være en beregningsbyrde. ${\ displaystyle N ^ {3}}$ ${\ displaystyle N}$

En gitt Hamiltonian deler de samme bevegelseskonstantene for både klassisk og kvantedynamikk. Kvantesystemer kan også ha ekstra kvantetall som tilsvarer diskrete symmetrier (for eksempel paritetsbevaring fra refleksjonssymmetri). Imidlertid, hvis vi bare finner kvanteløsninger av en Hamilton som ikke er tilgjengelig av forstyrrelsesteori, kan vi lære mye om kvanteløsninger, men vi har lært lite om kvantekaos. Likevel er det å lære å løse slike kvanteproblemer en viktig del av å svare på spørsmålet om kvantekaos.

Korrelerer statistiske beskrivelser av kvantemekanikk med klassisk oppførsel

Nærmeste nabodistribusjon for Rydberg- atomenerginivåspektre i et elektrisk felt da kvantedefekt økes fra 0,04 (a) til 0,32 (h). Systemet blir mer kaotisk ettersom dynamiske symmetrier brytes ved å øke kvantefeilen; følgelig utvikler fordelingen seg fra nesten en Poisson-distribusjon (a) til den fra Wigners antagelse (h).

Statistiske mål på kvantekaos ble født ut fra et ønske om å kvantifisere spektrale trekk ved komplekse systemer. Tilfeldig matrise teori ble utviklet i et forsøk på å karakterisere spektre av komplekse kjerner. Det bemerkelsesverdige resultatet er at de statistiske egenskapene til mange systemer med ukjente Hamiltonere kan forutsies ved hjelp av tilfeldige matriser av riktig symmetri-klasse. Videre forutsier tilfeldig matriksteori korrekt statistiske egenskaper til egenverdiene til mange kaotiske systemer med kjente Hamiltonianere. Dette gjør det nyttig som et verktøy for å karakterisere spektre som krever stor numerisk innsats for å beregne.

En rekke statistiske mål er tilgjengelige for å kvantifisere spektrale funksjoner på en enkel måte. Det er av stor interesse om det er universell statistisk oppførsel av klassisk kaotiske systemer. De statistiske testene som er nevnt her er universelle, i det minste for systemer med få frihetsgrader ( Berry og Tabor har fremmet sterke argumenter for en Poisson-fordeling i tilfelle regelmessig bevegelse og Heusler et al. Presenterer en semiklassisk forklaring av den såkalte Formodning om Bohigas – Giannoni – Schmit som hevder universaliteten av spektrale svingninger i kaotisk dynamikk). Den nærmeste nabodistribusjonen (NND) av energinivåer er relativt enkel å tolke, og den har blitt mye brukt for å beskrive kvantekaos.

Kvalitative observasjoner av nivåavstøtninger kan kvantifiseres og relateres til den klassiske dynamikken ved hjelp av NND, som antas å være en viktig signatur for klassisk dynamikk i kvantesystemer. Det antas at vanlig klassisk dynamikk manifesteres av en Poisson-fordeling av energinivåer:

{\ displaystyle P (s) = e ^ {- s}. \}

I tillegg forventes det at systemer som viser kaotisk klassisk bevegelse vil være preget av statistikken over tilfeldige matrise egenverdienheter. For systemer som er uforanderlige under tids reversering, har energinivåstatistikken til en rekke kaotiske systemer vist seg å være i god overensstemmelse med spådommene fra det gaussiske ortogonale ensemblet (GOE) av tilfeldige matriser, og det er blitt antydet at dette fenomenet er generisk for alle kaotiske systemer med denne symmetrien. Hvis det normaliserte avstanden mellom to energinivåer er , blir den normaliserte fordelingen av avstander godt tilnærmet av ${\ displaystyle s}$

{\ displaystyle P (s) = {\ frac {\ pi} {2}} se ^ {- \ pi s ^ {2} / 4}.}

Mange Hamiltonian-systemer som er klassisk integrerbare (ikke-kaotiske) har blitt funnet å ha kvanteløsninger som gir nærmeste nabofordelinger som følger Poisson-fordelingen. Tilsvarende har mange systemer som viser klassisk kaos blitt funnet med kvanteløsninger som gir en Wigner-Dyson-distribusjon , og støtter dermed ideene ovenfor. Et bemerkelsesverdig unntak er diamagnetisk litium som, selv om det utviser klassisk kaos, viser Wigner (kaotisk) statistikk for jevnparitetsenerginivåene og nesten Poisson (vanlig) statistikk for oddeparitets energinivåfordeling.

