Biharmonisk ligning - Biharmonic equation

I matematikk er den biharmoniske ligningen en fjerdeordens delvise differensialligning som oppstår i områder av kontinuummekanikk , inkludert lineær elastisitetsteori og løsningen av Stokes-strømmer . Spesielt brukes den i modellering av tynne strukturer som reagerer elastisk på ytre krefter.

Notasjon

Det er skrevet som

${\ displaystyle \ nabla ^{4} \ varphi = 0}$

eller

${\ displaystyle \ nabla ^{2} \ nabla ^{2} \ varphi = 0}$

eller

${\ displaystyle \ Delta ^{2} \ varphi = 0}$

hvor , som er den fjerde potens av den del operatør og kvadratet av Laplace- operatoren (eller ), er kjent som biharmonic operatør eller bilaplacian operatør . I kartesiske koordinater kan det skrives i dimensjoner som: ${\ displaystyle \ nabla ^{4}}$${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ nabla^{4} \ varphi = \ sum _ {i = 1}^{n} \ sum _ {j = 1}^{n} \ partiell _ {i} \ delvis _ {i} \ delvis _ {j} \ delvis _ {j} \ varphi = \ venstre (\ sum _ {i = 1}^{n} \ delvis _ {i} \ delvis _ {i} \ høyre) \ venstre (\ sum _ { j = 1}^{n} \ delvis _ {j} \ delvis _ {j} \ høyre) \ varphi.}$

Fordi formelen her inneholder en summering av indekser, foretrekker mange matematikere notasjonen fremfor fordi førstnevnte tydeliggjør hvilke av indeksene til de fire nabla -operatørene som er kontrahert. ${\ displaystyle \ Delta ^{2}}$${\ displaystyle \ nabla ^{4}}$

For eksempel, i tredimensjonale kartesiske koordinater har den biharmoniske ligningen formen

${\ displaystyle {\ partiell ^{4} \ varphi \ over \ delvis x ^{4}}+{\ delvis ^{4} \ varphi \ over \ delvis y ^{4}}+{\ delvis ^{4} \ varphi \ over \ delvis z^{4}}+2 {\ delvis^{4} \ varphi \ over \ delvis x^{2} \ delvis y^{2}}+2 {\ delvis^{4} \ varphi \ over \ partiell y^{2} \ delvis z^{2}}+2 {\ delvis^{4} \ varphi \ over \ delvis x^{2} \ delvis z^{2}} = 0.}$

Som et annet eksempel, i n -dimensjonalt Real koordinatrom uten opprinnelse , ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^{n} \ setminus \ mathbf {0} \ right)}$

${\ displaystyle \ nabla^{4} \ left ({1 \ over r} \ right) = {3 (15-8n+n^{2}) \ over r^{5}}}$

hvor

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots+x_ {n}^{2}}}.}$

som viser, for n = 3 og n = 5 , er en løsning på den biharmoniske ligningen. ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$

En løsning på den biharmoniske ligningen kalles en biharmonisk funksjon . Enhver harmonisk funksjon er biharmonisk, men det motsatte er ikke alltid sant.

I todimensjonale polære koordinater er den biharmoniske ligningen

${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis r}} \ venstre (r {\ frac {\ partiell} {\ delvis r}} \ venstre ({\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis r}} \ venstre (r {\ frac {\ delvis \ varphi} {\ delvis r}} \ høyre) \ høyre) \ høyre)+{\ frac {2} {r ^{2}}} {\ frac {\ partiell ^{4} \ varphi} {\ delvis \ theta ^{2} \ delvis r ^{2}}}+{\ frac {1} {r ^{4}}} {\ frac {\ partiell ^{4} \ varphi} {\ delvis \ theta ^{4}}}-{\ frac {2} {r ^{3}}} {\ frac {\ delvis ^{3} \ varphi} {\ delvis \ theta ^{2} \ delvis r}}+{\ frac {4} {r ^{4}}} {\ frac {\ delvis ^{2} \ varphi} {\ partial \ theta ^{2}}} = 0}$

som kan løses ved separasjon av variabler. Resultatet er Michell -løsningen .

2-dimensjonalt rom

Den generelle løsningen på det 2-dimensjonale tilfellet er

${\ displaystyle xv (x, y) -yu (x, y)+w (x, y)}$

hvor , og er harmoniske funksjoner og er et harmonisk konjugat av . ${\ displaystyle u (x, y)}$${\ displaystyle v (x, y)}$${\ displaystyle w (x, y)}$${\ displaystyle v (x, y)}$${\ displaystyle u (x, y)}$

Akkurat som harmoniske funksjoner i 2 variabler er nært beslektet med komplekse analytiske funksjoner , så er biharmoniske funksjoner i 2 variabler. Den generelle formen for en biharmonisk funksjon i 2 variabler kan også skrives som

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ bar {z}} f (z)+g (z))}$

hvor og er analytiske funksjoner . ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle g (z)}$

Se også

• Harmonisk funksjon

Referanser

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• SI Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering , Marcel Dekker, 2000. ISBN  0-8247-0466-5 .
• JP Den Hartog (1. juli 1987). Avansert styrke av materialer . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9.

Eksterne linker

• Weisstein, Eric W. "Biharmonic Equation" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Biharmonic Operator" . MathWorld .