Stokes flyter - Stokes flow
Stokes -strøm (oppkalt etter George Gabriel Stokes ), også kalt krypstrøm eller krypende bevegelse , er en type væskestrøm der advektiv treghetskrefter er små sammenlignet med viskøse krefter. Den Reynoldstallet er lavt, altså . Dette er en typisk situasjon i strømninger der væskehastighetene er veldig langsomme, viskositetene er veldig store, eller lengdenes skalaer for strømmen er svært små. Krypstrøm ble først studert for å forstå smøring . I naturen forekommer denne typen flyt i svømming av mikroorganismer , sædceller og lavastrøm . I teknologi forekommer det i maling , MEMS -enheter og generelt i strømmen av viskøse polymerer .
Bevegelsesligningene for Stokes-strøm, kalt Stokes-ligningene, er en linearisering av Navier-Stokes-ligningene , og kan dermed løses med en rekke kjente metoder for lineære differensialligninger. Den primære Green -funksjonen til Stokes -strømmen er Stokeslet , som er assosiert med en entall punktkraft innebygd i en Stokes -strøm. Fra sine derivater kan andre grunnleggende løsninger oppnås. Stokeslet ble først avledet av Oseen i 1927, selv om den ikke ble navngitt som sådan før i 1953 av Hancock. De lukkede grunnleggende løsningene for de generaliserte ustabile Stokes og Oseen-strømmer assosiert med vilkårlige tidsavhengige translasjons- og rotasjonsbevegelser er avledet for Newtonian og mikropolar væsker.
Stokes ligninger
Bevegelsesligningen for Stokes-strøm kan oppnås ved å linearisere Navier-Stokes-ligningene i steady state . Treghetskreftene antas å være ubetydelige i forhold til de viskøse kreftene, og eliminering av treghetsvilkårene for momentbalansen i Navier - Stokes -ligningene reduserer den til momentbalansen i Stokes -ligningene:
hvor er spenningen (summen av viskøse og trykkspenninger), og en påført kroppskraft. De fulle Stokes -ligningene inkluderer også en ligning for bevaring av masse , vanligvis skrevet i formen:
hvor er væsketettheten og væskehastigheten. For å få bevegelsesligningene for inkomprimerbar flyt antas det at tettheten,, er en konstant.
Videre kan man noen ganger vurdere de ustabile Stokes -ligningene, der begrepet legges til venstre side av momentbalanselikningen.
Egenskaper
Stokes -ligningene representerer en betydelig forenkling av de fulle Navier - Stokes -ligningene , spesielt i det inkomprimerbare Newton -tilfellet. De er forenkling av ledende orden av de fulle Navier-Stokes-ligningene, gyldig i den utmerkede grensen
- Umiddelbarhet
- En Stokes-strøm er ikke avhengig av tid annet enn gjennom tidsavhengige grensebetingelser . Dette betyr at, gitt grensebetingelsene for en Stokes -strøm, kan strømmen bli funnet uten kunnskap om strømmen på noe annet tidspunkt.
- Tids-reversibilitet
- En umiddelbar konsekvens av øyeblikkelighet, tids reversibilitet betyr at en tids reversert Stokes-strøm løser de samme ligningene som den opprinnelige Stokes-strømmen. Denne egenskapen kan noen ganger brukes (i forbindelse med linearitet og symmetri i grensebetingelsene) for å utlede resultater om en flyt uten å løse den helt. Tids reversibilitet betyr at det er vanskelig å blande to væsker ved hjelp av krypende strømning.
Selv om disse egenskapene gjelder for inkomprimerbare Newtonian Stokes-strømmer, betyr den ikke-lineære og noen ganger tidsavhengige naturen til ikke-newtoniske væsker at de ikke holder i det mer generelle tilfellet.
- Stokes paradoks
En interessant egenskap ved Stokes flow er kjent som Stokes 'paradoks : at det ikke kan være noen Stokes -strøm av en væske rundt en plate i to dimensjoner; eller, tilsvarende, det faktum at det ikke er noen ikke-triviell løsning for Stokes-ligningene rundt en uendelig lang sylinder.