Semiklassiske metoder

Periodisk bane teori

Til og med paritets-tilbakefallsspektrum ( Fourier-transformasjon av tettheten av tilstander ) av diamagnetisk hydrogen som viser topper tilsvarende periodiske baner i det klassiske systemet. Spektrum har en skalert energi på -0,6. Topper merket R og V er gjentakelser av henholdsvis lukket bane vinkelrett og parallelt med feltet. Topper merket O tilsvarer den nærmeste sirkulære periodiske banen som går rundt kjernen.

Relative gjentakelsesamplituder av jevne og merkelige gjentakelser av den nærmeste sirkulære banen. Diamanter og pluss tegn er henholdsvis for ulike og jevne kvartaler. Hel linje er A / cosh (nX / 8). Stiplet linje er A / sinh (nX / 8) hvor A = 14,75 og X = 1,18.

Periodisk bane-teori gir en oppskrift på databehandlingsspektre fra periodiske baner i et system. I motsetning til Einstein – Brillouin – Keller-metoden for handlingskvantisering, som bare gjelder integrerbare eller nesten integrerte systemer og beregner individuelle egenverdier fra hver bane, er periodisk bane teori anvendelig på både integrerte og ikke-integrerte systemer og hevder at hver periodisk bane produserer en sinusformet svingning i tettheten av tilstander.

Hovedresultatet av denne utviklingen er et uttrykk for tettheten av tilstander som er spor av den semiklassiske Green funksjonen og er gitt av Gutzwiller sporformel:

{\ displaystyle g_ {c} (E) = \ sum _ {k} T_ {k} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 \ sinh {(\ chi _ { nk} / 2)}}} \, e ^ {i (nS_ {k} - \ alpha _ {nk} \ pi / 2)}.}

Nylig var der en generalisering av denne formel for vilkårlig matrise Hamiltonians som innebærer en Berry fase -lignende begrep som stammer fra sentrifugerings eller andre interne frihetsgrader. Indeksen skiller de primitive periodiske banene : den korteste periodebanen til et gitt sett med innledende forhold. er perioden med den primitive periodiske banen og er dens klassiske handling. Hver primitive bane trekker seg tilbake og fører til en ny bane med handling og en periode som er et integrert multiplum av den primitive perioden. Derfor er hver repetisjon av en periodisk bane en annen periodisk bane. Disse repetisjonene klassifiseres separat av den mellomliggende summen over indeksene . er baneens Maslov-indeks . Amplitudefaktoren,, representerer kvadratroten av tettheten til nærliggende baner. Nabobaner av en ustabil periodisk bane avviker eksponentielt i tid fra den periodiske bane. Mengden karakteriserer baneens ustabilitet. En stabil bane beveger seg på en torus i faseområdet, og nabobaner snor seg rundt den. For stabile baner blir , hvor er det svingete tallet for den periodiske banen. , hvor er antall ganger nabobaner skjærer den periodiske banen i en periode. Dette gir en vanskelighetsgrad fordi ved en klassisk bifurkasjon . Dette fører til at baneens bidrag til energitettheten avviker. Dette skjer også i sammenheng med foto- absorpsjonsspektrum . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle T_ {k}}$ ${\ displaystyle S_ {k}}$ ${\ displaystyle nS_ {k}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {nk}}$ ${\ displaystyle 1 / \ sinh {(\ chi _ {nk} / 2)}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {nk}}$ ${\ displaystyle \ sinh {(\ chi _ {nk} / 2)}}$ ${\ displaystyle \ sin {(\ chi _ {nk} / 2)}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {nk}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {nk} = 2 \ pi m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ sin {(\ chi _ {nk} / 2)} = 0}$

Å bruke sporingsformelen for å beregne et spektrum krever summering over alle periodiske baner i et system. Dette gir flere vanskeligheter for kaotiske systemer: 1) Antall periodiske baner sprer seg eksponentielt som en funksjon av handling. 2) Det er et uendelig antall periodiske baner, og konvergensegenskapene til periodisk bane-teori er ukjente. Denne vanskeligheten er også til stede når man bruker periodisk bane-teori til vanlige systemer. 3) Baner over lange perioder er vanskelige å beregne fordi de fleste baner er ustabile og følsomme for avrundingsfeil og detaljer om den numeriske integrasjonen.

Gutzwiller brukte sporformelen for å nærme seg det anisotrope Kepler- problemet (en enkelt partikkel i et potensiale med en anisotrop massetensor ) semiklassisk. Han fant enighet med kvanteberegninger for lavtliggende (opp til ) stater for små anisotropier ved å bruke bare et lite sett med periodiske baner som er enkle å beregne, men avtalen var dårlig for store anisotropier. ${\ displaystyle 1 / r}$ ${\ displaystyle n = 6}$

Figurene ovenfor bruker en omvendt tilnærming til å teste periodisk bane teori. Sporformelen hevder at hver periodisk bane bidrar med en sinusformet betegnelse på spekteret. I stedet for å håndtere beregningsvansker rundt baner i lang periode for å prøve å finne tettheten til tilstander (energinivåer), kan man bruke standard kvantemekanisk forstyrrelsesteori til å beregne egenverdier (energinivåer) og bruke Fourier-transformasjonen for å se etter det periodiske modulasjoner av spekteret som er signaturen til periodiske baner. Å tolke spekteret tilsvarer deretter å finne banene som tilsvarer topper i Fourier-transformasjonen.

