Calculus on Manifolds (bok) - Calculus on Manifolds (book)

Kalkulator på fordelere
	Første utgave
Forfatter	Michael Spivak
Land	forente stater
Språk	Engelsk
Emne	Matematikk
Forlegger	Benjamin Cummings
Publiseringsdato	1965
Sider	146
ISBN	0-8053-9021-9
OCLC	607457141

Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus (1965) av Michael Spivak er en kort, streng og moderne lærebok med multivariabel kalkulus, differensialformer og integrering på manifolder for avanserte studenter .

Beskrivelse

Tannsten på manifolder er en kort monografi om teorien av vektor-verdsatte funksjoner av flere virkelige variable ( f : R ⁿ → R ^m ) og differensierbare manifolder i euklidsk plass. I tillegg til å utvide begrepene differensiering (inkludert inverse og implisitte funksjonssetninger ) og Riemann-integrasjon (inkludert Fubinis teorem ) til funksjoner av flere variabler, behandler boken de klassiske setningene til vektorkalkulus, inkludert de fra Cauchy – Green , Ostrogradsky– Gauss (divergenssetning) og Kelvin – Stokes , på språket til differensialformer på differensierbare manifolder innebygd i det euklidiske rommet , og som en følge av den generaliserte Stokes teorem på manifold-med-grense . Boken kulminerer med uttalelsen og beviset på denne enorme og abstrakte moderne generaliseringen av flere klassiske resultater:

Stokes teorem for fordeler-med-grense. - Hvis er en kompaktorientert -dimensjonal manifold-med-grense, er grensen gitt den induserte orienteringen, og er en ( ) -form på , da . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ partial M}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle k-1}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ partial M} \ omega}$

Forsiden av Calculus on Manifolds inneholder utdrag av et brev fra 2. juli 1850 fra Lord Kelvin til Sir George Stokes som inneholder den første avsløringen av den klassiske Stokes-teoremet (dvs. Kelvin-Stokes-teoremet ).

Resepsjon

Calculus on Manifolds tar sikte på å presentere emnene for multivariable og vector calculus på den måten de blir sett på av en moderne arbeider matematiker, men likevel enkelt og selektivt nok til å bli forstått av studenter på grunnlag hvis tidligere kurs i matematikk bare består av en variabel calculus og innledende lineær algebra. Mens Spivaks elementære behandling av moderne matematiske verktøy er vellykket - og denne tilnærmingen har gjort Calculus on Manifolds til en standard introduksjon til den strenge teorien om multivariabel calculus - er teksten også kjent for sin lakoniske stil, mangel på motiverende eksempler og hyppig utelatelse. av ikke-åpenbare trinn og argumenter. For eksempel, for å fastslå og bevise den generaliserte Stokes-setningen på kjeder, introduseres en overflod av ukjente konsepter og konstruksjoner (f.eks. Tensorprodukter , differensialformer , tangensrom , tilbakeslag , utvendige derivater , terning og kjeder ) raskt etter hverandre innen 25 sider. Dessuten har nøye lesere lagt merke til en rekke ikke-trivielle oversikter gjennom hele teksten, inkludert manglende hypoteser i teoremer, unøyaktige uttalelser og bevis som ikke håndterer alle saker.

Andre lærebøker

En nyere lærebok som også dekker disse emnene på lavere nivå er teksten Analysis on Manifolds av James Munkres (366 s.). Munkres arbeider er mer enn dobbelt så lang som Calculus on Manifolds , og gir en mer nøye og detaljert behandling av emnet i et rolig tempo. Likevel anerkjenner Munkres innflytelsen fra Spivaks tidligere tekst i forordet til Analyse på fordeler .

Spivaks fem-binders lærebok A Comprehensive Introduction to Differential Geometry sier i sitt forord at Calculus on Manifolds fungerer som en forutsetning for et kurs basert på denne teksten. Faktisk dukker flere av konseptene inn i Calculus on Manifolds opp igjen i første bind av dette klassiske verket i mer sofistikerte omgivelser.

Se også

Fotnoter

Merknader

Sitater

Referanser

Auslander, Louis (1967), "Review of Calculus on manifolds — a modern approach to classic theorems of advanced calculus", Quarterly of Applied Mathematics , 24 (4): 388–389
Botts, Truman (1966), " Bedømt arbeid: Kalkulus på fordelere av Michael Spivak", Science , 153 (3732): 164–165, doi : 10.1126 / science.153.3732.164-a
Hubbard, John H .; Hubbard, Barbara Burke (2009) [1998], Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach (4th ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall (4. utgave av Matrix Editions (Ithaca, NY)) , ISBN 978-0-9715766-5-0 [ En elementær tilnærming til differensialformer med vekt på konkrete eksempler og beregninger ]
Katz, Victor J. (1979), "The History of Stokes 'Theorem", Mathematics Magazine , Mathematical Association of America , 52 (3): 146–156, doi : 10.2307 / 2690275
Loomis, Lynn Harold ; Sternberg, Shlomo (2014) [1968], Advanced Calculus (Revised ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley (revised edition of Jones and Bartlett (Boston); reprinted by World Scientific (Hackensack, NJ)), pp. 305–567, ISBN 978-981-4583-93-0 [ En generell behandling av differensialformer, differensierbare manifolder og utvalgte applikasjoner for matematisk fysikk for avanserte studenter ]
Munkres, James (1968), "Review of Calculus on Manifolds", The American Mathematical Monthly , 75 (5): 567–568, doi : 10.2307 / 2314769 , JSTOR 2314769
Munkres, James (1991), Analysis on Manifolds , Redwood City, California: Addison-Wesley (omtrykt av Westview Press (Boulder, Colo.)), ISBN 978-0-201-31596-7 [ En lavere behandling av multivariabel og vektorkalkulus med dekning som ligner på Calculus on Manifolds , med matematiske ideer og bevis presentert mer detaljert ]
Nickerson, Helen K .; Spencer, Donald C .; Steenrod, Norman E. (1959), Advanced Calculus , Princeton, NJ: Van Nostrand, ISBN 978-0-486-48090-9 [ En enhetlig behandling av lineær og multilinær algebra, multivariabel kalkulator, differensialformer og innledende algebraisk topologi for avanserte studenter ]
Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of Mathematical Analysis (3. utg.), New York: McGraw Hill, s. 204–299, ISBN 978-0-07-054235-8 [ En uortodoks, men streng tilnærming til differensialformer som unngår mange av de vanlige algebraiske konstruksjonene ]
Spivak, Michael (2018) [1965], Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus (Mathematics Monograph Series) , New York: WA Benjamin, Inc. (gjengitt av Addison-Wesley (Reading, Mass.) Og Westview Press (Boulder, Colo.)), ISBN 978-0-8053-9021-6 [ En kort, streng og moderne behandling av multivariabel kalkulator, differensialformer og integrering på manifolder for avanserte studenter ]
Spivak, Michael (1999) [1970], A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1 (3. utg.), Houston, Tex .: Publish or Perish, Inc., ISBN 978-0-9140-9870-6 [ En grundig redegjørelse for differensierbare manifolder på høyere nivå; inneholder en mer sofistikert omramning og utvidelser av kapittel 4 og 5 i Calculus on Manifolds]
Tu, Loring W. (2011) [2008], En introduksjon til manifolder (2. utg.), New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3 [ En standardbehandling av teorien om glatte manifolder på førsteårsnivå ]

Languages

In other projects