Demonstrasjon av tid-reversibilitet
Et Taylor – Couette -system kan lage laminære strømninger der konsentriske væskesylindere beveger seg forbi hverandre i en tilsynelatende spiral. En væske som maissirup med høy viskositet fyller gapet mellom to sylindere, med fargede områder av væsken synlig gjennom den gjennomsiktige ytre sylinderen. Sylindrene roteres i forhold til hverandre ved lav hastighet, noe som sammen med væskens høye viskositet og tynnhet i gapet gir et lavt Reynolds -tall , slik at den tilsynelatende blandingen av farger faktisk er laminær og deretter kan reverseres til ca. den opprinnelige tilstanden. Dette skaper en dramatisk demonstrasjon av tilsynelatende å blande en væske og deretter blande den ved å snu mikserens retning.
Ukomprimerbar strøm av newtonske væsker
I det vanlige tilfellet av en inkomprimerbar newtonsk væske , tar Stokes -ligningene formen (vektorisert):
der er hastigheten til fluidet, er gradienten til trykket , er den dynamiske viskositet, og en anvendt kraft legeme. De resulterende ligningene er lineære i hastighet og trykk, og kan derfor dra fordel av en rekke lineære differensialligningsløsere.
Kartesiske koordinater
Med hastighetsvektoren utvidet som og på samme måte som kroppskraftvektoren , kan vi skrive vektorligningen eksplisitt,
Vi kommer til disse ligningene ved å gjøre forutsetningene om at og tettheten er en konstant.
Metoder for løsning
Etter strømfunksjon
Ligningen for en inkomprimerbar Newtonian Stokes-strøm kan løses ved hjelp av strømfunksjonsmetoden i plane eller i 3D-aksesymmetriske tilfeller
Type funksjon | Geometri | Likning | Kommentarer |
---|---|---|---|
Stream -funksjon , | 2-D planar | eller ( biharmonisk ligning ) | er Laplacian -operatøren i to dimensjoner |
Stokes strømfunksjon , | 3-D sfærisk | hvor | For avledning av operatøren, se Stokes strømfunksjon#Vorticity |
3-D sylindrisk | hvor | For se |
Etter Green funksjon: Stokeslet
Lineariteten av Stokes ligningene i tilfelle av en inkompressibel newtonske fluidinnretning som en Greens funksjon , eksisterer. Den grønnes funksjon blir funnet ved å løse Stokes -ligningene med tvangsbegrepet erstattet av en punktkraft som virker ved opprinnelsen, og grensebetingelser som forsvinner ved uendelig:
hvor er Dirac delta -funksjonen , og representerer en punktkraft som virker ved opprinnelsen. Løsningen for trykket p og hastigheten u med | u | og p forsvinne i det uendelige er gitt av
hvor
- er et andre rangert tensor (eller mer nøyaktig tensorfelt ) kjent som Oseen tensor (etter Carl Wilhelm Oseen ).
Begrepene Stokeslet og point-force-løsning brukes for å beskrive . Analogt med punktladningen i elektrostatikk , er Stokeslet kraftfri overalt bortsett fra opprinnelsen, der den inneholder en styrke .
For en kontinuerlig kraftfordeling (tetthet) kan løsningen (igjen forsvinner i det uendelige) deretter konstrueres ved superposisjon:
Denne integrerte representasjonen av hastigheten kan sees på som en reduksjon i dimensjonalitet: fra den tredimensjonale partielle differensialligningen til en todimensjonal integralligning for ukjente tettheter.
Av Papkovich - Neuber løsning
Den Papkovich-Neuber løsning representerer hastighets- og trykkfeltene av en inkompressibel Newtonsk Stokes strømme i form av to harmoniske potensialer.
Etter grenseelementmetode
Enkelte problemer, for eksempel utviklingen av formen på en boble i en Stokes -strøm, bidrar til numerisk løsning ved grenselementmetoden . Denne teknikken kan brukes på både 2- og 3-dimensjonale strømmer.