Grov skisse om hvordan du kommer frem til Gutzwiller sporformel

Start med den semiklassiske tilnærmingen av den tidsavhengige Green-funksjonen (Van Vleck-propagatoren).
Innse at for kaustikk divergerer beskrivelsen og bruker innsikten fra Maslov (omtrent Fourier transformering til momentum (stasjonær fase tilnærming med en liten parameter) for å unngå slike punkter og deretter transformere tilbake til posisjonsrom kan kurere en slik divergens, men gir en fase faktor).
Transformer Greens-funksjonen til energirom for å få den energiavhengige Greens-funksjonen (igjen tilnærmet Fourier-transform ved hjelp av den stasjonære fase-tilnærmingen). Nye avvik kan dukke opp som må kureres ved hjelp av samme metode som trinn 3
Bruk (sporing over posisjoner) og beregne det igjen i stasjonær fase-tilnærming for å få en tilnærming for tettheten til tilstandene . ${\ displaystyle d (E) = - {\ frac {1} {\ pi}} \ Im (\ operatorname {Tr} (G (x, x ^ {\ prime}, E))}$ ${\ displaystyle d (E)}$

Merk: Å ta sporet forteller deg at bare lukkede baner bidrar, den stasjonære fase-tilnærmingen gir deg restriktive forhold hver gang du gjør det. I trinn 4 begrenser det deg til baner der første og siste momentum er de samme, dvs. periodiske baner. Ofte er det hyggelig å velge et koordinatsystem parallelt med bevegelsesretningen, slik det gjøres i mange bøker.

Lukket bane teori

Eksperimentelt gjentaksspektrum (sirkler) sammenlignes med resultatene av John Delos og Jing Gaos lukkede bane-teori for litium Rydberg-atomer i et elektrisk felt. Toppene merket 1–5 er repetisjoner av elektronbanen parallelt med feltet som går fra kjernen til det klassiske vendepunktet i oppoverbakke.

Lukket bane-teori ble utviklet av JB Delos, ML Du, J. Gao og J. Shaw. Det ligner periodisk bane-teori, bortsett fra at lukket bane-teori bare gjelder for atom- og molekylære spektra og gir oscillatorstyrketettheten (observerbart fotoabsorpsjonsspektrum) fra en spesifisert starttilstand mens periodisk bane-teori gir tettheten av fastslår.

Bare baner som begynner og slutter ved kjernen er viktige i teorien om lukket bane. Fysisk er disse assosiert med de utgående bølgene som genereres når et tett bundet elektron er eksitert til en høytliggende tilstand. For Rydberg-atomer og -molekyler er hver bane som er lukket i kjernen også en periodisk bane hvis periode er lik enten lukketiden eller to ganger lukketiden.

I henhold til teorien om lukket bane er den gjennomsnittlige oscillatorstyrketettheten ved konstant gitt av en jevn bakgrunn pluss en oscillerende sum av formen ${\ displaystyle \ epsilon}$

{\ displaystyle f (w) = \ sum _ {k} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} D _ {\ it {nk}} ^ {i} \ sin (2 \ pi nw {\ tilde { S_ {k}}} - \ phi _ {\ it {nk}}).}

${\ displaystyle \ phi _ {\ it {nk}}}$ er en fase som avhenger av Maslov-indeksen og andre detaljer i banene. er gjentakelsesamplituden til en lukket bane for en gitt starttilstand (merket ). Den inneholder informasjon om banens stabilitet, dens innledende og endelige retninger, og matriseelementet til dipoloperatøren mellom den opprinnelige tilstanden og en null-energi Coulomb-bølge. For skaleringssystemer som Rydberg-atomer i sterke felt, kalles Fourier-transformasjonen av et oscillatorstyrkespektrum beregnet til fast som en funksjon av et gjentagelsesspektrum, fordi det gir topper som tilsvarer den skalerte virkningen av lukkede baner og hvis høyder tilsvarer . ${\ displaystyle D _ {\ it {nk}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle D _ {\ it {nk}} ^ {i}}$

Lukket bane-teori har funnet bred enighet med en rekke kaotiske systemer, inkludert diamagnetisk hydrogen, hydrogen i parallelle elektriske og magnetiske felt, diamagnetisk litium, litium i et elektrisk felt, ionen i kryssede og parallelle elektriske og magnetiske felt, barium i en elektrisk felt, og helium i et elektrisk felt. ${\ displaystyle H ^ {-}}$