Noen geometrier
Hele-Shaw flyt
Hele-Shaw-strømning er et eksempel på en geometri som treghetskrefter er ubetydelige for. Det er definert av to parallelle plater plassert veldig tett sammen med mellomrommet mellom platene opptatt delvis av væske og delvis av hindringer i form av sylindere med generatorer som er normale for platene.
Slank-kroppsteori
Slank-kroppsteori i Stokes flow er en enkel omtrentlig metode for å bestemme det irrotasjonelle strømningsfeltet rundt legemer hvis lengde er stor sammenlignet med bredden. Grunnlaget for metoden er å velge en fordeling av flyt singulariteter langs en linje (siden kroppen er slank) slik at deres irrotasjonsstrøm i kombinasjon med en jevn strøm tilnærmet tilfredsstiller null normal hastighetstilstand.
Sfæriske koordinater
Lammets generelle løsning stammer fra det faktum at trykket tilfredsstiller Laplace -ligningen og kan utvides i en serie med faste sfæriske harmoniske i sfæriske koordinater. Som et resultat kan løsningen på Stokes -ligningene skrives:
hvor og er solide sfæriske harmoniske ordener :
og det er de tilhørende Legendre -polynomene . Lammets løsning kan brukes til å beskrive bevegelsen av væske enten i eller utenfor en kule. For eksempel kan den brukes til å beskrive bevegelsen av væske rundt en sfærisk partikkel med foreskrevet overflatestrøm, en såkalt squirmer , eller for å beskrive strømmen inne i en sfærisk dråpe med væske. For innvendige strømmer faller vilkårene med , mens for utvendige strømmer faller vilkårene med (ofte er konvensjonen antatt for utvendige strømninger for å unngå indeksering med negative tall).
Satser
Dragmotstanden til en kule i bevegelse, også kjent som Stokes 'løsning er her oppsummert. Gitt en radiuskule som beveger seg med hastighet , i en Stokes -væske med dynamisk viskositet , er dragkraften gitt av:
Stokes -løsningen sprer mindre energi enn noe annet magnetisk vektorfelt med samme grensehastigheter: dette er kjent som Helmholtz minimumsspredningsteorem .
Lorentz gjensidige teorem
Den Lorentz gjensidige teorem angir et forhold mellom to Stokes strømmer i samme region. Tenk på væskefylt område avgrenset av overflaten . La hastighetsfeltene og løse Stokes -ligningene i domenet , hver med tilsvarende spenningsfelt og . Da gjelder følgende likestilling:
Hvor er enheten normal på overflaten . Lorentz gjensidige teorem kan brukes for å vise at Stokes strøm "overfører" uendret den totale kraften og dreiemomentet fra en indre lukket overflate til en ytre omsluttende overflate. Lorentz -gjensidige teorem kan også brukes til å relatere svømmehastigheten til en mikroorganisme, for eksempel cyanobakterium , til overflatehastigheten som er foreskrevet av deformasjoner av kroppsformen via cilia eller flagella .
Faxéns lover
Faxén lover er direkte relasjoner som uttrykker de multipolkilder øyeblikkene i form av ambient flyt og dets derivater. Først utviklet av Hilding Faxén for å beregne kraften og dreiemomentet på en kule, har de følgende form:
hvor er den dynamiske viskositeten, er partikkleradien, er den omgivende strømmen, er partikkelhastigheten, er vinkelhastigheten til bakgrunnsstrømmen og er partikkelens vinkelhastighet.
Faxéns lover kan generaliseres for å beskrive øyeblikkene til andre former, som ellipsoider, sfæroider og sfæriske dråper.
Se også
Referanser
- Ockendon, H. & Ockendon JR (1995) Viscous Flow , Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1 .
Eksterne linker
- Videodemonstrasjon av tid-reversibilitet av Stokes-strøm av UNM Physics and Astronomy