Endimensjonale systemer og potensial

For tilfelle av et dimensjonalt system med grensebetingelsen, er tettheten av tilstander oppnådd fra Gutzwiller-formelen relatert til det inverse av potensialet til det klassiske systemet, her er tettheten av tilstander og V (x) er det klassiske potensialet til partikkelen, halvderivatet av det inverse av potensialet er relatert til tettheten av tilstander som i Wu-Sprung-potensialet . ${\ displaystyle y (0) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {1/2}} {dx ^ {1/2}}} V ^ {- 1} (x) = 2 {\ sqrt {\ pi}} {\ frac {dN ( x)} {dx}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dN (x)} {dx}}}$

Nylige veibeskrivelser

Et åpent spørsmål er fortsatt å forstå kvantekaos i systemer som har endelige dimensjonale lokale Hilbert-rom som standard semiklassiske grenser ikke gjelder for. Nyere arbeider tillatt for å studere slike kvante mange kroppssystemer analytisk .

De tradisjonelle temaene i kvantekaos gjelder spektralstatistikk (universelle og ikke-universelle trekk), og studiet av egenfunksjoner ( Quantum ergodisitet , arr ) av forskjellige kaotiske Hamilton . ${\ displaystyle H (x, p; R)}$

Ytterligere studier vedrører den parametriske ( ) avhengigheten til Hamiltonian, som gjenspeiles i f.eks. Statistikken over unngåtte kryssinger, og den tilhørende blandingen som gjenspeiles i den (parametriske) lokale tilstandstettheten (LDOS). Det er enorm litteratur om bølgepakkedynamikk, inkludert studiet av svingninger, gjentakelser, kvante irreversibilitetsproblemer etc. Spesielt sted er forbeholdt studiet av dynamikken til kvantiserte kart: standardkartet og den sparkede rotatoren anses å være prototypeproblemer. ${\ displaystyle R}$

Arbeid er også fokusert i studiet av drevne kaotiske systemer, der Hamilton er tidsavhengig, spesielt i adiabatene og i de lineære responsregimene. Det er også betydelig innsats fokusert på å formulere ideer om kvantekaos for sterkt interagerende kvantesystemer med mange kropp langt fra semiklassiske regimer. ${\ displaystyle H (x, p; R (t))}$

Berry-Tabor-formodning

I 1977 laget Berry og Tabor en fremdeles åpen "generisk" matematisk formodning som, omtrent sagt, er: I "generisk" tilfelle for kvantedynamikken til en geodesisk strømning på en kompakt Riemann-overflate, oppfører egenverdiene til kvanteenergien seg som en sekvens av uavhengige tilfeldige variabler forutsatt at den underliggende klassiske dynamikken er helt integrerbar .

Se også

Arr (fysikk)

Referanser

Ytterligere ressurser

Martin C. Gutzwiller (1971). "Periodiske baner og klassiske kvantiseringsbetingelser". Tidsskrift for matematisk fysikk . 12 (3): 343. Bibcode : 1971JMP .... 12..343G . doi : 10.1063 / 1.1665596 .
Martin C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics , (1990) Springer-Verlag , New York ISBN 0-387-97173-4 .
Hans-Jürgen Stöckmann , Quantum Chaos: An Introduction , (1999) Cambridge University Press ISBN 0-521-59284-4 .
Eugene Paul Wigner ; Dirac, PAM (1951). "Om den statistiske fordelingen av bredden og avstanden til kjernefysiske resonansnivåer". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 47 (4): 790. Bibcode : 1951PCPS ... 47..790W . doi : 10.1017 / S0305004100027237 .
Fritz Haake, Quantum Signatures of Chaos 2nd ed., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN 3-540-67723-2 .
Karl-Fredrik Berggren og Sven Aberg, "Quantum Chaos Y2K Proceedings of Nobel Symposium 116" (2001) ISBN 978-981-02-4711-9
LE Reichl , "The Transition to Chaos: In Conservative Classical Systems: Quantum Manifestations", Springer (2004), ISBN 978-0387987880

Eksterne linker

Quantum Chaos av Martin Gutzwiller (1992 og 2008, Scientific American )
Quantum Chaos Martin Gutzwiller Scholarpedia 2 (12): 3146. doi: 10.4249 / scholarpedia.3146
Kategori: Quantum Chaos Scholarpedia
Hva er ... Quantum Chaos av Ze'ev Rudnick (januar 2008, Notices of the American Mathematical Society )
Brian Hayes, "The Spectrum of Riemannium"; American Scientist Volume 91, Number 4, July – August, 2003 s. 296–300 . Diskuterer forhold til Riemann zeta-funksjonen .
Eigenfunksjoner i kaotiske kvantesystemer av Arnd Bäcker.
ChaosBook.org

Languages

In other projects